Distribution of residues of an algebraic number modulo ideals of degree one
设$f(x)$是一个不可约多项式，其整数系数的次数至少为2。Hooley证明了同余方程$f(x)\equiv 0\mod n$的根是均匀分布的。作为Hooley定理在理想理论背景下的一个平行定理，我们证明了模1次理想的代数数的剩余分布的一致性。然后利用这个结果，我们证明了多项式同余系的根是均匀分布的。最后讨论了代数数的n进展开式的位数分布。
2021-08-12 math.NT
Dihedral Group, 4-Torsion on an Elliptic Curve, and a Peculiar Eigenform Modulo 4
我们计算出一个将所谓的弱本征形提升为真正的特征0本征形的非平凡例子。弱本征形与Ramanujan的τ函数密切相关，而特征0本征形则附着在${\mathbb Q}$上定义的椭圆曲线上。我们生产的电梯表明，系数的初始，弱本征形（几乎所有）出现的痕迹Frobenii在伽罗瓦表示上的4-扭转的椭圆曲线。这个例子是值得注意的，因为已知初始形式不能提升到1级的任何特征0特征形式。我们用这个例子来说明最近在模形式模素幂理论中出现的某些问题。我们对这些问题进行了简要的调查。
2018-06-13 math.NT
A note on the Mordell-Weil rank modulo n
猜想数域K上椭圆曲线的Mordell-Weil秩的奇偶性由它的根数决定。根数是局部根数的乘积，因此模2秩实际上是局部域上的椭圆曲线的函数在K的所有位置上的和。这个注释表明，对于秩模3、4或5，或者对于秩本身，不可能有类似物。事实上，椭圆曲线的标准曲线意味着对于任何n>2都没有模n，所以这纯粹是一种奇偶现象。
2009-10-23 math.NT
Distinguishing elliptic curves modulo $p$ and identifying images of product representations
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；Union College（联合学院）；University of Calgary（卡尔加里大学）；Bucknell University（巴克内尔大学）；University College London（伦敦大学学院）
该研究针对定义在ℚ上的两条椭圆曲线与有理素数p，借助古尔萨引理刻画其剩余伽罗瓦表示乘积的所有可能像，定义见证比率并阐明其计算效用及与斯特姆界的关联。
2026-08-12 math.NT
Distinguishing eigenforms modulo a prime ideal
考虑给定模形式空间的两个元素的傅立叶展开。为了保证两个展开式相同，必须有多少个相同的首项系数？Sturm给出了一个上界的模形式的一个给定的重量和水平。拉姆·默蒂（Ram Murty）、科宁（Kohnen）和吉扎（Ghitza）将其应用于两个本征形的相同水平，但可能具有不同权重的情况。我们认为他们的扩张模素理想，提出了一个新的界限。在分析这个界的过程中，我们推广了巴赫和索伦森的一个结果，他们提供了一个实用的上界的最小素数在一个等差数列。
2013-04-05 math.NT
Cyclicity and exponent of elliptic curves modulo $p$ in arithmetic progressions
本文研究算术级数中素数上椭圆曲线约化群的循环性与平均指数，证明 CM 情形的无条件渐近式并改进相关条件估计。
2024-05-09 math.NT
Elliptic curves and the residue-counts of $x^2+bx+c/x$ modulo $p$
本文研究素数 $p>3$ 下多项式 $x^2+bx+c/x$ 模 $p$ 的剩余计数，并揭示其与有限域 $\Bbb F_p$ 上特定椭圆曲线点数的关联。
2024-07-22 math.NT
Factorization and malleability of RSA modules, and counting points on elliptic curves modulo N
在本文中，我们解决两个不同的问题有关的RSA模N的因式分解。首先，我们可以证明因式分解在确定性多项式时间内等价于对一对扭曲的椭圆曲线上的点进行计数。此外，我们解决了因式分解RSA模块的延展性，如[9]中所述，使用单个椭圆曲线模N的点数和Coppersmith算法。
2019-11-25 cs.IT math.IT math.NT
The distribution of the number of points modulo an integer on elliptic curves over finite fields
设F是有限域，b和N是整数.证明了F上任意选取的椭圆曲线E上的有理点个数等于b模N的概率的显式估计。基本工具是Frobenius作用在E的N-挠子群上的等分布结果。我们的结果是Achter和Gekeler先前工作的继承和推广。
2011-01-31 math.AG math.NT
Periodicity of traces of Hecke operators modulo prime powers
本文研究了Hecke算子迹在模素数幂下的周期性性质，揭示了其在不同重量下的周期行为。
2026-02-20 math.NT
Power residues of Fourier coefficients of elliptic curves with complex multiplication
固定m >= 1，设E是Q上的椭圆曲线，具有复乘。我们用公式表示素数p（与1模m全等）的密度，其中E的第p个傅里叶系数是模p的m次幂;这些密度通常不同于1/m的朴素期望。我们还证明了我们的代数m除以单位根的数目躺在CM域E;最涉及的情况是m=4和复乘Q（i）。
2006-04-03 math.NT
$L$-Functions of Elliptic Curves Modulo Integers
本文研究了椭圆曲线模整数的L函数，推导了二次扭变的L函数公式，并计算了无限多个二次扭变的全局根数和分析秩。
2022-11-30 math.NT
On elements of large order of elliptic curves and multiplicative dependent images of rational functions over finite fields
设$E_1$和$E_2$是具有整数参数的Legendre形式的椭圆曲线。我们证明了存在一个常数$C$，使得对于几乎所有素数，对于所有但至多$C$对的点约化的$E_1 \times E_2$ modulo $p$具有相等的$x$坐标，至少有一个$P_1$和$P_2$有一个大的群阶。我们还显示了类似的丰度有限域的元素，其图像下的减少模$p$的有限集的有理函数有很大的乘法阶
2020-08-02 math.NT
Congruences modulo $23$ to $y^2=x^3-23$ are trivial
本文运用 Mazur 策略、Jacobian 的 Tate 模及 BSD 新实例确定扭曲模曲线有理点，证明与 $y^2=x^3-23$ 的模 $23$ 同余均平凡。
2025-09-30 math.NT
On the average exponent of elliptic curves modulo p
KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）
该研究在广义黎曼假设下，证明了椭圆曲线模 p 的平均指数与一个依赖于曲线的常数之间的关系，且在复乘情况下无需假设 GRH。
2012-12-10 math.NT
On the acyclicity of reductions of elliptic curves modulo primes in arithmetic progressions
本文研究椭圆曲线模素数约化群的循环性，刻画了使同余于 $a\bmod n$ 的几乎所有素数对应约化群均非循环的等差数列，并回答了 Akbal 与 Güloğlu 的问题。
2023-08-21 math.NT
Computing the cardinality of CM elliptic curves using torsion points
设E是椭圆曲线，它与虚二次域K的给定二次阶相乘。E的定义域是阶环类域Ω。如果素数p在Omega中完全分裂，那么我们可以将E模p的一个因子约简，并得到定义在GF（p）上的曲线Ep。已知Ep的Frobenius的踪迹最多可达符号，我们需要一种快速的方法来找到这个符号。为此，我们建议使用的Frobenius的小订单建立类不变量一拉韦伯的扭点的行动，在某种程度上让人想起的Schoof-Elkies-Atkin算法计算基数的一个给定的椭圆曲线模p。我们将我们的结果的椭圆曲线素性证明算法（ECPP）。
2004-07-23 math.NT
Multiplicative and linear dependence in finite fields and on elliptic curves modulo primes
对于正整数$K$和$L$，我们引入并研究了$K$ -有限素域$\mathbb{F}_p$的代数闭包$\overline{\mathbb{F}}_p$上的乘法依赖，以及$L$ -椭圆曲线上的点在模素数约简中的线性依赖的概念.我们的一个主要结果表明，给定非零有理函数$φ_1,\ldots,φ_m, \varrho_1,\ldots,\varrho_n\in\mathbb{Q}(X)$和椭圆曲线$E$定义在整数$\mathbb{Z}$，对于任何足够大的素数$p$，但所有的$α\in\overline{\mathbb{F}}_p$，最多以下两个之一可能发生：$φ_1(α),\ldots,φ_m(α)$是$K$ -乘法依赖或点$(\varrho_1(α),\cdot), \ldots,(\varrho_n(α),\cdot)$是$L$ -线性依赖于减少的$E$模$p$。作为我们的主要工具之一，我们证明了关于分裂半交换簇$\mathbb{G}_{\mathrm{m}}^m \times E^n$中不可约曲线与余维数至少为$2$的代数子群的交的一般性陈述。作为应用，我们改进了M. C. Chang和推广了J.F. Voloch讨论了某些特殊情况下有限域上的高阶元素。
2021-06-13 math.AG math.NT
Global Units modulo Circular Units : descent without Iwasawa's Main Conjecture
岩泽的经典渐近公式涉及的顺序$p$ -部分$X_n$的理想类群沿$\ZM_p$ -扩展$F_\infty/F$的数域$F$，岩泽结构不变量$\la$和$μ$附加到逆极限$X_\infty=\limpro X_n$。它依赖于$X_n$满足的“良好”下降特性。如果$F$是阿贝尔的，而$F_\infty$是分圆的，则已知全局单位模循环单位$U_n/C_n$的阶的$p$ -部分渐近等价于理想类数的$p$ -部分。这表明，这些等价物$U_n/C_n$，也就是所谓的单位类群，也满足良好的下降性质。我们直接证明这一点，即不使用岩泽的主要猜想。
2009-12-13 math.NT
Global Units modulo Circular Units : descent without Iwasawa's Main Conjecture
岩泽的经典渐近公式涉及的顺序$p$ -部分$X_n$的理想类群沿$\ZM_p$ -扩展$F_\infty/F$的数域$F$，岩泽结构不变量$\la$和$μ$附加到逆极限$X_\infty=\limpro X_n$。它依赖于$X_n$满足的“良好”下降特性。如果$F$是阿贝尔的，而$F_\infty$是分圆的，则已知全局单位模循环单位$U_n/C_n$的阶的$p$ -部分渐近等价于理想类数的$p$ -部分。这表明，这些等价物$U_n/C_n$，也就是所谓的单位类群，也满足良好的下降性质。我们直接证明这一点，即不使用岩泽的主要猜想。
2006-10-11 math.NT
On the Birch-Swinnerton-Dyer quotients modulo squares
设A是数域K上的阿贝尔簇. K的扩张K_i的L-函数L（A/K_i，s）之间的恒等式导出了Birch-Swinnerton-Dyer恒等式之间的关系。我们证明了这些关系的模有限性的沙，并给出了类似的声明Selmer群。在此基础上，我们发展了一种方法，用于确定A在K的扩张上的秩的各种组合的奇偶性。作为应用之一，我们在假设Sha[6^ \infty ]有限性和对素数大于2和3的约化的一些限制条件下，建立了椭圆曲线的奇偶猜想：E/K的Mordell-Weil秩的奇偶性与解析秩的奇偶性一致，由根数决定.证明了Q上所有椭圆曲线和素数p的p-奇偶猜想：p^ \infty -Selmer秩的奇偶性与解析秩一致.
2008-10-20 math.NT
The absolute discriminant of the endomorphism ring of most reductions of a non-CM elliptic curve is close to maximal
设$E/\mathbb{Q}$为非CM椭圆曲线。假设GRH，我们证明了对于密度为$1$的素数$p$的集合，$E$模$p$约化的$\mathbb{F}_p$ -自同态环的绝对判别式接近于极大.
2020-03-02 math.NT
On the non-idealness of cyclotomic families of pairing-friendly elliptic curves
设$k=2^mp^n$为奇素数$p$和整数$m\ge 0$和$n\ge 0$ .我们得到了具有嵌入度$k$和$r(x)=Φ_k(x)$的配对友好的椭圆曲线的分圆族的$ρ$ -值的下界。我们的界限意味着这些家庭都不是理想的。
2014-04-17 math.NT
Elliptic periods and primality proving
我们定义了模为整数$n$的椭圆周期环，并给出了AKS素性判据的椭圆形式。
2009-06-23 math.AG math.NT
Gross vectors modulo 2 and elliptic curves of prime conductor
University of Zagreb（萨格勒布大学）
该研究证明了模2的格罗斯向量张成F_2^{S_p}，由此证明Kazalicki与Kohen的猜想，还得出素导体、根数为+1的正秩椭圆曲线的模次数被4整除、Watkins猜想对秩2此类曲线成立的结论。
2026-08-14 math.NT
Serre curves relative to obstructions modulo 2
本文研究了在模2像受限时阿德尔伽罗瓦表示像极大的椭圆曲线，通过$\ell$-adic像刻画此类曲线，计算了导子至多500,000的实例，并推广了Serre曲线的基础结果。
2023-07-31 math.NT
Divisibility of orders of reductions of elliptic curves
本文研究椭圆曲线模素数约化群阶的整除与同余分布，给出可显式计算模 $m_E$ 同余类及素数密度的曲线族，并推广到 $\mathbb Q(t)$ 上的正密度情形。
2025-03-19 math.NT
$y$-coordinates of elliptic curves
通过变量变换，得到了椭圆曲线的新的$y$坐标.利用这些$y$ -坐标作为模函数，与椭圆模函数一起，我们生成了$N\geq3$级的模函数域。进一步，利用$y$ -坐标的奇异值，构造了虚二次域上模$N$的射线类域以及这些束类域的正规基.
2013-03-06 math.NT
Class fields generated by coordinates of elliptic curves
设$K$是不同于$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$的虚二次域。对于$K$的非平凡积分理想$\mathfrak{m}$，设$K_\mathfrak{m}$是射线类域模$\mathfrak{m}$。利用模函数特殊值的不等式，证明了椭圆曲线的一个$x$ -坐标在$K$上生成$K_\mathfrak{m}$.
2021-11-01 math.NT
Constructing elliptic curves with a known number of points over a prime field
在密码学中经常需要在给定的n元素域上具有已知点数的椭圆曲线。在素性证明的背景下，Atkin和Morain建议使用复乘理论来构造这样的曲线。该方法的一个步骤是计算Hilbert类多项式H（X）的模n的根，用于基本判别式D。通常的方法是在整数上计算H（X），然后找到模n的根。本文提出了一种改进的孙子剩余定理（CRT），它可以直接从H（X）模足够多的小素数的知识中计算H（X）模n.我们的复杂性分析表明，渐近我们的算法是一个以前已知的方法的改进。
2003-01-22 cs.IT math.AG math.IT
A lower bound for the r-order of a matrix modulo N
对于正整数$N$，我们定义非奇异整数$d\times d$矩阵$A$的N-秩为最大整数$r$，使得存在一个其行列式不能被$N$整除的$r$阶子式.给定一个正整数$r$，研究了最小整数$k$的增长性，使得$A^k-I$至多有N秩$r$，它是$N$的函数.我们表明，这个整数$k$去无穷快于$\log N$当且仅当对于每一个特征值$λ$这是不是一个单位根，本征空间的维数之和相对于本征值是乘依赖于$λ$和不是单位根，加上本征空间的维数相对于本征值是单位根，不超过$d-r-1$。这一结果将被应用到恢复最近的定理卢卡和Shparlinski的状态，一个普通的椭圆曲线$E$的有理点的一组有限域上的$q^n$元素几乎是循环的，在某种意义上被定义，当$n$走向无穷大。我们还将这个结果推广到有限域上两条椭圆曲线的乘积，并证明了当$n$趋于无穷大时，两条非同构椭圆曲线的$\mathbb{F}_{q^n}-$有理点群的阶几乎互质.
2006-12-06 math.NT
On the Fitting ideals of anticyclotomic Selmer groups of elliptic curves with good ordinary reduction
Jeonbuk National University（全北国立大学）
本文通过theta元素确定了反圆环$\mathbb{Z}_p$-扩展中Selmer群的拟环理想，证明了Kurihara主猜想的反圆环版本。
2025-07-11 math.NT
On the non-triviality of the $p$-adic Abel-Jacobi image of generalised Heegner cycles modulo $p$, I: modular curves
广义Heegner圈对应于虚二次扩张$K/\Q$上的一对椭圆Hecke特征形和一个Hecke特征标.设$p$是$K/\Q$中的奇素数分裂，$l\neq p$是奇非分歧素数.证明了$K$的$\Z_l$ -反元扩张上广义Heegner圈模$p$的$p$ -adic Abel-Jacobi象的非平凡性.这个结果是精化的Bloch-Beilinson猜想和Bloch-Kato猜想的一个证据。在两个的情况下，它提供了一个改进的Cornut和Vatsal的结果上的非平凡的Heegner点的$\Z_l$ -anticotomic扩展$K$。
2019-12-01 math.NT
Ideal Classes of Order $2^n$ in a Family of Totally Real Cubic Fields and Rational Points on Associated Elliptic Curves
Yang-En University（杨恩大学）
本文构造了具有指定理想类阶的Ennola三次域，并通过椭圆曲线和Pell方程获得多个独立有理点及高秩纤维。
2026-10-27 math.NT
Variation of Periods Modulo p in Arithmetic Dynamics
令F：V --> V是定义在数域K上的拟投射簇的自态射，P是V（K）中的一点，在F的迭代下具有无穷轨道。对于每个好约化的素理想p，设m_p（F，P）是P模p约化的F-轨道的大小。我们证明了对于几乎所有素数p，在解析密度意义下，轨道长度mp（F，P）大于（log（N（p）^（1-e），其中N（p）是理想p的范数.
2007-07-10 math.DS math.NT
Tate-Shafarevich Groups and Frobenius Fields of Reductions of Elliptic Curves
设$\E/\Q$是$\Q$上的固定椭圆曲线，它不具有复乘。在广义黎曼假设下，A. C. Cojocaru和W. Duke等得到了素数$p\le x$个数的渐近公式，使得$\E$模p的约化有平凡的Tate-Shafarevich群. A.最近的研究结果C. Cojocaru和C.大卫导致一个更好的错误项。我们在证明方案中引入了一个新的论点，使证明方案得到了进一步的改进。
2007-11-29 math.NT
The splitting of primes in division fields of elliptic curves
本文给出了椭圆曲线E的除域的Frobenius的整体描述，它严格类似于割圆的情形。然后，这被应用于确定素数p在这样的划分字段的子字段中的分裂。这些领域包括一大类不可解的五次扩展和我们的应用程序提供了一个算术对应克莱因的“解决方案”的五次方程使用椭圆函数。一个中心的作用是发挥判别环的自同态的椭圆曲线约化模p。
2001-03-24 math.NT
On the refined conjectures on Fitting ideals of Selmer groups of elliptic curves with supersingular reduction
本文研究了$\mathbb{Q}$上椭圆曲线的$\mathbb{Q}$的分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩张的有限子扩张上的Selmer群的Fitting理想.特别地，我们给出了椭圆曲线在奇素数$p$处具有良好（超奇异）约化的Mazur和Tate的“弱主猜想”的证明.在$\pm$ -main猜想成立且某个误差项消失的条件下，证明了第二作者提出的“强main猜想”.其核心思想是岩泽理论中的“有限层对象”、“$\pm$ -对象”和“精细对象”之间的显式比较。良好的普通还原的情况下也被处理。
2019-05-22 math.NT
On the Birch and Swinnerton-Dyer formula modulo squares for certain quadratic twists of elliptic curves
本文研究椭圆曲线二次扭曲下Birch和Swinnerton-Dyer公式模平方的有效性，通过局部Tamagawa数的分类结果，证明了满足修正Heegner假设的二次扭曲下该公式模平方的等价性，并得到半稳定椭圆曲线的相关推论。
2025-10-01 math.NT
Explicit count of integral ideals of an imaginary quadratic field
本研究给出虚二次域整理想计数问题，推导了范数不超过X的整理想个数的显式界，得到模3、模4非主特征对应求和公式的显式误差常数，误差项为O(X^{1/3})量级。
2023-08-21 math.NT
The rank of a CM elliptic curve and a recurrence formula
设$p$是素数，$E_{p}$表示椭圆曲线$y^2=x^3+px$。已知对于与$1, 9$模$16$全等的$p$，$E_{p}$在$\mathbb{Q}$上的秩等于$0, 2$。在Birch猜想和Swinnerton-Dyer猜想成立的条件下，给出了秩为$2$的一个充要条件，该秩是由一个递推公式定义的多项式的常数项表示的.
2021-03-22 math.NT
Small points and free abelian groups
设$F$是有理数的代数扩张，$E$是定义在$F$中某数域上的椭圆曲线.绝对对数Weil高度和Néron-Tate高度分别在$F^*$模挠和$E(F)$模挠上导出一个范数。如果高度函数不能达到任意小的正值，则群$F^*$和$E(F)$是自由阿贝尔模挠。在本文中，我们证明了失败的逆这一说法明确构造反例。
2014-08-21 math.NT
Sato--Tate, cyclicity, and divisibility statistics on average for elliptic curves of small height
我们得到了素数$p\le x$的数量的渐近公式，对于这些素数，椭圆曲线$$ \E_{a,b} : Y^2 = X^3 + aX + b $$的约化模$p$满足某些"自然“性质，平均在整数$a$和$b$上，具有$|a|\le A$和$|b| \le B$，其中$A$和$B$相对于$x$是小的。具体而言，我们调查行为相对于佐藤-泰特猜想，循环性，整除的点数由一个固定的整数$m$。
2007-11-26 math.NT
Polynomials over Ring of Integers of Global Fields that have Roots Modulo Every Finite Indexed Subgroup
一个系数在全局域$K$的整数环$\mathcal{O}_{K}$中的多项式称为交的，如果它有一个根模$\mathcal{O}_{K}$的每个有限指标子群。证明了多项式$f(x)\in\mathcal{O}_{K}[x]$交的两个判据。这些标准之一是根据多项式的分裂域的伽罗瓦群，而第二个标准完全根据依赖于$K$和多项式$f$的常数来验证。证明使用的理论的整体域扩张和上界的最小素理想的Chebotarev密度定理。
2022-07-17 math.NT
Hilbert's Irreducibility Theorem and Ideal Class Groups of Quadratic Fields
我们证明了一个版本的希尔伯特的不可约定理在二次的情况下，给出一个定量的改进结果的Bilu-Gillibert在此限制设置。作为应用，我们改进了具有某些类型理想类群的二次域的计数的几个定量结果。证明的主要定理是基于结果斯图尔特和顶部的价值观的二进制形式模平方。
2021-11-30 math.NT
Elliptic Eisenstein series associated to ideals in real quadratic number fields
本文研究了实二次数域中的椭圆Eisenstein级数，计算了满足plus空间条件的非全纯Eisenstein级数的Fourier展开，并揭示了权重2时Fourier系数与Hirzebruch--Zagier除子几何的关联。
2023-03-31 math.NT
On higher Fitting ideals of Iwasawa modules of ideal class groups over imaginary quadratic fields and Euler systems of elliptic units II
在我们以前的工作中，利用椭圆单位的Kolyvagin导数构造了Iwasawa代数的理想C_i，并证明了理想C_i成为虚二次域K的阿贝尔扩域K_0上的一元和二元p-adic非分歧Iwasawa模X的Fitting高理想的“上界“.本文利用“非算术的”特殊化论证，证明了理想C_i也是X的Fitting高理想的“下界“.特别地，我们证明了理想C_i决定X的伪同构类。请注意，在这篇文章中，我们还处理的情况下，当p-部分的等变玉川数猜想（ETNC）_p尚未证明。在证明了（ETNC）_p的情况下，Burns，Kurihara和Sano已经得到了更强的结果：在（ETNC）_p的假设下，在K_0/K的伽罗瓦群上的特征标$ψ$的一定条件下，他们用Rubin-Stark元给出了X的π-分支的高Fitting理想的完整描述。本文还证明了当（ETNC）_p被证明时，C_i的$ψ$ -部分与Burns，Kurihara和Sano所构造的理想在某些情况下重合.作为这个比较结果的推论，我们还推导出X的极大伪空子模的$ψ$ -部分的零化子理想在某些情况下与初始Fitting理想重合.
2017-10-12 math.NT
Computation of Hilbert class polynomials and modular polynomials from supersingular elliptic curves
该研究针对素数模下类多项式与模多项式的计算问题，借助同源密码学推动下发展的超奇异曲线Deuring对应研究成果，提出多种基于超奇异椭圆曲线的新启发式算法，打破了此前超奇异情形效率低的固有认知。
2023-12-15 math.NT
Ideal class groups of number fields and Bloch-Kato's Tate-Shafarevich groups for symmetric powers of elliptic curves
对于$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线$E$，把$E$的第$p$ -除域$K=\mathbb{Q}(E[p])$作为奇素数$p$，研究了$K$的理想类群$\mathrm{Cl}_K$作为$\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ -模.更精确地说，对于任何具有$1\leqslant j \leqslant p-2$的$j$，我们给出了一个条件，即$\mathrm{Cl}_K\otimes \mathbb{F}_p$的商$\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ -模具有$E[p]$的对称幂$\mathrm{Sym}^j E[p]$，这是根据$\mathrm{Sym}^j V_p E$的Bloch-Kato Tate-Shafarevich群给出的.这里$V_p E$表示$E$的有理$p$-adic Tate模.这是Prasad和Shekhar关于$j=1$情形的一个结果的部分推广。
2022-04-16 math.NT
Quadratic Twists of Elliptic Curves
本文证明了Tian的归纳法可以推广到研究定义在$\mathbb Q$上的某些椭圆曲线$E$的二次扭曲的Birch-Swinnerton-Dyer猜想，其中二次扭曲的整体根数为$+1$和整体根数为$-1$.特别地，对于曲线$E = X_0(49)$，我们证明了以下结果。令$q_1, \ldots, q_r$是与$1$模$4$全等且在域$F = \mathbb Q(\sqrt{-7})$中惰性的不同素数，且令$E^{(R)}$是$E$通过二次扩张$\mathbb Q(\sqrt{R})/\mathbb Q$的扭曲，其中$R=q_1\ldots q_r$。证明了$E^{(R)}$的复L-级数在$s=1$处不为零，完整的Birch-Swinnerton-Dyer猜想对$E^{(R)}$成立.令$l_0$是与$3$模$4$全等的素数，并且使得$7$在字段$K = \mathbb Q(\sqrt{-l_0})$中分裂。如果我们假设另外所有的素数$q_1, \ldots, q_r$在$K$和$F$中都是惰性的，那么我们证明了由$\mathbb Q(\sqrt{-l_0R})/\mathbb Q$扭曲$E$的复$L$ -级数在$s=1$处总是有一个简单的零点。对于定义在$\mathbb Q$上的某些其他椭圆曲线也得到了类似的结果。
2014-08-19 math.NT
A Cohen-Lenstra phenomenon for elliptic curves
给定椭圆曲线$E$和有限阿贝尔群$G$，我们考虑模$p$的点群同构于$G$的素数$p$的个数问题.在关于素数在短区间内的分布的一个猜想下，我们得到了这类问题在一族椭圆曲线上的平均渐近公式。
2014-02-11 math.NT
On the Ramanujan Vector Field modulo $p$
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada（巴西纯数学与应用数学研究所）
本文研究了模p下拉马努金向量场的p次幂，并验证了一个关于该向量场的猜想，同时描述了奇数椭圆曲线的位移并证明了向量场的相切性。
2026-02-23 math.AG math.NT
Visibility of ideal classes
Cremona、Mazur和其他人研究了他们所谓的椭圆曲线的Shafarevich-Tate群元素的可见性。阿贝尔数域$K$的类似是包含$K$的极小分圆域中$K$的理想类的投降。我们开发了一种新的方法来研究投降，并使用它和经典的方法来计算数据，希望深入了解椭圆曲线的情况。例如，数域的数值数据表明，对于正秩的椭圆曲线，非平凡的Shafarevich-Tate元的可见性可能比秩为0的曲线更常见。
2008-09-30 math.NT
Computing Modular Polynomials
提出了一种新的概率算法来计算模多项式模一个素数。模多项式是同构椭圆曲线的参数对，在计算数论和密码学的许多方面都很有用。该算法的特点是不需要计算模形式的傅里叶系数。我们避免计算指数大的积分系数直接模素数和计算同构之间的椭圆曲线通过Velu的公式。
2005-07-07 math.AG math.NT
