Asymptotic stability for standing waves of a NLS equation with concentrated nonlinearity in dimension three. II
研究了三维空间中具有空间集中非线性项的薛定谔方程模型的驻波的渐近稳定性。所研究的非线性是一个幂非线性集中在点$x=0$考虑接触（或$δ$）与强度$α$相互作用，并让强度$α$依赖于波函数在一个规定的方式获得。对于$(\frac{1}{\sqrt 2},1)$范围内的功率非线性，存在轨道稳定的驻波$Φ_ω$，并且围绕它们的线性化允许两个虚本征值，这两个虚本征值原则上可以对应于非衰减状态，因此防止向平衡轨道的渐近松弛。不使用费米黄金法则，我们证明了，在一定的$σ^* \in (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3} +1}{2 \sqrt{2}}]$的$(\frac{1}{\sqrt 2},σ^*)$范围内，驻波轨道附近的动力学渐近松弛到一个稳定的状态。与该领域的主要结果不同，所承认的非线性是$L^2$ -亚临界的。
2015-07-17 math-ph math.AP math.MP
Rogue waves on the background of periodic standing waves in the derivative NLS equation
微分非线性薛定谔（DNLS）方程是研究等离子体物理和光学中非线性波动力学的正则模型。本文研究DNLS方程在周期驻波背景下描述流氓波的精确解。我们表明，只有当周期性的驻波是调制不稳定的流氓波的时空本地化是可能的。如果周期驻波是调制稳定的，流氓波解退化为代数孤子沿背景传播，并与周期驻波相互作用。流氓波的最大振幅被发现解析和数值确认。
2021-03-16 math-ph math.AP math.MP
Modulational instability of periodic standing waves in the derivative NLS equation
研究了等离子体物理中微分非线性薛定谔方程中的周期驻波。通过使用一种新发展的代数方法与两个特征值，我们分类所有的周期性驻波在八个特征值的Kaup-Newell频谱问题位于端点的谱带外的实线。分析工作与谱带的数值近似相补充，这使我们能够充分表征DNLS方程中周期性驻波的调制不稳定性。
2021-03-16 math-ph math.AP math.DS
Standing lattice solitons in the discrete NLS equation with saturation
考虑了离散非线性饱和薛定谔方程（NLSS）的格子孤立子，其中最近发现了所谓的透明点。这些透明点是控制参数的值（例如，晶格间距），对于该晶格间距，Peierls-Nabarro势垒消失。为了解释透明点的存在性，我们研究了连续NLSS中的孤立波解，并分析了其解析延拓在复平面上的奇异性。最接近实轴的对数奇点的四元组的存在被证明和应用到两个设置：（i）四阶微分方程作为离散NLSS的下一阶连续近似和（ii）离散NLSS的超前延迟版本。
2018-09-28 math-ph math.CA math.MP
An overview on the standing waves of nonlinear Schrödinger and Dirac equations on metric graphs with localized nonlinearity
本文对具有局部非线性度规图上的非线性薛定谔方程和非线性狄拉克方程（NLSE/NLDE）驻波的存在性和不存在性作了一个简要的综述.我们首先关注NLSE，无论是在亚临界和临界的情况下，然后对NLDE，突出的相似性和差异与NLSE。最后，我们展示了这两个方程在非相对论极限下的关系，证明了束缚态的收敛性。
2019-01-09 math-ph math.AP math.FA
Orbital and asymptotic stability for standing waves of a NLS equation with concentrated nonlinearity in dimension three
本文研究了一类具有三维集中非线性项的薛定谔方程模型的驻波的轨道稳定性和渐近稳定性。非线性得到考虑{点}（或接触）与强度$α$的相互作用，其中包括由自伴算子$H_α$描述的拉普拉斯算子的奇异摄动，其中强度$α$取决于波函数：$i\dot u= H_αu$，$α=α(u)$。如果$q$是所谓的域元素$u$的电荷，即其奇异部分的系数，我们让强度$α$根据规律$α=-ν|q|^σ$依赖于$u$，其中$ν> 0$。这表明该模型是一个具有幂型非线性的聚焦NLS模型。对于这样一个模型，我们证明了存在的驻波的形式$u (t)=e^{iωt}Φ_ω$，这是轨道稳定的范围内$σ\in (0,1)$，轨道不稳定的$σ\geq 1.$此外，我们表明，对于$σ\in (0,\frac{1}{\sqrt 2})$每个驻波是渐近稳定的以下意义。选择初始数据接近稳态的能量范数，并属于一个自然的加权$L^p$空间，允许色散估计，以下决议持有：$u(t) = e^{iω_{\infty} t} Φ_{ω_{\infty}} +U_t*ψ_{\infty} +r_{\infty}, \quad \textrm{as} \;\; t \rightarrow +\infty$，其中$U$是自由薛定谔传播，$ω_{\infty} > 0$和$ψ_{\infty}$，$r_{\infty} \in L^2(\R^3)$与$\|…
2012-11-16 math-ph math.AP math.MP
Instability of ground states for the NLS equation with potential on the star graph
研究星图$Γ$上具有任意实势$V(x)\in (L^1+L^\infty)(Γ)$的非线性薛定谔方程.在顶点处发生由强度为$-γ<0$的广义基尔霍夫条件描述的相互作用。我们证明了基态$φ_ω(x)$的存在性作为极小的作用功能的Nehari流形下额外的负性和衰减条件$V(x)$。此外，对于$V(x)=-\dfracβ{x^α}$，在超临界的情况下，我们证明了驻波$e^{iωt}φ_ω(x)$是轨道不稳定的$H^{1}(Γ)$，当$ω$足够大。对于任意的$γ\in\mathbb{R}$，当驻波具有对称轮廓时，类似的结果也成立.
2021-02-24 math-ph math.AP math.MP
Standing waves of the quintic NLS equation on the tadpole graph
蝌蚪图由一个圆和一条连接在顶点上的半直线组成。本文研究了具有五次幂非线性项的非线性薛定谔方程的驻波问题，在方程的顶点处满足Neumann-Kirchhoff边界条件。具有频率$ω\in (-\infty,0)$的驻波的轮廓被表征为能量的二次部分被约束到$L^6$中的单位球的全局最小值。极小值集包括系统的基态集，它们是在恒定质量下能量的全局极小值（$L^2$ -范数），但它实际上更宽。虽然基态只存在于一定的质量间隔，驻波存在于每个$ω\in (-\infty,0)$，并对应于一个更大的质量间隔。结果表明，存在临界频率$ω_0$和$ω_1$，使得驻波是$ω\in [ω_0,0)$的基态，$ω\in (ω_1,ω_0)$的等质量能量的局部极小值，以及$ω\in (-\infty,ω_1)$的等质量能量的鞍点.证明利用变分方法和微分方程的分析理论。
2020-09-10 math-ph math.AP math.DS
A Centre-Stable Manifold for the Focussing Cubic NLS in $R^{1+3}$
考虑$R^3$中的聚焦立方非线性薛定谔方程：$$ iψ_t+Δψ= -|ψ|^2 ψ. $$它允许形式为$e^{itα}ϕ$的特解，其中$ϕ$是Schwartz函数和正的$$ -Δϕ+ αϕ= ϕ^3. $$的（$ϕ>0$）解所有这些解的空间，以及通过重新标度和应用相位和伽利略坐标变化从它们获得的那些解的空间，称为驻波，是由$e^{i(v \cdot + Γ)} ϕ(\cdot - y, α)$形式的函数组成的八维流形。我们证明了任何解决方案开始充分接近驻波的$Σ= W^{1, 2}(R^3) \cap |x|^{-1}L^2(R^3)$规范和位于一定的余维一个本地Lipschitz流形上存在的时间和收敛到一个点上的驻波流形。此外，我们证明了$\mc N$在Hamilton流下是局部时间不变的，并且是Bates，Jones意义下的中心稳定流形。证明是基于调制方法介绍的索弗和温斯坦的$L^2$ -亚临界的情况下，适应施拉格的$L^2$ -超临界的情况下。证明的一个重要部分是$R^3$中非自伴薛定谔算子的Keel-Tao端点的Schehartz估计，该估计是通过在驻波解附近线性化得到的。
2007-01-28 math-ph math.AP math.MP
On the standing waves of the Schroedinger equation with concentrated nonlinearity
我们研究了由分数拉普拉斯算子$(-Δ)^s, s>\frac{n}{2}$驱动的具有幂次非线性的${\mathbf R^n}$上的集中NLS。我们明确地构造孤波，在一个最佳的参数范围内，使它们属于自然的能量空间$H^s$。接下来，我们提供了一个完整的分类，他们的光谱稳定性。最后，我们证明了波是非退化的，因此轨道稳定，只要他们是谱稳定的。顺便说一句，我们的建设表明，孤子的配置文件，集中NLS实际上是精确的最小值的Sobolev嵌入$H^s({\mathbf R^n})\hookrightarrow L^\infty({\mathbf R^n})$，这提供了一个替代的计算和理由，这些不等式中的尖锐常数。
2020-09-15 math-ph math.AP math.MP
Hamiltonian Hopf bifurcations and chaos of NLS/GP standing-wave modes
我们研究了由于Hamilton Hopf（HH）分叉-虚轴上特征值对的碰撞而产生的非线性薛定谔/Gross-Pitaevskii方程的解的动力学。为此，我们使用逆散射来构建该模型的局部势，从而以可预测的方式导致HH分叉。我们执行一个正式的减少从偏微分方程（PDE）的一个小系统的常微分方程（ODE）。我们数值计算表明，PDE的行为是很好的近似的ODE和都显示哈密顿混沌。我们分析的常微分方程推导出HH分叉的条件，并使用平均来解释我们观察到的数值动力学的某些功能。
2011-01-31 math-ph math.MP nlin.CD
Coordinates at small energy and refined profiles for the Nonlinear Schrödinger Equation
本文给出了我们在\cite{CM15APDE}中给出的非线性薛定谔方程（NLS）小能量解驻波选择定理的一个新的简化证明。我们考虑一个NLS与薛定谔算子与几个特征值，与相应的家庭的小驻波，我们表明，任何小能量的解决方案收敛到轨道的时间周期解加上散射项。新的想法是考虑“细化的配置文件”，一个准-周期函数的时间几乎解决了NLS和编码的离散模式的解决方案。通过初等方法得到的精细轮廓，直接给我们一个最佳坐标系，避免了\cite{CM15APDE}中的规范形式参数，也使我们更好地理解费米黄金法则。
2020-04-03 math-ph math.AP math.MP
Bifurcations and stability of standing waves in the nonlinear Schrödinger equation on the tadpole graph
本文详细分析了蝌蚪图上非线性薛定谔（NLS）方程中驻波的边分叉。最近的工作[7]用显式Jacobi椭圆函数证明了蝌蚪图上的三次NLS方程具有丰富的驻波结构。其中，有不同的分支的局部化波分叉的边缘相关联的薛定谔算子的本质谱。我们用改进的Lyapunov-Schmidt约化方法证明了对于每一个正幂次非线性都存在局域驻波的分岔。我们区分了一个主分支的永不消失的驻波分叉的平凡的解决方案和一个无限序列的高分支的振荡行为的环。高分支从退化驻波分支分叉，在环外尾部消失。此外，我们还分析了分岔驻波的稳定性。也就是说，我们表明，主要分支是由轨道稳定的驻波的亚临界功率非线性，而所有非平凡的高分支是线性不稳定的分歧点附近。退化分支的稳定性特征在分析层面上仍然是不确定的，而基于负Krein签名的嵌入式特征值分析的启发式参数支持至少在分叉点附近的线性不稳定性的猜想。对三次NLS方程的数值结果表明，该猜想是正确的，并且退化分支在远离分歧点处是谱稳定的。
2014-12-28 math-ph math.MP
A general review on the NLS equation with point-concentrated nonlinearity
该论文全面综述了具有点集中非线性的NLS方程的研究，涵盖模型定义、适定性、驻波稳定性、爆破分析及从标准NLS方程的推导。
2023-08-07 math-ph math.AP math.MP
NLS Bifurcations on the bowtie combinatorial graph and the dumbbell metric graph
本文研究了Marzuola和Pelinovsky最近研究的由单边连接的两个环组成的量子图（即所谓的哑铃形）上的非线性薛定谔方程（NLS）的驻波解的分支.该研究的作者发现，基态经历了两个分叉，第一个是破缺分叉，第二个是保持分叉。我们澄清的类型的保序分岔，表明它是跨临界的。然后，我们减少的问题，并表明，该文件中描述的现象可以在一个简单的离散自陷方程的组合图的领结形状。这允许通过几何方法和参数化整个解决方案空间进行完整的分析。然后，我们扩展了问题，并描述了该系统的所有驻波的分支，可以分为三个家庭，其中存在一个可数无限集。
2018-06-11 math-ph math.MP
The monotonicity conjecture and stability of solitons for the Cubic-Quintic NLS on R^3
本文通过交叉约束变分问题、能量极小元唯一性及几何谱分析，解决 R^3 上三次–五次 NLS 的单调性猜想，并分类各频率孤子的稳定性。
2023-08-18 math-ph math.AP math.MP
Failure of scattering for the NLSE with a point interaction in dimension two and three
本文研究了二维和三维中具有幂次非线性和点相互作用的NLS方程，证明低幂次非线性下向自由动力学或驻波的散射失效，并将已有的一维结果扩展至更高维度。
2023-09-12 math-ph math.AP math.MP
Existence and (in)stability of standing waves for the nonlinear Schrödinger Equations on looping-edge graphs with $δ'$-type interactions
研究了环形边图上非线性薛定谔方程的行波解的存在性与轨道稳定性，利用隐函数定理建立了收敛于dnoidal型雅可比椭圆解的行波族，并结合扰动理论和Kre\uın- von Neumann扩展理论分析了稳定性。
2026-04-10 math-ph math.AP math.MP
Heteroclinic standing waves in defocussing DNLS equations -- Variational approach via energy minimization
研究了离散非线性薛定谔方程中的异宿驻波（暗孤子）。我们的主要结果是一个相当初级的存在性证明的波与单调和奇的轮廓，并依赖于最小化一个适当定义的能量泛函。我们还研究了连续极限和驻波的数值近似。
2010-02-08 math-ph math.MP
Stability of periodic waves for the fractional KdV and NLS equations
本文针对分数阶KdV和NLS方程，构造了哈密顿量约束极小化的钟形周期波，并严格证明了其非退化性、谱稳定性和轨道稳定性。
2020-07-15 math-ph math.AP math.MP
Homoclinic standing waves in focussing DNLS equations --Variational approach via constrained optimization
研究了离散非线性薛定谔方程的聚焦问题，给出了同宿驻波（亮孤子）的一个新的变分存在性证明。我们的方法依赖于能量泛函的约束最大化，并提供了两个单参数的波族的存在与单峰，甚至轮廓函数的广泛的一类非线性。最后，我们通过数值模拟来说明我们的结果。
2011-05-29 math-ph math.MP
Ground state and orbital stability for the NLS equation on a general starlike graph with potentials
本文研究了一类非线性薛定谔方程（NLS），它是由有限条半直线组成的一般紧部分构成的图或网络.我们称这种结构为星形图。在图的顶点处，可以存在$δ$型的相互作用，并且允许总的外部势。在一般的假设下，我们证明了NLS在能量域是全局适定的。我们感兴趣的是使系统在常质量流形（$L^2$ -范数）上的能量最小化。当存在时，极小值被称为基态，它是NLS演化的轨道稳定的驻波的轮廓。我们证明了一个基态存在足够小的质量时，二次部分的能量承认一个简单的孤立的本征值在底部的频谱（线性基态）。这是以前对单顶点星图所得到的一个结果的广泛推广。证明的主要部分致力于证明星形结构的集中紧性原理;这是不平凡的，由于缺乏域的平移不变性。然后证明了具有外线性势的约束NLS能量的极小化有界$H^1$序列在其质量足够小的情况下实际上是收敛的。举例讨论了线性部分的假设。
2016-08-04 math-ph math.AP math.MP
A Variational Principle for Pulsating Standing Waves and an Einstein Relation in the Sharp Interface Limit
本文研究了周期性介质中Allen-Cahn能量泛函的有效大尺度行为与相关的$L^{2}$梯度流的尖锐界面极限之间的联系。通过在圆柱体$\mathbb{R} \times \mathbb{T}^{d}$中引入一个Percival型拉格朗日量，我们建立了Anisini，Braides和Chiadhesi Piat的$Γ$ -收敛结果与Barles和Souganesi的尖锐界面极限结果之间的联系。在层流介质中，我们证明了一个尖锐的界面限制在图形设置，使没有假设以外的系数足够的平滑度，我们证明了有效的界面速度和表面张力满足爱因斯坦关系。一些病理突出的困难，不出现在空间均匀的设置。
2022-02-01 math-ph math.AP math.MP
Blow-up for the pointwise NLS in dimension two: absence of critical power
我们考虑了二维薛定谔方程，它具有固定的逐点聚焦非线性，并证明了爆破现象的发生具有两个特殊的特征：第一，所有解爆破的能量阈值是严格负的，并且与驻波能量的下确界相一致。其次，不存在临界幂非线性，即对于每一个幂都存在爆破解。最后一个性质在具有局部非线性的保守薛定谔方程中是不常见的。
2019-12-06 math-ph math.AP math.FA
A Hyperbolic Approximation of the Nonlinear Schrödinger Equation
本文提出NLS方程的一阶双曲近似，证明其严格双曲性、修正哈密顿结构与守恒量，给出驻波解并发展渐近保持离散格式，数值实验验证了聚焦与散焦情形下的精确近似。
2025-05-27 cs.NA math-ph math.AP
On the orbital stability for a class of nonautonomous NLS
根据T. Cazenave和P.L.在\cite{CaLi}中，我们证明了下列NLS类驻波的存在性和轨道稳定性：\label{intr1} i \partial_t u+ Δ u-V（x）u + Q（x）u |u| ^{p-2}=0，\hbox{}（t，x）\in \R \times \R^n，\hbox{} 2<p<2+ \frac 4 n且\label{intr2} i \partial_t u - Δ^2 u-V（x）u + Q（x）u |u| ^{p-2}=0，\hbox{}（t，x）\in \R \times \R^n，\hbox{} 2<p<2+ \frac 8n。更精确地，我们假设$V(x), Q(x) \in L^\infty(\R^n)$和$meas\{Q(x)>λ_0\}\in (0,\infty)$为合适的$λ_0>0$。本文的重点是分析极小化序列对于与\eqref{intr1}和\eqref{intr2}有关的适当约束极小化问题的紧性。
2009-01-15 math-ph math.MP
Instability of double-periodic waves in the nonlinear Schrodinger equation
利用Lax线性方程组计算了三次非线性薛定谔方程双周期解的不稳定率。双周期解的波函数模在空间和时间坐标上都是周期的，这类解推广了驻波的波函数模与时间无关且具有空间周期性的波函数模.与NLS方程中的其他波类似，双周期解是谱不稳定的，并且这种不稳定性与Lax谱在虚轴之外的频带有关。用一种简单的数值方法计算了不稳定谱，并比较了双周期解与驻波解的不稳定率。
2020-12-30 math-ph math.AP math.DS
Dirac solitons in one-dimensional nonlinear Schrödinger equations
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
本文通过构造狄拉克孤子，证明了非线性狄拉克方程可作为非线性薛定谔方程的有效模型。
2026-11-05 math-ph math.AP math.FA
A modulation equations approach for numerically solving the moving soliton and radiation solutions of NLS
在我们以前求解由定域驻波和辐射给出的多通道动力学的非线性Schrodinger方程的基础上，本文讨论了由运动孤子和辐射组成的多通道解。我们应用调制理论，给出了一个系统的常微分方程耦合到辐射项描述的解决方案，这是有效的所有时间。所提出的数值方法精确地求解了调制方程。在计算中，孤立子和辐射被分别捕获，并在与它们一起运动的平移域上求解。因此，对于实验室框架中的固定有限物理区域，多通道解可以自然地穿过边界，这不能通过施加任何现有的边界条件来实现。我们评论的差异，这种方法从集体坐标。
2016-02-05 math-ph math.MP nlin.PS
Constrained energy minimization and orbital stability for the NLS equation on a star graph
本文考虑了星形图${\mathcal G}$上具有幂型聚焦非线性项的非线性薛定谔方程，记作$ i \partial_t Ψ(t) = H Ψ(t) - |Ψ(t)|^{2μ}Ψ(t)$，其中$H$是自伴算子，它定义了图上的线性动力学，在顶点处有一个吸引的$δ$相互作用，其强度为$α< 0$.质量泛函和能量泛函在流动中是守恒的。我们表明，$0<μ<2$的能量在固定质量是有界的，从下面和每一个质量$m$低于临界质量$m^*$它达到其最小值在一定的$\hat Ψ_m \in H^1(\GG) $，而对于$m>m^*$没有最小值。此外，极小化器的集合具有结构${\mathcal M}={e^{iθ}\hat Ψ_m, θ\in \erre}$。相应地，对于每个$m<m^*$，存在唯一的$ω=ω(m)$，使得驻波$\hatΨ_ωe^{iωt} $是轨道稳定的。为了证明上述结果，我们适应的情况下，一个星形图的集中紧性方法。这是不平凡的，因为缺乏支持动态的集合的平移对称性，即图。这在本质上影响了集中紧引理的证明和陈述，以及它在约束能量最小化中的应用。质量阈值的存在来自于自由（或基尔霍夫）情况下系统的不稳定性，在我们的设置中对应于$\al=0$。
2012-11-07 math-ph math.AP math.MP
Nonlinear Schrödinger equation on graphs: recent results and open problems
本文介绍了图上的非线性色散哈密顿方程这一新课题。重点是最近建立的非线性薛定谔方程的情况下的解决方案的性质。特别考虑到孤立子解的存在性和行为。本文较详细地讨论了星形图上NLS方程的两个问题：顶点有$δ$相互作用的星形图上NLS方程的驻波和立方情形下Y结中快孤子的散射。重点是描述的概念和结果和物理环境，没有报告详细的证据;一些观点和更雄心勃勃的开放问题进行了讨论。
2013-04-08 math-ph math.AP math.MP
A nonlinear Klein-Gordon equation on a star graph
研究了星图上一阶非线性Klein-Gordon方程驻波系统的局部适定性和轨道稳定性/不稳定性.适定性的证明使用了经典的不动点论证和Hille-Yosida定理。稳定性的研究依赖于线性化方法和最近的结果，NLS方程的$δ$ -互动的星图。
2021-08-16 math-ph math.AP math.MP
Standing waves of the Anderson-Gross-Pitaevskii equation
本文研究了安德森-格罗斯-皮塔耶夫斯基方程在1维和2维中的驻波构造及其正则性、局部化和稳定性特性。
2025-12-28 math-ph math.AP math.MP
Standing waves on quantum graphs
本文综述了用线性和非线性偏微分方程表示的量子图的演化模型。利用变分理论、相平面上的动力系统和Dirichlet-to-Neumann映射的方法研究了量子图上驻波的存在性和稳定性.
2022-01-20 math-ph math.AP math.DS
Ground state on the dumbbell graph
我们考虑哑铃图上聚焦非线性薛定谔（NLS）方程中的驻波（两个环连接到一个中心线段上，在交界处满足基尔霍夫边界条件）。在小$L^2$范数的极限下，基态（在固定的$L^2$范数下具有最小能量的轨道稳定驻波）由常数解表示。然而，当$L^2$范数增加时，该常数解发生两个分支，其中第一个是对称性破缺分支，第二个是对称性保持分支。由于第一次对称破缺分叉，驻波变得更加局限于两个环中的一个。由于第二个对称性保持分叉，驻波成为本地化的中心线段。在大范数解的极限下，两个驻波都由位于环或中心线段上的截断孤波表示。虽然支撑在环中的非对称波在常数解的对称破缺分岔附近是基态，但在大$L^2$范数的极限下，支撑在中心线段上的对称波才是基态.通过对哑铃图上基态的数值逼近，证实了分析结果。
2017-10-24 math-ph math.AP math.MP
Threshold for Blowup and Stability for Nonlinear Schrödinger Equation with Rotation
针对旋转磁阱中 Bose-Einstein 凝聚体的聚焦 NLS，本文利用变分法、基态与 virial 恒等式，建立质量临界情形下全局存在、有限时间爆破及轨道不稳定性的尖锐阈值。
2023-12-07 math-ph math.AP math.MP
On-Site and Off-Site Bound States of the Discrete Nonlinear Schrödinger Equation and the Peierls-Nabarro Barrier
我们构造了离散立方非线性薛定谔方程（DNLS）在$d=1,2$和$3$维中的多个孤立驻波族.这些状态是通过对连续（NLS）极限的分叉分析得到的。一个家庭由{\it现场对称}（顶点中心）的状态，这些是空间局部孤立的驻波是对称的任何固定的晶格网站。其他的空间局域态是{\it离位对称}。根据空间维度，这些可以是键中心、单元中心或面中心。最后，我们证明了相同频率的不同状态之间的能量差是指数小的自然参数。这为所谓的{\it Peierls-Nabarro}能垒提供了严格的界限。
2015-08-03 cond-mat.mes-hall math-ph math.AP
Stability and symmetry-breaking bifurcation for the ground states of a NLS with a $δ^\prime$ interaction
我们确定并研究了一维聚焦薛定谔方程的基态，该方程具有幂次非线性$|ψ|^{2μ} ψ$和由奇点微扰表示的强不均匀性，即所谓的（吸引）$δ^\prime$相互作用，位于原点.在适当的能量空间中，时间相关的问题在亚临界区域是全局适定的，而在超临界和临界区域是局部适定的。（非线性）基态的集合被完全确定。对于非线性功率的任何值，它表现出作为频率的函数的对称性破坏分叉结构（即，非线性特征值）$ω$。更准确地说，存在非线性本征值$\om$的临界值$\om^*$，使得：如果$\om_0 < \om < \om^*$，则存在单个基态并且它是奇函数;如果$\om > \om^*$，则存在两个非对称基态。我们证明，在分叉之前（即，对于$\om < \om^*$）和对于任何亚临界功率，每个基态都是轨道稳定的。在分叉（$\om =\om^*+0$）之后，如果$μ$不超过位于2和2.5之间的值$μ^\star$，则基态是稳定的，并且对于$μ> μ^*$变得不稳定。最后，对于$μ> 2$和$\om \gg \om^*$，所有的基态都是不稳定的。$\om < \om^*$的奇基态分支可以在任何$\om > \om^*$上延续，得到一族轨道不稳定的定态。用变分方法证明了基态的存在性，并在Grillakis-Shatah-Strauss框架下研究了定态的稳定性，其中线性化算子的性质需要用一些非标准的技巧来确定.
2011-12-06 math-ph math.MP
Stability and instability of breathers in the $U(1)$ Sasa-Satusuma and Nonlinear Schrödinger models
我们考虑Sasa-Satsuma（SS）和非线性薛定谔（NLS）方程沿直线，在1+1维。这两个方程都是正则可积的$U(1)$模型，具有孤子、多孤子和呼吸子解，例如见Yang。对于这两个方程，我们认识到四个不同的本地化呼吸模式：Sasa-Satsuma的SS，和NLS的Satsuma-Yajima，Kuznetsov-Ma和Peregrine呼吸。关于这些解的稳定性知之甚少，主要是因为它们的复结构不符合Grillakis-Shatah-Strauss的经典孤子行为。在本文中，我们找到了自然的$H^2$变分特征，并证明了Sasa-Satsuma呼吸子是$H^2$非线性稳定的，改进了先前由Pelinovsky和Yang证明的线性稳定性。此外，在SS的情况下，我们提供了另一种理解的SS解决方案作为一个呼吸，而不仅仅是作为一个嵌入的孤子。证明的方法是基于使用一个基于$H^2$的李雅普诺夫功能，在精神的第一和第三作者，这个时候扩展到向量值的情况下。我们还提供了另一个严格的理由，其余三个非线性模式（萨摩，矢岛，Peregrine y库兹涅佐夫-马）的不稳定性，在其相应的线性变分结构的研究（作为临界点的一个合适的李雅普诺夫泛函）的基础上，并补充最近证明的不稳定性结果，例如在一份文件中由第三作者。
2021-02-22 math-ph math.AP math.MP
On a deformation of the nonlinear Schrödinger equation
我们研究了最近在可积系统族变形的背景下导出的非线性薛定谔方程的变形。这种系统的方法也导致了已知的可积方程，如Camassa-Holm方程。虽然这个新方程还没有被证明是完全可积的，它的孤立波解表现出典型的孤子行为，包括近弹性碰撞。我们将首先集中在驻波的解决方案，这可以是平滑的或峰值，然后，在数值模拟的帮助下，我们将研究孤立波，它们的相互作用，最后流氓波调制不稳定制度。有趣的是，在孤立波碰撞过程中或在流氓波事件的解决方案的结构是尖锐的，并有更大的振幅比在经典的NLS方程。
2015-08-20 math-ph math.MP nlin.PS
