On Larcher's theorem concerning good lattice points and multiplicative subgroups modulo p
Nikolay G. Moshchevitin, Dmitrii M. Ushanov
证明了模$p$的厚乘法子群中二维好格点的存在性。
We prove the existence of two-dimensional good lattice points in thick multiplicative subgroups modulo $p$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Zeckendorf representation of multiplicative inverses modulo a Fibonacci number
Prempreesuk、Noppakaew和Pongsriiam确定了$2$模$F_n$的乘法逆的Zeckendorf表示，对于每个不能被$3$整除的正整数$n$，其中$F_n$表示第$n$个斐波那契数。对每个固定整数$a \geq 3$和所有正整数$n$与$\gcd(a, F_n) = 1$，我们确定了$a$模$F_n$的乘法逆的Zeckendorf表示.我们的证明利用了实数的基$φ$展开。
Multiplicative dependence of rational values modulo approximate finitely generated groups
本文针对数域K中有理值模近似有限生成群的乘法相关性问题，建立了有限性结果，证明满足特定条件的有理函数在K中仅有限个元素处的取值模相关集合是乘法相关的。
Multiplicative dependence modulo subsets
研究数域\(K\)上非常数有理函数\(f_1,\ldots,f_n\)，在其不能乘法生成线性分式函数幂的条件下，探讨使\(f_1(\alpha),\ldots,f_n(\alpha)\)模特定子集乘法相关的\(\alpha\in K\)的情况，改进了先前结果。
Divisibility of the Multiplicative Order Modulo Monic Irreducible Polynomials Over Finite Fields
本文研究有限域上使给定有理函数模首一不可约多项式的乘法阶被固定整数整除的多项式集合，刻画其在三种密度概念下的密度存在性并给出公式。
Distance between consecutive elements of the multiplicative group of integers modulo $n$
本文研究模素数阶乘 $P=p\\#$ 的乘法群元素在圆周上的连续间隔，并提出计数给定偶数间隔长度 $D$ 的公式 $K(D,P)$。
Multiplicative dependence among iterated values of rational functions modulo finitely generated groups
研究数域上代数动力系统模乘子群轨道中元素之间的乘相关性。我们得到了一系列的结果，其中许多可以看作是混合Northcott定理的有界性的preperiodic点和Siegel定理的有限性解的$S$单位方程。
Multiplicative decomposition of arithmetic progressions in prime fields
本文证明了存在一个绝对常数$c>0$，使得如果一个等差数列$\cP$模一个素数$p$不含零，且基数小于$cp$，则它不能表示为两个基数大于1的子集的乘积，除非$\cP=-\cP$或$\cP=\{-2r,r,4r\}$对某个剩余数$r$模$p$ .
Congruences involving product of intervals and sets with small multiplicative doubling modulo a prime and applications
在本文中，我们得到了新的上界估计的同余$$ x\equiv y r\pmod p;\quad x,y\in \mathbb{N},\quad x,y\le H,\quad r\in\cU, $$的解的数目为一定范围的$H$和$|\cU|$，其中$\cU$是一个子集的剩余类模$p$具有小乘法倍。然后，我们使用这个估计，以显示的解决方案的数量的同余$$ x^n\equiv λ\pmod p; \quad x\in \N, \quad L<x<L+p/n, $$是最多$p^{\frac{1}{3}-c}$一致的正整数$n, λ$和$L$，一些绝对常数$c>0$。这意味着，特别是，如果$f(x)\in \Z[x]$是一个固定的多项式没有多个根的$\C$，那么同余$ x^{f(x)}\equiv 1\pmod p, \,x\in \mathbb{N}, \,x\le p,$有最多$p^{\frac{1}{3}-c}$解决方案的$p\to\infty$，改进了一些最近的结果Kurlberg，卢卡和Shparlinski和的Bayesian，Broughan和Shparlinski。我们使用我们的结果表明，几乎所有的剩余类模$p$可以表示的形式$xg^y \pmod p$与正整数$x<p^{5/8+\varepsilon}$和$y<p^{3/8}$。这里$g$表示原始根模$p$。我们还证明了几乎…
On elements of large order of elliptic curves and multiplicative dependent images of rational functions over finite fields
设$E_1$和$E_2$是具有整数参数的Legendre形式的椭圆曲线。我们证明了存在一个常数$C$，使得对于几乎所有素数，对于所有但至多$C$对的点约化的$E_1 \times E_2$ modulo $p$具有相等的$x$坐标，至少有一个$P_1$和$P_2$有一个大的群阶。我们还显示了类似的丰度有限域的元素，其图像下的减少模$p$的有限集的有理函数有很大的乘法阶
Distribution of twisted Kloosterman sums modulo prime powers
本文研究了模素幂乘特征标扭曲的Kloosterman和。我们表明，由一个初等计算，这些款项成为equidistributed在真正的线相对于一个适当的措施。
On the multiplicative order of $a^n$ modulo $n$
设$n$为正整数，$α_n$为算术函数，该算术函数将$a^n$模$n$的乘法阶分配给与$n$互质且在别处为零的每个整数$a$。类似地，令$β_n$将$a^n$模$n$的投射乘法阶分配给与$n$互质的每个整数$a$，并且在其他地方为零。在本文中，我们提出了这两个算术函数的研究。特别地，我们证明了对于具有相同无平方部分的正整数$n_1$和$n_2$，函数$α_{n_1}$和$α_{n_2}$之间以及函数$β_{n_1}$和$β_{n_2}$之间存在精确的关系.这允许我们将$α_n$和$β_n$的确定减少到$n$无平方的情况。这些算术功能最近出现的背景下的一个老问题的Molluzzo，更确切地说，在研究的算术级数产生一个平衡的斯坦豪斯三角形在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$奇。
Shifted Character Sums with Multiplicative Coefficients, II
设$f(n)$是一个乘法函数，其中$|f(n)|\leq 1, q$是一个素数，$a$是一个整数，其中$(a, q)=1, χ$是一个模$q$的非主Dirichlet特征标.设$\varepsilon$是一个足够小的正常数，$A$是一个大常数，$q^{\frac12+\varepsilon}\ll N\ll q^A$。本文证明了$$ \sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a)\ll N\frac{\log\log q}{\log q} $$和$$ \sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a_1)\cdotsχ(n+a_t)\ll N\frac{\log\log q}{\log q}, $$，其中$t\geq 2, a_1, \ldots, a_t$是模$q$的不同整数.
Congruences with intervals and subgroups modulo a prime
我们得到了关于几乎所有模素数$p$的剩余都用一个小整数和$({\mathbb Z}/p{\mathbb Z})^*$的小乘法子群的一个元素的乘积表示的新结果。这些结果是基于J.Cilleruelo和M. Z. Garaev（2014年），
Size of product of a number and its multiplicative inverse, Moments of L-functions and Exponential Sums
本文研究了一个数与其模为素数p的乘法逆乘积的平均大小，这与L函数的矩有关，并导出了某个三重指数和的一个奇异的渐近公式.
Binomial Character Sums Modulo Prime Powers
我们表明，二项式和相关的乘法字符和$$ \sum_{\stackrel{x=1}{(x,p)=1}}^{p^m} χ(x^l(Ax^k +B)^w),\hspace{3ex} \sum_{x=1}^{p^m} χ_1 (x)χ_2(Ax^k +B), $$有一个简单的评价足够大的$m$（$m\geq 2$，如果$p\nmid ABk$）。
Shifted Character Sums with Multiplicative Coefficients
设$f(n)$是一个满足$|f(n)|\leq 1$的乘法函数，$q$ $(\leq N^2)$是一个素数，$a$是一个具有$(a,\,q)=1$的整数，$χ$是一个模$q$的非主Dirichlet特征标.本文将证明$$ \sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a)\ll {N\over q^{1\over 4}}\log\log(6N)+q^{1\over 4}N^{1\over 2}\log(6N)+{N\over \sqrt{\log\log(6N)}}. $$我们还将证明\begin{align*} &\sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a_1)\cdotsχ(n+a_t)\ll {N\over q^{1\over 4}}\log\log(6N)\\ &\quad+q^{1\over 4}N^{1\over 2}\log(6N)+{N\over \sqrt{\log\log(6N)}}, \end{align*}其中$t\geq 2$，$a_1,\,\cdots,\,a_t$是模$q$的两两不同的整数.
Multiplicative and linear dependence in finite fields and on elliptic curves modulo primes
对于正整数$K$和$L$，我们引入并研究了$K$ -有限素域$\mathbb{F}_p$的代数闭包$\overline{\mathbb{F}}_p$上的乘法依赖，以及$L$ -椭圆曲线上的点在模素数约简中的线性依赖的概念.我们的一个主要结果表明，给定非零有理函数$φ_1,\ldots,φ_m, \varrho_1,\ldots,\varrho_n\in\mathbb{Q}(X)$和椭圆曲线$E$定义在整数$\mathbb{Z}$，对于任何足够大的素数$p$，但所有的$α\in\overline{\mathbb{F}}_p$，最多以下两个之一可能发生：$φ_1(α),\ldots,φ_m(α)$是$K$ -乘法依赖或点$(\varrho_1(α),\cdot), \ldots,(\varrho_n(α),\cdot)$是$L$ -线性依赖于减少的$E$模$p$。作为我们的主要工具之一，我们证明了关于分裂半交换簇$\mathbb{G}_{\mathrm{m}}^m \times E^n$中不可约曲线与余维数至少为$2$的代数子群的交的一般性陈述。作为应用，我们改进了M. C. Chang和推广了J.F. Voloch讨论了某些特殊情况下有限域上的高阶元素。
Factoring using multiplicative relations modulo $n$: a subexponential algorithm inspired by the index calculus
该研究提出一种受指标演算启发的整数因式分解次指数算法，将因式分解归约为求模n因子基乘法关系的超定系统，虽慢于最优算法，但因简洁性和与指标演算的相似性具研究意义。
Random multiplicative walks on the residues modulo n
我们引入了一个新的算术函数$a(n)$，定义为在运行乘积全等于0模$n$之前，模$n$的余数的随机乘法的数目。我们给出了几个计算该函数值的公式，并分析了它的渐近行为。我们发现它与$n$的最大素除子$P_1(n)$密切相关。特别地，$a(n)$和$P_1(n)$具有相同的平均阶渐近。此外，函数$a(n)$和$P_1(n)$之间的差是$o(1)$，因为$n$在密度近似为$0.623$的集合上趋于无穷大。然而，另一方面，我们看到（除了在密度为零的集合上）$a(n)$和$P_1(n)$之间的差在这个集合之外的整数上趋于无穷大。最后，我们考虑了这两个函数之差的渐近性态，发现了$\sum_{n\leq x}\big( a(n)-P_1(n)\big) \sim \left(1-\fracπ{4}\right)\sum_{n\leq x} P_2(n)$，其中$P_2(n)$是$n$的第二大因子.
Reductions of subgroups of the multiplicative group
令$K$为数字字段，令$G\subset K^\times$为随机生成的子群。固定某个素数$\ell$，并考虑$K$的素数集$\mathfrak{p}$满足以下性质：$G$模$\mathfrak{p}$的约简是定义良好的，并且与$\ell$大小互质.我们给出了这个集合的密度的一个封闭形式的表达式。
Average Multiplicative Order of Finitely Generated Subgroup of Rational Numbers Over Primes
给定一个由有理数$Γ$生成的乘法子群，在广义黎曼假设的条件下，给出了素数上的平均值的渐近公式，给出了约化群模$p$的阶的幂. Pomerance和Kurlberg在秩$1$的情况下考虑了这个问题。在$Γ$只包含正数的情况下，我们给出了所涉及的密度的欧拉积的显式表达式。最后我们用一些数值计算来作结论。
Counting invertible sums of squares modulo $n$ and a new generalization of Euler totient function
本文引入并研究了推广欧拉函数的一类算术函数族$Φ_k$。这些函数由方程$\gcd(x_1^2+\ldots +x_k^2, n)=1$与$x_1,\ldots,x_k \in {\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$的解的数目给出，对于$k=2,4$和$8$，这些解分别与${\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$上的高斯整数、四元数和八元数的环中的单位数一致。证明了$Φ_k$对每个$k$都是乘性的，利用$n$的素幂分解得到了$Φ_k(n)$的一个显式表达式，并导出了$\sum_{n\le x} Φ_k(n)$的一个渐近公式.作为一种工具，我们调查的乘法算术函数，计数的解决方案的数量$x_1^2+\ldots +x_k^2\equiv λ$（模$n$）$λ$互质$n$，从而扩展了旧的结果，只处理与总理$n$的情况。
Additive decompositions of large multiplicative subgroups in finite fields
本文研究有限域乘法子群的加法不可分解性，证明大型子群不能非平凡表示为两项或三项集合和，并推广了素数模二次剩余的相关结论。
On multiplicative congruences
设$ε$是一个固定的正数，$m$是一个大整数，$x_j$表示整数变量。我们证明了对于任何正整数$N_1,N_2,N_3$与$N_1N_2N_3>m^{1+ε},$的集合$$ \{x_1x_2x_3 \pmod m: \quad x_j\in [1,N_j] \} $$包含几乎所有模$m$的剩余类（即，其基数等于$m+o(m)$）。进一步证明了：若$m$是无立方的，则对任意正整数$N_1,N_2,N_3,N_4$和$N_1N_2N_3N_4>m^{1+ε},$，集合$$ \{x_1x_2x_3x_4 \pmod m: \quad x_j\in [1,N_j] \} $$也包含几乎所有模$m.$的剩余类。设$p$是一个大素参数，且设$p>N>p^{63/76+ε}.$。证明了对任意非零整数常数$k$和任意整数$λ\not\equiv 0\pmod p$，同余$$ p_1p_2(p_3+k)\equiv λ\pmod p $$容许素数中的$(1+o(1))π(N)^3/p$解$p_1, p_2, p_3\le N.$
Algebraic Numbers, Hyperbolicity, and Density Modulo One
我们证明了${λ_1^m μ_1^n ξ_1 +...+λ_k^m μ_k^n ξ_k : m,n \in \mathbb N}$模1形式的集合的密度，其中$λ_i$和$μ_i$是乘法独立的代数数，满足一些额外的假设。证明的基础上分析的动力学高阶行动紧阿贝尔群。
A refinement of the Burgess bound for character sums
本文给出了D. A. Burgess关于乘性特征和模素数$q$。这延续了之前的一系列对数改进，这些改进主要归功于H。Iwaniec和E.科瓦尔斯基特别是，对于任何非平凡的乘法字符$χ$模一个总理$q$和任何整数$r\ge 2$，我们表明，$$ \sum_{M<n\le M+N}χ(n) = O\left( N^{1-1/r}q^{(r+1)/4r^2}(\log q)^{1/4r}\right), $$锐化以前的结果的一个因素$(\log q)^{1/4r}$。我们的改进来自于对没有小素数因子的数字求平均，而不是像以前的方法那样在一个区间内求平均。
Randomness and non-randomness properties of Piatetski-Shapiro sequences modulo m
我们研究Piatetski-Shapiro序列$(\lfloor n^c\rfloor)_n$模m，非整数$c >1$和积极的$m$，我们特别感兴趣的子字出现在这些序列。我们证明，每个块$\in\{0,1\}^k$的长度$k < c + 1$出现作为一个子字的频率$2^{-k}$，而总是有块不出现。特别是，这些序列是不正常的。对于$1<c<2$，我们估计子字的数量从上面和下面，产生的事实，我们的序列是确定性的，而不是形态。最后，利用Daboussi-Kátai准则，证明了序列$\lfloor n^c\rfloor$模m渐近正交于以$1$为界且均值为$0$的乘法函数.
Double Character Sums over Subgroups and Intervals
我们估计双和$$ S_χ(a, I, G) = \sum_{x \in I} \sum_{λ\in G} χ(x + aλ), \qquad 1\le a < p-1, $$与乘法字符$χ$模$p$其中$I= \{1,\ldots, H\}$和$G$是一个子群的顺序$T$的乘法群的有限域的$p$元素。如果$H \ge p^{1/4+\varepsilon}$为$S_χ(a, I, G)$，则可以从Burgess界导出$S_χ(a, I, G)$的一个非平凡上界;如果$T \ge p^{1/2+\varepsilon}$为$S_χ(a, I, G)$，则可以从一些标准的初等参数导出$S_χ(a, I, G)$的一个非平凡上界，其中$\varepsilon>0$是任意的。我们得到一个非平凡的估计在更广泛的范围内的参数$H$和$T$。我们还估计了双和$$ T_χ(a, G) = \sum_{λ, μ\in G} χ(a + λ+ μ), \qquad 1\le a < p-1, $$，并给出了一个应用程序的原根模$p$与$3$非零二进制数字。
Pointwise and correlation bounds on Dedekind sums over small subgroups
本文研究了模素数p且λ具有小乘法阶的Dedekind和的点态与平均界，在Mersenne素数无穷假设下达到最优范围，并利用该界分析了特征子群上L(1,χ)高阶矩与Dedekind和相关性的联系。
Explicit constants in averages involving the multiplicative order
让$a>1$。用$l_a(p)$表示$a$模$p$的乘法阶。我们寻找平均数上素数$p\leq x$上的$\frac{l_a(p)}{p-1}$的和的估计。当我们对$a\leq N$求平均值时，我们观察到$C\mathrm{Li}(x)$的统计量。P. J. Stephens ~ \cite [定理1]{S}证明了对于正常数$c_1$，$N>\exp(c_1\sqrt{\log x})$的这个统计量。在此基础上，给出了$c_1$的一个显式值.事实上，~ \cite [定理1，3]{S}与$N>\exp(3.42\sqrt{\log x})$成立，~ \cite [定理2，4]{S}与$N>\exp(4.8365\sqrt{\log x})$成立。此外，我们将$y$的范围从~ \cite [定理1]{LP}中的$y\geq \exp((2+ε)\sqrt{\log x\log\log x})$改进为$y > \exp(3.42\sqrt{\log x})$。
Two problems on the distribution of Carmichael's lambda function
令$λ(n)$表示乘法群模$n$的指数。我们发现，当$q$是奇数，每个互质剩余类模$q$击中同样经常由$λ(n)$作为$n$变化。在更强的假设下，$\gcd(q,6)=1$，我们证明了均匀分布持续整个西格尔-Walfisz型范围内的均匀性。通过类似的方法，我们证明了$λ(n)$关于自然密度服从Benford首数律。此外，如果我们假设GRH，那么本福德定律对$a$ mod $n$的阶成立，对任何固定整数$a\notin \{0,\pm 1\}$成立。
Distribution of differences of characters evaluated at consecutive polynomial values
本文研究了在连续多项式值上乘法和加法字符差值的分布，通过分析特定求和形式推导出一阶矩的公式。
Average Results on the Order of $a$ modulo $p$
令$a>1$为整数。用$l_a(p)$表示$a$模素数$p$的乘法阶。证明了若$\frac{x}{\log x\log\log x}=o(y)$，则$$\frac 1 y \sum_{a\leq y}\sum_{p\leq x}\frac{1}{l_a(p)}=\log x + C\log\log x+O\left(\frac x {y \log\log x}\right) $$是Felix ~ \cite{Fe}的一个定理的改进.此外，我们还证明了另外两个平均结果：如果$\log^2 x = o(ψ(x))$和$x^{1-δ}\log^3 x = o(y)$，则$$\frac1y \sum_{a<y} \sum_{\substack{{p<x} \\ {l_a(p)>\frac{x}{ψ(x)}}}} 1 = π(x) + O\left(\frac{x\log x}{ψ(x)}\right) + O\left(\frac{x^{2 - δ}\log^2 x}y\right).$$。此外，如果$x^{1-δ}\log^3 x = o(y)$，则$$\frac1y\sum_{a<y} \sum_{\substack{{p<x} \\ {p\nmid a}}}l_a(p) = c\textrm{Li}(x^2) + O\left( \frac{x^2}{\log^A x} \right…
On additive irreducibility of multiplicative subgroups
本文利用Stepanov方法研究素数阶有限域中乘法子群的加法不可约性，证明了特定子群差集结构的限制条件，解决了Sárközy关于二次剩余的猜想，并得出非平凡和分解中加数大小相等的结论。
Rigidity Theorems for Multiplicative Functions
我们建立了几个预期的一般现象的结果，给定一个乘法函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$，$f(n)$和$f(n+a)$的值是“一般”独立，除非$f$是一个“特殊”的形式。首先，我们分类所有有界完全乘性函数，其连续值之间具有一致的大差距。这就意味着解决了下面的一个猜想：对于任何完全乘法函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{T}$，我们有$$\liminf_{n\to\infty}|f(n+1)-f(n)|=0.$$。丘达科夫[《ICM行为》（{N}ice，1970），{T}。1，p.487]，它指出任何完全乘法函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$：a）只取1000个值，b）只在1000个素数处为零，c）有界偏差，是狄利克雷特征标。这推广了以前的工作陶的Erdés离散问题。最后，我们表明，如果许多的二元相关的1-有界乘法函数是渐近等于一个狄利克雷字符$χ$模$q$然后$f(n) = χ'(n)n^{it}$的所有$n$，其中$χ'$是一个狄利克雷字符模$q$和$t \in \mathbb{R}$。这建立了H.乘性算术函数。主要成分包括工作陶对数埃利奥特猜想，相关公式为\emph{pretentious}乘性函数的第一作者和Szemeredi定理长期算术级数。
On the fixed points of the map $x \mapsto x^x$ modulo a prime, II
本文研究了映射$x \mapsto x^{x} \mod{p}$的数论性质，其中$x \in \{1,2,\ldots,p-1\}$，并改进了Kurlberg，Luca和Shparlinski等人最近提出的关于只有平凡不动点$x=1$的素数$p < N$个数的上界.一个关键的技术结果，可能是独立的利益，是子集$\mathscr{N}_{q} \subset \{2,3,\ldots,q-1\}$的存在，使得几乎所有的$k$ -元组的不同整数$n_{1}, n_{2},\ldots,n_{k} \in \mathscr{N}_q$是乘法独立的（如果$k$不是太大），和$|\mathscr{N}_q| = q \cdot (1+o(1))$作为$q \to \infty$。对于$q$一个大的素数，这是用来表明，一些解决方案，以一定的大型和稀疏系统的$\mathbb{F}_q$ -线性形式$\{ \mathscr{L}_{n} \}_{n=2}^{q-1}$“行为随机”的意义上说，$|\{ \mathbf{v} \in \mathbb{F}_{q}^{d} : \mathscr{L}_{n}(\mathbf{v}) =1, n = 2,3, \ldots, q-1 \}| \sim q^{d}(1-1/q)^{q} \sim q^{d}/e$。(Here $d=π(q-1)$和$\mat…
Polynomial Equations in Subgroups and Applications
本文在有限域上得到了乘法子群陪集上多项式方程解的个数的一个新的界，推广了P.Corvaja和U. Zannier（2013）.我们还得到了J.Bourgain，A. Gamburd and P. Sarnak（2016）and S. V. Konyagin，S.马卡雷切夫岛E.什帕林斯基和我。V. Vyugin（2019）关于马尔可夫方程$x^2 + y^2 + z^2 = 3 x yz$模素数$p$的约化的解的结构。
On the Distribution of the Number of Points on Algebraic Curves in Extensions of Finite Fields
设$\cC$是定义在$q$元素的有限域$\F_q$上的亏格$g \ge 1$的光滑绝对不可约曲线.设$# \cC(\F_{q^n})$为$\cC$上$\F_{q^n}$ -有理点的个数。在$\cC$的ζ-函数的根满足一定的乘法独立性条件下，得到了使得$(# \cC(\F_{q^n}) - q^n -1)/2gq^{n/2}$属于给定区间$\cI \subseteq [-1,1]$的$n =1, ..., N$个数的渐近公式.这可以被认为是Sato-Tate分布的类似物，它涵盖了当曲线$\E$被定义在$\Q$上并被认为是模连续素数$p$时的情况，尽管在我们的场景中分布函数是不同的。最近，E.科瓦尔斯基在统计设置。它对普通椭圆曲线是平凡满足的，我们也对一类自然的$g=2$曲线族建立了它。
Fields Generated by Finite Rank Subgroups of $\overline{\mathbb{Q}}^*$
设$Γ$是$\overline{\mathbb{Q}}^*$的有限秩子群.我们证明了由$Γ$的可分壳中的所有元素生成的域的乘法群是模这个可分壳的自由阿贝尔群。这证明了Rémond的广义Lehmer猜想的一个必要条件是成立的。
Multiplicative analogue of Markoff-Lagrange spectrum and Pisot numbers
马尔可夫-拉格朗日谱揭示了丢番图逼近的奇异拓扑性质。我们研究了等比数列模1的渐近性质，并在集合\[ {\mathcal L}(α)=\left\{\left.\limsup_{n\to \infty}\|ξα^n\|\ \right|\ ξ\in {\mathbb R}\right\}, \]上观察到了类似的结果，其中$\|x\|$是从$x$到最近整数的距离。首先，我们证明了对于任何Pisot数$α$，${\mathcal L}(α)$在$[0,1/2]$中是封闭的。然后，我们考虑$α$是整数与$α\geq 2$，或二次单位与$α\ge 3$的情况。我们证明了当$α$是二次函数时，${\mathcal L}(α)$包含一个适当的区间，而当$α$是整数时，它不包含.我们还确定了最小极限点和所有孤立点在此点之下。在证明的过程中，我们重温了Markoff研究的一个性质，它刻画了双无限平衡词和sturmian词。
Distribution modulo one and Ratner's theorem
测度刚性是遍历论的一个分支，最近对解决数论和数学物理中的一些基本问题做出了贡献。例子是证明定量版本的奥本海姆猜想，有关问题的间距之间的价值观的二次型，证明量子唯一遍历某些类的双曲曲面，以及一种方法的Littlewood猜想的不存在multiplicatively严重逼近的数字。在这些讲座中，我们讨论了几个简单的应用程序的一个中心结果在衡量刚性：拉特纳定理。我们将研究某些数论序列的统计性质，特别是$mα$，$m=1,2,3,...$（一个经典的，很好理解的问题）和$\sqrt{mα}$（最近由Elkies和McMullen研究）的小数部分。通过利用等分布的结果在一定的齐性空间，我们将表明，这些序列的统计特性可以表现出显着的偏差，从那些独立的随机变量。其他更通用的序列如$m^2α$和$2^m α$ mod 1的"随机性“已被广泛研究。这些笔记是根据2005年6月在巴黎亨利·庞加莱研究所和2005年7月在蒙特利尔CRM“数论中的等分布”暑期班上的讲座编写的。作者感谢EPSRC高级研究奖学金的支持。
Generalizations of Furstenberg's Diophantine result
本文证明了Furstenberg的丢番图结果的两个推广，即在$\mathbb{N}$的非缺乘半群的乘法作用下，环面上无理点的轨道的稠密性.证明了对于任意序列$\{a_{n} \},\{b_{n} \}\subset\mathbb{Z}$，当$n$趋于无穷大时，其连续元素的乘积趋于$1$，以及任意无穷序列$\{c_{n} \}$，对于任意无理$x$，集合$\{a_{n}b_{m}c_{k}x : n,m,k\in\mathbb{N} \}$是稠密模$1$.利用遍历理论的方法，证明了若$\{a_{n} \},\{b_{n} \}$是对某个素数$p$具有光滑$p$-adic插值的序列，则对任意无理数$x$，序列$\{p^{n}a_{m}b_{k}x : n,m,k\in\mathbb{N} \}$是模1稠密的.
Averages of the number of points on elliptic curves
如果$E$是定义在$\mathbb Q$上的椭圆曲线，并且$p$是$E$的良好约化的素数，则令$E(\mathbb F_p)$表示约化曲线上模$p$的点集。通过设置$M_E(N):= \#\{p: \#E(\mathbb F_p)= N\}$定义算术函数$M_E(N)$。最近，David和第三作者研究了椭圆曲线$E$的某些“盒子”上的$M_E(N)$的平均值。假设一个关于短间隔素数的合理猜想，他们证明了以下结果：对于奇数$N$，对于一个显式给定的函数$K^{\ast}(N)$，$M_E(N)$在一个具有足够大边的盒子上的平均值是$\sim \frac{K^{\ast}(N)}{\log{N}}$。函数$K^{\ast}(N)$有些特殊：定义为素数除以$N$的乘积，乍一看它类似于乘法函数。但进一步的研究表明，它不是，所以不能直接研究其性质的乘法数论的常用工具。在本文中，我们克服了这些困难，并证明了一些统计结果关于$K^{\ast}(N)$。例如，我们确定的平均值$K^{\ast}(N)$在所有$N$，奇$N$和总理$N$，我们表明，$K^{\ast}(N)$有一个分布函数。我们还解释了我们的结果如何与现有的定理和代数乘法性质的$\# E(\mathbb F_p)$，如Koblitz猜想。
Dedekind sums and mean square value of $L(1,χ)$ over subgroups
本文研究了在乘法群子群上平凡的奇 Dirichlet 特征对应的 Dirichlet $L$-函数在 $s=1$ 处二次均值的显式公式，探讨了涉及 Dedekind 和的分母相消最优性，并证明了特定素数幂模下 Dedekind 和的无关性。
Additive Decompositions of Subgroups of Finite Fields
如果$S = \{a+b : a\in A, \ b \in B\}$，我们说一个集合$S$被加性分解为两个集合$A$和$B$。本文研究了有限域上乘法子群的加法分解。特别地，我们改进和推广了C. Dartyge和A. Sarkozy关于二次剩余和模$p$原根的加法分解.我们使用了一些新的工具，如双特征和的Karatsuba界和加法组合学的一些结果。
Modular periodicity of binomial coefficients
我们证明，如果有符号的二项式系数$(-1)^i\binom{k}{i}$查看模p是一个周期函数的i与周期h素数p的范围$0\le i\le k$，那么k+1是p的幂，提供h不是太大相比，k。(In特别是$2h\le k$就足够了。）作为应用，我们证明了：如果G和H是有限域的乘法子群，且H<G，且对所有$α\in G\setminus H$都有$1-α\in G$，则$G\cup\{0\}$是子域.
Positivity of partial sums of a random multiplicative function and corresponding problems for the Legendre symbol
研究随机完全乘性函数部分和为正的条件概率，以及Legendre符号部分和为正的概率，改进了Kerr和Klurman的界，并给出在Halász猜想下的指数衰减界。
Dirichlet $L$-functions on the critical line and multiplicative chaos
本文证明随机 Dirichlet 特征对应的 L 函数在临界线上收敛到与高斯乘性混沌相关的随机分布，与 zeta 函数随机平移的极限一致。
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