On a variational problem related to NLS on Hyperbolic space
Chenjie Fan, Peter Kleinhenz
受NLS的启发，我们研究了双曲空间上的一个变分问题。特别地，我们计算了它的最小值，并且证明了最小值不存在
Motivated by NLS, We study a variational problem on hyperbolic space. In particular, we compute its minimum value and we show the minimizer does not exist
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the high-low method for NLS on the hyperbolic space
本文首先证明了二维双曲空间上具有径向初值的三次散焦非线性薛定谔方程在$H^s(\mathbb{H}^2)$中是整体适定的，当$s > \frac{3}{4}$ .然后将结果推广到$p>3$阶非线性方程.在双曲情形下推广了Bourgain的高低法，并利用第一作者和Ionescu证明的Morawetz型估计证明了这一结果。
Compactons and their variational properties for degenerate KdV and NLS in dimension 1
本文分析了一类KdV型和NLS型退化色散方程的驻波解和行波解。与非退化KdV和NLS方程的标准孤子解形成鲜明对比的是，这里研究的椭圆算子的退化允许紧支撑的稳定或旅行状态。当我们在$1$维中工作时，ODE方法适用，然而所考虑的模型具有形式上守恒的哈密顿量、质量和动量泛函，这也允许变分分析。
Global existence, scattering and blow-up for the focusing NLS on the hyperbolic space
证明了双曲空间上能量亚临界聚焦非线性薛定谔方程的整体适定性、散射和爆破结果。我们特别表明存在一个关键的元素散射的所有能量亚临界功率非线性。对于质量超临界非线性，我们显示了散射与爆破二分法的径向解决方案的方程在低维，低于自然的质量和能量阈值的基态方程。证明是基于质量和能量，紧性和刚性的陷阱，并类似于欧几里得空间上的，一个新的论点，基于广义Pohozaev恒等式，以获得适当的单调性公式。
Solitary waves in nonlocal NLS with dispersion averaged saturated nonlinearities
研究了色散平均饱和型非线性薛定谔方程。这种非局部NLS是积分-微分型的，并且它自然地出现在具有周期性变化的色散分布（色散管理）的光纤通信系统的建模中。相关的约束变分原理示出通过构造一个收敛的极小化序列通过应用类似于经典的浓度紧致原理的Lions的方法，以消除基态解。应用这种变分方法的障碍之一是饱和非局部非线性不一致满足所谓的严格次可加性条件。这是克服应用特殊版本的Ekeland的变分原理。
Variational and stability properties of constant solutions to the NLS equation on compact metric graphs
研究一般紧度规图上的纯幂非线性薛定谔方程，特别是它的固定质量定常解.由于图是紧的，对于每一个质量值，都有一个常数解。我们的范围是分析（依赖于质量）的变分性质的解决方案，作为一个临界点的能量泛函：局部和全局极小，（轨道）稳定性。我们认为这两个亚临界政权和关键的，其中的图形的功能成为相关的。我们描述了上述性质如何根据图的拓扑结构和度量性质而变化。
Norm inflation for the cubic hyperbolic NLS on $\mathbb T^2$
研究 $\mathbb T^2$ 上三次双曲非线性薛定谔方程在 $H^s$ 空间中的范数膨胀，证明对 $s\in(-\infty,0)\cup(0,\frac12]$ 发生范数膨胀，揭示了标度临界点以下和以上两种不同机制导致的强不适定性。
Radial standing and self-similar waves for the hyperbolic cubic NLS in 2D
本文提出一种新的坐标系来研究二维双曲或非椭圆三次非线性薛定谔方程。基于这些坐标，我们研究了有界连续双曲径向驻波的存在性，以及双曲径向自相似解的存在性。许多参数可以很容易地适用于更一般的非线性。
Periodic Cubic Hyperbolic Schrödinger equation on $\T^2$
本文考虑环面$\T^2$上的三次双曲薛定谔方程\eqref{eq:nls}.我们证明了$L^4$的Sharphartz估计，这意味着\eqref{eq:nls}在有$s>1/2$的$H^s(\T^2)$中是解析的局部适定性，同时也得到了$s<1/2$在$H^s(\T^2)$中的不适定性.主要的困难来自于估计一个整数作为平方差的表示的数量。
$\text{L}^2$ solutions for cubic NLS equation with fractional elliptic/hyperbolic operators on $\mathbb{R}\times\mathbb{T}$ and $\mathbb{R}^2$
本文针对圆柱和平面上的三次薛定谔方程，利用 Strichartz 不等式证明分数阶导数参数大于1时的 L² 全局适定性，并指出椭圆和双曲情形下参数范围的限制。
Dispersive estimates and NLS on product manifolds
在乘积流形上的Schroedinger型方程满足适当的色散估计的条件下，证明了该方程的一般色散估计。其中的应用包括欧几里得空间上的两粒子Schroedinger方程，以及两个实双曲空间乘积上的非线性Schroedinger方程。
On scattering for NLS: from Euclidean to hyperbolic space
本文证明了在径向情况下，在空间维数至少为4的情况下，对于任意能量亚临界、散焦、幂次非线性，双曲空间上的非线性薛定谔方程在能量空间中的渐近完备性.证明是基于简单的Morawetz估计和加权Morawartz估计。我们研究了在欧氏空间和双曲空间之间插值的空间上的同样问题，表明当空间接近双曲空间时，短程非线性族变得越来越大.最后，我们描述了自由动力学径向解的大时间行为。
A Hyperbolic Approximation of the Nonlinear Schrödinger Equation
本文提出NLS方程的一阶双曲近似，证明其严格双曲性、修正哈密顿结构与守恒量，给出驻波解并发展渐近保持离散格式，数值实验验证了聚焦与散焦情形下的精确近似。
Some special solutions to the Hyperbolic NLS equation
双曲非线性薛定谔方程（HypNLS）是三维窄带深水重力波动力学的一个模型。在这项研究中，Petviashvili方法被用来数值计算双周期的HypNLS方程的时间谐波解。在物理空间中，它们代表非定域的驻波。非平凡的空间模式被揭示，并试图用符号动力学和语言的替代来描述它们。最后，利用高精度傅立叶解算器对微扰驻波的动力学进行了数值研究。
Variational and stability properties of coupled NLS equations on the star graph
本文研究了星图上带δ耦合的双耦合NLS方程的变分与稳定性，证明了三次情形下基态存在性，并分析了一般幂次非线性下单分量与两分量驻波的稳定性。
Dynamical and variational properties of the NLS-$δ'_s$ equation on the star graph
研究了由$N$半线组成的星图$Γ$上强度为$β\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$的$δ'_s$耦合的非线性薛定谔方程.在本文的第一部分中，在一定的限制$g(u)=|u|^{p-1}u, p>1.$，我们证明了存在的基态解作为一个极小的作用泛函$S_ω$的Nehari流形。看来，家庭的临界点，其中包含一个基态的$N$配置文件（一个对称和$N-1$不对称）。特别地，对于有吸引力的$δ'_s$耦合（$β<0$）和高于某个阈值的频率$ω$，我们设法指定基态。第二部分研究临界点的轨道不稳定性。利用Grillakis/Jones不稳定性定理证明了临界点的谱不稳定性。那么$p>2$的轨道不稳定性来自于这样一个事实，即与方程相关的数据-解映射是$H^1(Γ)$中的$C^2$类。此外，对于$p>5$，我们完成和concentize不稳定性的结果，显示出强不稳定性（在有限时间内爆破）的特定的临界点。
The NLS ground states on product spaces
研究了积空间$\R^n\times M^k$上非线性薛定谔方程基态的性质，其中$M^k$是紧致的黎曼流形.我们证明了小$L^2$质量的基态与相应的$\R^n$基态相一致。我们还证明了在临界质量以上的基态有非平凡的$M^k$依赖。最后，我们解决了Cauchy问题的问题，将变分分析转化为动力学稳定性结果。
A variational problem associated to a hyperbolic Caffarelli--Kohn--Nirenberg inequality
证明了双曲空间中的一个Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式.对一类含加权Laplace-Beltrami算子的半线性椭圆型方程，在亚临界区域变分地建立了正径向解的存在性.当指数为超临界时，我们还得到了在星形区域中不存在的结果。
Blow-up and strong instability of standing waves for the NLS-$δ$ equation on a star graph
研究了星图$Γ$上具有$δ$ -相互作用的非线性薛定谔方程驻波的强不稳定性（爆破）.关键成分是一种新的变分技术应用于驻波的解决方案是一个特定的变分问题的最小值。我们还证明了相应的柯西问题的自伴算子定义的$δ$ -相互作用的域中的适定性。这允许证明维里身份的$H^1$ -柯西问题的解决方案。我们还证明了NLS- $δ'$方程在直线上的驻波的某些强不稳定性结果。
Existence of energy-variational solutions to hyperbolic conservation laws
本文引入了双曲型守恒律能量变分解的概念。这些能量变分解满足弱-强唯一性原理和半流性质，且解集是凸的和弱星闭的。在一定的假设下，通过适当的时间离散格式证明了能量变分解的存在性。这个一般结果产生的能量变分解的存在性磁流体动力学方程的理想不可压缩流体和欧拉方程在不可压缩和可压缩的情况下。此外，我们还证明了欧拉方程的能量变分解与耗散弱解是一致的。
A variational approach to hyperbolic evolutions and fluid-structure interactions
我们介绍了一个两个时间尺度的计划，它允许扩展的方法，最小化运动的双曲问题。该方法被用来显示弱解的存在性之间的非线性，粘弹性，$n$ -维大块固体的双曲型发展和不可压缩流体的（$n$ -维）斯托克斯方程的$n\geq 2$的流体-结构相互作用问题。
A variational scheme for hyperbolic obstacle problems
考虑一类波动方程的障碍问题（可能是非局部的），通过基于时间离散逼近的凸极小化方法证明了弱解的存在性.我们提供了相应的数值实现，并提出了一些悬而未决的问题。
Variational formulation for fractional hyperbolic problems in the theory of viscoelasticity
在这篇文章中，一个理论框架的问题，涉及双曲型所产生的粘弹性理论的分数方程。基于Galerkin方法，研究了分数阶粘弹性的一个变分问题。引入适当的泛函设置，建立了弱解的存在性、唯一性和先验估计.这一框架的发展与粘弹性理论的重要物理量密切一致
Variational formulation of hyperbolic conservation laws
本文通过变分公式推导熵函数，而非施加熵条件，从而解决了Friedrichs关于对称性的问题，并推导出Dafermos的最大熵产生原理。
Existence and orbital stability of the ground states with prescribed mass for the L^2-critical and supercritical NLS on bounded domains
研究了酉球上具有给定质量和Dirichlet齐次边界条件的半线性椭圆型方程的解。在有界区域上搜索具有Sobolev次临界幂非线性项的非线性薛定谔方程（NLS）的孤波解时，出现了这样的问题。给出了此类解存在的充要条件。此外，我们还证明了当非线性为L^2-临界和亚临界时，与最小能量解相关的驻波总是轨道稳定的，而在L^2-超临界区域它们几乎总是稳定的。证明是结合研究一个变分问题而得到的，该变分问题具有两个独立的约束条件：在具有规定的L^2和H^1_0-范数的函数中最大化L^{p+1}-范数。
Variational properties and orbital stability of standing waves for NLS equation on a star graph
研究了星图{ $\mathcal{G}$ }上非线性薛定谔方程的驻波，星图{$N$}是由半直线组成的.在顶点处发生相互作用，该相互作用由强度为$α\leqslant 0$的δ型边界条件描述。非线性是聚焦功率型的。动力学由形式为$ i \frac{d}{dt}Ψ_t = H Ψ_t - | Ψ_t |^{2μ} Ψ_t $的方程给出，其中$H$是产生线性薛定谔动力学的哈密顿算子。我们表明存在的几个家庭的驻波的每一个符号的耦合在顶点的每一个$ω> \frac{α^2}{N^2}$。此外，我们确定的基态，作为最小化的Nehari流形上的行动，并命令的各个家庭。最后，我们表明，基态是轨道稳定的每个允许的$ω$，如果非线性是亚临界或临界的，否则为$ω<ω^\ast$。
Formation and construction of large variational shock waves for 1-D $n\times n$ quasilinear hyperbolic conservation systems
本文针对一维拟线性双曲守恒系统，在简单波解非退化且特征值真正非线性条件下，从爆破点构造大变分激波。
The monotonicity conjecture and stability of solitons for the Cubic-Quintic NLS on R^3
本文通过交叉约束变分问题、能量极小元唯一性及几何谱分析，解决 R^3 上三次–五次 NLS 的单调性猜想，并分类各频率孤子的稳定性。
Rigorous justification of the Whitham modulation theory for equations of NLS type
研究了非线性薛定谔方程周期行波解的调制稳定性。特别是，我们证明了从慢调制近似产生的准线性系方程组的特性满足相同的方程，直到变量的变化，作为跨越原点的线性化谱的标准形。这个规范形式取自arXiv：1910.05392，其中Leisman等人通过分析Jordan链计算原点附近线性化算子的谱。我们推导出调制方程使用惠特姆的正式调制理论，特别是变分原理适用于平均拉格朗日。我们利用Leisman等人的严格理论中假设的普适性条件来指导调制方程的均匀化。由于特征方程与线性理论的规范形之间的一致性，我们证明了Whitham系统的双曲性是底层波调制稳定的必要条件。
WKB analysis of non-elliptic nonlinear Schrodinger equations
我们证明了广义非线性Schr{<$}dinger方程（NLS）的WKB分析，包括双曲NLS和Davey-Stewartson II系统.由于该分析中的首阶系统不是双曲的，因此我们使用解析正则性，解析性半径随时间衰减，以获得更好的能量估计。这提供了定性的信息，其中全球适定性在索伯列夫空间是广泛开放的方程。
Hyperbolic structure for a simplified model of dynamical perfect plasticity
本文讨论了动力完全塑性问题的两种不同的研究方法。解释这个模型作为一个约束的边界值弗里德里希系统，使一个可以得到允许的双曲边界条件。利用变分方法，我们在适当的弱测度理论下证明了该问题的适定性。由于有限速度传播的性质，我们在短时间内建立了解的一个新的正则性结果。最后，我们证明了这个变分的解决方案实际上是一个解决方案的双曲制定在一个适当的耗散/熵的意义上，和一个部分相反的陈述下，一个额外的时间正则性假设的耗散解决方案。
Rearrangements and radial graphs of constant mean curvature in hyperbolic space
研究了在双曲空间中寻找常中曲率的光滑超曲面的问题，这些超曲面可以表示为上半球子域上的径向图。我们的方法是变分和我们的主要结果证明通过重排技术。
Variational Approach to Complicated Similarity Solutions of Higher-Order Nonlinear PDEs. II
一些高阶拟线性抛物型，双曲型和非线性色散方程，承认各种爆破，灭绝，行波解，这减少到变分问题承认可数家庭的紧支撑解决方案。
Dissipative boundary conditions and entropic solutions in dynamical perfect plasticity
在应力约束集和参考位形的一般假设下，证明了动力学理想塑性模型的适定性。结合变分法和双曲型方法对该问题进行了研究。双曲点的观点使人们能够导出一类耗散边界条件，某种程度上介于齐次狄利克雷和诺依曼之间。利用变分方法，我们证明了解的存在唯一性。然后，我们建立了原来的变分解和广义熵耗散的，来自一个弱双曲型的初边值Friedrichs系统的凸约束之间的等价性。
On a general variational framework for existence and uniqueness in Differential Equations
从经典的压缩映射原理出发，我们建立了一个通用的，灵活的，变分的设置，原来是适用于微分方程的存在的许多情况。我们展示了它的潜力与一些选定的例子，包括初值，柯西问题常微分方程;非线性，单调偏微分方程;线性和非线性双曲问题;和稳定的Navier-Stokes系统。
Standing waves with prescribed mass for NLS equations with Hardy potential in the half-space under Neumman boundary condition
该研究针对半空间中带Hardy势的NLS方程的Neumann问题，结合Ekeland变分原理与含Morse指标的参数化极小极大原理，证明了两类指定质量规范化驻波解的存在性，构建了适用于更一般非线性项的半空间Hardy型系统变分研究框架。
Convergence analysis of a variational quasi-reversibility approach for an inverse hyperbolic heat conduction problem
本文研究了基于Maxwell-Cattaneo非傅立叶热定律模型的时间反演双曲型热传导问题。该热质扩散问题是一个双曲型方程，适用于具有热记忆或有限时滞热流的热力学系统，其中Fourier或Fick定律已被实验数据证明是不成功的。在这项工作中，我们表明，我们最近的变分准可逆性方法的经典时间反演的热传导问题，它服从傅立叶或菲克定律，可以适应于应付这种双曲的情况。我们建立了一个通用的正则化方案，在这个意义上，我们扰动两个空间运营商参与偏微分方程。在Carleman权函数的驱动下，利用自然能量方法证明了该正则格式的适定性.在混合$L^2$ -$H^1$空间中证明了Hölder收敛速率.
Nonlinear Schrödinger equation on real hyperbolic spaces
考虑实双曲空间上不带径向假设的薛定谔方程。我们得到了一个大家庭的容许对尖锐的色散和Eschenhartz估计。作为第一个结果，我们得到了NLS的强适定性结果。具体地说，对于小的初始数据，我们证明了$L^2$和$H^1$的全球适定性的任何亚临界非线性（与欧几里德的情况相比）和非线性$F$没有规范不变的假设。另一方面，如果$F$是规范不变的，则$L^2$电荷是守恒的，因此，与欧几里德情形一样，有可能将局部$L^2$解扩展到全局解。$H^1$中相应的论证需要能量守恒，这在$F$散焦的更强条件下成立。回想一下，Banica、Carles和Staffilani已经证明了规范不变情形下的整体适定性，分别针对小径向$L^2$数据和大径向$H^1$数据。第二个重要的应用，我们的全球Eschenhartz估计是“散射”的NLS在$L^2$和$H^1$，没有径向或规范不变的假设。注意，在欧几里得情形下，这只对临界幂$γ=1+\frac4n$是可能的，对次临界幂可能是假的，而在双曲空间上，小$L^2$解的整体存在性和分散性对所有幂$1<γ\le1+\frac4n$都成立。如果我们限制到散焦非线性$F$，我们可以将Banica，Carles & Staffilani的$H^1$散射结果推广到非径向情况。此外，短程和长程非线性之间不再有区别：双曲空间的几何使得每一个幂型非线性都是短程的。
Newton's second law as limit of variational problems
该研究证明经典牛顿第二定律对应的常微分方程柯西问题的解，可由指数加权凸变分积分的极小值点取极限得到，补充了拉格朗日力学与双曲方程的加权惯性能量方法的已有成果。
Fourier-Cattaneo equation: stochastic origin, variational formulation, and asymptotic limits
我们引入了一个变分结构的Fourier-Cattaneo（FC）系统，这是一个二阶双曲型系统。这种变分结构的灵感来自于与FC系统密切相关的Kac过程的大偏差率泛函。使用这种变分制剂，我们引入适当的解决方案的FC方程的概念，并证明了一个先验估计连接到一个适当的李雅普诺夫函数和Fisher信息，这个变分结构，所谓的FIR不等式。最后，我们利用这个公式和估计来研究FC系统的扩散极限和双曲极限。
Variational approach to complicated similarity solutions pf higher-order nonlinear PDEs. I
本文证明了三类高阶非线性抛物型、双曲型和非线性色散方程存在由非Lipschitz非线性椭圆型方程导出的精确爆破解或Blockton解.变分技术给出了可数族的各种紧支解，这些解具有靠近界面的振荡行为。总的来说，这一整套紧凑的模式揭示了某些混乱的性质，并包含任意复杂性的解决方案。
A minimization approach to hyperbolic Cauchy problems
发展了De Giorgi的一种新的纯变分方法，研究了一类散焦双曲型方程的Cauchy问题.主要的新特点是，解决方案是作为限制的功能，最大限度地减少适当的泛函在时空（其中的初始数据的柯西问题作为规定的边界条件）。这为双曲世界和变分法之间的新联系开辟了道路。也可以处理耗散方程。最后，我们讨论了几个例子的方程，适合在这个框架中，包括非局部方程，特别是分数拉普拉斯方程。
Hyperbolic solutions to Bernoulli's free boundary problem
Bernoulli自由边界问题是一个超定问题，其中寻找一个环形区域，使得电容势满足一个额外的边界条件。存在两种不同类型的解，称为椭圆解和双曲解。椭圆型解是“稳定”解，可以用变分方法和最大值原理处理，而双曲型解是“不稳定”解，其定性行为不太清楚。基于抛物极大正则性，我们引入了一个新的隐函数定理，该定理适用于导数损失的问题。利用调和分析阐明了相应线性化算子的谱结构，证明了在同一正则类中，双曲型解和椭圆型解的存在性.
Alexandrov-Fenchel inequalities for capillary hypersurfaces in hyperbolic space
本文通过构造新的局部约束逆曲率流，建立双曲空间中凸毛细超曲面的 Alexandrov-Fenchel 不等式，并推广 Brendle-Guan-Li 关于凸闭超曲面的结果。
Poincaré-Sobolev equations with the critical exponent and a potential in the hyperbolic space
本文研究双曲空间中具有临界索博列夫指数和非平凡位势的庞加莱-索博列夫方程，通过基于无穷远处临界点的形变型论证克服集中现象，在 N>6 时获得解的存在性。
More on Stochastic and Variational Approach to the Lax-Friedrichs Scheme
本文扩展了Lax-Friedrichs格式的随机与变分方法，证明了其时间全局稳定性、长时间行为及误差估计，并应用于弱KAM理论的数值分析。
Stochastic and variational approach to finite difference approximation of Hamilton-Jacobi equations
本文提出一种随机与变分方法，用于高维情况下超线性Hamiltonian的Hamilton-Jacobi方程的有限差分方案稳定性与收敛性分析，同时近似粘性解及其空间导数和后向特征曲线。
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