Juanjuan Zhang
For the two Cartan type S subalgebras of the Witt algebra $\W_n$, called Lie algebras of divergence-zero vector fields, we determine all module structures on the universal enveloping algebra of their Cartan subalgebra $\h_n$. We also give all submodules of these modules.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Inverses of Cartan Matrices of Lie Algebras and Lie Superalgebra
我们导出了简单李代数和基本经典李超代数的Cartan矩阵的逆矩阵的显式公式，以及它们的无限推广。
On representations of Cartan map Lie superalgebras
本文描述了扭和非扭Cartan映射李超代数的有限维不可约表示。
Classification of Finite Dimensional Modular Lie Superalgebras with Indecomposable Cartan Matrix
在一些技术性的，但很可能是不必要的假设下，对代数闭域上具有不可分解Cartan矩阵的有限维模李超代数进行了分类。如果Cartan矩阵可逆，则相应的李超代数是单的，否则导出的李超代数模中心的商是单的（如果它的秩大于1）。发现了11个新的例外单模李超代数。经典概念或概念本身的几个特征被澄清或介绍，例如，Cartan矩阵，特征2的限制性的几个版本，Dynkin图，Chevalley生成元，甚至当特征等于2时的李超代数的概念。特征2中的有趣现象是：（1）所有具有Cartan矩阵的单李超代数都是由具有Cartan矩阵的单李代数通过将它的几个（任何）Chevalley生成元设为奇数而得到的;（2）存在偶数部分可解的单李超代数。列出了对应于Dynkin图对称性的自同构的不动点的李超代数，并描述了它们的简单子代数。
We give an overview of our effort to introduce (dual) semicanonical bases in the setting of symmetrizable Cartan matrices.
Any graded restricted simple Lie algebra of Cartan type contains a subalgebra isomorphic to the Witt algebra over a field of prime characteristic. As some analogue of study on branching rules for restricted non-classical Lie algebras, it is shown that each graded restricted simple Lie algebra of Cartan type can be decomposed into a direct sum of restricted baby Verma modules and simple modules as an adjoint module over the Witt algebra. In particular, the composition factors are precisely determined.
Cartan matrices and presentations of the exceptional simple Elduque Lie superalgebra
最近Alberto Elduque列出了所有模2有限维单阶李代数和超代数的奇分量是正交李代数的旋量表示等于偶分量，并发现了一个特殊的特征为5的李超代数.对于这个李超代数，所有不等价的Cartan矩阵（换句话说，不等价的系统的单根）与定义之间的关系，其Chevalley生成元的类似物一起列出。
Principal basis in Cartan subalgebra
设$\Lie{g}$是单复李代数，$\Lie{h}$是Cartan子代数.在这篇文章中，我们解释如何获得$\Lie{h}$的主基开始从一组生成元$\{p_1,...,p_r\}$，$r=\rank(\Lie{g})$，不变量多项式$\Sgg$。对于每个不变多项式$p$，我们定义了一个$G$ -等变映射$Dp$，从$\Lie{g}$到$\Lie{g}$ .我们证明了元素$\{Dp_1(ρ^\vee), ... Dp_r(ρ^\vee) \}$的Gram-Schmidt正交化给出了$\Lie{h}$的主要基础。类似地，元素$\{Dp_1(ρ), >... Dp_r(ρ) \}$的正交化产生$\lLie{g}$的Cartan子代数的主基，$\Lie{g}$的朗兰兹对偶。
Cartan subalgebras of root-reductive Lie algebras
根约化李代数是有限维约化李代数在保持根空间的注入下的直接极限。已知根约化李代数是阿贝尔李代数通过有限维单李代数的副本以及三个无限维单根约化李代数sl_infty、so_infty和sp_infty的副本的直和的分裂扩张。作为根约化李代数的结构理论程序的一部分，在Neeb和Penkov的论文中引入并研究了李代数gl_infty的Cartan子代数。本文将[N-P]的结果改进和推广到一般根约化李代数g的情形。证明了g的Cartan子代数是极大toral子代数的中心化子，并且是幂零的和自正规的.给出了单李代数sl_infty，so_infty和sp_infty的所有Cartan子代数的一个明确的描述.最后，我们给出了李代数gl_infty，sl_infty，so_infty和sp_infty的Cartan子代数关于保持李代数的自然表示的自同构群的共轭类的一个特征.
Let $\mathbb{k}$ be an algebraically closed field of characteristic $ p>0. $ In this short note, we illustrate a class of Lie superalgebras over $ \mathbb{k} $ such that the category of restricted supermodules is of one block. As an application, if $ p>3 $ and $ \mathfrak{g} $ is a graded restricted Cartan type Lie superalgebra of type W, S and H, then the category of restricted $ \mathfrak{g} $ supermodules is of one block.
Moufang symmetry X. Generalized Lie and Maurer-Cartan equations of continuous Moufang transformations
建立了局部解析Moufang回路的连续双表示的微分方程。得到了表示的无穷小算子的对易关系，这些对易关系可以看作是Maurer-Cartan方程的（最小）推广，并且不依赖于特定的双表示.
Divided power (co)homology. Presentations of simple finite dimensional modular Lie superalgebras with Cartan matrix
对于模李超代数，引入了除幂同调和除幂上同调的概念。为了说明，我们给介绍（在类似物的Chevalley发电机）的有限维李（超）代数与不可分解的Cartan矩阵的特征2（和其他特征的图片的完整性）。我们纠正了目前文献中Chevalley生成元和Cartan矩阵在模和超情况下的概念，以及Dynkin图的辅助概念。在特征2中，A，D，E型单经典李代数的定义关系不仅是Serre关系，而且对于具有相同Cartan矩阵和任意生成元奇偶分布的李超代数，这些非Serre关系也是相同的.给出了不含Cartan矩阵的单正交李代数的表示.
Using tensor categories, we present new constructions of several of the exceptional simple Lie superalgebras with integer Cartan matrix in characteristic $p = 3$ and $p = 5$ from the complete classification of modular Lie superalgebras with indecomposable Cartan matrix and their simple subquotients over algebraically closed fields by Bouarroudj, Grozman, and Leites in 2009. Specifically, let $\mathbfα_p$ denote the kernel of the Frobenius endomorphism on the additive group scheme $\mathbb{G}_a$ over an algebraically closed field of characteristic $p$. The Verlinde category $\mathrm{Ver}_p$ is …
Defining relations for classical Lie superalgebras without Cartan matrices
对于简单的Z-分次复李代数和多项式增长的李超代数，给出了Chevalley生成元的类似物.我们将展示如何推导出这些发电机之间的定义关系，并明确地写他们的“最自然的”（“杰出的”在Penkov和Serganova）系统的单根。结果主要针对零度分量是李代数的李超代数给出（其他情况留给读者）。观察例外李超代数和哈密顿向量场的李超代数的表示。现在我们终于可以对汉密尔顿向量场的李李超代数和Poisson超代数进行q-量化了。
Let $A_{m,n}$ be the tensor product of the polynomial algebra in $m$ even variables and the exterior algebra in $n$ odd variables over the complex field $\C$, and the Witt superalgebra $W_{m,n}$ be the Lie superalgebra of superderivations of $A_{m,n}$. In this paper, we classify the non-trivial simple bounded weight $W_{m,n}$ modules with respect to the standard Cartan algebra of $W_{m,n}$. Any such module is a simple quotient of a tensor module $F(P,L(V_1\otimes V_2))$ for a simple weight module $P$ over the Weyl superalgebra $\mathcal K_{m,n}$, a finite-dimensional simple $\gl_m$-module $V_1…
On conjugacy of Cartan subalgebras in non-fgc Lie tori
建立了A型广义李环面的Cartan子代数的共轭性。这是唯一的共轭问题李环面有关的扩展仿射李代数，仍然开放。
In this short note, we give a description of semisimple orbits in the restricted Cartan type Lie algebras $W, S, H$.
Defining Relations for Lie Superalgebras with Cartan matrix
本文完整地描述了具有Cartan矩阵的单Z-阶多项式增长李超代数的表示。这样的矩阵既不能是整数也不能是可对称的。遇到了非塞尔关系。在某些情况下，有无限多的关系。我们的结果适用于与所考虑的李超代数具有相同Cartan矩阵的李代数。
Simple prolongs of the non-positive parts of graded Lie algebras with Cartan matrix in characteristic 2
针对特征2情形，研究李代数延拓方法的相关步骤，发现新例外单李代数系列及其隐藏超对称性，揭示部分单李代数与李超代数的去超化关联，指出分类复杂度超预期。
As a sequel to [Duan-Shu-Yao], we introduce here a category $\mathscr{LC}$ arising from the BGG category $\mathcal{O}$ defined in [Duan-Shu-Yao] for Lie algebras of polynomial vector fields. The objects of $\mathscr{LC}$ are so-called Lie-Cartan modules which admit both Lie-module structure and compatible $R$-module structure ($R$ denotes the corresponding polynomial ring). This terminology is natural, coming from affine connections in differential geometry through which the structure sheaves in topology and the vector fields in geometry are integrated for differential manifolds. In this paper…
Restricted Cartan Type Lie Algebras and the Coadjoint Representation
设$L$是特征为$p>3$的代数闭域$k$上的限制Cartan型李代数，用$G$表示$L$的自同构群.我们证明了在$G$的协伴随作用下不存在$L^*$的非平凡不变量，即，$k[L^*]^G=k$。这一性质刻画了限制单李代数中的Cartan型代数。
Inverses of Cartan matrices of Lie algebras and Lie superalgebras
本文计算了多类李（超）代数不可分解Cartan矩阵的逆，发现三个新现象，同时纠正了前人对相关结果的误解并补充了更早期的文献依据。
We will construct standard pentads which are analogues of Cartan subalgebras, and moreover, we will study graded Lie algebras corresponding to these standard pentads. We call such pentads pentads of Cartan type and describe them by two positive integers and three matrices. The structures of their corresponding Lie algebras are related with contragredient Lie algebras.
On conjugacy of Cartan subalgebras in extended affine Lie algebras
复数上的有限维单李代数可以通过纯粹的组合和几何对象（如Coxeter-Dynkin图和不可分解的不可约根系）进行分类，这可以说是数学中最优雅的结果之一。根系的定义是通过固定给定李代数的一个Cartan子代数来完成的。值得注意的事实是，（直到同构）这个结构是独立的选择的嘉当子代数。现代证明这一事实的方法是证明所有的嘉当子代数都是共轭的。对于可对称化的Kac-Moody李代数，Peterson和Kac在适当定义Cartan子代数的条件下，建立了共轭性.这个结果的直接结果是，根系和广义Cartan矩阵是Kac-Moody李代数的不变量。本文的目的是建立广义仿射李代数的Cartan子代数的共轭性;广义仿射李代数是李代数的一个自然类，它推广了有限维单李代数和仿射Kac-Moody李代数。
Generators of simple Lie algebras II
本文是关于任意特征单李代数的生成元的早期工作（见arXiv：0708.1711）的继续。证明了与经典李代数不同，Cartan型S，H或K的简单分次李代数不具有“一代半”性质.该方法依赖于Cartan型李代数中心化子的研究。
The roots of exceptional modular Lie superalgebras with Cartan matrix
本研究针对带不可分解Cartan矩阵的例外李超代数，给出对应最多两两正交迷向奇单根的不等价Cartan矩阵的根列表与Chevalley基，工具为SuperLie代码与Python。
Representations of affine Nappi-Witten Lie algebras over polynomial algebras
本文分类了Nappi-Witten李代数H4及其仿射代数上的秩一Cartan自由模，给出了不可约充要条件，并应用于仿射-Virasoro Nappi-Witten李代数。
Let $ W(n) $ be Jacobson-Witt algebra over algebraic closed field $ \mathbb{K} $ with positive characteristic $ p>2. $ It is difficult to classify all Borel subalgebras of $ W(n) $ or non-classical restricted simple Lie algebras. The present paper and \cite{S7} study two kinds of subalgebras which are easily to understand and highly related to Borel subalgebras. In \cite{S7}, the last author investigates a class of special Borel subalgebras of $W(n)$ which is called homogeneous Borel subalgebras. The present paper focuses on subalgebras of $ W(n) $ which are related to Borel subalgebras such t…
Moufang loops and generalized Lie-Cartan theorem
研究了解析Moufang环的线性双表示的广义Lie-Cartan定理。得到了双表示的生成元之间的交换关系，特别是给出了双表示乘法群的李代数。
Moufang symmetry I. Generalized Lie and Maurer-Cartan equations
连续Moufang回路被刻画为结合律最小扰动的代数系统。结合性的最小扰动由一阶偏微分方程来刻画，它自然地推广了李群理论中的Lie方程和Maurer-Cartan方程.
New simple modular Lie superalgebras as generalized prolongs
在特征p>2的代数闭域上，研究了有限维单李代数和具有Cartan矩阵的李超代数在某些最简分次下的交换.发现了几个新的单李超代数，包括超Brown超代数和超Melikyan超代数。对Cartan矩阵秩为2的单李超代数进行了分类.
Conjugacy of Cartan subalgebras in EALAs with a non-fgc centreless core
本文建立了无中心核为“A型”的扩张仿射李代数的Cartan子代数的共轭性，量子环面Q上的矩阵，其迹位于Q的换位子空间中。这解决了扩展仿射李代数共轭问题的最后一个悬而未决的部分，仍然是开放的。
Parabolic BGG categories and their block decomposition for Lie superalgebras of Cartan type
本文研究复数域上Cartan型阶化李超代数的抛物BGG范畴，证明仅有极小和极大两类抛物子代数，并将问题简化为极小抛物范畴，进而证明射影覆盖存在性以建立块理论，最终完成块的分类及不可分解倾斜模与射影模的特征标公式计算。
Conjugacy of Cartan subalgebras of complex finite dimensional Leibniz algebras
本文将有限维李代数中Cartan子代数的性质及其与正则元的关系推广到Leibniz代数的情形。证明了Leibniz代数的Cartan子代数和正则元通过一个自然同态与李代数的Cartan子代数和正则元相对应。证明了Leibniz代数的Cartan子代数的共轭性。
Deformations of the Lie algebra o(5) in characteristics 3 and 2
当基域的特征p等于0或大于3时，具有Cartan矩阵的有限维单模李代数不能变形。如果p=3，正交李代数o（5）是两个具有形变的具有Cartan矩阵的简单模李代数之一（布朗代数br（2; a）在这些10维形变中，因此不单独计数）; 29维布朗代数br（3）是唯一的另一个具有形变的具有Cartan矩阵的简单李代数。Kostrikin和Kuznetsov描述了空间H^2（o（5）;o（5））上o（5）的自同构群O（5）作用下的轨道（同构类），并给出了同构类的代表。在这里，我们明确地描述了o（5）和这个正交李代数在特征2中的简单模拟的全局变形。
Symmetrical invariants of some modular Lie algebras of Cartan type
设$L$是素特征$p>0.$的代数闭域上的Cartan型有限维李代数$W_n({\bf m}),$ $S_n({\bf m}),$ $ H_n({\bf m})$中的一个.对于对称代数$S(L)$的元素$F$，我们找到了元素$p=3,5$属于对称不变量代数$S(H_2)^{H_2}$的充要条件.
We discuss the non-negative monoid attached to a Cartan matrix following my 1994 paper.
In this paper, we study pre-Lie analogues of Poisson-Nijenhuis structures and introduce ON-structures on bimodules over pre-Lie algebras. We show that an ON-structure gives rise to a hierarchy of pairwise compatible O-operators. We study solutions of the strong Maurer-Cartan equation on the twilled pre-Lie algebra associated to an O-operator, which gives rise to a pair of ON-structures which are naturally in duality. We show that KVN-structures and HN-structures on a pre-Lie algebra g are corresponding to ON-structures on the bimodule $(\mathfrak g^*;\mathrm{ad}^*,-R^*)$, and $KVΩ$-structures …
Cohomology and Support Varieties for Lie Superalgebras of Type W(n)
Boe、Kujawa和Nakano最近研究了经典李超代数的相对上同调，并发展了支撑簇理论。这些支持品种的尺寸给出了一个几何解释的组合概念的缺陷和pacificality由于卡茨，Wakimoto，和Serganova。本文计算了Cartan型李超代数W（n）相对于其0次分支W（n）{0}的上同调环，并证明了该环是一个生成的多项式环.这使得我们可以定义有限维W（n）-超模的支撑簇，这些超模在W（n）_{0}上是完全可约的。我们计算了这一范畴中所有简单超模的支集簇。值得注意的是，我们的计算符合先前的概念的Cartan型超代数由于Serganova的双线性。我们还提出了新的结果，支持品种的经典和Cartan型超代数举行的可实现性。
Let $G$ be a simply connected Lie group with Lie algebra $\mathfrak{g}$. We show that the following categories are naturally equivalent. The category $\mathsf{Mod}(C(G))$, of sufficiently smooth modules over the DG-algebra of singular chains on $G$. The category $\mathsf{Rep}(Tg)$ of representations of the DG-Lie algebra $T\mathfrak{g}$, which is universal for the Cartan relations. This equivalence extends the correspondence between representations of $G$ and representations of $\mathfrak{g}$. In a companion paper we show that in the compact case, the equivalence can be extended to an $\mathsf…
The category of Whittaker modules over the Cartan Type Lie algebra $\bar{S}_2$
研究$\mathbb{C}^2$上常散度多项式向量场李代数$\bar{S}_2$的Whittaker模，通过等价于抛物子代数有限维模范畴分类了所有单Whittaker模，并建立了与结合代数$H_{\mathbf{1}}$有限维模范畴的等价。
Quantizations of generalized Cartan type $S$ Lie algebras and of the special algebra $\mathbf{S}(n;\underline{1})$ in the modular case
对具有李双代数结构的广义Cartan型$\mathbf{S}$李代数进行量子化，证明了所用的Drinfel'd扭是Jordan扭的一种变形.作为从char 0到char p的过渡，给出了它们的量子化积分形式.通过模约化和基变换，得到了限制泛包络代数$\mathbf u(\mathbf{S}(n;\underline{1}))$（对于$\mathbf{S}$型的Cartan型单模限制李代数$\mathbf{S}(n;\underline{1})$）的某些量子化.它们是维数为$p^{1+(n-1)(p^n-1)}$的截断$p$ -多项式非交换和非余交换变形的新的Hopf代数，它包含著名的Radford代数（\cite{DR}）作为一个Hopf子代数.作为一个副产品，我们还得到了$\mathfrak {sl}_n$的一些约旦量子化，这些量子化是由$\mathbf S(n;\underline1)$的水平量子化导出的。
Whittaker Modules for W type Cartan Lie superalgebras
研究向量场李超代数$W_{m,n}$的Whittaker模范畴，通过建立与子代数$T_{m,n}$的有限维模范畴的等价，并利用覆盖技巧描述具有有限维Whittaker向量空间和非奇异参数$\mathbf{a}$的简单模。
Extensions of Restricted Simple Modules for Restricted Lie Algebras of Cartan Type
本文确定了特征 p≥5 的 Cartan 型受限单李代数受限单模的一阶扩张群，回答了 Benkart-Feldvoss 问题，并通过有限受限上同调复形计算扩张，给出了例外模的闭式公式，且确定了特征七下 S(3;1)^(1) 的箭图。
The Structure Constants of the Exceptional Lie Algebra ${\mathfrak g}_2$ in the Cartan-Weyl Basis
本文的目的是回答是否可能由李代数${\mathfrak g}_2$的结构常数同时实现$N_{α,β}=-N_{-α,-β}$、$N_{α,β}=N_{β,-α-β}=N_{-α-β,α}$和$N_{α,β}N_{-α,-β}=-\frac{1}{2}q(p+1)\langleα,H_α\rangle$之间的关系。我们表明，如果结构常数服从第一个关系，最后三个被违反，反之亦然。与第二种情况相反，第一种情况使用Cartan矩阵元素以$\langleβ,H_α\rangle$的形式推导出结构常数。对应于第一种情况的对易关系在先前的文献中有确切的记载。然而，正如预期的那样，一个李代数同构之间建立的Cartan-Weyl基地在这两种方法。
For the exceptional finite-dimensional modular Lie superalgebras $\mathfrak{g}(A)$ with indecomposable Cartan matrix $A$, and their simple subquotients, we computed non-isomorphic Lie superalgebras constituting the homologies of the odd elements with zero square. These homologies are~key ingredients in the Duflo--Serganova approach to the representation theory. There were two definitions of defect of Lie superalgebras in the literature with different ranges of application. We suggest a third definition and an easy-to-use way to find its value. In positive characteristic, we found out one more …
We give an analog of a Chevalley-Serre presentation for the Lie superalgebras W(n) and S(n) of Cartan type. These are part of a wider class of Lie superalgebras, the so-called tensor hierarchy algebras, denoted W(g) and S(g), where g denotes the Kac-Moody algebra A_r, D_r or E_r. Then W(A_{n-1}) and S(A_{n-1}) are the Lie superalgebras W(n) and S(n). The algebras W(g) and S(g) are constructed from the Dynkin diagram of the Borcherds-Kac-Moody superalgebras B(g) obtained by adding a single grey node (representing an odd null root) to the Dynkin diagram of g. We redefine the algebras W(A_r) and …
Maximal subalgebras of Cartan type in the exceptional Lie algebras
本文研究了正特征p的代数闭域k上例外单经典李代数\g的极大子代数，使得\g的素特征是好的.在本文中，我们处理的肯定是最不自然的情况下，即，在极大子代数的问题是一个简单的子代数的非经典型。我们证明了只有第一个Witt代数可以作为\g的子代数出现，并给出了明确的细节时，它可能是最大的\g。
Weighted locally gentle quivers and Cartan matrices
研究了一类加权局部温柔颤动。这自然地将有限维代数的表示论中已经深入研究的温柔箭图和温柔代数类扩展到更广泛的潜在无限维代数类。这些箭图的箭头上的权重导致相应代数上的分级。对于路长的自然分次，任何局部温柔代数都是Koszul代数。我们的主要结果是一个一般的组合公式的加权Cartan矩阵的行列式的加权局部平缓的双曲型。这个行列式在相应代数的分次导出等价下是不变的。我们表明，这个加权Cartan行列式是一个有理函数，这是完全确定的组合的循环，更确切地说，由数量和重量的某些定向循环。这导致了分次局部温柔代数的分次导出范畴的组合不变量。
Let $G$ be a simply connected Lie group with Lie algebra $\mathfrak{g}$ and denote by $\mathrm{C}_{\bullet}(G)$ the DG Hopf algebra of smooth singular chains on $G$. In a companion paper it was shown that the category of sufficiently smooth modules over $\mathrm{C}_{\bullet}(G)$ is equivalent to the category of representations of $\mathbb{T} \mathfrak{g}$, the DG Lie algebra which is universal for the Cartan relations. In this paper we show that, if $G$ is compact, this equivalence of categories can be extended to an $\mathsf{A}_{\infty}$-quasi-equivalence of the corresponding DG categories. A…
Cartanification of contragredient Lie superalgebras
本文定义反变李超代数的 Cartan 化 $B^W$，推广张量层级代数构造，并证明其与同广义 Cartan 矩阵给出的 $W$ 同构的条件。
Generalized spin representations. Part 2: Cartan-Bott periodicity for the split real En series
本文分析了由第一部分中引入的广义旋量表示得到的En级数的可裂实Kac-Moody代数的极大紧子代数的性质。结果表明，这些双折射率满足Cartan-博特周期性.我们的发现在有限维情形A2 + A1，A4，D5，E6，E7，E8中也是有意义的，在这里广义旋量表示是单射的.因此，观察到的Cartan-博特周期性提供了一个结构上的解释，看似零星的同构类型的最大紧李子代数的分裂实李代数的E6，E7，E8。
Cartan Subalgebras of Leibniz $n$-Algebras
本文研究了Leibniz $n$ -代数中Cartan子代数和正则元的性质。建立了给定的Leibniz $n$ -代数的Cartan子代数与正则元以及相应的因子$n$ -李代数的Cartan子代数与正则元之间的关系。
Vogan diagrams of affine twisted Lie superalgebras
Vogan图是基于极大紧Cartan子代数的扭曲仿射超代数的Cartan对合的Dynkin图。本文构造了扭仿射超代数的Vogan图。这是完成vogan图到超代数分类的一部分。
Characters for extended affine Lie algebras; a combinatorial approach
本文用组合方法研究扩展仿射李代数的特征标与嘉当自同构，证明几乎所有此类代数中有限阶嘉当自同构都是对角的，且对应组合映射为特征标。
On non-abelian extensions of 3-Lie algebras
本文研究3-李代数通过Maurer-Cartan元的非交换扩张。我们证明了3-李代数的非交换扩张的同构类与DGLA中Maurer-Cartan元的等价类之间存在一一对应。分析了基本对象空间上的Leibniz代数的结构。
Actions of monoidal categories and representations of Cartan type Lie algebras
本文通过交叉同态建立幺半范畴作用，统一构造Lie-Rinehart代数及Leibniz对的弱表示与容许表示，并引入交叉同态上同调理论以研究其形变，同时为广义Witt代数等提供新表示。
In this review article, first we give the concrete formulas of representations and cohomologies of associative algebras, Lie algebras, pre-Lie algebras, Leibniz algebras and 3-Lie algebras and some of their strong homotopy analogues. Then we recall the graded Lie algebras and graded associative algebras that characterize these algebraic structures as Maurer-Cartan elements. The corresponding Maurer-Cartan element equips the graded Lie or associative algebra with a differential. Then the deformations of the given algebraic structures are characterized as the Maurer-Cartan elements of the result…
In Kac's classification of finite-dimensional Lie superalgebras, the contragredient ones can be constructed from Dynkin diagrams similar to those of the simple finite-dimensional Lie algebras, but with additional types of nodes. For example, $A(n-1,0) = \mathfrak{sl}(1|n)$ can be constructed by adding a "gray" node to the Dynkin diagram of $A_{n-1} = \mathfrak{sl}(n)$, corresponding to an odd null root. The Cartan superalgebras constitute a different class, where the simplest example is $W(n)$, the derivation algebra of the Grassmann algebra on $n$ generators. Here we present a novel construct…
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