The average exponent of elliptic curves modulo $p$
令$E$是定义在${\mathbb Q}$上的椭圆曲线。对于$E$的良好约简的素数$p$，用$e_p$表示$E$模$p$约简的指数。在GRH下，我们证明了存在一个常数$C_E\in (0, 1)$，使得对所有的$x\ge 2$都有$$ \frac{1}{π(x)} \sum_{p\le x} e_p = 1/2 C_E x + O_E\big(x^{5/6} (\log x)^{4/3}\big) $$，其中隐含的常数至多依赖于$E$.当$E$有复数乘法时，无条件地建立了具有较弱误差项$O_E(1/(\log x)^{1/14})$的相同渐近公式。这改进了Freiberg和Kurlberg最近的一些结果。
2012-06-26 math.NT
Double exponential sums and congruences with intervals and exponential functions modulo a prime
设$p$是一个大素数，$g$是任意乘阶$T$模$p$的整数.本文给出了双指数和$$ S=\sum_{n\in \mathcal{N}}\left|\sum_{m\in \mathcal{M} }e_p(an g^{m})\right|, \quad \gcd (a,p)=1, $$的一个新的估计，其中$\mathcal{N}$和$\mathcal{M}$是具有$|\mathcal{N}|=N$和$|\mathcal{M}|=M<T$元素的连续整数的区间.一个代表性的例子是主要结果的以下结果：如果$N=M\approx p^{1/3}$，则$|S|< N^{2-1/8 + o(1)}$。然后，我们应用我们的估计，以获得新的结果添加剂同余涉及区间和指数函数。
2018-10-15 math.NT
Dihedral Group, 4-Torsion on an Elliptic Curve, and a Peculiar Eigenform Modulo 4
我们计算出一个将所谓的弱本征形提升为真正的特征0本征形的非平凡例子。弱本征形与Ramanujan的τ函数密切相关，而特征0本征形则附着在${\mathbb Q}$上定义的椭圆曲线上。我们生产的电梯表明，系数的初始，弱本征形（几乎所有）出现的痕迹Frobenii在伽罗瓦表示上的4-扭转的椭圆曲线。这个例子是值得注意的，因为已知初始形式不能提升到1级的任何特征0特征形式。我们用这个例子来说明最近在模形式模素幂理论中出现的某些问题。我们对这些问题进行了简要的调查。
2018-06-13 math.NT
A note on the Mordell-Weil rank modulo n
猜想数域K上椭圆曲线的Mordell-Weil秩的奇偶性由它的根数决定。根数是局部根数的乘积，因此模2秩实际上是局部域上的椭圆曲线的函数在K的所有位置上的和。这个注释表明，对于秩模3、4或5，或者对于秩本身，不可能有类似物。事实上，椭圆曲线的标准曲线意味着对于任何n>2都没有模n，所以这纯粹是一种奇偶现象。
2009-10-23 math.NT
Distinguishing elliptic curves modulo $p$ and identifying images of product representations
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；Union College（联合学院）；University of Calgary（卡尔加里大学）；Bucknell University（巴克内尔大学）；University College London（伦敦大学学院）
该研究针对定义在ℚ上的两条椭圆曲线与有理素数p，借助古尔萨引理刻画其剩余伽罗瓦表示乘积的所有可能像，定义见证比率并阐明其计算效用及与斯特姆界的关联。
2026-08-12 math.NT
Cyclicity and exponent of elliptic curves modulo $p$ in arithmetic progressions
本文研究算术级数中素数上椭圆曲线约化群的循环性与平均指数，证明 CM 情形的无条件渐近式并改进相关条件估计。
2024-05-09 math.NT
Elliptic curves and the residue-counts of $x^2+bx+c/x$ modulo $p$
本文研究素数 $p>3$ 下多项式 $x^2+bx+c/x$ 模 $p$ 的剩余计数，并揭示其与有限域 $\Bbb F_p$ 上特定椭圆曲线点数的关联。
2024-07-22 math.NT
Factorization and malleability of RSA modules, and counting points on elliptic curves modulo N
在本文中，我们解决两个不同的问题有关的RSA模N的因式分解。首先，我们可以证明因式分解在确定性多项式时间内等价于对一对扭曲的椭圆曲线上的点进行计数。此外，我们解决了因式分解RSA模块的延展性，如[9]中所述，使用单个椭圆曲线模N的点数和Coppersmith算法。
2019-11-25 cs.IT math.IT math.NT
The distribution of the number of points modulo an integer on elliptic curves over finite fields
设F是有限域，b和N是整数.证明了F上任意选取的椭圆曲线E上的有理点个数等于b模N的概率的显式估计。基本工具是Frobenius作用在E的N-挠子群上的等分布结果。我们的结果是Achter和Gekeler先前工作的继承和推广。
2011-01-31 math.AG math.NT
Periodicity of traces of Hecke operators modulo prime powers
本文研究了Hecke算子迹在模素数幂下的周期性性质，揭示了其在不同重量下的周期行为。
2026-02-20 math.NT
Quadratic Non-residues in Short Intervals
我们使用的Burgess界和组合筛获得的素数$p$在一个二元区间$[Q,2Q]$，其中一个给定的区间$[u+1,u+ψ(Q)]$不包含一个二次非剩余模$p$的数量上界。对于任何函数$ψ(Q)\to\infty$，该界都是非平凡的，如$Q\to\infty$。这是一个模拟的最小的二次非剩余模$p$上平均素数$p$，这对应于选择$u=0$的公知的估计。
2013-11-27 math.NT
Power residues of Fourier coefficients of elliptic curves with complex multiplication
固定m >= 1，设E是Q上的椭圆曲线，具有复乘。我们用公式表示素数p（与1模m全等）的密度，其中E的第p个傅里叶系数是模p的m次幂;这些密度通常不同于1/m的朴素期望。我们还证明了我们的代数m除以单位根的数目躺在CM域E;最涉及的情况是m=4和复乘Q（i）。
2006-04-03 math.NT
Integral powers of numbers in small intervals modulo $1$: The cardinality gap phenomenon
本文研究了$αζ^{n} \bmod 1$的分布，其中$α\neq 0,ζ>1$是固定实数，$n$贯穿正整数.用$\Vert.\Vert$表示到最近整数的距离。我们调查的情况下，$αζ^{n}$都躺在规定的小间隔模$1$的所有大$n$，与专注于案件$\Vertαζ^{n}\Vert \leq ε$小$ε>0$。我们特别感兴趣的是所谓的基数缺口现象。例如，对于固定的$ζ>1$和小的$ε>0$，存在至多可数的许多$α$值，使得对于所有大的$n$，$\Vertαζ^{n}\Vert \leq ε$，而较大的$ε$诱导不可数的集合。我们调查的$ε$的值在间隙发生。我们将特别注意代数的情况，更具体地说，是有理$ζ>1$的情况。结果有关Pisot和Salem数，如一些贡献马勒的$3/2$ -问题的隐含推导。我们也研究了固定$α\neq 0$的类似问题。
2016-05-30 math.NT
Sums of fractions modulo $p$
令$\F_p$是剩余类模大素数$p$的域。本文研究了$\F_p$的元素在$\F_p$的短区间上可表示为$x/y$与$x,y$形式的分数之和的问题。
2015-10-27 math.NT
$L$-Functions of Elliptic Curves Modulo Integers
University of Lethbridge（莱斯布里奇大学）
本文研究了椭圆曲线模整数的L函数，推导了二次扭变的L函数公式，并计算了无限多个二次扭变的全局根数和分析秩。
2022-11-30 math.NT
On elements of large order of elliptic curves and multiplicative dependent images of rational functions over finite fields
设$E_1$和$E_2$是具有整数参数的Legendre形式的椭圆曲线。我们证明了存在一个常数$C$，使得对于几乎所有素数，对于所有但至多$C$对的点约化的$E_1 \times E_2$ modulo $p$具有相等的$x$坐标，至少有一个$P_1$和$P_2$有一个大的群阶。我们还显示了类似的丰度有限域的元素，其图像下的减少模$p$的有限集的有理函数有很大的乘法阶
2020-08-02 math.NT
Congruences modulo $23$ to $y^2=x^3-23$ are trivial
本文运用 Mazur 策略、Jacobian 的 Tate 模及 BSD 新实例确定扭曲模曲线有理点，证明与 $y^2=x^3-23$ 的模 $23$ 同余均平凡。
2025-09-30 math.NT
Congruences involving product of intervals and sets with small multiplicative doubling modulo a prime and applications
在本文中，我们得到了新的上界估计的同余$$ x\equiv y r\pmod p;\quad x,y\in \mathbb{N},\quad x,y\le H,\quad r\in\cU, $$的解的数目为一定范围的$H$和$|\cU|$，其中$\cU$是一个子集的剩余类模$p$具有小乘法倍。然后，我们使用这个估计，以显示的解决方案的数量的同余$$ x^n\equiv λ\pmod p; \quad x\in \N, \quad L<x<L+p/n, $$是最多$p^{\frac{1}{3}-c}$一致的正整数$n, λ$和$L$，一些绝对常数$c>0$。这意味着，特别是，如果$f(x)\in \Z[x]$是一个固定的多项式没有多个根的$\C$，那么同余$ x^{f(x)}\equiv 1\pmod p, \,x\in \mathbb{N}, \,x\le p,$有最多$p^{\frac{1}{3}-c}$解决方案的$p\to\infty$，改进了一些最近的结果Kurlberg，卢卡和Shparlinski和的Bayesian，Broughan和Shparlinski。我们使用我们的结果表明，几乎所有的剩余类模$p$可以表示的形式$xg^y \pmod p$与正整数$x<p^{5/8+\varepsilon}$和$y<p^{3/8}$。这里$g$表示原始根模$p$。我们还证明了几乎…
2014-08-21 math.NT
On the average exponent of elliptic curves modulo p
KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）
该研究在广义黎曼假设下，证明了椭圆曲线模 p 的平均指数与一个依赖于曲线的常数之间的关系，且在复乘情况下无需假设 GRH。
2012-12-10 math.NT
Factoring Numbers with elliptic curves
在本文中，我们提供了一个概率多项式时间算法，减少了任何平方自由整数$n$的完全因式分解，以计数点的椭圆曲线模$n$，成功的概率$1-\varepsilon$，对于任何$\varepsilon<0$。
2022-10-14 math.NT
On the acyclicity of reductions of elliptic curves modulo primes in arithmetic progressions
本文研究椭圆曲线模素数约化群的循环性，刻画了使同余于 $a\bmod n$ 的几乎所有素数对应约化群均非循环的等差数列，并回答了 Akbal 与 Güloğlu 的问题。
2023-08-21 math.NT
Distribution of residues modulo $p$ using the Dirichlet's class number formula
设$p$为奇素数。本文利用虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$的Dirichlet类数公式，研究了$2$或$3$或$4$的倍数为模$p$的二次剩余数和非剩余数，它们都位于区间$[1, p-1]$内.
2019-01-29 math.NT
Computing the cardinality of CM elliptic curves using torsion points
设E是椭圆曲线，它与虚二次域K的给定二次阶相乘。E的定义域是阶环类域Ω。如果素数p在Omega中完全分裂，那么我们可以将E模p的一个因子约简，并得到定义在GF（p）上的曲线Ep。已知Ep的Frobenius的踪迹最多可达符号，我们需要一种快速的方法来找到这个符号。为此，我们建议使用的Frobenius的小订单建立类不变量一拉韦伯的扭点的行动，在某种程度上让人想起的Schoof-Elkies-Atkin算法计算基数的一个给定的椭圆曲线模p。我们将我们的结果的椭圆曲线素性证明算法（ECPP）。
2004-07-23 math.NT
Multiplicative and linear dependence in finite fields and on elliptic curves modulo primes
对于正整数$K$和$L$，我们引入并研究了$K$ -有限素域$\mathbb{F}_p$的代数闭包$\overline{\mathbb{F}}_p$上的乘法依赖，以及$L$ -椭圆曲线上的点在模素数约简中的线性依赖的概念.我们的一个主要结果表明，给定非零有理函数$φ_1,\ldots,φ_m, \varrho_1,\ldots,\varrho_n\in\mathbb{Q}(X)$和椭圆曲线$E$定义在整数$\mathbb{Z}$，对于任何足够大的素数$p$，但所有的$α\in\overline{\mathbb{F}}_p$，最多以下两个之一可能发生：$φ_1(α),\ldots,φ_m(α)$是$K$ -乘法依赖或点$(\varrho_1(α),\cdot), \ldots,(\varrho_n(α),\cdot)$是$L$ -线性依赖于减少的$E$模$p$。作为我们的主要工具之一，我们证明了关于分裂半交换簇$\mathbb{G}_{\mathrm{m}}^m \times E^n$中不可约曲线与余维数至少为$2$的代数子群的交的一般性陈述。作为应用，我们改进了M. C. Chang和推广了J.F. Voloch讨论了某些特殊情况下有限域上的高阶元素。
2021-06-13 math.AG math.NT
On the elliptic curve $ y^{2} = x (x^2 + p)$ over some certain imaginary quadratic fields
本文讨论定义在虚二次域上的标题椭圆曲线，如$\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$，其中$q$与3模8和$(p,q)=1$全等.
2018-03-21 math.NT
On the Birch-Swinnerton-Dyer quotients modulo squares
设A是数域K上的阿贝尔簇. K的扩张K_i的L-函数L（A/K_i，s）之间的恒等式导出了Birch-Swinnerton-Dyer恒等式之间的关系。我们证明了这些关系的模有限性的沙，并给出了类似的声明Selmer群。在此基础上，我们发展了一种方法，用于确定A在K的扩张上的秩的各种组合的奇偶性。作为应用之一，我们在假设Sha[6^ \infty ]有限性和对素数大于2和3的约化的一些限制条件下，建立了椭圆曲线的奇偶猜想：E/K的Mordell-Weil秩的奇偶性与解析秩的奇偶性一致，由根数决定.证明了Q上所有椭圆曲线和素数p的p-奇偶猜想：p^ \infty -Selmer秩的奇偶性与解析秩一致.
2008-10-20 math.NT
Periods modulo $p$ of integer sequences associated with division polynomials of genus $2$ curves
Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University（九州大学产业数学研究所）；Department of Mathematics, Faculty of Science, Kyoto University（京都大学理学部数学科）；Department of Mathematics, Cooperative Faculty of Education, Gunma University（群马大学教育学部协同数学科）；Department of Mathematics, Graduate School of Science, Kobe University（神户大学理学研究数理学科）；Department of Mathematical Sciences, Graduate School of Science, Tokyo Metropolitan University（东京都立大学理学研究科数学科学系）
研究2阶曲线积分点相关除法多项式整数序列的模p周期性，揭示序列模p周期与积分点在Jacobian变元上阶的关系，扩展Ward关于椭圆曲线除法序列的研究。
2025-03-05 math.AG math.NT
The absolute discriminant of the endomorphism ring of most reductions of a non-CM elliptic curve is close to maximal
设$E/\mathbb{Q}$为非CM椭圆曲线。假设GRH，我们证明了对于密度为$1$的素数$p$的集合，$E$模$p$约化的$\mathbb{F}_p$ -自同态环的绝对判别式接近于极大.
2020-03-02 math.NT
Supersingular zeros of divisor polynomials of elliptic curves of prime conductor
对于素数$p$，研究了导体$p$的有理椭圆曲线$E$的因子多项式模$p$的零点.小野观察到，这些零点往往是超奇异椭圆曲线在$\overline{\mathbb{F}_p}$的$j$ -不变量。我们证明了这些超奇异零点是双射的零模$p$的相关四元数模形式$v_E$。这使我们能够证明，如果根数的$E$是$-1$然后所有超奇异的$j$ -不变量的椭圆曲线定义在$\mathbb{F}_{p}$是零的相应的除数多项式。如果根数是$1$，我们研究秩$0$和更高秩的椭圆曲线之间的差异，因为在后一种情况下，$\mathbb{F}_p$中的超奇异零的数量似乎更大。为了部分地解释这一现象，我们猜想当$E$具有正秩时，定义在$\mathbb{F}_p$上的超奇异椭圆曲线所对应的$v_E$的系数值是偶数.我们证明了这个猜想的情况下，判别式的$E$是积极的，并获得了其他几个结果是独立的利益。
2016-11-17 math.NT
Elliptic periods and primality proving
我们定义了模为整数$n$的椭圆周期环，并给出了AKS素性判据的椭圆形式。
2009-06-23 math.AG math.NT
Gross vectors modulo 2 and elliptic curves of prime conductor
University of Zagreb（萨格勒布大学）
该研究证明了模2的格罗斯向量张成F_2^{S_p}，由此证明Kazalicki与Kohen的猜想，还得出素导体、根数为+1的正秩椭圆曲线的模次数被4整除、Watkins猜想对秩2此类曲线成立的结论。
2026-08-14 math.NT
Serre curves relative to obstructions modulo 2
本文研究了在模2像受限时阿德尔伽罗瓦表示像极大的椭圆曲线，通过$\ell$-adic像刻画此类曲线，计算了导子至多500,000的实例，并推广了Serre曲线的基础结果。
2023-07-31 math.NT
Poisson Type Phenomena for Points on Hyperelliptic Curves modulo p
设$p$是一个大素数，$C$是$\mathbb{F}_p$上的一条超椭圆曲线。本文研究了当$y$ -坐标位于一个给定的区间内时，$x$ -坐标在短区间内的分布，以及具有相同性质的连续$x$ -坐标之间的距离分布.接下来，设$g(P,P_0)$是$C$上两点的有理函数。我们研究了上述距离的分布与一个额外的条件，即$g(P_i,P_{i+1})$位于一个规定的间隔，任何连续点$P_i,P_{i+1}$。
2011-10-26 math.AG math.NT
Divisibility of orders of reductions of elliptic curves
本文研究椭圆曲线模素数约化群阶的整除与同余分布，给出可显式计算模 $m_E$ 同余类及素数密度的曲线族，并推广到 $\mathbb Q(t)$ 上的正密度情形。
2025-03-19 math.NT
On Lehmer's Conjecture for Polynomials and for Elliptic Curves
一些作者已经证明了明确版本的莱默猜想多项式的系数都是全等1模m。我们证明了多项式f（X）在（Z/mZ）[X]中可被形式为1+X+.+的多项式整除的类似结果。X^n，其中n > ε*deg（f）。我们还制定和证明了类似的声明椭圆曲线。
2010-08-21 math.NT
$y$-coordinates of elliptic curves
通过变量变换，得到了椭圆曲线的新的$y$坐标.利用这些$y$ -坐标作为模函数，与椭圆模函数一起，我们生成了$N\geq3$级的模函数域。进一步，利用$y$ -坐标的奇异值，构造了虚二次域上模$N$的射线类域以及这些束类域的正规基.
2013-03-06 math.NT
Class fields generated by coordinates of elliptic curves
设$K$是不同于$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$的虚二次域。对于$K$的非平凡积分理想$\mathfrak{m}$，设$K_\mathfrak{m}$是射线类域模$\mathfrak{m}$。利用模函数特殊值的不等式，证明了椭圆曲线的一个$x$ -坐标在$K$上生成$K_\mathfrak{m}$.
2021-11-01 math.NT
Distribution modulo 1 and the lexicographic world
我们给出了包含所有分数部分$\{ξ2^n\}$的最小区间的完整描述，对于某些正实数$ξ$，以及对于所有$n \geq 0$。
2011-01-31 math.CO math.NT
Constructing elliptic curves with a known number of points over a prime field
在密码学中经常需要在给定的n元素域上具有已知点数的椭圆曲线。在素性证明的背景下，Atkin和Morain建议使用复乘理论来构造这样的曲线。该方法的一个步骤是计算Hilbert类多项式H（X）的模n的根，用于基本判别式D。通常的方法是在整数上计算H（X），然后找到模n的根。本文提出了一种改进的孙子剩余定理（CRT），它可以直接从H（X）模足够多的小素数的知识中计算H（X）模n.我们的复杂性分析表明，渐近我们的算法是一个以前已知的方法的改进。
2003-01-22 cs.IT math.AG math.IT
Non-vanishing of central $L$-values of the Gross family of elliptic curve
研究证明了特定椭圆曲线二次扭曲的L函数中心值非零性，并由此得出相关群的有限性及反向定理。
2025-05-08 math.NT
A lower bound for the r-order of a matrix modulo N
对于正整数$N$，我们定义非奇异整数$d\times d$矩阵$A$的N-秩为最大整数$r$，使得存在一个其行列式不能被$N$整除的$r$阶子式.给定一个正整数$r$，研究了最小整数$k$的增长性，使得$A^k-I$至多有N秩$r$，它是$N$的函数.我们表明，这个整数$k$去无穷快于$\log N$当且仅当对于每一个特征值$λ$这是不是一个单位根，本征空间的维数之和相对于本征值是乘依赖于$λ$和不是单位根，加上本征空间的维数相对于本征值是单位根，不超过$d-r-1$。这一结果将被应用到恢复最近的定理卢卡和Shparlinski的状态，一个普通的椭圆曲线$E$的有理点的一组有限域上的$q^n$元素几乎是循环的，在某种意义上被定义，当$n$走向无穷大。我们还将这个结果推广到有限域上两条椭圆曲线的乘积，并证明了当$n$趋于无穷大时，两条非同构椭圆曲线的$\mathbb{F}_{q^n}-$有理点群的阶几乎互质.
2006-12-06 math.NT
Double Character Sums over Subgroups and Intervals
我们估计双和$$ S_χ(a, I, G) = \sum_{x \in I} \sum_{λ\in G} χ(x + aλ), \qquad 1\le a < p-1, $$与乘法字符$χ$模$p$其中$I= \{1,\ldots, H\}$和$G$是一个子群的顺序$T$的乘法群的有限域的$p$元素。如果$H \ge p^{1/4+\varepsilon}$为$S_χ(a, I, G)$，则可以从Burgess界导出$S_χ(a, I, G)$的一个非平凡上界;如果$T \ge p^{1/2+\varepsilon}$为$S_χ(a, I, G)$，则可以从一些标准的初等参数导出$S_χ(a, I, G)$的一个非平凡上界，其中$\varepsilon>0$是任意的。我们得到一个非平凡的估计在更广泛的范围内的参数$H$和$T$。我们还估计了双和$$ T_χ(a, G) = \sum_{λ, μ\in G} χ(a + λ+ μ), \qquad 1\le a < p-1, $$，并给出了一个应用程序的原根模$p$与$3$非零二进制数字。
2014-02-15 math.NT
On the non-triviality of the $p$-adic Abel-Jacobi image of generalised Heegner cycles modulo $p$, I: modular curves
广义Heegner圈对应于虚二次扩张$K/\Q$上的一对椭圆Hecke特征形和一个Hecke特征标.设$p$是$K/\Q$中的奇素数分裂，$l\neq p$是奇非分歧素数.证明了$K$的$\Z_l$ -反元扩张上广义Heegner圈模$p$的$p$ -adic Abel-Jacobi象的非平凡性.这个结果是精化的Bloch-Beilinson猜想和Bloch-Kato猜想的一个证据。在两个的情况下，它提供了一个改进的Cornut和Vatsal的结果上的非平凡的Heegner点的$\Z_l$ -anticotomic扩展$K$。
2019-12-01 math.NT
Elliptic curves in isogeny classes
我们表明，椭圆曲线的分布在Isobenius类的曲线与给定值的Frobenius跟踪$t$变得接近均匀，即使当$t$平均在很短的时间间隔内的Hasse-Weil间隔。
2016-11-16 math.NT
CM liftings of Supersingular Elliptic Curves
假设GRH，我们提出了一个算法，输入一个素数$p$和输出的基本判别集$D<0$，使得约简映射模一个素数以上的$p$从椭圆曲线CM由$\order_{D}$的超奇椭圆曲线的特征$p$。在算法中，我们首先确定一个显式常数$D_p$，使得$|D|> D_p$暗示映射必然是满射的，然后我们显式计算$|D|<D_p$的情形.
2009-04-09 math.NT
Tate-Shafarevich Groups and Frobenius Fields of Reductions of Elliptic Curves
设$\E/\Q$是$\Q$上的固定椭圆曲线，它不具有复乘。在广义黎曼假设下，A. C. Cojocaru和W. Duke等得到了素数$p\le x$个数的渐近公式，使得$\E$模p的约化有平凡的Tate-Shafarevich群. A.最近的研究结果C. Cojocaru和C.大卫导致一个更好的错误项。我们在证明方案中引入了一个新的论点，使证明方案得到了进一步的改进。
2007-11-29 math.NT
The splitting of primes in division fields of elliptic curves
本文给出了椭圆曲线E的除域的Frobenius的整体描述，它严格类似于割圆的情形。然后，这被应用于确定素数p在这样的划分字段的子字段中的分裂。这些领域包括一大类不可解的五次扩展和我们的应用程序提供了一个算术对应克莱因的“解决方案”的五次方程使用椭圆函数。一个中心的作用是发挥判别环的自同态的椭圆曲线约化模p。
2001-03-24 math.NT
On the Birch and Swinnerton-Dyer formula modulo squares for certain quadratic twists of elliptic curves
本文研究椭圆曲线二次扭曲下Birch和Swinnerton-Dyer公式模平方的有效性，通过局部Tamagawa数的分类结果，证明了满足修正Heegner假设的二次扭曲下该公式模平方的等价性，并得到半稳定椭圆曲线的相关推论。
2025-10-01 math.NT
The rank of a CM elliptic curve and a recurrence formula
设$p$是素数，$E_{p}$表示椭圆曲线$y^2=x^3+px$。已知对于与$1, 9$模$16$全等的$p$，$E_{p}$在$\mathbb{Q}$上的秩等于$0, 2$。在Birch猜想和Swinnerton-Dyer猜想成立的条件下，给出了秩为$2$的一个充要条件，该秩是由一个递推公式定义的多项式的常数项表示的.
2021-03-22 math.NT
Small points and free abelian groups
设$F$是有理数的代数扩张，$E$是定义在$F$中某数域上的椭圆曲线.绝对对数Weil高度和Néron-Tate高度分别在$F^*$模挠和$E(F)$模挠上导出一个范数。如果高度函数不能达到任意小的正值，则群$F^*$和$E(F)$是自由阿贝尔模挠。在本文中，我们证明了失败的逆这一说法明确构造反例。
2014-08-21 math.NT
Sato--Tate, cyclicity, and divisibility statistics on average for elliptic curves of small height
我们得到了素数$p\le x$的数量的渐近公式，对于这些素数，椭圆曲线$$ \E_{a,b} : Y^2 = X^3 + aX + b $$的约化模$p$满足某些"自然“性质，平均在整数$a$和$b$上，具有$|a|\le A$和$|b| \le B$，其中$A$和$B$相对于$x$是小的。具体而言，我们调查行为相对于佐藤-泰特猜想，循环性，整除的点数由一个固定的整数$m$。
2007-11-26 math.NT
On Weyl products and uniform distribution modulo one
本文研究了在单位区间$[0,1]$上均匀分布的数$ω=(x_k)_{k=1}^N$的三角积$\prod_{k=1}^N 2 \sin(πx_k)$对$N \to \infty$的渐近性质.主要的结果是匹配的下限和上界的产品的基础点$ω$的明星差异，从而改善了早期的结果Hlawka在1969年。此外，我们考虑了点$ω$是Kronecker或van der Corput序列的初始段的特殊情况。本文的结论与一些概率类似。
2016-09-16 math.NT
Congruences between Ramanujan's tau function and elliptic curves, and Mazur--Tate elements at additive primes
证明了若$E/\mathbb{Q}$是一条椭圆曲线，且对$p=2$或$3$具有有理$p$ -挠率，则Ramanujan的tau函数与$E$模$p$之间存在同余关系.我们利用这样的同余计算Iwasawa不变量的$2$ -进和$3$ -进Mazur-泰特元素附加到Ramanujan的tau函数。我们还数值研究了附加到椭圆曲线上的Mazur-Tate元的Iwasawa不变量，该椭圆曲线在固定素数处具有加性约化。
2021-03-10 math.NT
On the distribution of Atkin and Elkies primes for reductions of elliptic curves on average
对于没有复乘的椭圆曲线E/Q，我们研究了Atkin和Elkies素数l在E模素数p的所有好约化上的平均分布。我们表明，在广义黎曼假设下，对于几乎所有素数p，都有足够小的Elkies素数l来确保Schoof-Elkies-Atkin点计数算法在（log p）^（4+o（1））预期时间内运行。
2015-04-08 math.NT
