On Zeckendorf-Niven numbers and arithmetic progressions
Dartmouth College（达特茅斯学院）；Williams College（威廉姆斯学院）；California State University, East Bay（加州州立大学东湾分校）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Kutztown University of Pennsylvania（宾夕法尼亚库茨敦大学）；Augustana University（奥古斯塔纳大学）
研究Zeckendorf-Niven数和Lucas-Niven数在算术级数中的分布，证明每个算术级数中存在无穷多个这样的数，并给出某些算术级数中连续项的最大数量界限。
2026-06-24 math.NT
Central Limit Theorems for Gaps of Generalized Zeckendorf Decompositions
Zeckendorf证明了每一个整数都可以唯一地写成非相邻Fibonacci数之和$\{1,2,3,5,\dots\}$。这已被扩展到许多其他递归关系$\{G_n\}$（与自己的概念，一个合法的分解），并证明了分布的数目和一个$M \in [G_n, G_{n+1})$收敛到高斯作为$n\to\infty$。我们证明了对于任意非负整数$g$，在许多广义Zeckendorf分解中，$g$大小的空位的平均数是$C_μn+d_μ+o(1)$，对于常数$C_μ> 0$和$d_μ$依赖于$g$和递归，$g$大小的空位数的方差类似于$C_σn + d_σ+ o(1)$和$C_σ> 0$，并且$M\in[G_n,G_{n+1})$的$g$大小的空位数收敛于高斯函数$n\to\infty$ .的证明是通过分析相关的二维递归，我们证明了一个一般性的结果时，这种行为收敛到高斯，并重新推导出文献中的其他结果。
2016-07-27 math.NT
Gaussian Behavior of the Number of Summands in Zeckendorf Decompositions in Small Intervals
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数${F_n}$的和，初始项为$F_1 = 1, F_2 = 2$。我们认为，在这样的分解所涉及的被加数的分布。以前的工作证明，作为$n \to \infty$的分布的Zeckendorf分解的$m \in [F_n, F_{n+1})$，适当规范化的被加数的数量，收敛到标准正常。证明关键地使用了$[F_n, F_{n+1})$中的所有整数共享相同的潜在被加数这一事实。我们将这些结果推广到子区间的$[F_n, F_{n+1})$作为$n \to \infty$ ;分析是显着更多的参与，因为不同的整数有不同的潜在的被加数。解释，修复整数序列$α(n) \to \infty$。作为$n \to \infty$，对于几乎所有的$m \in [F_n, F_{n+1})$，在子区间$[m, m + F_{α(n)})$中整数的Zeckendorf分解中的被加数的分布，适当地归一化，收敛到标准正态。证明如下所示，与概率倾向于$1$，$m$有至少一个适当定位的索引之间的大间隙在其分解。然后，我们使用该区间和$[0, F_{α(n)})$之间的对应关系来获得结果，因为已知被加数在后一区间中具有高斯行为。对于更一般的线性递归，我们也证明了同样的结果。
2014-09-01 math.NT
Gaussian Behavior in Generalized Zeckendorf Decompositions
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每一个整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数$\{F_n\}_{n=1}^{\infty}$的和; Lekkerkerker证明了$[F_n, F_{n+1})$中整数的被加数的平均数是$n/(ϕ^2 + 1)$，其中$ϕ$是黄金平均数。有趣的是，更高的时刻似乎被忽略了。我们讨论的证明，分布的数目的被加数收敛到一个高斯$n \to \infty$，并评论有关分解的推广。例如，每个整数都可以唯一地写为$\pm F_n$的和，使得每两个相同（相反）符号的项的索引至少相差4（3）。正和负被加数的分布收敛于具有可计算的负相关的二元正态分布，即$-(21-2ϕ)/(29+2ϕ) \approx -0.551058$。
2011-07-14 math.NT
Gaussian Distribution of the Number of Summands in Generalized Zeckendorf Decompositions in Small Intervals
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数${F_n}$的和，初始项为$F_1 = 1, F_2 = 2$。以前的工作证明，作为$n \to \infty$的分布的Zeckendorf分解的$m \in [F_n, F_{n+1})$，适当规范化的被加数的数量，收敛到标准正常。证明关键使用的事实，所有的整数在$[F_n, F_{n+1})$共享相同的潜在的被加数，并保持更一般的正线性递归序列$\{G_n\}$。我们将这些结果推广到$[G_n, G_{n+1})$的子区间上，对于某些序列，推广为$n \to \infty$。这里的分析要复杂得多，因为不同的整数有不同的潜在被加数集。解释，修复整数序列$α(n) \to \infty$。作为$n \to \infty$，对于几乎所有的$m \in [G_n, G_{n+1})$，整数在子区间$[m, m + G_{α(n)})$中的广义Zeckendorf分解中的被加数的分布，适当地归一化，收敛到标准正态。证明如下所示，概率倾向于$1$，$m$有至少一个适当的位置在其分解指数之间的大差距。然后，我们使用该区间和$[0, G_{α(n)})$之间的对应关系来获得结果，因为已知被加数在后一个区间中具有高斯行为。
2015-01-28 math.NT
Bounds on Zeckendorf Games
Zeckendorf证明了每一个正整数$n$都可以唯一地写成不相邻的Fibonacci数之和。我们使用这种分解来构造一个两人博弈。给定一个固定的整数$n$和$n=n F_1$的初始分解，两个参与者通过使用与递归关系$F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$相关的移动来交替，最后移动的人获胜。博弈总是以Zeckendorf分解结束;根据移动的选择，博弈的长度和赢家可以变化，尽管对于$n\ge 2$，有一个非构造性的证据表明参与人2有一个获胜的策略。最初，游戏长度的下限是$n$阶（并且已知是尖锐的），而上限是大小$n \log n$。最近的工作减少了上限的大小$n$，但有一个更大的常数比所示。我们改进了上界，得到了$n$阶的$\frac{\sqrt{5}+3}{2}\ n - IZ(n) - \frac{1+\sqrt{5}}{2}Z(n)$的精确上界，$Z(n)$是$n$的Zeckendorf分解中的项数，$IZ(n)$是$n$的Zeckendorf分解中的指数之和（它们的大小最多分别为$\log n$和$\log^2 n$）.我们还介绍了一个贪婪的算法，实现了上限，并表明，最长的游戏上的任何$n$是通过应用分裂移动尽可能实现的。
2020-09-20 math.NT
Generalizing Zeckendorf's Theorem: The Kentucky Sequence
根据Zeckendorf定理，斐波那契数列的一个等价定义（适当规范化）是它是唯一的递增整数序列，使得每个正数都可以唯一地写成不相邻元素的和;这被称为合法分解。以前的工作研究了分布的被加数和它们之间的间距，在法律分解所产生的斐波那契数和其他线性递归关系与非负积分系数。这些结果中的许多仅限于定义复发中的首项为阳性的情况。我们研究了一个推广的斐波那契数与一个简单的概念的合法性，导致复发的首项消失。我们再次有独特的合法分解，高斯行为的数量的被加数，和几何衰减的差距的分布。
2014-09-01 math.NT
Deterministic Zeckendorf Games
Zeckendorf证明了每一个正整数都可以唯一地写成不相邻的斐波那契数之和。我们进一步探讨了在Baird Smith，Epstein，Flint和Miller中引入的两人Zeckendorf博弈：给定一个固定整数$n$和$n = nF_1$的初始分解，玩家交替使用与递归关系$F_{n+1} = F_n + F_{n_1}$相关的移动，最后移动的玩家获胜。我们提高了上界的移动次数可能，并表明它是相同的顺序在$n$作为下限，这是一个改进的对数比以前的工作。新的上界是$3n - 3Z(n) - IZ(n) + 1$，现有的下界在$n - Z(n)$移动时是尖锐的，其中$Z(n)$是$n$的Zeckendorf分解中的项数，$IZ(n)$是$n$的相同Zeckendorf分解中的索引之和。我们还研究了游戏的四个确定性变体，其中有一个固定的顺序，其中一个可用的移动：合并最大，分裂最大，合并最小和分裂最小。我们证明了合并最大和分裂最大实现下界。在所有可能的博弈中，“拆分最小”具有最大的移动数，并且接近新的上界。对于合并拆分游戏，移动次数随$n$线性增长。
2020-06-30 math.NT
Extending Zeckendorf's Theorem to a Non-constant Recurrence and the Zeckendorf Game on this Non-constant Recurrence Relation
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地表示为从$1, 2, 3, 5,\ldots$索引的非相邻斐波那契数的和。这已经被许多作者推广，特别是常系数固定深度线性递归与积极的（或在某些情况下非负）系数。在这项工作中，我们将这一结果推广到一个经常性的系数，$a_{n+1} = n a_{n} + a_{n-1}$。分解法则变为每个$m$都有一个唯一的分解，即$\sum s_i a_i$和$s_i \le i$，其中如果$s_i = i$，则$s_{i-1} = 0$。与Zeckendorf的原始证明类似，我们使用贪婪算法。我们发现，几乎所有的间隙之间的被加数，作为$n$接近无穷大，长度为零，并给出一个启发式的被加数的分布趋于高斯。此外，我们建立了一个游戏的基础上，这种递归关系，推广游戏的斐波那契数。给定一个固定的整数$n$和$n= na_1$的初始分解，参与者通过使用与递归关系相关的移动进行交替，最后移动的人获胜。我们表明，游戏是有限的，并在唯一的分解$n$结束，任何一个球员都可以赢得一个两人游戏。我们找到了实现最短博弈的策略，以及这个最短博弈的长度。然后，我们证明了在这个广义博弈中，当有三个以上的球员，没有球员有获胜的策略。最后，我们演示了如何在两个玩家的游戏中的一个玩家可以迫使游戏的进展，他们的优势。
2020-09-26 math.NT
Generalizing Zeckendorf's Theorem to f-decompositions
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每个正整数都可以唯一地分解为非连续Fibonacci数$\{F_n\}$的和，其中$F_1 = 1$，$F_2 = 2$和$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$。对于具有非负系数的一般递归$\{G_n\}$，存在合法分解的概念，其再次导致唯一表示，并且均匀随机选择的$m \in [G_n, G_{n+1})$的表示中的被加数的数量收敛于正态分布，如$n \to \infty$。我们考虑相反的问题：给定合法分解的概念，是否有可能构造一个序列$\{a_n\}$，使得每个正整数都可以分解为序列项的和？我们将合法分解的概念编码为函数$f:\N_0\to\N_0$，并说如果$a_n$处于“$f$ -分解”中，则该分解不能包含序列中紧接在$a_n$之前的$f(n)$项; $f$的特殊选择产生许多众所周知的分解（包括基- $b$、Zeckendorf和阶乘）。我们证明了，对于任何$f:\N_0\to\N_0$，存在一个序列$\{a_n\}_{n=0}^\infty$，使得每一个正整数有一个唯一的$f$分解使用$\{a_n\}$。此外，如果$f$是周期性的，则对应于$f$的唯一递增序列$\{a_n\}$满足线性递归关系。以前的研究只处理没有负系数的递归关系。我们发现一个函数$f$，产生一个序列，不能描述这样的递归关系。最后，对于一类函数$f$，…
2013-09-22 math.NT
Summand minimality and asymptotic convergence of generalized Zeckendorf decompositions
给定递归序列$H$，其中$H_n = c_1 H_{n-1} + \dots + c_t H_{n-t}$，其中$c_i \in \mathbb{N}_0$对于所有$i$和$c_1, c_t \geq 1$，$m \in \mathbb{N}_0$的广义Zeckendorf分解（gzd）是使用由按字典顺序小于$σ= (c_1, \dots, c_t)$的块组成的$H$的$m$的唯一表示。我们证明了$m$的gzd使用最少数量的被加数在所有的$m$表示使用$H$，对于所有的$m$，当且仅当$σ$是弱减少。我们开发了一个算法，从任何表示的$m$的gzd，分析证明，$σ$弱递减意味着和极小。证明了形式为$v_0 H_n + \dots + v_\ell H_{n-\ell}$的数的gzds在适当的意义下收敛为$n \to \infty$，并将这种收敛分为三种不同的行为.我们使用这个结果，连同某些家庭的多项式的不可约，表现出一个表示与更少的被加数比gzd如果$σ$不是弱减少。
2018-10-14 math.NT
Winning Strategy for the Multiplayer and Multialliance Zeckendorf Games
Edouard Zeckendorf证明了每一个正整数$n$都可以被唯一地写成\cite{Ze}作为不相邻的斐波那契数之和，称为Zeckendorf分解。基于Zeckendorf的分解，我们有多个参与人的Zeckendorf博弈。我们表明，当Zeckendorf游戏至少有$3$的球员，没有球员有一个获胜的策略$n\geq 5$。然后，我们将多人博弈扩展到多联盟博弈，发现了一些有趣的情况，其中没有联盟有一个获胜的策略。这包括两个联盟的博弈，以及其中一个联盟总是有获胜策略的一些情况。我们研究什么联盟，或球员的组合，可以赢得，以及他们必须要做到这一点的规模。我们还发现了必要的结构性限制，即我们的证明方法可以证明哪些联盟是赢家。此外，我们发现一些联盟结构，必须有获胜的战略。我们还将广义Zeckendorf对策从$2$ -局中人推广到多局中人.我们发现，当游戏中有$3$参与者时，参与者$2$永远不会对任何显著大的$n$有获胜策略。我们还发现，当游戏至少有$4$玩家时，没有玩家对任何显著大的$n$有获胜策略。
2020-10-21 math.NT
On Zeckendorf Related Partitions Using the Lucas Sequence
Zeckendorf证明了每一个正整数都有一个唯一的分区作为非连续斐波那契数的和。类似地，每个自然数可以被划分为卢卡斯序列的非连续项的和，尽管这样的划分不需要是唯一的。本文证明了一个自然数在Lucas序列中至多可以有两个不同的非连续分拆，求出了所有在其分拆中有固定项的正整数，并计算了Lucas序列中不唯一分拆为非连续项之和的自然数的比例的极限值。
2021-08-28 math.NT
A Probabilistic Approach to Generalized Zeckendorf Decompositions
广义Zeckendorf分解是将整数展开为递归关系的解的元素和。最简单的情况是基$b$展开，标准的Zeckendorf分解使用Fibonacci序列。这些展开式是有限的非负整数系数序列（满足一定的技术条件以保证分解的唯一性），并且可以被看作是由一些固定字母表组成的变长字序列的类似物。本文提出了一种新的方法和构造的一致措施的扩张，确定它们的分布的马尔可夫链的条件不击中一个集。这给出了一个统一的方法，使我们能够很容易地恢复结果的扩展从类似的结果马尔可夫链，在本文中，我们专注于大数定律，中心极限定理的数字和声明的差距（零）的扩展。我们希望这种方法在其他类似的情况下证明是有用的。
2016-05-13 math.NT math.PR
On the number of summands in Zeckendorf decompositions
Zeckendorf证明了每一个正整数都有一个唯一的表示为非连续的斐波那契数之和。一旦显示了这一点，很自然地会问需要多少个被加数。Lekkerkerker使用连分数方法证明了$[F_n, F_{n+1})$中整数所需的这种被加数的平均数是$n / (φ^2 + 1) + O(1)$，其中$φ= \frac{1+\sqrt{5}}2$是黄金平均数。令人惊讶的是，似乎没有人研究被和数的分布;我们的主要结果是，这收敛到高斯$n\to\infty$。此外，这样的结果不仅适用于斐波那契数，而且适用于许多其他问题，例如具有非负整数系数的线性递归关系（这是数的基$B$展开式的推广）和远差表示。一般来说，证明涉及采用组合的观点，并通过部分分式展开和微分恒等式分析产生的生成函数。由此产生的论点变得相当技术性;本文的目的是集中在特殊和最有趣的情况下的斐波那契数，其中的障碍消失和证明遵循一些组合和斯特林公式;见[MW]的证明在一般情况下。
2010-08-19 math.NT
Zeckendorf's Theorem Using Indices in an Arithmetic Progression
Zeckendorf定理指出，任何正整数都可以唯一地分解为不同的、不相邻的斐波那契数之和。有许多推广，包括结果存在的分解使用甚至指数斐波那契数。我们进一步扩展这些，并证明了类似的结果举行时，只使用指数在一个给定的等差数列。作为我们证明的一部分，我们为斐波那契数生成了一系列新的递归式，这些递归式本身就很有趣。
2020-10-26 math.NT
Non-standard Zeckendorf decompositions; or, Tribonacci within Fibonacci
University of Texas at Tyler（泰勒大学）
研究用前k个Fibonacci数表示n的方式数B(n;k)，展示B(0;k)满足类似Tribonacci的递推关系，B(n;k)满足修改后的递推关系。
2026-04-16 math.CO math.NT
The Zeckendorf Game
Zeckendorf证明了每一个正整数$n$都可以唯一地写成不相邻的斐波那契数之和。我们用它来创建一个双人游戏。给定一个固定的整数$n$和$n = n F_1$的初始分解，两个参与者通过使用与递归关系$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$相关的移动来交替，最后移动的人获胜。博弈总是在Zeckendorf分解中终止，尽管取决于移动的选择，博弈的长度和获胜者可能会有所不同。我们找到了可能移动次数的上界和下界。上界在$n\log n$的数量级上，下界在$n-Z(n)$移动时是尖锐的，其中$Z(n)$是$n$的Zeckendorf分解中的项数。值得注意的是，参与人2对所有$n > 2$都有获胜策略;然而，有趣的是，证明是非建设性的。
2018-09-14 math.CO math.NT
Gaps of Summands of the Zeckendorf Lattice
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每个正整数都有一个唯一的分解为不相邻的斐波那契数之和。这样的分解更普遍地存在，并且对它们有很多了解。首先，对于任何正线性递归{Gn}，[Gn，Gn+1）中整数的合法分解中的被加数收敛于高斯分布。第二，鲍尔，英软，李，米勒，和Tosteson证明，在一个分解，这是大于递归长度之间的差距的概率的被加数收敛到几何衰减。虽然大多数文献涉及一维序列，但Chen，Guo，Jiang，Miller，Siktar和Yu最近的一些工作将这些分解扩展到d维格，其中合法分解是一个点链，可以在所有d维中从一个点移动到下一个点。他们证明了一维序列的某些但不是全部性质仍然成立。我们继续这项工作，并期待在法律分解条款之间的差距的分布，并证明类似的1维情况下，当d = 2的间隙向量收敛到一个二元几何随机变量。
2019-09-04 math.CO math.NT
The Average Gap Distribution for Generalized Zeckendorf Decompositions
斐波那契数的一个有趣的特征是，如果我们把它们写成$F_1 = 1$，$F_2 = 2$，$F_3 = 3$，$F_4 = 5, ...$，那么每个正整数都可以唯一地写成不相邻的斐波那契数之和。这现在被称为Zeckendorf定理[21]，并且对于由递归关系产生的许多其他序列${G_{n+1} = c_1 G_{n} + ... + c_L G_{n+1-L}}$存在类似的分解。更多的是已知的。Lekkerkerker [15]使用连分式方法证明了对于非零常数，$[G_n, G_{n+1})$中整数所需的被加数的平均数是$C_{\rm Lek} n$的数量级;这被其他人改进以显示被加数的数量在此平均值附近具有高斯波动。Kolo $\breve{\rm g}$ Lu，Kopp，Miller和Wang [17，18]最近组合地重新设计了这个问题，重新证明并推广了这些结果。我们使用这个新的角度来调查和之间的差距的分布。我们探索了所有$m \in [G_n, G_{n+1})$上的平均行为，用于$c_i$的特殊选择。具体来说，我们研究的情况下，每个$c_i \in {0,1}$，并有一个$g$，使总是有正好$g-1$零之间的两个非零$c_i$的;注意，这包括斐波那契，特里波那契和许多其他重要的特殊情况。我们证明了没有差距的长度小于$g$，和一个间隙的长度$j > g$的概率几何衰减，衰减比等…
2012-12-12 math.NT
A Generalization of Zeckendorf's Theorem via Circumscribed $m$-gons
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地分解为非连续斐波那契数之和，其中斐波那契数满足$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$，对于$n\geq 3$，$F_1=1$和$F_2=2$。在这种分解中，被加数的分布收敛于高斯分布，被加数之间的间隔收敛于几何衰减，最长间隔的分布类似于有偏硬币中最长的正面运行;这些结果也更普遍地成立，尽管由于技术原因，以前的工作需要假设递归关系中的系数是非负的，第一项是正的。我们扩展这些结果，通过创建一个无限的家庭的整数序列称为$m$ -ESTA序列所产生的尺规作图法使用外切$m$ -ESTA。它们满足递归，其中第一个$m+1$前导项消失，因此不能由现有技术处理。我们提供了一个合法的分解的概念，并证明了存在的分解是唯一的。然后，我们检查的分布的数目的和使用的分解，并证明它显示高斯行为。有几何衰减的差距的分布，无论是从间隔中的所有整数的差距，几乎肯定在分布的个别差距措施相关联的每个整数的间隔。最后，我们证明，最长的差距之间的被加数的分布是强烈集中在其平均值，表现类似于在最长的头在投掷硬币。
2015-12-01 math.NT
The Reversed Zeckendorf Game
本文提出从Zeckendorf博弈终态开始、反转所有走法的反向Zeckendorf博弈，证明特定形式的n下玩家1有必胜策略，并求解了多种改进版该类博弈，为相关数论博弈研究提供了新方向。
2023-10-04 math.CO math.NT
The Generalized Zeckendorf Game
Zeckendorf证明了每一个正整数$n$都可以唯一地写成不相邻的斐波那契数之和;类似的结果，尽管合法分解的概念不同，但对许多其他序列也成立。我们使用这些分解来构造一个两人博弈，对于固定的正整数$c$（$c=k-1=1$给出斐波那契），可以完全分析其形式为$G_n = \sum_{i=1}^{k} c G_{n-i}$的线性递归关系。给定一个固定的整数$n$和$n = n G_1$的初始分解，两个参与者通过使用与递归关系相关的移动来交替，最后移动的人获胜。博弈总是在Zeckendorf分解中终止，尽管取决于移动的选择，博弈的长度和获胜者可能会有所不同。我们发现上界和下界的移动可能的数量;斐波那契游戏的上限是$n\log n$的顺序，并为其他游戏，我们得到了一个界与$n$线性增长。在斐波那契博弈中，参与人2拥有所有$n > 2$的获胜策略.但是如果参与人2在第一步就犯了错误，参与人1就有获胜的策略.有趣的是，这两种说法的证据都是非建设性的。
2018-09-14 math.CO math.NT
The Distribution of Gaps between Summands in Generalized Zeckendorf Decompositions
Zeckendorf证明了任何整数都可以唯一地分解为非相邻斐波那契数之和，$F_n$。Lekkerkerker利用连分数证明了一个$m \in [F_n, F_{n+1})$的平均和数本质上是$n/(φ^2 +1)$，其中$φ$是黄金分割率。Miller-Wang通过采用组合的观点对此进行了推广，证明了对于任何正线性递归，$[G_n, G_{n+1})$中整数分解中的被加数收敛于高斯分布。我们证明了一个间隙大于递归长度收敛到几何衰减的概率，并且较小的间隙的分布依赖于递归系数的可计算方式。这些结果既适用于所有$m \in [G_n, G_{n+1})$的平均值，也几乎肯定适用于与个体$m$相关的间隙测量。该技术也可以用来确定的最长间隙之间的分布和，我们证明是类似的头部之间的最长间隙的分布在投掷有偏见的硬币。它是一个双指数强烈集中的平均值，并在$\log n$的顺序与可计算的常数取决于复发。
2014-02-26 math.CO math.NT
Winning Strategies for Generalized Zeckendorf Game
Zeckendorf证明了每一个正整数$n$都可以唯一地写成不相邻的斐波那契数之和;类似的结果也适用于其他正线性递归序列。这些合法的分解可以用来构造一个以固定整数$n$开始的游戏，玩家轮流使用与给定递归关系相关的移动。游戏最终以一个独特的合法分解结束，走最后一步的玩家获胜。在斐波那契博弈中，参与者$2$拥有所有$n>2$的获胜策略。我们给出了两人$(c, k)$ -nacci博弈的一个非构造性证明，对于所有的$k$和足够大的$n$，当$c$为偶数时，参与者$1$有获胜策略，当$c$为奇数时，参与者$2$有获胜策略.有趣的是，拥有获胜策略的玩家可能早在$c + 1$回合就犯了一个错误，在这种情况下，其他玩家获得了获胜策略。此外，我们证明了对于参与人为$p \ge c + 2$的$(c, k)$ -nacci博弈，没有参与人对任何$n \ge 3c^2 + 6c + 3$都有获胜策略。在三人游戏$(1, 2)$ -nacci游戏中，我们发现了更严格的下限$n \ge 7$。然后，我们将结果从多人博弈推广到多联盟博弈，在一些特殊的多联盟博弈情况下，说明了哪个联盟有获胜策略或何时不存在获胜策略。
2022-11-28 math.NT
The Ordered Zeckendorf Game
Williams College（威廉姆斯学院）；University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文研究了受齐肯多夫定理启发的有序齐肯多夫游戏，通过引入相邻约束和切换移动，改变了游戏动态，发现玩家1在n≤25时几乎总获胜，且游戏终止于升序齐肯多夫分解。
2026-03-29 math.CO math.NT
Generalizing Zeckendorf's Theorem to Homogeneous Linear Recurrences, I
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地写成非连续移位斐波那契数之和$\{F_n\}$，其中我们取$F_1=1$和$F_2=2$。这已经被推广到任何正线性递归序列（PLRS），其非正式地是满足具有正首项系数和非负整数系数的齐次线性递归的序列。这些分解是基$B$分解的推广。在这篇论文和后续论文中，我们提供了两种方法来研究线性递归，其中首项系数为零，其次是非负整数系数，索引之间的差异相对素数（简称ZLRR）。第一种方法涉及概括的定义，法律分解的PLRS中发现Koloelu，Kopp，米勒和王。我们证明了每个正整数$N$有一个合法的分解，任何ZLRR使用贪婪算法。我们还表明，一个特定的家庭ZLRR失去分解的唯一性。第二种方法将ZLRR转换为具有相同增长率的PLRR。我们开发的归零算法，一个强大的助手工具，用于分析线性递归序列的行为。我们用它来证明一个非常普遍的结果，保证某些递归之间的转换的可能性，并开发一种方法来快速确定某些序列是否发散到$+\infty$或$-\infty$，给定任何真正的初始值。本文探讨了第一种方法。
2021-08-03 math.CO math.NT
Generalizing Zeckendorf's Theorem to Homogeneous Linear Recurrences, II
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地写成非连续移位斐波那契数之和$\{F_n\}$，其中我们取$F_1=1$和$F_2=2$。这已经被推广到任何正线性递归序列（PLRS），其非正式地是满足具有正首项系数和非负整数系数的齐次线性递归的序列。在这篇和前面的文章中，我们提供了两种方法来研究线性递归与首项系数为零，其次是非负整数系数，指数之间的差异相对素数（简称ZLRR），通过两种不同的方法。第一种方法涉及概括的定义，法律分解的PLRS中发现Koloelu，Kopp，米勒和王。我们证明了每个正整数$N$有一个合法的分解，任何ZLRR使用贪婪算法。我们还表明，一个特定的家庭ZLRR失去了唯一性的分解。第二种方法将ZLRR转换为具有相同增长率的PLRR。我们开发的归零算法，一个强大的助手工具，用于分析线性递归序列的行为。我们用它来证明一个非常普遍的结果，保证一定的递归之间的转换的可能性，并开发一种方法来快速确定一个序列是否发散到$+\infty$或$-\infty$，给定任何真正的初始值。本文探讨了第二种方法。
2021-08-03 math.CO math.NT
The Fibonacci Quilt Game
Zeckendorf证明了每一个正整数都可以表示为非连续的斐波那契数之和。这个定理启发了一个美丽的游戏，Zeckendorf游戏。两个参与者从$n \ 1$开始，轮流应用受斐波那契递归启发的规则$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$，直到达到没有连续项的分解;谁走到最后一步谁就赢了。我们来看看一个游戏的结果从概括的斐波那契数，斐波那契被子序列。这些都是由平面通过斐波那契螺旋线平铺的二维几何性质引起的。从中心的1开始，我们在螺旋的正方形中放置整数，使得每个正方形包含最小的正整数，该最小的正整数不具有作为不共享壁的先前项的和的分解。这个序列最终遵循两个递归关系，使我们能够构建Zeckendorf博弈的变体，Fibonacci Quilt博弈。虽然斐波那契数列的某些性质被这个数列继承，但它的递归性质导致其他性质（如泽肯多夫定理）不再成立;因此，研究在这种情况下博弈的推广以观察哪些行为持续存在是有趣的。我们证明，类似于原来的游戏，这个游戏也总是终止于一个法律的分解，给一个下界的游戏长度，显示，根据策略的游戏的长度可以变化，任何一个玩家都可以赢，并给出一个猜想的长度的随机游戏。
2019-09-04 math.CO math.NT
Gaussian Behavior and Geometric Gaps in Decompositions from Recurrences with Zero Coefficients
Institute of Mathematics and Statistics, Rio de Janeiro State University（里约热内卢州立大学数学与统计研究所）
研究零系数递推关系下分解的唯一性丧失，但统计行为如高斯分布和几何间隙仍保持，且非唯一性指数增长。
2026-04-16 math.NT
The Generalized Bergman Game
每个正整数都可以唯一地写成一个基- $β$分解--它是$β$的合法幂和--其中$β$是非增正线性递归序列的控制根。在早期关于产生整数的Zeckendorf分解的两人游戏的工作的指导下（参见[Bai+19]），我们定义了在非负整数的无限元组上进行的两人游戏的广泛类别，其将正整数分解为其基$β$展开。我们称之为广义伯格曼博弈。本文证明了在初态$S$上的最长可能广义Bergman对策在$Θ(n^2)$时间内终止，并且证明了在初态$Ω(n)$和$O(n^2)$时间之间的最短可能广义Bergman对策终止.我们还展示了整个游戏中使用的元组的最大长度的线性界限。
2021-09-20 math.NT
Legal Decompositions Arising from Non-positive Linear Recurrences
Zeckendorf定理指出，任何正整数都可以唯一地写成不相邻的斐波那契数之和;这个结果已经推广到许多递归关系，特别是那些由首项为正的线性递归产生的。我们调查的法律分解所产生的两个新的序列：$(s,b)$ -Generacci序列和Fibonacci被子序列。这两个方程都满足首项为零的递推关系，因此以前的结果和技巧不适用。这些序列表现出截然不同的行为。我们表明，$(s,b)$ -Generacci序列导致唯一的法律分解，而我们不仅有非唯一的法律分解与斐波那契棉被序列，我们也有，在这种情况下，平均法律分解的数量呈指数增长。另一个有趣的区别是，在$(s,b)$ -Generacci情况下，贪婪算法总是导致合法分解，而在Fibonacci Quilt设置中，贪婪算法导致合法分解（大约）93%。在$(s,b)$ -Generacci情况下，当我们限制由修改的贪婪算法产生的分解时，我们再次在被加数以及斐波那契面组序列中具有高斯行为。
2016-07-01 math.CO math.NT
On the Asymptotic Behavior of Variance of PLRS Decompositions
正线性递归序列的形式为$H_{n+1} = c_1 H_n + \cdots + c_L H_{n+1-L}$，其中每个$c_i \ge 0$和$c_1 c_L > 0$具有适当选择的初始条件。有一个合法分解的概念（粗略地说，给定序列中的项的和，我们不能使用递归关系来减少它），使得每个正整数都有一个唯一的合法分解使用序列中的项;这推广了Zeckendorf分解，它指出任何正整数都可以唯一地写为不相邻的Fibonacci数的和。以前的工作证明，不仅存在一个分解，但在合法的分解$m \in [H_n, H_{n+1})$ $K_n(m)$的数目收敛到高斯。使用部分分数和生成函数，很容易证明$n$中的均值和方差分别线性增长：$a n + b + o(1)$和$C n + d + o(1)$;困难在于证明$a$和$C$是正的。以前的方法依赖于对与生成函数和特征多项式相关的多项式的精细分析，并且在代数上是繁琐的。我们介绍新的，基本的技术，绕过这些问题。关键的见解是通过条件概率展开使用归纳和自举界限来显示方差是无界的，因此是$C > 0$（均值可以通过简单的计数参数轻松处理）。
2016-07-16 math.NT math.PR
New Behavior in Legal Decompositions Arising from Non-positive Linear Recurrences
Zeckendorf定理指出，每个正整数都有一个唯一的分解为不相邻的斐波那契数之和。这个结果已被推广到许多序列$\{a_n\}$所产生的整数正线性递归，其中每一个有相应的概念的法律分解。已有的工作证明了当递推式中的首项系数为正时，$m \in [a_n, a_{n+1})$的分解中的被加数服从$n\to\infty$的正态分布，并且与每个$m$相关的间隙测度收敛于几何随机变量.我们将探讨在两个特殊的序列中删除这个假设时会发生什么。在一个算法中，我们恢复了所有以前的结果，包括唯一的分解;在另一个算法中，合法分解的数量呈指数增长，合法分解的自然选择（贪婪算法）只有大约92.6%的时间有效（尽管稍微修改总是有效）。我们发现这两个序列之间的联系，这就解释了为什么在这两个例子中，被加数和被加数之间的间隔的分布是相同的。在我们的调查过程中，我们发现了一个新的角度来处理与特征多项式相关的多项式的根。这使我们能够消除需要的详细的技术分析，其属性大大复杂的证明许多早期的结果在这个问题上，以及处理新的情况下，超出了现有的技术。
2016-07-01 math.CO math.NT math.PR
Central Limit Theorems for Compound Paths on the 2-Dimensional Lattice
Zeckendorf证明，每一个整数可以唯一地写为非连续斐波那契数$\{F_n\}$的总和，后来的研究人员表明，分布的被加数需要这种分解的整数在$[F_n, F_{n+1})$收敛到高斯作为$n\to\infty$。分解问题已经被广泛研究了各种不同的序列和合法分解的概念;对于斐波那契数，合法分解是每个被加数最多使用一次，并且不能选择两个连续的被加数。最近，Chen等人[CCGJMSY]将早期的工作推广到正整数的$d$维格上，在那里，合法分解是一条路径，使得所选的每个点的每个分量严格小于路径中前一个点的分量。然而，他们的结果应该在某些成分相同的更一般的情况下成立。在这项工作中，需要严格递减的假设来获得简单的、封闭形式的组合表达式，然后可以很好地近似并导致极限行为。在这项工作中，我们通过包含-排除参数删除该假设。这些导致更多涉及的组合和;使用生成函数和递归关系，我们得到易于处理的形式在$2$维度和再次证明高斯性;一个更复杂的分析应该在更高的维度。
2020-05-21 math.CO math.NT math.PR
A Generalization of Fibonacci Far-Difference Representations and Gaussian Behavior
基B展开式的一个自然推广是泽肯多夫定理：每个整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数$\{F_n\}$的和，其中有$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$和$F_1=1, F_2=2$。相反，如果我们允许分解中斐波那契数的系数为零或$\pm 1$，则所得表达式称为远差表示。阿尔珀特证明了一个远差表示存在，并且在某些限制下是唯一的，这些限制推广了非连续性，特别是两个相邻的相同符号的和数必须至少相隔4个索引，而相反符号的和数必须至少相隔3个索引。我们证明了一个远差表示可以使用Skipponacci数集，这是由$S^{(k)}_{n+1} = S^{(k)}_{n} + S^{(k)}_{n-k}$的形式为$k \ge 0$的递归关系产生的。每个整数都可以唯一地写成$\pm S^{(k)}_n $的和，使得每两个相同符号的项的索引相差至少2k+2，并且每两个相反符号的项的索引相差至少k+2。此外，我们证明了在给定的Skipponacci分解的正项和负项的数量收敛到高斯，与可计算的相关系数，这是一个有理函数的最小根的特征多项式的递归。证明使用递归来获得具有固定数量的和数的生成函数，我们证明收敛到高斯的生成函数。接下来，我们探索的间隙之间的分布和，并表明，对于任何k的找到一个间隙的长度$j \ge 2k+2$的概率几何衰减，衰减率等于给定的k-Skipponacci递归的最大根。最后，…
2014-05-10 math.NT
From Fibonacci Numbers to Central Limit Type Theorems
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每个整数都可以唯一地写成非连续的斐波那契数$\{F_n\}_{n=1}^{\infty}$的和。Lekkerkerker证明了在$[F_n, F_{n+1})$中整数的被加数的平均数是$n/(ϕ^2 + 1)$，$ϕ$是黄金分割数。这一点概括如下：给定非负整数$c_1,c_2,...,c_L$和$c_1,c_L>0$以及递归序列$\{H_n\}_{n=1}^{\infty}$和$H_1=1$、$H_{n+1} =c_1H_n+c_2H_{n-1}+...+c_nH_1+1$、$(1\le n< L)$和$H_{n+1}=c_1H_n+c_2H_{n-1}+...+c_LH_{n+1-L}$ $(n\geq L)$，每个正整数在$a_i$的自然约束下可以唯一地写为$\sum a_iH_i$，$[H_{n}, H_{n+1})$中整数的被加数的均值和方差的大小为$n$，当$n$趋于无穷大时，被加数的分布趋于高斯分布.以前的方法使用数论或遍历理论。我们将问题转化为组合问题。除了重新推导这些结果，我们的方法推广到许多其他问题（在续集论文\cite{BM}中，我们展示了这种观点如何使我们能够确定分解中的被加数之间的间隙分布）。例如，已知每个整数可以唯一地写为$\pm F_n$的和，使得每两个相同（相反）符号的项的索引至少相差4（3）。负被加数的存在引…
2011-10-26 math.NT
