Linear correlations amongst numbers represented by positive definite binary quadratic forms
给定一个正定二元二次型f，设r（n）=|{（x，y）：f（x，y）=n}|表示其代表功能。在本文中，我们研究这些函数的线性相关。例如，如果r_1，.，r_k是表示函数，我们得到了sum_{n,d} r_1（n）r_2（n+d）. r_k（n+（k-1）d）.
2012-06-19 math.NT
Almost-Primes Represented by Quadratic Polynomials
在他的论文《二次多项式表示的几乎素数》中，伊万涅茨证明了多项式n^2 + 1无穷多次地具有至多两个素因子（重数）的值。他说：“为了避免技术上的复杂性，我们将把我们的证明限制在多项式n^2 + 1。".在这一论述中，我们遵循Iwaniec的证明，并表明，任何不可约的二次多项式G（n）（满足一些显然必要的假设），G（n）有至多两个素因子的无穷多个值的n。
2019-09-26 math.NT
Integers represented by positive-definite quadratic forms and Petersson inner products
设$Q$是一个正定四元整系数二次型型.本文研究了最大正整数$n$的上界问题，该正整数局部可表示为$Q$但不可表示。假设$n$相对于$Q$的格拉姆矩阵的行列式$D(Q)$互素，我们证明了只要\[ n \gg \max \{ N(Q)^{3/2 + ε} D(Q)^{5/4 + ε}, N(Q)^{2 + ε} D(Q)^{1 + ε} \}. \]这里$N(Q)$是$Q$的水平，就可以表示$n$.我们给出了三个其他的边界下举行连续较弱的局部条件$n$。这些结果证明了边界的Petersson范数的尖部的theta系列，这是完成使用一个明确的公式，由于Scheithauer的韦尔表示。
2018-02-09 math.NT
Primes represented by positive definite binary quadratic forms
设$f$是判别式$-D$的本原定积分二元二次型，$π_f(x)$是由$f$表示的直到$x$的素数的个数.我们证明了几种类型的上界$π_f(x)$在一个常数因子的渐近大小：无条件的，有条件的广义黎曼假设（GRH），几乎所有的判别式。这些估计值的关键特征是，只要$x$超过$D$的一个小幂，它们就成立，并且在某些情况下，$x$的这个范围基本上是最佳的。特别地，如果减小$f$，则对于几乎所有判别式或通过假设GRH，都实现了$x$的该最佳范围。我们还展示了一个上限的数量由$f$表示的素数在一个短的时间间隔和下限的数量由$f$表示的小整数，其中有几个素因子。
2017-10-24 math.NT
Binary quadratic forms as dessins
我们证明了每一个本原不定二元二次型的类都可以自然地表示为一个无限图（名为çark），该无限图具有嵌入在共形环上的唯一圈。这个循环被称为方舟的脊柱。每一个选择一个固定的方格的边指定一个不定二元二次型在由方格表示的类中。在由一个çark表示的类中的约化形式对应于它的脊上的一些显著的边。高斯归约是将边缘向柜脊方向移动的过程。互反类和互反类由具有对称性的类表示。周期性夸克代表非原始形式的类。
2015-08-07 math.NT
The least quadratic residue and integers represented by quadratic forms
Stanford University（斯坦福大学）；University of Toronto（多伦多大学）
该研究针对模n的最小非平凡既约二次剩余ℓ(n)，从n的大小与素因子数维度建立近乎最优界，构造出ℓ(n)异常大的模，并将结果应用于推导有界判别式二元二次型表示不超过N的正整数的速率界。
2026-08-03 math.NT
The rank of new regular quadratic forms
一个（正定和积分）二次型$f$称为正则的，如果它表示所有局部表示的整数。已知直到等距的正则三元二次型只有200多种。然而，对于任何大于或等于$4$的整数$n$，秩为$n$的正则二次型存在无穷多个等价类。正则二次型$f$称为新的，如果不存在$f$的真子型$g$，使得由$g$表示的整数集合等于由$f$表示的整数集合。本文证明了任何新的正则二次型的秩都有一个绝对常数的界。
2021-11-19 math.NT
Densities of integer sets represented by quadratic forms
本文研究非退化整系数二次型所表示整数的密度，证明在迷向或变量数至少为3时存在有理密度，并借助近Hasse原理探讨密度的逆问题。
2023-04-14 math.NT
The least prime number represented by a binary quadratic form
设$D<0$为基本判别式，$h(D)$为$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$的类数。令$R(X,D)$为判别式$D$的二元二次型的类的数目，其表示区间$[X,2X]$中的素数。进一步，假设$π_{D}(X)$是素数的个数，它在$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$中分裂，范数在区间$[X,2X].$中。我们证明了$$ \Big(\frac{π_D(X)}{π(X)}\Big)^2 \ll \frac{R(X,D)}{h(D)}\Big(1+\frac{h(D)}{π(X)}\Big), $$，其中$π(X)$是区间$[X,2X]$中素数的个数，$\ll$中的隐常数与$D$和$X$无关。
2019-08-11 math.NT
On Primes Represented by Cubic Polynomials
本文证明了三次级数中素数的平均素数分布的一个定理。
2012-07-31 math.NT
Sparse Distribution of Coefficients of $\ell$-fold Product $L$-functions at Integers Represented by Quadratic Forms
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；Texas Tech University（德克萨斯理工大学）
本文研究了ℓ折乘L函数在由二次型表示的整数上的稀疏分布系数，建立了系数累加函数的上界，并探讨了首次符号变化的界。
2026-01-22 math.NT
Primes represented by shifted quadratic forms: on primitivity and congruence classes
本文扩展了Iwaniec的筛法，证明了移位正定整二元二次型在附加本原性与同余类条件下表示素数的下界，并提供了经计算机验证的局部条件列表以纠正先前错误，旨在为研究Apollonian circle packings中的素数分量提供工具。
2025-04-28 math.NT
A characterization of almost universal ternary quadratic polynomials with odd prime power conductor
一个整二次多项式（具有正定二次部分）称为几乎泛多项式，如果它表示除1/2个正整数以外的所有正整数。本文引入了二次多项式的导体，并给出了几乎泛三元二次多项式具有奇素数幂导体的一个有效刻画。
2014-02-07 math.NT
A Characterization of almost universal ternary inhomogeneous quadratic polynomials with conductor 2
一个整二次多项式（具有正定二次部分）称为几乎泛多项式，如果它表示除1/2个正整数以外的所有正整数。本文给出了导体为2的几乎泛三元二次多项式的一个刻划。
2015-01-07 math.NT
A Note on Stable Quadratic Polynomials over Fields of Characteristic Two
本文首先证明了特征为2的有限域上不存在稳定的二次多项式，然后证明了特征为2的函数域上存在稳定的二次多项式。
2009-10-23 math.NT
On primes represented by quartic polynomials on average
我们得到了一个上界的素数分布的形式$n^4 + k$到$x$，平均在$k$与小平方满部分的素数。作为推论，我们表明，几乎所有的$k$，有一个预期数量的素数的形式$n^4 +k$到$x$。
2019-08-26 math.NT
Representations of integral quadratic polynomials
本文研究整二次多项式的表示。特别地，证明了正三元泛整二次多项式的等价类只有1000个，正则三元三角形的等价类只有1000个。对整体域内戴德金整环上的积分二次多项式也作了更一般的讨论。
2012-08-30 math.NT
A general approach to permutation polynomials from quadratic forms
School of Mathematical Sciences, South China Normal University（华南师范大学数学科学学院）
本文研究特征2有限域上的置换多项式，通过建立其与二次型的联系，提出一般刻画方法，并利用特征和的确定明确描述了几类置换多项式。
2026-10-28 math.NT
Counting solutions to quadratic polynomials
本文利用圆法，对一类二次多项式建立了关于系数一致的整数解数量渐近公式。
2024-05-07 math.NT
Class numbers of binary quadratic polynomials
本文给出了二元二次多项式真类数的公式，并以此研究全正二元二次多项式真类数的增长，证明了具有固定二次部分和固定真类数的全正二元二次多项式的有限性结果。
2025-01-28 math.NT
Irreducible quadratic polynomials and Euler's function
令$P(x)$是$\mathbb{Z}[x]$中的不可约二次多项式。我们证明了对于几乎所有的$n$，$P(n)$不位于Euler函数的值域内.
2018-10-30 math.NT
Benedetto's trick and existence of rational preperiodic structures for quadratic polynomials
我们改进了R. Benedetto在p-adic分析，以展示无穷多个二次多项式与合理的系数，有一个特定的图形的合理preperiodic点。
2013-05-01 math.NT
Representation of Integers by Ternary Quadratic Forms: A Geometric Approach
1957年，N.C.安克尼利用数的几何提供了三平方定理的新证明。本文推广了Ankeny的技巧，证明了哪些整数可用$x^2 + 2y^2 + 2z^2$和$x^2 + y^2 + 2z^2$表示，并给出了整数可用$x^2+y^2+3z^2$和$x^2 + y^2 + 7z^2$表示的充分条件.
2015-09-09 math.NT
On the number of integral quadratic polynomials with bounded heights and discriminants
本文给出了当高度的上界趋于无穷大时，具有有界高度的整二次多项式及其判别式的渐近数。
2013-08-09 math.NT
Cubic polynomials represented by norm forms
证明了对于不可约三次$f\in\mathbb Z[x]$和满范数形式$\mathbf N(x_1,\ldots,x_k)$，满足一定假设的数域$K/\mathbb Q$，其簇$f(t)=\mathbf N(x_1,\ldots,x_k)\ne 0$满足Hasse原理.我们的证明使用了筛法。
2015-04-01 math.NT
Polynomials Consisting of Quadratic Factors with Roots Modulo Any Positive Integer
本文给出了一类多项式的无穷族，它们的根模为每一个正整数，但没有有理根。这个族中的每个多项式都是由一元二次因子组成的，没有线性项。
2021-02-17 math.NT
Completeness of the list of spinor regular ternary quadratic forms
扩展了Dickson在1939年引入的正则性概念，一个正定三元整二次型被称为旋量正则的，如果它表示由它的旋量亏格表示的所有正整数（即，由它的旋量亏格中的任何形式表示的所有正整数）。贾吉进行了广泛的计算机搜索原始三元二次型是旋量定期，但不定期，导致在29个这样的形式。在本文中，我们将证明，没有额外的形式与此性质。
2018-10-10 math.NT
Some results on integer solutions of quadratic polynomials in two variables
我们使用我们以前的工作中的思想来获得一些定理，这些定理将允许我们获得表示自然数的二元二次多项式的整数解
2020-06-04 math.NT
Smooth values of some quadratic polynomials
本文利用Luca和作者的方法，求出了使二次多项式$x^2+1,$ $x^2+4,$ $x^2+2$和$x^2-2$为200-光滑的所有$x$值和使二次多项式$x^2-4$为100-光滑的所有$x$值.
2010-05-10 math.NT
Local densities of quadratic polynomials over non-dyadic fields and unramified dyadic fields
本文为非二进域和非分歧二进域上的二次多项式建立了局部密度的精确公式。
2024-07-19 math.NT
A Refined Conjecture For Factoring Iterates Of Quadratic Polynomials Over Finite Fields
Jones和Boston证明了有限域上不可约二次多项式迭代的因式分解过程可用Markov模型来近似。在本文中，我们发现了一些二次多项式，特别是尾部大小为1的二次多项式的意外和复杂的行为。我们还提出了一个多步马尔可夫模型，比琼斯和波士顿的模型更好地解释了这些新的观察。
2013-12-25 math.NT
Averages of Fourier coefficients of Siegel modular forms and representation of binary quadratic forms by quadratic forms in four variables
设$-d$是一个负判别式，且$T$在判别式$-d$的积分二元二次型的积分等价类的一组代表上变化.本文证明了$d \to \infty$的一个渐近公式，它是$T$的整数正定四元二次型表示数在$T$上的平均值，并得到了Siegel θ级数的线性组合的傅里叶系数的平均值.我们还发现了一个渐近界从下面的固定的判别式$-d$，这是由一个给定的四元形式表示的二进制形式的数量。特别是，我们可以证明，为增长$d$的二元二次型的判别$-d$的正比例是由给定的四元二次型。
2016-06-14 math.NT
On the Length of Critical Orbits of Stable Quadratic Polynomials
我们利用乘性特征和的Weil界以及N.波士顿和R. Jones，证明了有限$q$元域上二次多项式的临界轨道的长度为$O(q^{3/4})$，改进了平凡界$q$.
2009-09-28 math.NT
Small-span Hermitian matrices over quadratic integer rings
在小跨距（跨距小于4）整数对称矩阵的特征多项式分类的基础上，得到了二次整数环上埃尔米特矩阵的特征多项式的小跨距多项式分类.以二次整数环为基，得到了一些低次小跨度多项式作为特征多项式，这些多项式不是任何整数对称矩阵的特征（或极小）多项式.
2013-06-10 math.NT
Characterization of quadratic $\varepsilon$-CNS polynomials (extended version)
该研究利用二维 $\varepsilon$-SRS 的新刻画及其与二次 $\varepsilon$-CNS 多项式的关系，对所有 $\varepsilon\in[0,1)$ 给出统一刻画，并涵盖经典 CNS 与 SCNS 情形。
2024-02-26 math.NT
Quadratic Symmetric Polynomials and an analogue of the Davenport Constant
在本文中，我们定义的常数$D(φ, p)$，达文波特常数的模拟，通过二次对称多项式定义的有限域$\mathbb{F}_p$上的序列。接下来，我们陈述一系列结果，这些结果呈现$D(φ, p)$的精确值，或该常数的下限和上界。
2022-08-05 math.NT
Irreducible polynomials over finite fields produced by composition of quadratics
对于有限域上二次多项式的集合$S$，令$C$是$S$中元素的任意组合的（无限）集合。在本文中，我们表明，有任意大的$S$的例子，使每个多项式在$C$是不可约的。作为第二个结果，我们给出了一个算法，以确定是否所有的元素在$C$是不可约的，只用$O( \#S (\log q)^3 q^{1/2} )$操作。
2017-01-27 math.NT
On a quadratic Waring's problem with congruence conditions
对于每个正整数$n$，令$g_Δ(n)$是最小正整数$g$，使得可以由奇平方和表示的$n$变量中的每个完全二次多项式由至多$g$奇平方和表示。本文通过研究整二次型的平方和在一定的同余条件下的表示来分析$g_Δ(n)$。我们证明了$g_Δ(n)$的增长最多是$\sqrt{n}$的指数，这是最好的已知上界的$g$ -不变量的原始二次华林问题。我们还确定每个小于或等于$4$的正整数的$g_Δ(n)$的精确值。
2019-10-17 math.NT
Badly approximable infinite products of quadratic polynomials
我们提供了一些条件的有理数$u$和$v$，确保洛朗级数$g_{u,v}(x):=\prod_{t=0}^\infty (1+ux^{-3^t} + vx^{-2\cdot 3^t})$是严重的逼近。
2022-11-10 math.NT
Distribution of primes represented by polynomials and Multiple Dedekind zeta functions
本文给出了二元不可约齐次多项式$f(a,b)$表示的素数和素数对的素数分布的几个定理。对于任何不可约多项式$f$，我们用公式表示斜率$t=b/a$。在这里，我们制定了一个猜想，所有不可约多项式。我们也考虑素数对的分布图。它显示出意想不到的关系，多个戴德金zeta函数-在$s=2$为一个素数和$(s_1,s_2)=(2,2)$为素数对。我们测试了几个二次域的素数对的猜想。对高斯整数上的素数对和多重Dedekind zeta函数的猜想提供了小于百分之零点一的误差。我们还测试了在一对不同的二次域中比较素数集合的方法。从数值上讲，这些变量可以用调节器和类号来表示。一些数据和代码可以在GitHub上找到（参见\cite{Zouberou}）。
2022-07-28 math.NT
The representation of integers by positive ternary quadratic polynomials
一个整数二次多项式被称为正则多项式，如果它表示由多项式本身在实数和$p$ -进整数上对每个素数$p$表示的每个整数。如果它的形式为$Q({\mathbf x} + {\mathbf v})$，则称为完备的，其中$Q$是变量${\mathbf x} = (x_1, \ldots, x_n)$的整二次型，${\mathbf v}$是${\mathbb Q}^n$中的向量。它的导体被定义为最小正整数$c$，使得$c{\mathbf v} \in {\mathbb Z}^n$。证明了对于一个固定的正整数$c$，正本原三元正则完全二次多项式与导体$c$的等价类只有1000个.这推广了Watson关于正定正则三元二次型和Chan和Oh关于三元三角形的类似有限性结果。
2015-05-01 math.NT
Fekete polynomials, quadratic residues, and arithmetic
Fekete多项式将每个素数$p$与具有系数$-1$或$1$的多项式相关联，除了为0的常数项。这些系数反映了二次剩余模$p$的分布。这些多项式首先被认为是在19世纪的研究狄利克雷$L$ -功能。在本文中，我们引入了两个密切相关的多项式。然后，我们表示他们的特殊值在几个整数的某些类数和广义伯努利数。此外，我们还研究了这些多项式的分裂域和伽罗瓦群。特别地，我们提出了一个关于这些伽罗瓦群的结构的猜想。
2022-06-16 math.NT
Preperiodic points for quadratic polynomials over quadratic fields
对于每个二次数域$K$和每个具有$K$ -系数的二次多项式$f$，可以关联有限有向图$G(f,K)$，其顶点是$f$的$K$ -有理预周期点，并且其边反映$f$在这些点上的作用。本文有两个主要目标。(1)对于抽象有向图$G$，对$(K,f)$进行分类，使得$G$的同构类由$G(f,K)$实现。我们成功地完全适用于许多图$G$通过应用各种动力学和丢番图技术。(2)给出可由某些$G(f,K)$实现的图的同构类集合的完整描述。莫顿和西尔弗曼的一个猜想暗示这个集合是有限的。基于我们的理论考虑和丰富的经验证据来自本文中开发的算法，我们推测从二次多项式在二次域上产生的图的同构类的完整列表。
2014-04-28 math.NT
Exceptional sets for spinor regular ternary quadratic forms
本文的目的是提供一个分析的正整数，表示无处不在的地方，但不是全球性的，由每一个旋量正规定积分三元二次型是不正规的。
2022-03-05 math.NT
Quadratic polynomials at prime arguments
对于一个固定的二次不可约多项式$f$，在素变元上没有固定的素因子，我们证明了存在无穷多个素数$p$使得$f(p)$至多有4个素因子，改进了Richert要求用5代替4的经典结果.用$P^+(n)$表示$n$的最大素因子，并证明了$P^+(f(p))>p^{0.847}$无穷常存在.
2016-09-01 math.NT
On the Representation of Almost Primes by Sets of Quadratic Forms
研究了r个几乎素数由二次型表示的问题，给出了r个几乎素数的上界。我们的结果扩展了Diamond和Halberlane的工作，他们在其中研究了相应的多项式问题。
2006-07-20 math.NT
Prime polynomial values of quadratic functions in short intervals
本文在大有限域的极限上建立了Bateman-Horn猜想在短区间上的函数域模拟。因此，我们开始计数素多项式所产生的原始二次函数在短时间内。为此，我们进一步研究了Mobius和及其相关项（Chowla型和）的消去的函数域模拟，并证明了Mobius和的平方根消去等价于Chowla型和的平方根消去.
2019-09-09 math.NT
Integral zeros of quadratic polynomials avoiding sublattices
本文研究避开有限指数子格的整系数二次多项式的非平凡零点，证明其存在范数有界零点并给出显式上界，同时将结果应用于整数格中向量夹角分布问题。
2024-11-21 math.NT
On the average number of divisors of reducible quadratic polynomials
给出了具有相同奇偶性的整数$b<c$的除数和$\sum_{c<n\leq N}τ\left((n-b)(n-c)\right)$的一个渐近公式.有趣的是，主项的系数不依赖于判别式，只要它是一个完整的平方。我们还提供了有效的上界的平均因子和的一些可约的二次多项式考虑之前，具有相同的主项中的渐近公式。
2017-04-21 math.NT
Irreducibility of iterates of post-critically finite quadratic polynomials over $\mathbb{Q}$
在本文中，我们分类，多达三个可能的例外，所有一元，后临界有限二次多项式$f(x)\in \mathbb{Z}[x]$与一个可约模每个素数，但所有的迭代是不可约的$\mathbb{Q}$。特别是，我们获得了无穷多的新的例子研究的现象在\cite{Jones}。在这样做的同时，我们还发现，多达三个可能的例外，所有整数$a$，使所有迭代的二次多项式$(x+a)^2-a-1$是不可约的$\mathbb{Q}$，这回答了一个问题提出的\cite{AyadMcdonald}，除了三个值的$a$。最后，我们提出了一个猜想，提出了一个充要条件的稳定性的任何一元，后临界有限二次多项式的任何领域的特征$\neq 2$。
2019-07-07 math.NT
Power Values of Certain Quadratic Polynomials
本文计算了具有负无平方判别式的二次多项式$f$的$q$次幂值，使得$q$与$\mathbb{Q}$上$f$的分裂域的类数互质.唯一的因式分解和整数序列的原始因子的理论是用来推导出一个界的值$q$这是足够小，以允许其余的情况下，很容易检查。结果被用来确定某些多项式生成的整数序列，包括西尔维斯特序列的所有完美的权力条款。
2010-03-12 math.NT
First moment of Hecke eigenvalues at the integers represented by binary quadratic forms
本文研究稀疏整数集索引的Hecke特征形式傅里叶系数求和估计，给出特定二元二次型表示的无平方因子整数对应的和式上界，并确定其Hecke特征值首次符号改变的量级，改进推广了已有结果。
2024-01-31 math.NT
Theta Series for Quadratic Forms of Signature $(n-1,1)$ with (Spherical) Polynomials II
我们推广了arXiv：2102.09329中关于签名$(n-1,1)$具有齐次多项式和球面多项式的二次型的θ级数的构造。也就是说，我们允许参数$c_1,c_2$，它定义的θ系列，并确保定义系列的收敛性，位于锥$C_Q$的边界上。这使我们能够研究几个有趣的例子，如爱森斯坦系列，模块化的形式$Γ_0(4)$出现在调查的二次多项式的一个固定的判别式，和一个模拟θ函数的顺序2连接到生成函数的Hurwitz类号码$H(8n+7)$。
2022-01-11 math.NT
Finite orbit points for sets of quadratic polynomials
设$S=\{x^2+c_1, x^2+c_2,\dots, x^2+c_s\}$是一组有理系数的二次多项式，$P$是一个有理基点。我们对$(S,P)$进行分类，其中$P$对$S$具有有限轨道，假设每个多项式的最大周期长度至多为3（由Poonen提出）。特别地，在这些假设下，我们证明了，如果$s\geq4$，那么有没有点$P$有限轨道的$S$。此外，我们使用这个角度来制定一个类似的莫顿-西尔弗曼猜想的有理函数集。
2018-10-10 math.NT
