幺半范畴的作用与Cartan型李代数的表示
Actions of monoidal categories and representations of Cartan type Lie algebras
AI总结：
本文通过交叉同态建立幺半范畴作用，统一构造Lie-Rinehart代数及Leibniz对的弱表示与容许表示，并引入交叉同态上同调理论以研究其形变，同时为广义Witt代数等提供新表示。
摘要：
利用交叉同态，我们证明了Lie-Rinehart代数（相应地，Leibniz对）的弱表示（相应地，容许表示）范畴是李代数表示的幺半范畴上的左模范畴。特别地，建立了相应的幺半范畴双函子，以给出Lie-Rinehart代数（相应地，Leibniz对）的新的弱表示（相应地，容许表示）。这通过使用这个新的双函子，推广并统一了许多李代数表示的现有构造。我们在不同情形下构造了一些交叉同态，并利用我们的幺半范畴作用来恢复各种李代数表示的已知构造，同时也为广义Witt代数及其李子代数获得新的表示。引入了李代数之间交叉同态的上同调理论，并用于研究交叉同态的线性形变。
英文摘要：
Using crossed homomorphisms, we show that the category of weak representations (resp. admissible representations) of Lie-Rinehart algebras (resp. Leibniz pairs) is a left module category over the monoidal category of representations of Lie algebras. In particular, the corresponding bifunctor of monoidal categories is established to give new weak representations (resp. admissible representations) of Lie-Rinehart algebras (resp. Leibniz pairs). This generalizes and unifies various existing constructions of representations of many Lie algebras by using this new bifunctor. We construct some crossed homomorphisms in different situations and use our actions of monoidal categories to recover some known constructions of representations of various Lie algebras, also to obtain new representations for generalized Witt algebras and their Lie subalgebras. The cohomology theory of crossed homomorphisms between Lie algebras is introduced and used to study linear deformations of crossed homomorphisms.
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