Polynomial values modulo primes on average and sharpness of the larger sieve
本文的研究动机是关于筛法理论中的以下问题。给定子集$X\subset [N]$和$α\in (0,1/2)$。假设对每个素数$p$有$|X\pmod p|\leq (α+o(1))p$。$X$可以有多大？一方面，我们有来自加拉格尔大筛子的结合$|X|\ll_αN^α$。另一方面，我们证明，假设逆筛猜想的真理，上述界可以改善（例如，$|X|\ll_αN^{O(α^{2014})}$小$α$）。当$X=f(\mathbb{Z})\cap [N]$是多项式$f(x)\in\mathbb{Z}[x]$的值集时，研究$|X\pmod p|$的平均大小随$p$变化而得出的结果。
2014-09-25 math.NT
Squares and Cubes Modulo n
本文研究了Z_n和Z_n^* 中的平均平方数（或二次剩余）的渐近性。对立方、0和1的平方根以及0和1的立方根进行类似的分析。
2016-03-25 math.NT
Distribution of factorials modulo p
我们证明了序列$n!\,(\bmod\,p)$在短区间$H\le n \le H+N$中至少占有$\sqrt{\frac{3}{2}N}$个剩余类，并且$N\gg p^{\frac{1}{4}}$改进了先前已知的平凡界$\sqrt{N}.$。另一方面，我们估计了序列$n!\,(\bmod\,p)$对于$p\le x.$丢失的剩余类的平均数目
2015-05-05 math.NT
On the average exponent of elliptic curves modulo p
KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）
该研究在广义黎曼假设下，证明了椭圆曲线模 p 的平均指数与一个依赖于曲线的常数之间的关系，且在复乘情况下无需假设 GRH。
2012-12-10 math.NT
The divisor function in arithmetic progressions modulo prime powers
我们研究了用$n \equiv a \bmod q$表示的$n\le x$的除数函数$τ(n)$的平均值。已知除数函数均匀分布在所有略小于$x^{2/3}$的$q$的等差数列上。我们将展示如何去过去这个障碍时，$q=p^k$奇素数$p$和任何固定的整数$k\ge 7$。
2016-02-12 math.NT
Divisor problem in arithmetic progressions modulo a prime power
本文得到了等差数列$n \equiv a \pmod q$中整数$n \le x$上除数函数平均值的一个渐近公式，其中$q=p^k$对素数$p\ge 3$和充分大的整数$k$成立.特别地，我们打破了这类公式的经典障碍$q \le x^{2/3}$，推广了R.~ Khan（2015），使其在$k$中统一。
2016-02-11 math.NT
A note on the order of the Tate--Shafarevich group modulo squares
本文研究了阿贝尔簇的Tate--Shafarevich群模有理平方的阶，证明了每个无平方因子的自然数均可作为某个阿贝尔簇Tate--Shafarevich群的非无平方因子部分出现，从而验证了W. Stein的猜想。
2024-04-25 math.NT
Non-vanishing and One Level Density for Dirichlet $L$-functions Along Short Averages
本文研究Dirichlet L-函数中心值在短区间和算术级数中平均的非零比例，证明在短平均下可超过1/2-δ，并在广义黎曼假设下利用单层密度方法获得超过1/2的非零比例。
2025-11-10 math.NT
Cesàro averages for Goldbach representations with summands in arithmetic progressions
我们认为一个偶数的表示数的加权平均数是两个素数的和，其中每个被加数都位于一个给定的等差数列模一个公共整数$q$中。我们的结果在$q$的适当范围内是一致的。
2019-11-17 math.NT
Square-free orders for CM elliptic curves modulo $p$ in short intervals
本文研究有理数域上CM椭圆曲线模素数的无平方因子阶计数问题，改进了已有渐近公式，得到无条件短区间渐近结果，且适用区间比广义黎曼假设下的更短，同时优化了CM椭圆曲线循环性问题的短区间变体结论。
2025-10-29 math.NT
Products in Residue Classes
我们考虑P. Erdos，A. M. Odlyzko和A.萨科齐关于表示剩余类模m的产品，两个不太大的素数。虽然似乎即使是扩展的黎曼假设也不足以达到预期的结果，但在这里，我们在模m和模m的剩余类上获得了一些无条件的结果，并且当平均值被限制为素数模m = p时，得到了更强的结果。我们还考虑了类似的问题，其中素数被更容易的序列取代，所以，很自然地，我们得到了更强的结果。
2007-08-11 math.NT
Divisibility of the Multiplicative Order Modulo Monic Irreducible Polynomials Over Finite Fields
本文研究有限域上使给定有理函数模首一不可约多项式的乘法阶被固定整数整除的多项式集合，刻画其在三种密度概念下的密度存在性并给出公式。
2025-10-19 math.NT
On the order of unimodular matrices modulo integers
在广义黎曼假设下，证明了：如果b是一个大于1的整数，则对密度为1的整数子集中的所有N，b模N的乘法阶都大于N^（1-ε）.若A是一个系数为整数的双曲幺模矩阵，则A模p的阶大于p^（1-ε），对所有p都是素数的稠密子集.此外，对于整数的密度为1的子集中的所有N，A模N的阶大于N^（1-ε）。
2002-02-06 math.NT nlin.CD
Regular integers modulo n
令$n=p_1^{ν_1}... p_r^{ν_r} >1$为整数。如果存在整数$x$使得$a^2x\equiv a$（mod $n$），则整数$a$称为正则（mod $n$）。令$\varrho(n)$表示正则整数$a$（mod $n$）的数目，使得$1\le a\le n$。这里是$\varrho(n)=(ϕ(p_1^{ν_1})+1)... (ϕ(p_r^{ν_r})+1)$，其中$ϕ(n)$是欧拉函数。本文首先总结了正则整数（mod $n$）的一些基本性质。然后为了比较函数$\varrho(n)$和$ϕ(n)$的增长率，我们研究了函数$\varrho(n)/ϕ(n)$，$ϕ(n)/\varrho(n)$和$1/\varrho(n)$的平均阶和极值阶。
2008-09-01 math.NT
Equality of orders of a set of integers modulo a prime
对于$\mathbb{Q}^{\times}$的有限生成子群$W_1, \ldots , W_t$，整数$k_1, \ldots , k_t$，$\mathbb{Q}$的伽罗瓦扩张$F$和共轭类的并集$C \subset \text{Gal}(F/\mathbb{Q})$，我们给出了确定是否存在无穷多个素数$p$的方法，使得$W_i$模$p$的约化指数除$k_i$，并且使得$p$在$F$上的Artin符号包含在$C$中.所得结果是H.W. Lenstra的作品作为应用，我们确定了所有整数$a_1, \ldots , a_n$，使得对无穷多个素数$p$，$\text{ord}_p(a_1) = \ldots = \text{ord}_p(a_n)$.我们还讨论了这些$p$的集合，其中$\text{ord}_p(a_1) > \ldots > \text{ord}_p(a_n)$。所得结果是条件的推广黎曼假设。
2020-06-12 math.NT
If $p^a \vert \vert n$ where $n >4$ is the order of a Circulant Hadamard matrix, then the order of $p$ modulo $n/p^a$ is odd
我们证明最近（见\cite{lhgarasu}）的结果的标题为奇素因子的这样一个$n.$的结果意味着许多$n's$，更准确地说，为无限的$n$的一个任意固定数目的素因子，不存在的循环阿达玛矩阵，和不存在的巴克序列的长度$n >13$。证明使用了Arasu的一个结果。事实证明，有另一个，更短的证明，更一般的结果，包括素数$p=2.$这个新的证明是基于一个结果布洛克（见\cite [定理3.1]{布洛克}），除此之外，只需要定义的傅立叶变换。我在温特霍夫等人的预印本（见\cite{winterhofetal}）中注意到布洛克的结果，它被用来研究相关的Butson-Hadamard矩阵的不存在性。
2014-11-09 math.NT
On a problem of Arnold: the average multiplicative order of a given integer
对于g，n互质整数，设lg（n）表示g模n的乘法阶.受Arnold猜想的启发，我们研究了n <= x范围内与g互质且x趋于无穷大时l_g（n）的平均值。假设广义黎曼假设，我们表明，这个平均值基本上是一样大的平均卡迈克尔lambda函数。当p <= x时，我们还确定了l_g（p）的平均值在素数上的渐近性.
2011-08-25 math.NT
Average Multiplicative Order of Finitely Generated Subgroup of Rational Numbers Over Primes
给定一个由有理数$Γ$生成的乘法子群，在广义黎曼假设的条件下，给出了素数上的平均值的渐近公式，给出了约化群模$p$的阶的幂. Pomerance和Kurlberg在秩$1$的情况下考虑了这个问题。在$Γ$只包含正数的情况下，我们给出了所涉及的密度的欧拉积的显式表达式。最后我们用一些数值计算来作结论。
2015-05-02 math.NT
Hecke Relations for Eta Multipliers and Congruences of Higher-Order Smallest Parts Functions
本研究通过作用于Eisenstein-eta商族的Hecke算子推导恒等式，得到系数素数幂模同余式，应用于解决Garvan提出的高阶最小分部函数同余问题，还建立曲柄矩、秩矩与分拆函数的素数幂模联系，强化推广了已有结果。
2024-03-07 math.NT
Distribution of Farey Fractions in Residue Classes and Lang--Trotter Conjectures on Average
证明了$T$阶Farey分数的集合，即集合$\{α/β\in \Q : \gcd(α, β) = 1, 1 \le α, β\le T\}$，对于任何固定的$\eps>0$，在$T \ge p^{1/2 +\eps}$提供的素数$p$模的剩余类中是均匀分布的.我们应用此获得的上界的郎-特罗特曲率的Frobenius迹和Frobenius字段“平均”的一个参数的家庭的椭圆曲线。
2007-05-25 math.NT
On the distribution of the order over residue classes
整数g模一个素数p的乘法阶被定义为最小的正整数k，使得g^k与1模p全等。对于固定整数g和d，该阶在剩余类mod d上的分布被认为是p在素数上运行。一个概述给出了最重要的我的结果就这个问题获得（主要）在三个部分系列的文件“关于分布的顺序和指数的g（模p）在剩余类”I-III（出现在杂志的数论，也可从ArXiv）。
2006-08-18 math.NT
Global Units modulo Circular Units : descent without Iwasawa's Main Conjecture
岩泽的经典渐近公式涉及的顺序$p$ -部分$X_n$的理想类群沿$\ZM_p$ -扩展$F_\infty/F$的数域$F$，岩泽结构不变量$\la$和$μ$附加到逆极限$X_\infty=\limpro X_n$。它依赖于$X_n$满足的“良好”下降特性。如果$F$是阿贝尔的，而$F_\infty$是分圆的，则已知全局单位模循环单位$U_n/C_n$的阶的$p$ -部分渐近等价于理想类数的$p$ -部分。这表明，这些等价物$U_n/C_n$，也就是所谓的单位类群，也满足良好的下降性质。我们直接证明这一点，即不使用岩泽的主要猜想。
2009-12-13 math.NT
Statistics of small prime quadratic non-residues
我们证明了$k$ -th最小素数二次非剩余模一个素数的平均值近似于$2k$ -th最小素数。
2022-12-30 math.NT
Global Units modulo Circular Units : descent without Iwasawa's Main Conjecture
岩泽的经典渐近公式涉及的顺序$p$ -部分$X_n$的理想类群沿$\ZM_p$ -扩展$F_\infty/F$的数域$F$，岩泽结构不变量$\la$和$μ$附加到逆极限$X_\infty=\limpro X_n$。它依赖于$X_n$满足的“良好”下降特性。如果$F$是阿贝尔的，而$F_\infty$是分圆的，则已知全局单位模循环单位$U_n/C_n$的阶的$p$ -部分渐近等价于理想类数的$p$ -部分。这表明，这些等价物$U_n/C_n$，也就是所谓的单位类群，也满足良好的下降性质。我们直接证明这一点，即不使用岩泽的主要猜想。
2006-10-11 math.NT
A higher order p-adic class number formula
本文推广了Leopoldt关于Q的实阿贝尔扩张的模p的p-adic调节器与s=2-p处的相对戴德金ζ函数的值之间的关系的一个公式，并利用这个公式在较弱的条件下给出了相对泽塔函数在s=1处的模p的非零性.
2012-08-01 math.NT
Formes modulaires modulo 2 : l'ordre de nilpotence des opérateurs de Hecke
模2 Hecke算子的零阶令$Δ=\sum_{m=0}^\infty q^{(2m+1)^2} \in F_2[[q]]$为$Δ$系列的约化模2。第一级的模形式f模2是$Δ$中的多项式。如果p是奇素数，则Hecke算子Tp将f变换为模形式Tp（f），该模形式Tp（f）是$Δ$中的多项式，其次数小于f的次数，使得Tp是幂零的。f的幂零阶定义为最小整数g = g（f），使得对于g个奇素数p1，p2，...，pg，关系Tp 1 Tp 2. Tpg（f）= 0成立。我们展示了如何显式地计算g（f）;如果f是$Δ$中的d次多项式，我们发现g（f）<< d^（1/2）。
2012-10-15 math.NT
On the order modulo p of an algebraic number (for p large enough)
设K/Q是伽罗瓦，且eta在K* 中，其共轭是乘法独立的.对一个非分歧的素数p，设np是p的剩余度，gp是P的个数，则o P（eta）和o p（eta）分别是eta模P和p的阶.利用弗罗贝尼乌斯自同构，我们证明了对所有p \textgreater{} \textgreater{} 0，p^（np）-1的某些显式因子不能实现o P（eta）和o p（eta），并给出了o p（eta）的一个下界，从而得到对所有p \textgreater{} \textgreater{} 0，使得np \textgreater{} 1，有Prob（o p（eta）\textless{} p）$\le$ 1/p^（gp.（np-1）-n（n）），其中n = O（1/（log_2（p）;在Borel-Cantelli启发式算法下，这导致对于所有p \textgreater{} \textgreater{} 0的o\_p（eta）\textgreater{} p，使得gp.（np-1）$\ge$ 2，它覆盖了np=3的三次域和np=gp=2的四次域的“极限”情况，但不包括np=2的二次域的情况。在二次情形下，自然的猜想是，对无穷多个惰性p，o_p（eta）\textless{} p成立.用PARI程序给出了一些计算.
2017-04-03 math.NT
Double exponential sums and congruences with intervals and exponential functions modulo a prime
设$p$是一个大素数，$g$是任意乘阶$T$模$p$的整数.本文给出了双指数和$$ S=\sum_{n\in \mathcal{N}}\left|\sum_{m\in \mathcal{M} }e_p(an g^{m})\right|, \quad \gcd (a,p)=1, $$的一个新的估计，其中$\mathcal{N}$和$\mathcal{M}$是具有$|\mathcal{N}|=N$和$|\mathcal{M}|=M<T$元素的连续整数的区间.一个代表性的例子是主要结果的以下结果：如果$N=M\approx p^{1/3}$，则$|S|< N^{2-1/8 + o(1)}$。然后，我们应用我们的估计，以获得新的结果添加剂同余涉及区间和指数函数。
2018-10-15 math.NT
On the multiplicative order of $a^n$ modulo $n$
设$n$为正整数，$α_n$为算术函数，该算术函数将$a^n$模$n$的乘法阶分配给与$n$互质且在别处为零的每个整数$a$。类似地，令$β_n$将$a^n$模$n$的投射乘法阶分配给与$n$互质的每个整数$a$，并且在其他地方为零。在本文中，我们提出了这两个算术函数的研究。特别地，我们证明了对于具有相同无平方部分的正整数$n_1$和$n_2$，函数$α_{n_1}$和$α_{n_2}$之间以及函数$β_{n_1}$和$β_{n_2}$之间存在精确的关系.这允许我们将$α_n$和$β_n$的确定减少到$n$无平方的情况。这些算术功能最近出现的背景下的一个老问题的Molluzzo，更确切地说，在研究的算术级数产生一个平衡的斯坦豪斯三角形在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$奇。
2016-03-23 math.CO math.NT
Some remarks on regular integers modulo $n$
如果存在整数$x$使得$k^2x\equiv k$（mod $n$），则整数$k$称为正则（mod $n$）。当且仅当$k$具有弱序（mod $n$），即，存在整数$m\ge 1$，使得$k^{m+1} \equiv k$（mod $n$）。令$\varrho(n)$表示集合$\{1,2,\ldots,n\}$中正则整数（mod $n$）的数目。这是欧拉的$ϕ$函数的类似物。我们介绍了多维推广的$\varrho$，这是类似的约旦的功能。我们建立了正则整数的幂和（mod $n$）以及正则整数上的有限和与乘积（mod $n$）的恒等式，其中包括Bernoulli多项式，Gamma函数和分圆多项式等.我们还推导出一个类似的梅农的身份，并调查某些相关的功能的最大订单。
2015-05-13 math.NT
A lower bound for the r-order of a matrix modulo N
对于正整数$N$，我们定义非奇异整数$d\times d$矩阵$A$的N-秩为最大整数$r$，使得存在一个其行列式不能被$N$整除的$r$阶子式.给定一个正整数$r$，研究了最小整数$k$的增长性，使得$A^k-I$至多有N秩$r$，它是$N$的函数.我们表明，这个整数$k$去无穷快于$\log N$当且仅当对于每一个特征值$λ$这是不是一个单位根，本征空间的维数之和相对于本征值是乘依赖于$λ$和不是单位根，加上本征空间的维数相对于本征值是单位根，不超过$d-r-1$。这一结果将被应用到恢复最近的定理卢卡和Shparlinski的状态，一个普通的椭圆曲线$E$的有理点的一组有限域上的$q^n$元素几乎是循环的，在某种意义上被定义，当$n$走向无穷大。我们还将这个结果推广到有限域上两条椭圆曲线的乘积，并证明了当$n$趋于无穷大时，两条非同构椭圆曲线的$\mathbb{F}_{q^n}-$有理点群的阶几乎互质.
2006-12-06 math.NT
Averages of character sums
我们表明，一个简短的截断的傅立叶展开的字符和给出了一个很好的近似的平均值，字符和一个区间。我们给出了这个结果的几个应用。一个是对于任何$b$，有无穷多个字符，对于所有与$b$互质的$a$，其到$\approx aq/b$的和都是$\gg q^{1/2} \log \log q$;另一个是如果模$q \equiv 3 \pmod 4$的最小二次非剩余很大，则字符和与$(\sqrt{q}/π) (L(1, χ) + \log 2 - ε)$一样大，并且如果$B$是这个非剩余，则存在长度为$(\sqrt{q}/π) (\log 2 - ε)$的$q/B$的和。
2014-09-05 math.NT
On the weighted average number of subgroups of ${\mathbb {Z}}_{m}\times {\mathbb {Z}}_{n}$ with $mn\leq x$
设$\mathbb{Z}_{m}$是剩余类模$m$的加法群。对于任何正整数$m$和$n$，令$s(m,n)$和$c(m,n)$分别表示群${\mathbb{Z}}_{m}\times {\mathbb{Z}}_{n}$的子群和循环子群的总数。定义了$$ \widetilde{D}_{s}(x) = \sum_{mn\leq x}s(m,n)\log\frac{x}{mn} \quad \quad \widetilde{D}_{c}(x) = \sum_{mn\leq x}c(m,n)\log\frac{x}{mn}. $$本文研究了函数$\widetilde{D}_{s}(x)$和$\widetilde{D}_{c}(x)$的渐近性质。
2020-08-18 math.NT
On Some Weighted Average Values of L-functions
令$q\ge 2$和$N\ge 1$为整数。W. Zhang（2008）已经表明，对于任何固定的$ε> 0$和$q^ε \le N \le q^{1/2 -ε}$、$$ \sum_{χ\ne χ_0} |\sum_{n=1}^N χ(n)|^2 |L(1, χ)|^2 = (1 + o(1)) α_q q N $$，其中总和接管所有非主要字符$χ$模$q$，$L(s, χ)$是$L$ -对应于$χ$的函数$L(1, χ)$，而$α_q = q^{o(1)}$是$q$的某个显式函数。在这里，我们证明了相同的公式在$q^ε \le N \le q^{1 -ε}$范围内成立。
2008-07-26 math.NT
On elements of large order of elliptic curves and multiplicative dependent images of rational functions over finite fields
设$E_1$和$E_2$是具有整数参数的Legendre形式的椭圆曲线。我们证明了存在一个常数$C$，使得对于几乎所有素数，对于所有但至多$C$对的点约化的$E_1 \times E_2$ modulo $p$具有相等的$x$坐标，至少有一个$P_1$和$P_2$有一个大的群阶。我们还显示了类似的丰度有限域的元素，其图像下的减少模$p$的有限集的有理函数有很大的乘法阶
2020-08-02 math.NT
Size of product of a number and its multiplicative inverse, Moments of L-functions and Exponential Sums
本文研究了一个数与其模为素数p的乘法逆乘积的平均大小，这与L函数的矩有关，并导出了某个三重指数和的一个奇异的渐近公式.
2014-12-27 math.NT
Hauptmoduln and even-order mock theta functions modulo 2
本文研究椭圆模j函数傅里叶系数的奇偶性规律，发现其特定系数与2阶仿θ函数$μ_2(q)$系数奇偶性一致，并证明该现象在若干主模及主模与偶数阶仿θ函数间普遍成立。
2024-10-09 math.CO math.NT
The distribution of the first elementary divisor of the reductions of a generic Drinfeld module of arbitrary rank
设$ψ$是秩为$r \geq 2$的一般Drinfeld模.研究了当$\wp$变化时，$ψ$模素数$\wp$约化的第一初等因子$d_{1, \wp}(ψ)$.特别地，我们证明了$d_{1, \wp} (ψ)$是固定的素数$\wp$的密度的存在性。对于$r = 2$，我们还研究了$ψ$模$\wp$约简的第二个初等因子（指数），并证明了平均而言，它具有大的范数。我们的工作是由J的研究动机。P.Serre的一个类似于Artin的原根猜想的椭圆曲线，并进一步改进了第一作者和M. R. Murty.
2013-11-12 math.NT
Deviation of the rank and crank modulo 11
本文基于 Garvan、Sarma 和 Berndt 的结果，建立了 rank 与 crank 偏差模 11 的 11-dissection，重新推导了已有结果，并利用 theta 函数商的正性条件证明了新的 rank-crank 不等式及多种同余。
2023-12-27 math.NT
Entiers friables dans des progressions arithmétiques de grand module
本文研究了$y$模$q$全等的$y$ -脆弱整数个数的通常近似中的平均误差项，其中$a\neq 0$是一个固定整数.我们表明，在范围$\exp\{(\log\log x)^{5/3+\varepsilon}\} \leq y \leq x$和平均超过$q\leq x/M$与$M\rightarrow \infty$中等大小，这个平均误差项是渐近的$-|a|Ψ(x/|a|,y)/2x$。以前的结果，这类得到的第二作者合理的密集序列，但序列的$y$ -脆弱的整数研究在目前的文件是薄的，需要使用不同的技术，这是特定的脆弱的整数。
2015-06-10 math.NT
On Deterministically Finding an Element of High Order Modulo a Composite
提出一种确定性算法，在 $D \ge N^{1/6}$ 下以 $D^{1/2+o(1)}$ 时间找到模 $N$ 的高阶元素或非平凡因子，改进了 Hittmeir 的先前工作并支持更弱的假设条件。
2025-10-11 cs.DS math.NT
Multiple harmonic sums $\mathcal{H}_{\lbrace s\rbrace^{2l}=1;p-1}$ modulo $p^4$ and applications
本文研究多重调和和模$p^4$，建立Wilson、Glaisher和Sun定理的推广，并分解Bernoulli数卷积的$p$-剩余，推广了Sun的结果。
2024-01-01 math.CO math.NT
On the average number of subgroups of the group $\Z_m \times \Z_n$
令$\Z_m$是剩余类模$m$的群。令$s(m,n)$和$c(m,n)$分别表示群$\Z_m \times \Z_n$的子群总数及其循环子群的个数，其中$m$和$n$是任意正整数.我们导出了和$\sum_{m,n\le x} s(m,n)$、$\sum_{m,n\le x} c(m,n)$以及相应的限制于$\gcd(m,n)>1$的和的渐近公式，即，关于具有秩2的组$\Z_m \times \Z_n$。
2013-07-04 math.GR math.NT
Average sizes of mixed character sums
IST Austria（奥地利科学技术研究所）；Courant Institute（库朗数学科学研究所）
本文研究了满足弱迪奥菲安条件的无理实数θ下混合特征和的平均大小，证明其为\sqrt{x}，并利用二次迪奥菲安方程进行分析。
2026-01-27 math.NT math.PR
On the Lang-Trotter and Sato-Tate Conjectures on Average for Polynomial Families of Elliptic Curves
我们表明，减少模素数$p\le x$的椭圆曲线$$ Y^2 = X^3 + f(a)X + g(b), $$的行为所预测的Lang-Trotter和Sato-Tate结构，平均超过整数$a \in [-A,A]$和$b \in [-B,B]$的$A$和$B$合理小相比，$x$，只要$f(T), g(T) \in \Z[T]$不是另一个多项式的权力$\Q$。对于$f(T) = g(T) = T$，这类结果是E. Fouvry和M. R. Murty并由其他作者进一步扩展。我们的技术与E. Fouvry和M. R. Murty这似乎不工作的情况下，一般多项式$f$和$g$。
2012-03-29 math.AG math.NT
A lower bound for periods of matrices
对于非奇异整数矩阵A，研究了A模N阶的增长性。我们说一个矩阵是例外的，如果它是可对角化的，并且矩阵的幂的所有特征值都等于单个有理整数的幂，或者所有特征值都是实二次域中单个单位的幂。对于例外矩阵，很容易看出存在任意大的N值，对于这些值，A模N的阶在数学上很小。相比之下，我们表明，如果矩阵不是例外，那么A模N的顺序比log N的任何常数倍更快地到达无穷大。
2004-02-09 math-ph math.MP math.NT
