On the semisimple orbits of restricted Cartan type Lie algebras $W, S$ and $H$
Hao Chang, Ke Ou
本文给出了限制Cartan型李代数$W, S, H$中半单轨道的一个刻划.
In this short note, we give a description of semisimple orbits in the restricted Cartan type Lie algebras $W, S, H$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Restricted Cartan Type Lie Algebras and the Coadjoint Representation
设$L$是特征为$p>3$的代数闭域$k$上的限制Cartan型李代数，用$G$表示$L$的自同构群.我们证明了在$G$的协伴随作用下不存在$L^*$的非平凡不变量，即，$k[L^*]^G=k$。这一性质刻画了限制单李代数中的Cartan型代数。
Extensions of Restricted Simple Modules for Restricted Lie Algebras of Cartan Type
本文确定了特征 p≥5 的 Cartan 型受限单李代数受限单模的一阶扩张群，回答了 Benkart-Feldvoss 问题，并通过有限受限上同调复形计算扩张，给出了例外模的闭式公式，且确定了特征七下 S(3;1)^(1) 的箭图。
Semisimple elements and the little Weyl group of real semisimple $Z_m$-graded Lie algebras
本文研究 Vinberg θ-表示的半单轨道，通过证明限制根超平面与小 Weyl 群复反射超平面相等的技术性结果，并利用 Galois 上同调分类实 Cartan 子空间及具有实代表元的轨道，推广了既有定理。
Representations of the restricted Cartan type Lie superalgebra $W(m,n,1)$
考虑了限制Witt超代数$W(m,n,1)$的单模.给出了限制和非限制Kac模为单模的条件。
Cartan-Weyl 3-algebras and the BLG Theory I: Classification of Cartan-Weyl 3-algebras
半单李代数作为紧连通李群的李代数，在描述物理系统的连续对称性方面有着广泛的应用。在数学上，半单李代数存在一个生成元的Cartan-Weyl基，它由一个相互交换的生成元的Cartan子代数H_I和若干个阶生成元E^α组成，这些阶生成元的特征在于一个非退化的单形式的根空间α。这种简单的根空间分解允许半单李代数的完整分类。本文引入了Cartan-Weyl李3-代数的类似概念。我们分析了它们的结构，并得到了它们的完整分类。度量李3-代数的许多已知例子（例如洛伦兹3-代数）是Cartan-Weyl 3-代数的特例。由于Cartan-Weyl 3-代数结构简洁，我们推测它可能是描述某些广义对称的有用工具。作为一个应用，我们考虑它们在Bagger-Lambert-Gustavsson（BLG）理论中的应用。
Group gradings on restricted Cartan type Lie algebras
对给定的阿贝尔群G，利用数值和群论不变量对W（m;1）和S（m;1）（m ≥ 2）型单限制李代数上G-分次的同构类进行了分类.我们的主要工具是自同构群方案，我们确定的简单限制李代数类型S（m;1）和H（m;1）。假设基域是特征p>3的代数闭场。
Classification of nilpotent and semisimple fourvectors of a real eight-dimensional space
本文研究 SL(8,R) 在 ∧⁴R⁸ 上的作用，分类 nilpotent 和 semisimple 轨道及 Cartan 子空间，semisimple 轨道分为 1441 类，方法基于 Galois 群论。
Examples of non-semisimple Hopf algebra actions on Artin-Schelter regular algebras
设$\Bbbk$是特征$p>0$的基域，$U$是二维非交换限制李代数的限制包络代数.我们对整体维数不超过3的Noether Koszul Artin Schelter正则代数上的所有内忠实$U$ -作用进行了分类.
Nilpotent varieties of some finite dimensional restricted Lie algebras
20世纪80年代末，A.证明了特征$p>0$的代数闭域上的有限维限制李代数的幂零元簇是不可约的。这个猜想仍然是开放的，但它是已知的，以保持一个大类的简单的限制李代数，例如李代数的连接代数群，并为Cartan系列$W, S$和$H$。在这篇论文中，我们首先证明了Premet猜想可以简化为半单的情形。证据很简单。然而，半单情形到单情形的约化在素特征上是非常不平凡的，因为半单李代数并不总是单理想的直和。然后考虑半单限制李代数。在$p>2$的假设下，证明了半单限制李代数的Premet猜想成立，其中半单限制李代数的基元包含由截断多项式环$k[X]/(X^{p})$张量的特殊线性李代数$\mathfrak{sl}_2$.然后我们将这个例子推广到基柱包含$S\otimes \mathcal{O}(m; \underline{1})$的半单限制李代数，其中$S$是任何单限制李代数，使得$\text{ad} S=\text{Der} S$及其幂零簇$\mathcal{N}(S)$是不可约的，而$\mathcal{O}(m; \underline{1})=k[X_1, \dots, X_m]/(X_1^p, \dots, X_m^p)$是以$m\geq 2$为变量的截断多项式环.在最后一章中，我们假设$p>3$。证明了Premet关于Zassenhaus代数$W(1; n)$的最小$p$ -包络$W(…
New examples of Green functors arising from representation theory of semisimple Hopf algebras
研究了半单霍普夫代数表示的一般Mackey型分解.我们表明，这样的分解发生的情况下，该模块是从一个任意的Hopf子代数诱导，它被限制回一个群子代数。当这种分解发生的其他一些例子也被构造。它们产生于半单霍普夫代数的余表示范畴上的分次，并在文献中提供了格林函子的新例子。
Weak Hopf algebras corresponding to Cartan matrices
将有限维半单李代数${\frak g}$的量子化包络代数$U_q({\frak{g}})$的类群元替换为正则幺半群，得到弱霍普夫代数${\frak{w}}_q^{\sf d}({\frak g})$ .它是弱霍普夫代数的一个新子类，但不是霍普夫代数.然后构造了${\frak{w}}_q^{\sf d}({\frak g})$的一个基，并确定了当$q$不是单位根时，${\frak{w}}_q^{\sf d}({\frak g})$的弱霍普夫代数自同构群.
On derivations of subalgebras of real semisimple Lie algebras
设$\mathfrak{g}$是具有Iwasawa分解$\mathfrak{k} \oplus \mathfrak{a} \oplus \mathfrak{n}$的实半单李代数.我们证明了，除了一些明确的例外情况下，每个导子的幂零子代数$\mathfrak{n}$，保持其限制的根空间分解的形式$\text{ad}( W)$，其中$W \in \mathfrak{m} \oplus。
Cluster algebras of finite type via Coxeter elements and principal minors
给出了主系数位于任意非循环种子上的任意有限型簇代数的一致几何实现。该代数被实现为相同Cartan-Killing型的单连通半单代数群中某个既约双Bruhat胞的坐标环。在这种实现中，聚类变量表现为某些（广义）主子式。
Superderivations for Modular Graded Lie Superalgebras of Cartan-type
用统一的方法完全确定了特征$p>3$域上的八类有限维或无限维Cartan型分次李超代数的超导子：将无限维情形约化为有限维情形，并将有限维情形进一步约化为限制性情形，证明了这是更容易处理的.特别地，这些李超代数的外超导子代数是完全确定的。
Cartan-Weyl 3-algebras and the BLG Theory II: Strong-Semisimplicity and Generalized Cartan-Weyl 3-algebras
多重M2-膜的Bagger-Lambert-Gustavsson（BLG）理论中最重要的问题之一是Lie 3-代数的选择。李3-代数的选择应使相应的BLG模型是酉的，并承认模糊3-球作为一个解决方案。本文提出了另一个新的条件：所用的Lie 3-代数必须通过某种约化条件与描述D-膜的规范对称性的半单Lie代数相连。我们证明了这个约化条件导致了在arXiv：1004.1397中引入的Cartan-Weyl 3-代数的自然推广。与Cartan-Weyl 3-代数类似，广义Cartan-Weyl 3-代数处理一组以非退化根为特征的阶生成元。然而，它的Cartan子代数一般是非交换的。我们给出了为什么在相应的BLG模型中，有一个非交换的Cartan子代数可能正好允许模糊3球解的原因。我们提出广义Cartan-Weyl 3-代数是度量李3-代数的一个合适的类，可以用于BLG理论。
Infinitesimal deformations of restricted simple Lie algebras I
本文计算了两类Cartan型限制单模李代数：Witt-Jacobson李代数和特殊李代数的无穷小变形.
Pointed Hopf actions on fields, I
作者最近对交换整环上特征为零的代数闭域上的半单霍普夫代数H的作用进行了分类。答案很简单--如果动作是内在忠实的，那么H必须是一个群代数。这篇文章的贡献，非半简单的情况下，这是复杂得多。也就是说，我们研究有限维（不一定是半单的）霍普夫代数在交换域上的作用，特别是当H是有限Cartan型点时。这项工作开始时，减少到的情况下，H的行为内忠实的领域，这样的霍普夫代数被称为伽罗瓦理论。我们给出了这样的霍普夫代数的例子，其中包括Taft代数，u_q（sl_2），和其他小量子群的一些Drinfeld扭曲。我们也给出了许多有限维非伽罗瓦理论的霍普夫代数的例子。有限维有限Cartan型点伽罗瓦理论霍普夫代数的分类结果将在本研究的第二部分给出。
The structure of restricted Leibniz algebras
研究了限制Leibniz代数的结构。更具体地说，我们首先给出了限制Leibniz代数的等价定义，这比[6]中限制Leibniz代数的定义要容易得多。其次，得到了$p$ -映射和可限制Leibniz代数的一些性质，并讨论了含半单元的限制Leibniz代数。最后，确定了限制Leibniz代数的Cartan分解和分解的唯一性.
Semisimplicity criteria for irreducible Hopf algebras in positive characteristic
证明了有限维不可约正特征的霍普夫代数$H$是半单的当且仅当它是交换的半单的，当且仅当其基元的限制李代数$P(H)$是环面.这推广了Hochschild关于限制李代数的定理，也推广了Demazure，Gabriel和Sweedler关于群概型的结果，在增加了有限性假设的特殊但本质的情况下.
The Rank One property for free Frobenius extensions
第二作者的一个猜想，由Bonnafé-Rouquier证明，说限制有理Cherednik代数上的婴儿韦尔马模的重数矩阵在限制到代数的每个块时在$\mathbb{Q}$上秩为1。本文证明了：若$H$是正则中心子代数$R$上的自由Frobenius扩张的素代数，且$H$的中心是正规Gorenstein，则$H$的每个中心商$A$与$R$的极大理想$\mathfrak{m}$的商关于$A$的Cartan矩阵满足秩1性质.结果适用的例子包括分次Hecke代数、扩展仿射Hecke代数、单位根上的量子化包络代数、Gorenstein域的非交换crepant分解以及3维和4维PI Skylanin代数。特别地，由于限制有理Cherednik代数的重数矩阵具有秩1性质当且仅当其Cartan矩阵具有秩1性质，我们的结果为原猜想提供了不同的证明。
Maximal subalgebras of the exceptional Lie algebras in low characteristic
本文研究了正特征代数闭域中例外李代数的极大子代数。这首先是一个快速回顾的文章由Herpel和斯图尔特认为Cartan型极大子代数在例外的李代数的良好特性，然后文章由Premet考虑非半单极大子代数的良好特性。对于$p=5$，我们给出了一个例子，似乎是一个新的极大子代数中的例外李代数类型$E_8$。证明了该极大子代数同构于非限制Witt代数$W(1;2)$的$p$ -闭包.在此之后，我们完全集中在特征$p=2$和$p=3$给出的例子，新的非半单极大子代数的例外李代数。我们认为Weisfeiler过滤与这些极大子代数，留下许多悬而未决的问题。在$F_4$ for $p=3$和$E_8$ for $p=2$中有一两个简单极大子代数的例子。
Deformations of current Lie algebras. I. Small algebras in characteristic 2
我们计算了三维单代数上扩展的当前李代数的低次上同调，计算了相关半单李代数的形变，并将这些结果应用于绝对toral秩为2的单李代数的分类和具有toral秩为1的Cartan子代数的分类.一切都在特征2。
Simple Lie algebras of small characteristic V. The non-Melikian case
设L是特征p>3的代数闭域上的有限维单李代数。本文证明了：如果L的半单p-包络中的所有极大维数环面都是标准环面，则L同构于A_n，B_n，C_n，D_n，E_6，E_7，E_8，F_4，G_2型李代数或Cartan型滤子李代数。当p>5时，环面假设自动成立，我们的结果可以重述为：特征p>5的代数闭域上的有限维单李代数是经典的或Cartan型的.这个定理解决了Kostrikin-Shafarevich猜想（1966年）中最后剩下的p=7的情况。
Cartanification of contragredient Lie superalgebras
本文定义反变李超代数的 Cartan 化 $B^W$，推广张量层级代数构造，并证明其与同广义 Cartan 矩阵给出的 $W$ 同构的条件。
Tensor hierarchy algebras and restricted associativity
我们研究局部代数，这是类似于$\mathbb{Z}$ -分次代数的结构集中在度$-1,0,1$，但没有一个产品定义的元素对在相同的程度$\pm1$。对于由一个具有可逆和对称的Cartan矩阵的Kac-Moody代数$\mathfrak{g}$、$\mathfrak{g}$的一个优势整权和$\mathfrak{g}$上的一个不变对称双线性型组成的任意三元组，我们将一个满足限制结合性的局部代数联系起来.从它出发，我们通过一个交换子构造得到了一个局部李超代数。在一定的条件下，我们确定的发电机，我们表明满足的关系的张量层次代数$W$以前定义的相同的数据。结果表明，一个底层结构满足这样的限制结合性可能是有用的应用张量层次代数的扩展几何。
The nilpotent variety of $W(1;n)_{p}$ is irreducible
在20世纪80年代后期，Premet证明了特征为$p>0$的代数闭域上的有限维限制李代数的幂零簇是不可约的。这个猜想仍然是开放的，但已知它对一大类单限制李代数成立，例如对连通约化代数群的李代数，以及对Cartan级数$W, S$和$H$成立。本文在$p>3$的假设下，证明了Zassenhaus代数$W(1;n)$的最小$p$ -包络$W(1;n)_p$对所有$n\geq 2$的猜想.
Cluster algebras II: Finite type classification
本文继续了在math.RT/0104151中开始的对簇代数的研究。其主要结果是有限型簇代数的完全分类，即，那些有很多簇的。这种分类与半单李代数和有限根系的Cartan-Killing分类是相同的，这是有趣的，因为在大多数情况下，簇代数的Cartan-Killing型所表现出的对称性从其几何起源来看根本不明显。有限型的簇代数背后的组合结构被其簇复形捕获。我们确定这个复杂的正规风扇的广义associahedron介绍和研究在hep-th/0111053和数学。CO/0202004。另一个重要的组合成分，我们的论点是一个新的特征的Dynkin图。
Semisimple Hopf algebras and their depth two Hopf subalgebras
证明了半单霍普夫代数H的深度为2的Hopf子代数K是正规的（其中基域$k$是特征零代数闭的）.这意味着，一方面，一个Hopf子代数是正常的，当诱导（然后限制）模几次，而不是一次创建没有新的简单成分。这一观点是采取的文件http://arxiv.org/abs/math/0409346建立了正规性的结果的情况下H和K是有限群代数。另一方面，这意味着当H| K是关于广义双代数如双代数胚、弱霍普夫代数或Hopf代数胚作用的Galois扩张。本文采用深度为2的广义Galois图的观点：在证明中心化子R是可分代数后，利用Hopf不变量理论计算出深度为2的半单霍普夫代数对H| K是自由的Frobenius扩张，其马尔可夫迹满足Kadison和Nikshych，Frobenius扩张和弱霍普夫代数，J.代数244（2001）中考虑的所有假设。根据文中的主要定理，它是一个具有半单弱霍普夫代数（也是正则的，具有Haar积分）作用的Galois扩张.然后利用限制在积分上的Galois标准同构（通过核理论）将霍普夫代数的代数同态诱导为具有核HK^+ = K^+H的弱霍普夫代数.
Kostant theorem for special filtered algebras
Kostant的一个著名结果是半单复李代数的泛包络代数是其中心上的自由模。我们对一类滤过代数证明了这个结果的一个类似结果，并将它应用于证明与一般线性李代数相联系的限制流代数的限制Yangian和泛包络代数在其中心上的自由性.
On Artinian Rings with Restricted Class of Injectivity Domains
在Alahmadi，Alkan和Lopez-Permouth最近的一篇论文中，环R被定义为没有（单）中间类，如果任何（单）R-模的内射性域是最小或最大可能的。Er，Lopez-Permouth和Sokmez利用这种限制内射性域类的思想对环进行分类，并给出了无中间类环的一个部分刻画。在本书中，我们继续研究没有（简单）中产阶级的性质。给出了不含右中间类的右Artin右非奇异环的结构刻画.我们还给出了右Artin环的一个特征，这不是SI没有中间类，这引起了环的充分特征没有中间类。进一步证明了不含中间类的交换环是分解为一个半单环与一个合成长度为2的环之和的Artin环.此外，没有简单的中产阶级的Artin环的特点。我们证明了我们的结果与几个例子。
Weyl groups of fine gradings on simple Lie algebras of types A, B, C and D
给定一个非结合代数的阿贝尔群的分次，我们有两个子群的自同构附加到它：稳定每个齐次分量（作为子空间）的自同构和置换分量的自同构。分次的外尔群是指后者子群与前者的商。在半单复李代数的Cartan分解的情况下，这是根系的自同构群，即，即所谓的扩展外尔群。一个等级如果不能被细化，就被称为精细。本文计算了特征不等于2的代数闭域上A、B、C、D型单李代数（除D4外）的所有细分次外尔群。
Nilpotent Decomposition of Solvable Lie Algebras
半单李代数已被Cartan和Killing完全分类。Levi定理指出每个有限维李代数同构于它的最大可解理想和半单李代数的半直和。可解李代数的分类是李代数研究的主要挑战之一。实现这一任务的一种方法是取一类幂零李代数，并构造这些代数到可解代数的所有扩张。在本文中，我们提出了另一种方法，即，将一个可解非幂零李代数分解为两个幂零李代数，称为可解代数的左、右幂零代数。右幂零代数是可解代数的下中心序列的最小理想，而左幂零代数幂零代数是可解代数及其右幂零代数幂零代数的因子代数。证明了可解代数是可分解的，如果它的左幂零代数是大于1维的Abel代数，它的右代数是1维的Abel代数。进一步证明了如果左幂零代数是固定维数的Heisenberg代数，右代数是一维Abel代数，则所有的可解代数都是同构的。
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