Generalizing Zeckendorf's Theorem: The Kentucky Sequence
根据Zeckendorf定理，斐波那契数列的一个等价定义（适当规范化）是它是唯一的递增整数序列，使得每个正数都可以唯一地写成不相邻元素的和;这被称为合法分解。以前的工作研究了分布的被加数和它们之间的间距，在法律分解所产生的斐波那契数和其他线性递归关系与非负积分系数。这些结果中的许多仅限于定义复发中的首项为阳性的情况。我们研究了一个推广的斐波那契数与一个简单的概念的合法性，导致复发的首项消失。我们再次有独特的合法分解，高斯行为的数量的被加数，和几何衰减的差距的分布。
2014-09-01 math.NT
Distribution of Zeckendorf expressions
本文围绕Zeckendorf定理展开，研究小于x的无相邻项二进制展开数的渐近公式，并将结果推广至非负整数系数的一般线性递推场景，拓展了相关数论结论的适用范围。
2023-08-24 math.NT
Non-standard Zeckendorf decompositions; or, Tribonacci within Fibonacci
University of Texas at Tyler（泰勒大学）
研究用前k个Fibonacci数表示n的方式数B(n;k)，展示B(0;k)满足类似Tribonacci的递推关系，B(n;k)满足修改后的递推关系。
2026-04-16 math.CO math.NT
Benford Behavior of Zeckendorf Decompositions
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每个整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数数之和$\{ F_i \}_{i = 1}^{\infty}$。一个集合$S \subset \mathbb{Z}$被称为满足本福德定律，如果$S$中的元素的密度与前导数字$d$是$\log_{10}{(1+\frac{1}{d})}$ ;换句话说，更小的前导数字更有可能出现。我们证明了，作为$n\to\infty$，对于$[0, F_{n+1})$中随机选择的整数$m$，其Zeckendorf分解中Fibonacci被加数的前导位的分布几乎必然收敛于Benford定律。我们的结果持有更普遍的，而不是看的分布领先的数字之一，获得类似的定理，如何经常值的密度达到。
2014-09-01 math.NT
Integers Having $F_{2k}$ in Both Zeckendorf And Chung-Graham Decompositions
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Washington and Lee University（华盛顿与李大学）
本文发现Zeckendorf分解的字典序子列表与黄金字符串$\mathcal{S}$之间的对应关系，以及Chung-Graham分解的对偶对应关系，并利用这些对应给出在两种分解中同时包含$F_{2k}$的所有正整数集合。
2026-06-12 math.NT
On the number of summands in Zeckendorf decompositions
Zeckendorf证明了每一个正整数都有一个唯一的表示为非连续的斐波那契数之和。一旦显示了这一点，很自然地会问需要多少个被加数。Lekkerkerker使用连分数方法证明了$[F_n, F_{n+1})$中整数所需的这种被加数的平均数是$n / (φ^2 + 1) + O(1)$，其中$φ= \frac{1+\sqrt{5}}2$是黄金平均数。令人惊讶的是，似乎没有人研究被和数的分布;我们的主要结果是，这收敛到高斯$n\to\infty$。此外，这样的结果不仅适用于斐波那契数，而且适用于许多其他问题，例如具有非负整数系数的线性递归关系（这是数的基$B$展开式的推广）和远差表示。一般来说，证明涉及采用组合的观点，并通过部分分式展开和微分恒等式分析产生的生成函数。由此产生的论点变得相当技术性;本文的目的是集中在特殊和最有趣的情况下的斐波那契数，其中的障碍消失和证明遵循一些组合和斯特林公式;见[MW]的证明在一般情况下。
2010-08-19 math.NT
Limiting Distributions in Generalized Zeckendorf Decompositions
斐波那契数的一个等价定义是，它们是唯一的序列，使得每个整数都可以唯一地写成不相邻项的和。我们可以看到这一点，因为我们有长度为1的bin，我们最多可以从bin中取出一个元素，如果我们从bin中选择一个元素，我们就不能从相邻的bin中取出一个元素。我们推广到允许不同长度的箱子和限制，有多少元素可以在分解中使用。我们得出的条件时，所得到的序列具有唯一性的分解，（类似于斐波那契的情况下）当被求和的数量收敛到高斯;在这里的证明的主要工具是Lyaponuv中心极限定理。
2018-10-06 math.NT
On Zeckendorf Related Partitions Using the Lucas Sequence
Zeckendorf证明了每一个正整数都有一个唯一的分区作为非连续斐波那契数的和。类似地，每个自然数可以被划分为卢卡斯序列的非连续项的和，尽管这样的划分不需要是唯一的。本文证明了一个自然数在Lucas序列中至多可以有两个不同的非连续分拆，求出了所有在其分拆中有固定项的正整数，并计算了Lucas序列中不唯一分拆为非连续项之和的自然数的比例的极限值。
2021-08-28 math.NT
Individual Gap Measures from Generalized Zeckendorf Decompositions
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地分解为非连续的斐波那契数之和。被加数的分布收敛于高斯分布，并且对于几乎所有的$m$（如$n\to\infty$），$m \in [F_n, F_{n+1})$的被加数之间的间隙的各个测量收敛于几何衰减。虽然类似的结果是已知的许多其他递归，以前的工作主要集中在证明高斯性的数目和或平均差距措施。我们推导出一般的条件，很容易检查产量几何衰减的广义Zeckendorf分解附加到许多线性递归关系的个人差距措施。
2015-09-10 math.NT
The Fibonacci Quilt Game
Zeckendorf证明了每一个正整数都可以表示为非连续的斐波那契数之和。这个定理启发了一个美丽的游戏，Zeckendorf游戏。两个参与者从$n \ 1$开始，轮流应用受斐波那契递归启发的规则$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$，直到达到没有连续项的分解;谁走到最后一步谁就赢了。我们来看看一个游戏的结果从概括的斐波那契数，斐波那契被子序列。这些都是由平面通过斐波那契螺旋线平铺的二维几何性质引起的。从中心的1开始，我们在螺旋的正方形中放置整数，使得每个正方形包含最小的正整数，该最小的正整数不具有作为不共享壁的先前项的和的分解。这个序列最终遵循两个递归关系，使我们能够构建Zeckendorf博弈的变体，Fibonacci Quilt博弈。虽然斐波那契数列的某些性质被这个数列继承，但它的递归性质导致其他性质（如泽肯多夫定理）不再成立;因此，研究在这种情况下博弈的推广以观察哪些行为持续存在是有趣的。我们证明，类似于原来的游戏，这个游戏也总是终止于一个法律的分解，给一个下界的游戏长度，显示，根据策略的游戏的长度可以变化，任何一个玩家都可以赢，并给出一个猜想的长度的随机游戏。
2019-09-04 math.CO math.NT
The Generalized Zeckendorf Game
Zeckendorf证明了每一个正整数$n$都可以唯一地写成不相邻的斐波那契数之和;类似的结果，尽管合法分解的概念不同，但对许多其他序列也成立。我们使用这些分解来构造一个两人博弈，对于固定的正整数$c$（$c=k-1=1$给出斐波那契），可以完全分析其形式为$G_n = \sum_{i=1}^{k} c G_{n-i}$的线性递归关系。给定一个固定的整数$n$和$n = n G_1$的初始分解，两个参与者通过使用与递归关系相关的移动来交替，最后移动的人获胜。博弈总是在Zeckendorf分解中终止，尽管取决于移动的选择，博弈的长度和获胜者可能会有所不同。我们发现上界和下界的移动可能的数量;斐波那契游戏的上限是$n\log n$的顺序，并为其他游戏，我们得到了一个界与$n$线性增长。在斐波那契博弈中，参与人2拥有所有$n > 2$的获胜策略.但是如果参与人2在第一步就犯了错误，参与人1就有获胜的策略.有趣的是，这两种说法的证据都是非建设性的。
2018-09-14 math.CO math.NT
Zeckendorf representations and mixing properties of sequences
我们使用自然数的广义Zeckendorf表示来研究符号动力系统的混合性质。我们考虑的系统由与所谓的随机替换相关联的双无穷序列组成。我们专注于随机替换与斐波那契，tribonacci和金属平均数，并利用各自的计数方案。
2019-12-03 math.DS math.NT
Difference in the Number of Summands in the Zeckendorf Partitions of Consecutive Integers
Zeckendorf证明了每一个正整数都有一个唯一的分区作为非连续斐波那契数的和。我们研究了两个连续整数的分拆中的被加数之差。特别地，令$L(n)$为$n$的分区中的被加数。我们刻画了所有正整数，使得$L(n) > L(n+1)$，$L(n) < L(n+1)$，和$L(n) = L(n+1)$。此外，如果是$L(n) < L(n+1) > L(n+2)$，我们称$n+1$为$L$的峰，如果是$L(n) > L(n+1) < L(n+2)$，我们称其为$L$的二次峰。我们表征了$L$的所有这些峰和凹点。
2020-10-24 math.NT
On Generalized Zeckendorf Decompositions and Generalized Golden Strings
Zeckendorf证明了每一个正整数都有一个唯一的表示为非连续的斐波那契数之和。这个定理的一个自然的推广是看定义如下的序列：对于$n\ge 2$，设$F_{n,1} = F_{n,2} = \cdots = F_{n,n} = 1$和$F_{n, m+1} = F_{n, m} + F_{n, m+1-n}$对于所有$m\ge n$。已知每个正整数具有唯一表示为$F_{n,m}$的和，其中被加数的索引至少相隔$n$。我们称之为$n$ -分解。格里菲思证明了Zeckendorf分解和黄金弦之间的有趣关系。在本文中，我们继续的工作，以显示之间的关系$n$ -分解和广义金弦。
2020-05-29 math.NT
Extending Zeckendorf's Theorem to a Non-constant Recurrence and the Zeckendorf Game on this Non-constant Recurrence Relation
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地表示为从$1, 2, 3, 5,\ldots$索引的非相邻斐波那契数的和。这已经被许多作者推广，特别是常系数固定深度线性递归与积极的（或在某些情况下非负）系数。在这项工作中，我们将这一结果推广到一个经常性的系数，$a_{n+1} = n a_{n} + a_{n-1}$。分解法则变为每个$m$都有一个唯一的分解，即$\sum s_i a_i$和$s_i \le i$，其中如果$s_i = i$，则$s_{i-1} = 0$。与Zeckendorf的原始证明类似，我们使用贪婪算法。我们发现，几乎所有的间隙之间的被加数，作为$n$接近无穷大，长度为零，并给出一个启发式的被加数的分布趋于高斯。此外，我们建立了一个游戏的基础上，这种递归关系，推广游戏的斐波那契数。给定一个固定的整数$n$和$n= na_1$的初始分解，参与者通过使用与递归关系相关的移动进行交替，最后移动的人获胜。我们表明，游戏是有限的，并在唯一的分解$n$结束，任何一个球员都可以赢得一个两人游戏。我们找到了实现最短博弈的策略，以及这个最短博弈的长度。然后，我们证明了在这个广义博弈中，当有三个以上的球员，没有球员有获胜的策略。最后，我们演示了如何在两个玩家的游戏中的一个玩家可以迫使游戏的进展，他们的优势。
2020-09-26 math.NT
Gaussian Behavior in Zeckendorf Decompositions From Lattices
Zeckendorf定理指出，任何正整数都可以唯一地写成不相邻的斐波那契数之和。我们考虑高维格类似物，其中一个合法的分解数$n$是格点的集合，使得每个点最多包含一次。一旦选择了一个点，所有未来的点必须具有严格较小的坐标，并且所选点的值的两两和等于$n$。我们证明了在这些格分解的被加数的分布收敛到高斯分布在任何数量的维度。作为直接推论，我们得到了某些格路的渐近数的一个新证明。
2018-09-16 math.NT
The Reversed Zeckendorf Game
本文提出从Zeckendorf博弈终态开始、反转所有走法的反向Zeckendorf博弈，证明特定形式的n下玩家1有必胜策略，并求解了多种改进版该类博弈，为相关数论博弈研究提供了新方向。
2023-10-04 math.CO math.NT
The Average Gap Distribution for Generalized Zeckendorf Decompositions
斐波那契数的一个有趣的特征是，如果我们把它们写成$F_1 = 1$，$F_2 = 2$，$F_3 = 3$，$F_4 = 5, ...$，那么每个正整数都可以唯一地写成不相邻的斐波那契数之和。这现在被称为Zeckendorf定理[21]，并且对于由递归关系产生的许多其他序列${G_{n+1} = c_1 G_{n} + ... + c_L G_{n+1-L}}$存在类似的分解。更多的是已知的。Lekkerkerker [15]使用连分式方法证明了对于非零常数，$[G_n, G_{n+1})$中整数所需的被加数的平均数是$C_{\rm Lek} n$的数量级;这被其他人改进以显示被加数的数量在此平均值附近具有高斯波动。Kolo $\breve{\rm g}$ Lu，Kopp，Miller和Wang [17，18]最近组合地重新设计了这个问题，重新证明并推广了这些结果。我们使用这个新的角度来调查和之间的差距的分布。我们探索了所有$m \in [G_n, G_{n+1})$上的平均行为，用于$c_i$的特殊选择。具体来说，我们研究的情况下，每个$c_i \in {0,1}$，并有一个$g$，使总是有正好$g-1$零之间的两个非零$c_i$的;注意，这包括斐波那契，特里波那契和许多其他重要的特殊情况。我们证明了没有差距的长度小于$g$，和一个间隙的长度$j > g$的概率几何衰减，衰减比等…
2012-12-12 math.NT
Gaussian Behavior in Generalized Zeckendorf Decompositions
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每一个整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数$\{F_n\}_{n=1}^{\infty}$的和; Lekkerkerker证明了$[F_n, F_{n+1})$中整数的被加数的平均数是$n/(ϕ^2 + 1)$，其中$ϕ$是黄金平均数。有趣的是，更高的时刻似乎被忽略了。我们讨论的证明，分布的数目的被加数收敛到一个高斯$n \to \infty$，并评论有关分解的推广。例如，每个整数都可以唯一地写为$\pm F_n$的和，使得每两个相同（相反）符号的项的索引至少相差4（3）。正和负被加数的分布收敛于具有可计算的负相关的二元正态分布，即$-(21-2ϕ)/(29+2ϕ) \approx -0.551058$。
2011-07-14 math.NT
Benford Behavior of Generalized Zeckendorf Decompositions
我们证明Zeckendorf分解和本福德定律之间的联系。回想一下，如果我们用$F_1 = 1, F_2 = 2$和$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$来定义斐波那契数，那么每个正整数都可以唯一地写成这个序列的不相邻元素之和;这被称为泽肯多夫分解，并且对于由$G_{n+1}=c_1G_n+\cdots+c_LG_{n+1-L}$形式的递归关系产生的序列，存在类似的唯一分解，其中$c_i$为正，以及其他一些限制。此外，如果在$S$中具有前导数字$d$的元素的密度是$\log_{10}{(1+\frac{1}{d})}$，则集合$S \subset \mathbb{Z}$被称为满足本福德定律基数10;换句话说，更小的前导数字更有可能出现。证明了当$n\to\infty$为$[0, G_{n+1})$中随机选取的整数$m$时，其广义Zeckendorf分解的被加数的首位数的分布几乎必然收敛于Benford定律.我们的研究结果持有更普遍的：一个获得类似的定理，那些关于领导数字的分布时，考虑如何经常在密度集的值是在分解中的被加数。
2014-12-21 math.NT
Deterministic Zeckendorf Games
Zeckendorf证明了每一个正整数都可以唯一地写成不相邻的斐波那契数之和。我们进一步探讨了在Baird Smith，Epstein，Flint和Miller中引入的两人Zeckendorf博弈：给定一个固定整数$n$和$n = nF_1$的初始分解，玩家交替使用与递归关系$F_{n+1} = F_n + F_{n_1}$相关的移动，最后移动的玩家获胜。我们提高了上界的移动次数可能，并表明它是相同的顺序在$n$作为下限，这是一个改进的对数比以前的工作。新的上界是$3n - 3Z(n) - IZ(n) + 1$，现有的下界在$n - Z(n)$移动时是尖锐的，其中$Z(n)$是$n$的Zeckendorf分解中的项数，$IZ(n)$是$n$的相同Zeckendorf分解中的索引之和。我们还研究了游戏的四个确定性变体，其中有一个固定的顺序，其中一个可用的移动：合并最大，分裂最大，合并最小和分裂最小。我们证明了合并最大和分裂最大实现下界。在所有可能的博弈中，“拆分最小”具有最大的移动数，并且接近新的上界。对于合并拆分游戏，移动次数随$n$线性增长。
2020-06-30 math.NT
Central Limit Theorems for Gaps of Generalized Zeckendorf Decompositions
Zeckendorf证明了每一个整数都可以唯一地写成非相邻Fibonacci数之和$\{1,2,3,5,\dots\}$。这已被扩展到许多其他递归关系$\{G_n\}$（与自己的概念，一个合法的分解），并证明了分布的数目和一个$M \in [G_n, G_{n+1})$收敛到高斯作为$n\to\infty$。我们证明了对于任意非负整数$g$，在许多广义Zeckendorf分解中，$g$大小的空位的平均数是$C_μn+d_μ+o(1)$，对于常数$C_μ> 0$和$d_μ$依赖于$g$和递归，$g$大小的空位数的方差类似于$C_σn + d_σ+ o(1)$和$C_σ> 0$，并且$M\in[G_n,G_{n+1})$的$g$大小的空位数收敛于高斯函数$n\to\infty$ .的证明是通过分析相关的二维递归，我们证明了一个一般性的结果时，这种行为收敛到高斯，并重新推导出文献中的其他结果。
2016-07-27 math.NT
A Generalization of Zeckendorf's Theorem via Circumscribed $m$-gons
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地分解为非连续斐波那契数之和，其中斐波那契数满足$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$，对于$n\geq 3$，$F_1=1$和$F_2=2$。在这种分解中，被加数的分布收敛于高斯分布，被加数之间的间隔收敛于几何衰减，最长间隔的分布类似于有偏硬币中最长的正面运行;这些结果也更普遍地成立，尽管由于技术原因，以前的工作需要假设递归关系中的系数是非负的，第一项是正的。我们扩展这些结果，通过创建一个无限的家庭的整数序列称为$m$ -ESTA序列所产生的尺规作图法使用外切$m$ -ESTA。它们满足递归，其中第一个$m+1$前导项消失，因此不能由现有技术处理。我们提供了一个合法的分解的概念，并证明了存在的分解是唯一的。然后，我们检查的分布的数目的和使用的分解，并证明它显示高斯行为。有几何衰减的差距的分布，无论是从间隔中的所有整数的差距，几乎肯定在分布的个别差距措施相关联的每个整数的间隔。最后，我们证明，最长的差距之间的被加数的分布是强烈集中在其平均值，表现类似于在最长的头在投掷硬币。
2015-12-01 math.NT
The Fibonacci sequence modulo $p^2$ -- An investigation by computer for $p < 10^{14}$
我们证明了素数$p < 10^{14}$的周期长度$κ(p^2)$的Fibonacci序列模$p^2$是从来没有等于它的周期长度模$p$。这项调查包括用计算机进行广泛的搜索。作为应用，我们对所有小于$10^{14}$的素数建立了一般公式$κ(p^n) = κ(p) \cdot p^{n-1}$.
2010-06-04 math.NT
A consideration of the Fibonacci sequence modulo m
本文研究自然数$m$，其中${u_{z \pm 1} \equiv -1 \ (m)}$对$z \in \mathbb{N}$，其中$u_n$是第$n$个Fibonacci数.此外，我们希望为$m \in \mathbb{N}\setminus\{0,1\}$显示：$[\forall p \ \text{prim}: p^2 \nmid u_{γ(p)}] \Leftrightarrow [m^2 \mid u_{γ(m)} \Rightarrow m \in \{6,12\}]$。
2019-12-19 math.NT
Complete Generalized Fibonacci Sequences Modulo Primes
研究了初值为$F_0=0$和$F_1=1$的广义Fibonacci序列$F_{n+1}=PF_n-QF_{n-1}$.令$P,Q$为非零整数，使得$P^2-4Q$不是完满平方。我们表明，如果$Q=\pm 1$然后序列$\{F_n\}_{n=0}^\infty$错过了一个同余类模每一个素数足够大。另一方面，如果$Q \neq \pm 1$，我们证明了（在GRH下）序列$\{F_n\}_{n=0}^\infty$击中模无穷多个素数的每一个同余类。
2018-12-03 math.NT
Limiting density of the Fibonacci sequence modulo powers of a prime
本文研究斐波那契数列模素数幂剩余类的极限密度，证明其与模p卢卡斯数列零点相关，并通过p-进插值和Wall-Sun-Sun素数刻画给出完整解答。
2025-08-23 math.NT
Gaussian Behavior of the Number of Summands in Zeckendorf Decompositions in Small Intervals
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数${F_n}$的和，初始项为$F_1 = 1, F_2 = 2$。我们认为，在这样的分解所涉及的被加数的分布。以前的工作证明，作为$n \to \infty$的分布的Zeckendorf分解的$m \in [F_n, F_{n+1})$，适当规范化的被加数的数量，收敛到标准正常。证明关键地使用了$[F_n, F_{n+1})$中的所有整数共享相同的潜在被加数这一事实。我们将这些结果推广到子区间的$[F_n, F_{n+1})$作为$n \to \infty$ ;分析是显着更多的参与，因为不同的整数有不同的潜在的被加数。解释，修复整数序列$α(n) \to \infty$。作为$n \to \infty$，对于几乎所有的$m \in [F_n, F_{n+1})$，在子区间$[m, m + F_{α(n)})$中整数的Zeckendorf分解中的被加数的分布，适当地归一化，收敛到标准正态。证明如下所示，与概率倾向于$1$，$m$有至少一个适当定位的索引之间的大间隙在其分解。然后，我们使用该区间和$[0, F_{α(n)})$之间的对应关系来获得结果，因为已知被加数在后一区间中具有高斯行为。对于更一般的线性递归，我们也证明了同样的结果。
2014-09-01 math.NT
The Zeckendorf Game
Zeckendorf证明了每一个正整数$n$都可以唯一地写成不相邻的斐波那契数之和。我们用它来创建一个双人游戏。给定一个固定的整数$n$和$n = n F_1$的初始分解，两个参与者通过使用与递归关系$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$相关的移动来交替，最后移动的人获胜。博弈总是在Zeckendorf分解中终止，尽管取决于移动的选择，博弈的长度和获胜者可能会有所不同。我们找到了可能移动次数的上界和下界。上界在$n\log n$的数量级上，下界在$n-Z(n)$移动时是尖锐的，其中$Z(n)$是$n$的Zeckendorf分解中的项数。值得注意的是，参与人2对所有$n > 2$都有获胜策略;然而，有趣的是，证明是非建设性的。
2018-09-14 math.CO math.NT
Gaussian Distribution of the Number of Summands in Generalized Zeckendorf Decompositions in Small Intervals
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数${F_n}$的和，初始项为$F_1 = 1, F_2 = 2$。以前的工作证明，作为$n \to \infty$的分布的Zeckendorf分解的$m \in [F_n, F_{n+1})$，适当规范化的被加数的数量，收敛到标准正常。证明关键使用的事实，所有的整数在$[F_n, F_{n+1})$共享相同的潜在的被加数，并保持更一般的正线性递归序列$\{G_n\}$。我们将这些结果推广到$[G_n, G_{n+1})$的子区间上，对于某些序列，推广为$n \to \infty$。这里的分析要复杂得多，因为不同的整数有不同的潜在被加数集。解释，修复整数序列$α(n) \to \infty$。作为$n \to \infty$，对于几乎所有的$m \in [G_n, G_{n+1})$，整数在子区间$[m, m + G_{α(n)})$中的广义Zeckendorf分解中的被加数的分布，适当地归一化，收敛到标准正态。证明如下所示，概率倾向于$1$，$m$有至少一个适当的位置在其分解指数之间的大差距。然后，我们使用该区间和$[0, G_{α(n)})$之间的对应关系来获得结果，因为已知被加数在后一个区间中具有高斯行为。
2015-01-28 math.NT
The structure of base phi expansions
本文研究了基数 phi 展开的结构，通过分类正负部分的数字块序列，证明了正部分为 Zeckendorf 展开的子序列并给出显式公式，同时确定了负部分所有允许数字块的出现顺序。
2023-05-15 math.NT
On the inverse of a Fibonacci number modulo a Fibonacci number being a Fibonacci number
本研究确定了所有使斐波那契数$F_m$模$F_n$的乘法逆元为斐波那契数的正整数对$(m,n)$，推广了前人的特殊情形结果，并进一步解决了卢卡斯数的对应问题。
2023-06-14 math.NT
A Probabilistic Approach to Generalized Zeckendorf Decompositions
广义Zeckendorf分解是将整数展开为递归关系的解的元素和。最简单的情况是基$b$展开，标准的Zeckendorf分解使用Fibonacci序列。这些展开式是有限的非负整数系数序列（满足一定的技术条件以保证分解的唯一性），并且可以被看作是由一些固定字母表组成的变长字序列的类似物。本文提出了一种新的方法和构造的一致措施的扩张，确定它们的分布的马尔可夫链的条件不击中一个集。这给出了一个统一的方法，使我们能够很容易地恢复结果的扩展从类似的结果马尔可夫链，在本文中，我们专注于大数定律，中心极限定理的数字和声明的差距（零）的扩展。我们希望这种方法在其他类似的情况下证明是有用的。
2016-05-13 math.NT math.PR
General Recurrence Multidimensional Zeckendorf Representations
Northeastern University（东北大学）；Williams College（威廉姆斯学院）；Universidad Panamericana（泛美大学）；Shanghai University（上海大学）；University of Michigan（密歇根大学）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本文提出齐肯多夫定理到一般线性递归的多维推广，证明在特定系数条件下整数向量存在唯一表示，并继承高斯行为与最小性等性质。
2026-10-30 math.NT
Fibonacci Sequences And Real Quadratic p-Rational Fields
利用广义斐波那契数及其模正整数周期研究了实二次域的p-有理性.
2019-02-13 math.NT
On the variation of the sum of digits in the Zeckendorf representation: an algorithm to compute the distribution and mixing properties
该研究针对Zeckendorf表示中数字和变化定义的概率测度，借助动力系统给出概率解释，提出计算算法并推导分布尾部控制与斐波那契数相关公式，还证明块作用可视为混合随机变量序列。
2024-03-06 math.NT math.PR
Connecting Zeros in Pisano Periods to Prime Factors of $K$-Fibonacci Numbers
本文证明了将Pisano周期中的零点与$K$-Fibonacci数的素因子联系起来的若干猜想，指出$K$-Fibonacci数索引的同余类完全决定了模$m$的Pisano周期中零点的数量。
2025-01-30 math.NT
Generalizing Zeckendorf's Theorem to f-decompositions
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每个正整数都可以唯一地分解为非连续Fibonacci数$\{F_n\}$的和，其中$F_1 = 1$，$F_2 = 2$和$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$。对于具有非负系数的一般递归$\{G_n\}$，存在合法分解的概念，其再次导致唯一表示，并且均匀随机选择的$m \in [G_n, G_{n+1})$的表示中的被加数的数量收敛于正态分布，如$n \to \infty$。我们考虑相反的问题：给定合法分解的概念，是否有可能构造一个序列$\{a_n\}$，使得每个正整数都可以分解为序列项的和？我们将合法分解的概念编码为函数$f:\N_0\to\N_0$，并说如果$a_n$处于“$f$ -分解”中，则该分解不能包含序列中紧接在$a_n$之前的$f(n)$项; $f$的特殊选择产生许多众所周知的分解（包括基- $b$、Zeckendorf和阶乘）。我们证明了，对于任何$f:\N_0\to\N_0$，存在一个序列$\{a_n\}_{n=0}^\infty$，使得每一个正整数有一个唯一的$f$分解使用$\{a_n\}$。此外，如果$f$是周期性的，则对应于$f$的唯一递增序列$\{a_n\}$满足线性递归关系。以前的研究只处理没有负系数的递归关系。我们发现一个函数$f$，产生一个序列，不能描述这样的递归关系。最后，对于一类函数$f$，…
2013-09-22 math.NT
On sums of two Fibonacci numbers that are powers of numbers with limited Hamming weight
在2018年，Luca和Patel证明了可以表示为两个斐波那契数之和的最大完全幂是$3864^2 = F_{36} + F_{12}$。换句话说，他们证明了方程\begin{equation}\tag{$\ast$}\label{eq:abstract} y^a = F_n + F_m \end{equation}没有$a\geq 2$和$y^a > 3864^2$的解。虽然这仍然是一个开放的问题，有几个部分的结果。例如，最近Kebli，Kihel，Larone和Luca证明了$y^a$的显式上界，它取决于$y$的大小。在本文中，我们找到了一个明确的上界$y^a$，它只依赖于汉明重量$y$关于Zeckendorf表示。更具体地说，我们证明了：如果$y$和一些非负整数$n,m$和$a\geq 2$满足$y = F_{n_1}+ \dots + F_{n_k}$和方程\eqref{eq:abstract}，则\[ y^a \leq \exp\left(C{(\varepsilon)} \cdot k^{(3+\varepsilon)k^2} \right). \]这里，$\varepsilon >0$可以任意选择，$C(\varepsilon)$是一个有效的可计算常数.
2023-02-16 math.NT
Gaps of Summands of the Zeckendorf Lattice
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每个正整数都有一个唯一的分解为不相邻的斐波那契数之和。这样的分解更普遍地存在，并且对它们有很多了解。首先，对于任何正线性递归{Gn}，[Gn，Gn+1）中整数的合法分解中的被加数收敛于高斯分布。第二，鲍尔，英软，李，米勒，和Tosteson证明，在一个分解，这是大于递归长度之间的差距的概率的被加数收敛到几何衰减。虽然大多数文献涉及一维序列，但Chen，Guo，Jiang，Miller，Siktar和Yu最近的一些工作将这些分解扩展到d维格，其中合法分解是一个点链，可以在所有d维中从一个点移动到下一个点。他们证明了一维序列的某些但不是全部性质仍然成立。我们继续这项工作，并期待在法律分解条款之间的差距的分布，并证明类似的1维情况下，当d = 2的间隙向量收敛到一个二元几何随机变量。
2019-09-04 math.CO math.NT
Residues modulo powers of two in the Young-Fibonacci lattice
研究了由具有奇$f$ -统计量的元素诱导的Young-Fibonacci图的子图（微分分次偏序集的元素$w$的$f$ -统计量是从偏序集的极小元到$w$的饱和链的个数）.我们证明了这个子图是一棵二叉树。此外，该树的行中的$f$ -统计量的奇数残差以任何幂2为模进行等分布。这相当于一个纯粹的数论结果之间的产品不同的奇数小于小于一个固定的数字的剩余模幂的均匀分布。
2017-02-22 math.CO math.NT
The Ordered Zeckendorf Game
Williams College（威廉姆斯学院）；University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文研究了受齐肯多夫定理启发的有序齐肯多夫游戏，通过引入相邻约束和切换移动，改变了游戏动态，发现玩家1在n≤25时几乎总获胜，且游戏终止于升序齐肯多夫分解。
2026-03-29 math.CO math.NT
The Distribution of Gaps between Summands in Generalized Zeckendorf Decompositions
Zeckendorf证明了任何整数都可以唯一地分解为非相邻斐波那契数之和，$F_n$。Lekkerkerker利用连分数证明了一个$m \in [F_n, F_{n+1})$的平均和数本质上是$n/(φ^2 +1)$，其中$φ$是黄金分割率。Miller-Wang通过采用组合的观点对此进行了推广，证明了对于任何正线性递归，$[G_n, G_{n+1})$中整数分解中的被加数收敛于高斯分布。我们证明了一个间隙大于递归长度收敛到几何衰减的概率，并且较小的间隙的分布依赖于递归系数的可计算方式。这些结果既适用于所有$m \in [G_n, G_{n+1})$的平均值，也几乎肯定适用于与个体$m$相关的间隙测量。该技术也可以用来确定的最长间隙之间的分布和，我们证明是类似的头部之间的最长间隙的分布在投掷有偏见的硬币。它是一个双指数强烈集中的平均值，并在$\log n$的顺序与可计算的常数取决于复发。
2014-02-26 math.CO math.NT
Splitting fields and periods of Fibonacci sequences modulo primes
斐波那契数列模素数的周期是多少？我们简短的论文的目的是说明一个访问，动机治疗这个经典的主题只使用线性和抽象代数的想法（而不是个案分析，发现在许多论文的主题，或技术从研究生数论）。我们的方法扩展到一般递归素数模，并提供了一些新的见解。我们的处理突出了一个很好的应用程序的使用分裂领域，可能适合目前在本科课程，在抽象代数或伽罗瓦论。
2009-09-02 math.CO math.NT
Some Properties of Fibonacci Numbers, Generalized Fibonacci Numbers and Generalized Fibonacci Polynomial Sequences
本文研究了斐波那契数，得到了一些有趣的性质和递推关系。证明了$F_p$的一些特征化，其中$p$是某类素数.我们还定义了一个斐波那契序列模一个整数，$m$周期，并得出一些有趣的性质与他们有关。然后，我们得到了一类广义斐波那契数的一些新的性质.在文章的最后一部分，我们引入了一些广义Fibonacci多项式序列，并得到了与之相关的一些结果。
2015-06-10 math.NT
Fixed points of K-Fibonacci sequences
本文研究了 $K$-Fibonacci 序列的不动点，根据 $K^2+4$ 的因式分解确定了所有不动点，并证明迭代该过程后所有大于 3 的模数最终都会终止于不动点。
2024-07-29 math.NT
$p$-regularity of the $p$-adic valuation of the Fibonacci sequence
证明了斐波那契数的$p$ -adic赋值对每个素数$p$都是$p$ -正则序列.对于$p \neq 2, 5$，我们确定该序列的秩为$α(p) + 1$，其中$α(m)$是斐波那契序列模$m$的受限周期长度。
2015-01-26 math.NT
Powers as Fibonacci Sums
Carleton University（卡尔顿大学）；Brock University（布鲁克大学）；Université de Kara（卡拉大学）；Laboratoire d’Algèbre, de Cryptologie, de Géométrie Algébrique et Applications (LACGAA), Université Cheikh Anta Diop de Dakar (UCAD)（达喀尔谢赫安塔·迪奥普大学（UCAD）代数、密码学、代数几何及应用实验室（LACGAA））
本文研究幂为斐波那契和的方程，将其转化为整数的Zeckendorf表示问题，借助对数线性型界与Baker-Davenport约化方法，求解了不同k值下对应y上限的方程解。
2026-08-06 math.NT
On the generalized Fibonacci sequence of polynomials over finite fields
本文作为整数情形的一种类似，详细研究了有限域上模任意多项式的广义Fibonacci多项式序列的周期和秩。我们建立了计算它们的公式，并得到了周期商和秩商的一些性质。我们发现，多项式的情况下是复杂得多的整数的情况下。
2023-03-30 math.NT
Generalizing Zeckendorf's Theorem to Homogeneous Linear Recurrences, I
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地写成非连续移位斐波那契数之和$\{F_n\}$，其中我们取$F_1=1$和$F_2=2$。这已经被推广到任何正线性递归序列（PLRS），其非正式地是满足具有正首项系数和非负整数系数的齐次线性递归的序列。这些分解是基$B$分解的推广。在这篇论文和后续论文中，我们提供了两种方法来研究线性递归，其中首项系数为零，其次是非负整数系数，索引之间的差异相对素数（简称ZLRR）。第一种方法涉及概括的定义，法律分解的PLRS中发现Koloelu，Kopp，米勒和王。我们证明了每个正整数$N$有一个合法的分解，任何ZLRR使用贪婪算法。我们还表明，一个特定的家庭ZLRR失去分解的唯一性。第二种方法将ZLRR转换为具有相同增长率的PLRR。我们开发的归零算法，一个强大的助手工具，用于分析线性递归序列的行为。我们用它来证明一个非常普遍的结果，保证某些递归之间的转换的可能性，并开发一种方法来快速确定某些序列是否发散到$+\infty$或$-\infty$，给定任何真正的初始值。本文探讨了第一种方法。
2021-08-03 math.CO math.NT
Fibonacci numbers modulo cubes of primes
设$p$是一个奇素数。众所周知，$F_{p-(\frac p5)}\equiv 0\pmod{p}$，其中$\{F_n\}_{n\ge0}$是斐波那契序列，$(-)$是雅可比符号。在本文中，我们表明，如果$p\not=5$，那么我们可以确定$F_{p-(\frac p5)}$模$p^3$在以下方式：$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k}{(-16)^k}\equiv\left(\frac{p}5\right)\left(1+\frac{F_{p-(\frac {p}5)}}2\right)\pmod{p^3}.$$我们还使用Lucas矩阵来确定$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\binom{2k}k/m^k$模$p^2$的任何整数$m\not\equiv0\pmod{p}$，特别是，我们得到$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k}{16^k}\equiv\left(\frac3{p}\right)\pmod{p^2}.$$此外，我们提出了三个进一步研究的结构。
2013-10-31 math.CO math.NT
Generalizing Zeckendorf's Theorem to Homogeneous Linear Recurrences, II
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地写成非连续移位斐波那契数之和$\{F_n\}$，其中我们取$F_1=1$和$F_2=2$。这已经被推广到任何正线性递归序列（PLRS），其非正式地是满足具有正首项系数和非负整数系数的齐次线性递归的序列。在这篇和前面的文章中，我们提供了两种方法来研究线性递归与首项系数为零，其次是非负整数系数，指数之间的差异相对素数（简称ZLRR），通过两种不同的方法。第一种方法涉及概括的定义，法律分解的PLRS中发现Koloelu，Kopp，米勒和王。我们证明了每个正整数$N$有一个合法的分解，任何ZLRR使用贪婪算法。我们还表明，一个特定的家庭ZLRR失去了唯一性的分解。第二种方法将ZLRR转换为具有相同增长率的PLRR。我们开发的归零算法，一个强大的助手工具，用于分析线性递归序列的行为。我们用它来证明一个非常普遍的结果，保证一定的递归之间的转换的可能性，并开发一种方法来快速确定一个序列是否发散到$+\infty$或$-\infty$，给定任何真正的初始值。本文探讨了第二种方法。
2021-08-03 math.CO math.NT
A remark on periods of periodic sequences modulo $m$
令$\{G_n\}$是整数模$m$的周期序列，并且令$\{SG_n\}$是由$SG_n:= \sum_{k=0}^nG_k $（mod $m$）定义的部分和序列。给出了$\{SG_n\}$周期的计算公式。我们还表明，对于广义Fibonacci序列$F(a,b)_n$，使$F(a,b)_0=a$和$F(a,b)_1=b$，我们有$$S^i F(a,b)_n = S^{i-1}F(a,b)_{n+2}-{n+i \choose i-2}a-{n+i \choose i-1} b$$，其中$S^i F(a,b)_n $是由$S^i F(a,b)_n := \sum_{k=0}^n S^{i-1}F(a,b)_k$连续定义的第i个部分和序列。这是斐波纳契数列$F_n$的著名公式$$\sum_{k=0}^n F_k = F_{n+2} -1$$的推广版本。
2020-06-22 math.NT
On some arithmetic conditions of recurrent sequences modulo prime p
HSE University（高等经济大学）
研究K-斐波那契序列模素数p，估计集合和与积的基数，并提出估计m维递归集合加倍常数的方法。
2026-05-22 math.NT
