Average Multiplicative Order of Finitely Generated Subgroup of Rational Numbers Over Primes
给定一个由有理数$Γ$生成的乘法子群，在广义黎曼假设的条件下，给出了素数上的平均值的渐近公式，给出了约化群模$p$的阶的幂. Pomerance和Kurlberg在秩$1$的情况下考虑了这个问题。在$Γ$只包含正数的情况下，我们给出了所涉及的密度的欧拉积的显式表达式。最后我们用一些数值计算来作结论。
2015-05-02 math.NT
Mean values of multivariable multiplicative functions and applications to the average number of cyclic subgroups and multivariable averages associated with the LCM function
我们使用多个zeta函数证明，在适当的假设下，多变量乘性函数的平均值的精确渐近公式。作为应用，我们证明了群${\mathbb Z}_{m_1}\times\dots\times {\mathbb Z}_{m_n}$的循环子群的平均数和与LCM函数相关的多元平均数的一些性质。
2021-08-23 math.NT
Reductions of subgroups of the multiplicative group
令$K$为数字字段，令$G\subset K^\times$为随机生成的子群。固定某个素数$\ell$，并考虑$K$的素数集$\mathfrak{p}$满足以下性质：$G$模$\mathfrak{p}$的约简是定义良好的，并且与$\ell$大小互质.我们给出了这个集合的密度的一个封闭形式的表达式。
2014-09-17 math.NT
On additive shifts of multiplicative subgroups
推广了S. V. Konyagin和D.R. Heath-Brown，我们证明了，特别地，对Z/pZ的任何乘法子群R和任何非零元素mu_1，…，mu_k以下内容成立|R \cap（R+mu_1）\cap. \cap（R+mu_k）|\ll_k |R| ^{1/2+alpha_k}，由1 \ll_k |R| \ll_k p^{1-β_k}提供，其中alpha_k、beta_k是正实数的一些序列，并且alpha_k、beta_k趋于零。此外，我们证明了对于任意子群R，|R| < p^{1/2}，有|R \pm R|> |R| ^{5/3} \log^{-1/2} |R|。
2011-02-06 math.NT
Multiplicative Subgroups of $\mathbb{Z}_p^*$ that are Generalized Arithmetic Progressions
Kansas State University（堪萨斯州立大学）
本文证明了$\mathbb{Z}_p^*$中乘法子群为广义算术进展的充要条件，并推广了Hanson和Petridis的结果。
2026-10-01 math.NT
New estimates for exponential sums over multiplicative subgroups and intervals in prime fields
设${\mathcal H}$是$\mathbb{F}_p^*$的阶为$H>p^{1/4}$的乘法子群.我们证明了$$ \max_{(a,p)=1}\left|\sum_{x\in {\mathcal H}} {\mathbf{\,e}}_p(ax)\right| \le H^{1-31/2880+o(1)}, $$，其中${\mathbf{\,e}}_p(z) = \exp(2 πi z/p)$，这改进了Bourgain和Garaev（2009）的结果。对于连续整数的短区间${\mathcal N}$，我们还得到了双指数和的新估计，其乘积为$nx$与$x \in {\mathcal H}$和$n \in {\mathcal N}$.
2020-03-13 math.NT
Multiplicative structure of shifted multiplicative subgroups and its applications to Diophantine tuples
Universität Basel（巴塞尔大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Institute for Basic Science（基础科学研究院）
研究移位乘法子群的乘法结构及其与加性组合学和丢番图方程理论的联系，提出新的结果，包括改进的上界和对Sárközy猜想的进展。
2025-02-12 math.NT
The distribution of the number of subgroups of the multiplicative group
令$I(n)$表示$(\Bbb Z/n\Bbb Z)^\times$的子群的同构类的数量，令$G(n)$表示作为集合计数的$(\Bbb Z/n\Bbb Z)^\times$的子群的数量（不达同构）。我们证明了$\log G(n)$和$\log I(n)$满足Erdös-Kac定律，因为它们的适当的归一化在极限内是正态分布的。值得注意的是，$\log G(n)$不是加性函数，而是与加性函数的平方和密切相关。我们还建立了$\log G(n)$和$\log I(n)$的极大序模的数量级。
2017-09-30 math.NT
On tripling constant of multiplicative subgroups
本文证明了素域f_p的任意乘法子群G满足|3G| \gg |G| ^2/ \log |G| .同时，我们得到了G的任意非零移位的乘法能量的一个界，即E^*（G+x）\ll |G| ^2 log |G|，其中x是任意非零剩余.
2015-04-17 math.CO math.NT
Multiplicative irreducibility of shifted multiplicative subgroups
Universität Basel（巴塞尔大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Institute for Basic Science（基础科学研究所）
本文基于Sárközy的猜想，证明了Kalmynin结果的乘法类比，证明了移位后的乘法子群无法非平凡表示为乘积集，并且非零移位的陪集不是比集。
2026-03-13 math.CO math.NT
Counting multiplicative groups with prescribed subgroups
我们研究两个表面上看起来非常群论的计数问题，但仔细检查，原来是关于整数的限制，他们的素因子。首先，给定一个奇素数$q$和一个有限阿贝尔$q$ -群$H$，我们考虑整数集合$n\le x$使得乘法群$(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$的Sylow $q$ -子群同构于$H$ .我们表明，这组整数的计数功能是渐近$K x(\log\log x)^\ell/(\log x)^{1/(q-1)}$的显式常数$K$和$\ell$依赖于$q$和$H$。其次，我们考虑整数集合$n\le x$，使得乘法群$(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$是“极大非循环的”，也就是说，使得它的所有素幂子群都是初等群。我们表明，这一组整数的计数功能是渐近$A x/(\log x)^{1-ξ}$为一个明确的常数$A$，其中$ξ$是阿丁常数。事实证明，这两个群论问题都可以简化为对素数因子有限制的整数计数问题，从而可以通过解析数论的经典技术来解决。
2020-07-18 math.NT
On additive irreducibility of multiplicative subgroups
本文利用Stepanov方法研究素数阶有限域中乘法子群的加法不可约性，证明了特定子群差集结构的限制条件，解决了Sárközy关于二次剩余的猜想，并得出非平凡和分解中加数大小相等的结论。
2025-05-28 math.NT
Arithmetic Progressions of Length Three in Multiplicative Subgroups of $\mathbb{F}_p$
在本文中，我们给出了一个算法，用于检测非平凡的3-AP的乘法子群的$\mathbb{F}_p^\times$，这是更有效的比天真的方法。因此，某些类瓦尔登数可以在多项式时间内计算。
2019-02-26 cs.DS math.NT
Intersections of multiplicative subgroups and Heilbronn's exponential sum
本文讨论了Stepanov方法的一些应用。本文第一部分给出了F^* p中不同子群的加性移位的交集的基数估计，第二部分证明了Heilbronn指数和的一个新的上界，并给出了该结果在Fermat乘积分布中的一系列应用。此外，我们还研究了乘法子群的加法分解。
2015-05-06 math.CO math.NT
A Local-Global Equality on Every Affine Variety Admitting Points in an Arbitrary Rank-One Subgroup of a Global Function Field
对于整体函数域上的仿射簇，证明了其在该函数域的任意秩1乘法子群中的点的集合在其在该子群的拓扑闭包中的点的集合中是拓扑稠密的，该拓扑闭包是该函数域的局部完备化的乘法群的乘积.
2016-10-30 math.NT
Multiplicative irreducibility of shifted multiplicative subgroups in the extremal case
Institute for Basic Science（基础科学研究院）
研究素域中平移乘法子群乘法不可约性问题，在\(\lambda\in\mathbb{F}_p^*\setminus G\)时，借助素域中的斯捷潘诺夫界，于等式情形完全解决该问题，此前金、叶和柳已有相关研究基础。
2026-07-28 math.CO math.NT
On semigroup orbits of polynomials in subgroups
研究了多项式动力学中半群轨道与乘法子群的交，推广了Ostafe和Shparlinski（2010）的结果.
2019-10-16 math.NT
On exponential sums over multiplicative subgroups of medium size
本文得到了F^* p的乘法子群G上指数和的一些新的上界，其中c_1，c_2是接近于1/2的绝对常数，G的大小在[p^{c_1}，p^{c_2}]范围内.作为一个应用，我们证明了在对称情形下，G总是一个5阶加法基，由|G| > p^{1/2} log^{1/3} p提供，并且该方法允许我们给出Heilbronn的指数和的一个新的上界.
2013-11-22 math.CO math.NT
A conjecture of Zhi-Wei Sun on matrices concerning multiplicative subgroups of finite fields
本文研究有限域乘法子群相关矩阵的行列式，证明了二次平方元矩阵的显式行列式公式，从而证实Zhi-Wei Sun的猜想。
2024-05-22 math.NT
Multiplicative Subgroups of Prime Fields Are Not Sumsets
University of Bristol（布里斯托大学）
研究素域乘法子群能否写成和集形式的问题，基于汉森 - 佩特里迪斯多项式方法及卡尔米宁的成果，通过统一论证得出结论：要么加项之一为单元素集，要么\(|A| = |B| = 2\)且\(|H| = 4\)，真乘法子群不能写成\(|A|,|B|>2\)的\(A + B\)形式。
2026-08-13 math.CO math.NT
Small value estimates for the multiplicative group
我们将Gel'fond的超越准则推广到多项式序列的上下文中，该多项式序列的一阶导数在复数域的乘法群C* 的固定子群的大子集上取小值。
2013-01-04 math.NT
On additive shifts of multiplicative almost-subgroups in finite fields
我们证明了，对于集$A, B, C \subset \mathbb{F}_p$与$|A|=|B|=|C| \leq \sqrt{p}$和一个固定的$0 \neq d \in \mathbb{F}_p$持有$$ \max(|AB|, |(A+d)C|) \gg|A|^{1+1/26}. $$特别是，$$ |A(A+1)| \gg |A|^{1 + 1/26} $$和$$ \max(|AA|, |(A+1)(A+1)|) \gg |A|^{1 + 1/26}. $$的第一个估计改进了罗奇-牛顿和琼斯的界限。在一般情况下的领域的顺序$q = p^m$我们得到类似的估计与指数$1+1/559 + o(1)$的条件下，$AB$没有大的交集与任何子域陪集，回答了一个问题的Shparlinski。最后，我们证明了$\mathbb{F}_q$上高斯和的估计$$ \left| \sum_{x \in \mathbb{F}_q} ψ(x^n) \right| \ll q^{\frac{7 - 2δ_2}{8}}n^{\frac{2+2δ_2}{8}} $$，其中$ψ$是一个非平凡的可加特征，$δ_2 = 1/56 + o(1)$ .当$q^{1/2} \ll n = o\left( q^{29/57 + o(1)} \right)$ .
2015-07-20 math.NT
Multiplicative groups avoiding a fixed group
该研究针对有限阿贝尔群$G$（平凡群除外），给出了乘法群$\boldsymbol{\rm Z}_n^\times$不含$G$作为子群的整数$n$的计数函数的渐近公式，补充了$G$可出现在几乎所有$\boldsymbol{\rm Z}_n^\times$中的相关数论认知。
2024-09-10 math.NT
Multiplicative subgroups are not restricted sumsets
Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；Institute for Basic Science（韩国基础科学研究院）
研究素域中哪些真乘法子群可表示为特定形式的限制和集，证明\(|H|\geq7\)时不满足，\(|H|\in\{1,3,6\}\)时存在并分类，解决了广义Sárközy猜想限制和集类似问题，扩展细化前人结果。
2026-10-07 math.CO math.NT
Integral Points for Groups of Multiplicative Type
本文构造了Brauer-Manin阻塞的有限子群，用于判定乘法型线性代数群的齐性空间的积分模型上整点的存在性.作为应用，建立了乘法型线性代数群的强逼近定理。此外，还讨论了某些二次域上两个整数平方和的问题。
2012-08-19 math.NT
Sparsity of curves and additive and multiplicative expansion of rational maps over finite fields
对于$p$元的有限域$\mathbb{F}_p$上的素数$p$和多项式$F(X,Y)$，我们给出了$$ F(x,y)=0, \quad x\in\mathcal{A}, \ y\in \mathcal{B}, $$的解的个数的上界，其中$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$是很小的区间或子群.这些界可以被认为是正的特征类似的结果Besieri和皮拉（1989年）的稀疏曲线上的整点。作为应用，我们证明了由多个有理函数合成生成的序列中的不同连续元素不包含在任何短区间或小子群中。
2018-03-06 math.NT
Weil Sums over Small Subgroups
我们得到了素数有限域的小乘法子群上的短Weil和的新的界，这些子群在经典Weil界已经平凡的范围内保持非平凡。我们使用的方法是一个混合的技术来自代数几何和加法组合。
2022-11-14 math.NT
Sumsets and generalized arithmetic progressions in multiplicative subgroups
Kansas State University（堪萨斯州立大学）
针对有限域乘法子群，研究其与广义算术级数、和集分解的关系，得出真子群为广义算术级数的充要条件，及加法不可约、和差表示数的相关结论。
2026-07-31 math.CO math.NT
Arithmetic progressions in multiplicative groups of finite fields
设$G$是素数域$\mathbb F_p$的一个乘法子群，其大小为$|G|> p^{1-κ}$，$r$是一个任意固定的正整数.假设$κ=κ(r)>0$和$p$足够大，它表明，任何比例子集$A\subset G$包含长度为$r$的非平凡等差数列。主要成分是Szemerédi-Green-Tao定理。
2016-11-17 math.NT
Restricted sumsets in multiplicative subgroups
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
本文研究了有限域上乘法子群及整数完美幂中的受限和集，扩展了Shkredov的结果，并提出了一个受限和集的van Lint-MacWilliams猜想的类比。
2024-10-01 math.CO math.NT
Permutation polynomials on F_q induced from bijective Redei functions on subgroups of the multiplicative group of F_q
通过展示F_{Q^2}上的低次有理函数类，构造了F_{Q^2}上的置换多项式类，这些函数类在F_{Q^2}的（Q+1）阶单位根集上诱导双射.作为结果，我们证明了屠、曾、胡、李最近的一篇文章中关于置换三项式的两个定理。
2013-10-07 cs.IT math.CO math.IT
An Asymptotic Formula For Counting Subset Sums Over Subgroups Of Finite Fields
设F_q是q元的有限域。设H是F_q^* 的乘法子群。对于正整数k和元素b \in F_q，我们给出了H中和为b的k元子集个数的精确估计.
2010-12-31 math.NT
Subgroups Generated by Rational Functions in Finite Fields
对于大素数$p$，$p$元素的有限域$F_p$上的有理函数$ψ\in F_p(X)$，以及整数$u$和$H\ge 1$，我们得到了属于$F_p^*$的给定乘法子群的连续值$ψ(x)$，$x = u+1, \ldots, u+H$个数的下界.
2014-03-10 math.NT
Linear equations over multiplicative groups, recurrences, and mixing I
设K是一个具有正特征的域。当V是K^n中的一个线性簇，G是K^* 的一个n阶生成子群时，我们展示了如何利用高度有效地计算V和G^n的交集。我们明确地计算所有的估计。一个特殊的情况提供了有效的解决方案的S-单位方程在n个变量。
2010-10-21 math.NT
Additive decompositions of multiplicative subgroups via differential identities
Kansas State University（堪萨斯州立大学）；Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；Institute for Basic Science（基础科学研究院）
本文针对素域真乘法子群的加性分解分类问题，在 Kalmynin 等人的通用框架基础上，给出了一种简化论证的全新自包含证明，明确唯一非平凡例子是阶为4的子群。
2026-10-07 math.CO math.NT
Double Character Sums over Subgroups and Intervals
我们估计双和$$ S_χ(a, I, G) = \sum_{x \in I} \sum_{λ\in G} χ(x + aλ), \qquad 1\le a < p-1, $$与乘法字符$χ$模$p$其中$I= \{1,\ldots, H\}$和$G$是一个子群的顺序$T$的乘法群的有限域的$p$元素。如果$H \ge p^{1/4+\varepsilon}$为$S_χ(a, I, G)$，则可以从Burgess界导出$S_χ(a, I, G)$的一个非平凡上界;如果$T \ge p^{1/2+\varepsilon}$为$S_χ(a, I, G)$，则可以从一些标准的初等参数导出$S_χ(a, I, G)$的一个非平凡上界，其中$\varepsilon>0$是任意的。我们得到一个非平凡的估计在更广泛的范围内的参数$H$和$T$。我们还估计了双和$$ T_χ(a, G) = \sum_{λ, μ\in G} χ(a + λ+ μ), \qquad 1\le a < p-1, $$，并给出了一个应用程序的原根模$p$与$3$非零二进制数字。
2014-02-15 math.NT
The distribution of the multiplicative index of algebraic numbers over residue classes
在广义黎曼假设下，研究数域中乘性指数属于指定集合且具有指定弗罗贝尼乌斯元的素理想的自然密度，并重点分析等差数列情形下密度的正性。
2024-04-10 math.NT
Arithmetic unlikely intersections in powers of the multiplicative group
Université Clermont Auvergne（克莱蒙奥弗涅大学）；Institut de Mathématiques, Université de Neuchâtel（纳沙泰尔大学数学研究所）；Université de Caen Normandie（诺曼底卡昂大学）
受Bugeaud - Corvaja - Zannier启发，对数域整数环上乘法群幂中的非平凡交集提出猜想。先获平凡交集结果作基准并推广前人工作，证明维数1时猜想，给出维数2部分结果及相关开放问题。
2026-07-20 math.NT
On some polynomial version on the sum-product problem for subgroups
推广了素数阶有限域的乘法群的子群的两个结果。特别地，如果变量$x$和$y$属于剩余域的乘法群的子群$G$，则在一定条件下得到多项式$P(x,y)$的值集的基数的下界.此外，该文件包含一个证明的结果，指出，如果一个小组$G$可以作为一组值的多项式$P(x,y)$，其中$x\in A$，和$y\in B$然后基数集$A$和$B$是接近（为了）的平方根基数小组$G$。
2020-08-19 math.CO math.NT
Cyclic permutations of large subsets with polynomial values in multiplicative subgroups of finite fields
Nanjing University of Posts and Telecommunications（南京邮电大学）；Nanjing Audit University（南京审计大学）
该研究针对有限域上的多项式与乘法子群，建立了大子集存在满足相邻元素多项式值属于k次幂集合的循环排列的阈值，并给出该阈值的上下界。
2026-08-27 math.CO math.NT
On a theorem of Hildebrand
证明了对$\mathbb{Q}^+$中的每个有限指数乘法子群$A$，具有$a, a+1 \in A$的整数集$a$是一个IP-集.这推广了Hildebrand关于取值于单位根$k$的完全乘性函数的一个定理.
2018-10-02 math.NT
Polynomial Equations in Subgroups and Applications
本文在有限域上得到了乘法子群陪集上多项式方程解的个数的一个新的界，推广了P.Corvaja和U. Zannier（2013）.我们还得到了J.Bourgain，A. Gamburd and P. Sarnak（2016）and S. V. Konyagin，S.马卡雷切夫岛E.什帕林斯基和我。V. Vyugin（2019）关于马尔可夫方程$x^2 + y^2 + z^2 = 3 x yz$模素数$p$的约化的解的结构。
2020-05-11 math.NT
Heights on Groups and Small Multiplicative Dependencies
我们将绝对对数Weil高度从代数数模挠的乘法群的元素推广到模挠生成的子群。一个凸生成子群的高度被证明等于欧几里得空间的某个自然发生的凸对称子集的体积。这种联系导致了整数向量的范数上的一个界，这些向量给出了代数数的有限集合之间的乘法依赖关系。
2012-11-21 math.FA math.NT
Multiplicative dependence among iterated values of rational functions modulo finitely generated groups
研究数域上代数动力系统模乘子群轨道中元素之间的乘相关性。我们得到了一系列的结果，其中许多可以看作是混合Northcott定理的有界性的preperiodic点和Siegel定理的有限性解的$S$单位方程。
2018-11-12 math.DS math.NT
Linear equations in variables which lie in a multiplicative group
设K是特征为0的域，n是自然数.设Gamma是有限秩r的乘法群$(K^\ast)^n$的一个子群。给定$A(a_1,...,a_n,Γ)$，对于解的数目x=（x_1，...，x_n）\in $ of the equation a_1x_1+...+a_nx_n=1$，使得没有$a_1x_1+...+a_nx_n$的真子集消失。我们得到了一个明确的上界$A(a_1,...,a_n,Γ)$，它只依赖于维数n和秩r。
2004-09-30 math.NT
Small value estimates for the additive group
我们广义的凝胶'丰的标准的代数独立性的一系列的多项式，其一阶导数采取小值的大子集的一个固定的子群的添加剂组的复数，而不是只有一个点。我们还提供了一个扩展处理的非零复数的乘法群的子群。
2007-08-17 math.NT
$L$--functions and sum--free sets
对于由${\mathsf{sf}}(A)$定义的集合$A\subset {\mathbb {F}_p}^*$，Alon和Kleitman证明了$A.$的最大无和子集的大小${\mathsf{sf}} (A) \ge |A|/3+O(|A|/p).$.我们证明了：如果${\mathsf{sf}} (A)-|A|/3$很小，则集合$A$一定均匀分布在每个大乘法子群的陪集上.我们的论证依赖于${\mathbb {F}_p}$中乘法子群在一定区间上分布的不规则性。
2020-04-04 math.CO math.NT
On the number of cyclic subgroups of a finite abelian group
本文用简单的数论论证证明了有限个循环群的直积的固定阶元素个数和循环子群个数的公式。我们指出有限阿贝尔群的相关计数函数的某些乘法性质是这些公式的直接结果。
2012-11-07 math.GR math.NT
Differences of subgroups in subgroups
特别地，我们证明了：如果A，G是素域f_p的两个任意乘法子群，|G| < p^{3/4}使得差A-A包含在G中，则|A| \ll| \G| ^{1/3+o（1）}。此外，我们得到，对于任何eps>0和具有|G| \ll p^{1/2-eps}的足够大的子群G，没有表示G为G = A+B，其中A是另一个子群，B是任意集合，|A|，|B| >1。最后，我们研究了f_p中包含的共线三元组的个数，并证明了一个“对偶”和积估计。
2015-08-16 math.CO math.NT
Some subgroups of a finite field and their applications for obtaining explicit factors
令$\mathcal{S}_q$表示包含$q$元素的奇特征有限域$\mathbb{F}_q$的乘法群$\mathbb{F}_q^*$中的所有平方元素的群。令$\mathcal{O}_q$是$\mathbb{F}_q^*$的所有奇数阶元素的集合。然后$\mathcal{O}_q$作为$\mathcal{S}_q$的一个子组出现。本文证明了$\mathcal{O}_q=\langle4\rangle$若$q=2t+1$，$\mathcal{O}_q=\langle t\rangle $若$q=4t+1$，其中$q$和$t$是奇素数.当$q$和$t$是奇素数时，利用$\mathcal{S}_q$和$\mathcal{O}_q$的生成元信息，给出了一种直接求$x^{2^nt}-1$在$\mathbb{F}_q[x]$中不可约因子系数的方法，使得$q=2t+1$或$q=4t+1$ .
2018-06-27 math.NT
Generating subgroups of ray class groups with small prime ideals
在推广的黎曼假设下，给出了生成数域的束类群的任意子群的素理想的范数的显式界。这些是这个问题的第一个明确的界限，并且比以前已知的渐近界限好得多。应用于整数，他们表示，任何小组的指数$i$乘法群的整数模$m$是由素数小于$16(i\log m)^2$，受黎曼假设。两个特别的结果与数学密码学有关。应用于分圆域领域，他们提供了明确的界限发电机的相关类组，需要在以前的一些工作中的最短向量问题的理想格。应用于超椭圆曲线的雅可比行列式，它们允许人们导出使其水平等距图连接所需的同构度的界限。这样的等距图被用来研究所述雅可比行列式上的离散对数问题。
2018-07-04 math.NT
Jordan constants of quaternion algebras over number fields and simple abelian surfaces over fields of positive characteristic
计算并给出了小次数数域上四元数代数乘法子群的若当常数的详细刻画。作为应用，我们确定了正特征域上单交换曲面的自同态代数的乘法子群的Jordan常数。
2020-07-09 math.AG math.GR math.NT
Configurations of rectangles in a set in $\mathbb{F}_q^2$
设$\mathbb{F}_q$是$q$阶的有限域.本文研究了$\mathbb{F}_q^2$中矩形在给定集合中的分布。更确切地说，对于任何$0<δ\le 1$，我们证明了存在具有以下性质的整数$q_0=q_0(δ)$：如果$q\ge q_0$和$A$是$\mathbb{F}^*_q$与$|A|\ge q^{2/3}$的乘法子群，则任何具有$|S|\ge δq^2$的集合$S\subset \mathbb{F}_q^2$至少包含边长在$A$中的$\gg \frac{|S|^4|A|^2}{q^5}$矩形。我们还考虑矩形的情况下，一个固定的边长和其他乘法子群$A$。
2021-09-25 math.CO math.NT
On the multiplicative order of $a^n$ modulo $n$
设$n$为正整数，$α_n$为算术函数，该算术函数将$a^n$模$n$的乘法阶分配给与$n$互质且在别处为零的每个整数$a$。类似地，令$β_n$将$a^n$模$n$的投射乘法阶分配给与$n$互质的每个整数$a$，并且在其他地方为零。在本文中，我们提出了这两个算术函数的研究。特别地，我们证明了对于具有相同无平方部分的正整数$n_1$和$n_2$，函数$α_{n_1}$和$α_{n_2}$之间以及函数$β_{n_1}$和$β_{n_2}$之间存在精确的关系.这允许我们将$α_n$和$β_n$的确定减少到$n$无平方的情况。这些算术功能最近出现的背景下的一个老问题的Molluzzo，更确切地说，在研究的算术级数产生一个平衡的斯坦豪斯三角形在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$奇。
2016-03-23 math.CO math.NT
