Factoring Numbers with elliptic curves
Jorge Jimenez Urroz, Jacek Pomykala
在本文中，我们提供了一个概率多项式时间算法，减少了任何平方自由整数$n$的完全因式分解，以计数点的椭圆曲线模$n$，成功的概率$1-\varepsilon$，对于任何$\varepsilon<0$。
In the present paper we provide a probabilistic polynomial time algorithm that reduces the complete factorization of any squarefree integer $n$ to counting points on elliptic curves modulo $n$, succeeding with probability $1-\varepsilon$, for any $\varepsilon<0$ .
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Factoring integer using elliptic curves over rational number field $\mathbb{Q}$
对于两个不同奇素数乘积的整数$ D=pq$，我们构造了一条$E_{2rD}:y^2=x^3-2rDx$ over $\mathbb Q$的椭圆曲线，其中$r$是依赖于$p$和$q$模8的类的参数，并证明了在奇偶猜想下，对于奇$k$和$E_{2rD}(\mathbb Q)$的自由部分的生成元$Q$，椭圆曲线具有秩1和$v_p(x([k]Q))\not=v_q(x([k]Q))$.因此，我们可以从数据$D$和$ x([k]Q))$恢复$p$和$q$。在广义Riemann假设下，证明了可以取$r<c\log^4D$使得椭圆曲线$E_{2rD}$具有这些性质，其中$c$是一个绝对常数.
On oracle factoring of integers
我们提出了一个预言因式分解算法，发现一个非平凡的因素，几乎所有的正整数$n$的基础上的知识，在某些椭圆曲线上的剩余环模$n$的点的数量。
Factorization and malleability of RSA modules, and counting points on elliptic curves modulo N
在本文中，我们解决两个不同的问题有关的RSA模N的因式分解。首先，我们可以证明因式分解在确定性多项式时间内等价于对一对扭曲的椭圆曲线上的点进行计数。此外，我们解决了因式分解RSA模块的延展性，如[9]中所述，使用单个椭圆曲线模N的点数和Coppersmith算法。
Factorization with genus 2 curves
椭圆曲线方法（ECM）是最好的因式分解方法之一。可以使用超椭圆曲线来代替椭圆曲线，但理论上它更慢。我们使用特殊的超椭圆曲线和Kummer曲面来降低算法的复杂度。我们的实现GMP-HECM比GMP-ECM更快地分解大数字。
Modular elliptic directions with complex multiplication (with an application to Gross's elliptic curves)
对于S_2（Gamma_1（N））中的每个带复乘的正规化新形式f，研究了阿贝尔簇A_f的椭圆曲线C的模参数化.我们应用当C是Gross的椭圆曲线A（p）时得到的结果。
Bounds of some parameters of elliptic curve on finite field
证明了有限域上椭圆曲线的一些参数的下界。这些参数与椭圆曲线的密码稳定性密切相关。
On families of 9-congruent elliptic curves
我们计算了与给定椭圆曲线9-全等的椭圆曲线族的方程。我们利用它们来寻找Q上无穷多个非平凡的9-同余椭圆曲线对，即Q上的非同构椭圆曲线对，它们的9-挠子群同构为Galois模。
Almost all elliptic curves are Serre curves
使用多维大筛不等式，我们得到了一个界的均方误差的切波塔列夫定理划分领域的椭圆曲线，这是强大的广义黎曼假设所隐含的。作为应用，我们证明了一个定理，大意是，根据高度，几乎所有的椭圆曲线是Serre曲线，其中Serre曲线是一个椭圆曲线，其挠子群，粗略地说，有尽可能多的伽罗瓦对称性。
Legendre elliptic curves over finite fields
证明了奇特征有限域上的每一条椭圆曲线，其有理点的个数可被4整除，都与Legendre形式的椭圆曲线同构，只有极小极大椭圆曲线例外.我们还收集了一些关于超奇异Legendre参数的结果。
Tate-Shafarevich groups of constant elliptic curves and isogeny volcanos
利用有限域上椭圆曲线的等距图的火山结构，刻画了函数域上常数椭圆曲线的Tate-Shafarevich群的结构.
Darmon points on elliptic curves over totally real fields
我们展示了如何在全实域上的椭圆曲线上构造Darmon点。
Symmetric diophantine systems and families of elliptic curves of high rank
虽然已经有相当大的兴趣在这个问题上找到高秩的椭圆曲线的$\mathbb{Q}$，很少参数化家庭的椭圆曲线的一般秩$\geq 8$已公布。在本文中，我们使用某些对称丢番图系统的解决方案，以建立几个参数化的家庭椭圆曲线，其一般的秩范围从至少8到至少12。具体数值的参数产生椭圆曲线具有相当大的系数，因此，我们可以确定精确的排名只有在少数情况下，排名的椭圆曲线$\leq 13$。然而，期望本文中得到的椭圆曲线的参数化族将产生具有更高秩的椭圆曲线的例子。
Elliptic nets and elliptic curves
椭圆整除序列是与有理数上的椭圆曲线以及该曲线上的有理点相关联的整数递归序列。在本文中，我们提出了一个高维模拟任意基场。设E是域K上的一条椭圆曲线，P_1，.，P_n是定义在K上的E上的点。对于这些信息，我们将K中的值的n维数组与满足非线性递归关系相关联。满足这个关系的数组称为椭圆网。我们证明了一个明确的双射之间的集合的椭圆网和集合的椭圆曲线与指定的点。我们还获得了椭圆网的Laurentness/integrality结果。
A note on log-algebraicity on elliptic curves
我们分析了由模参数化引起的$\mathbb{Q}$上椭圆曲线的形式群的对数代数幂级数恒等式。我们进一步研究椭圆曲线$L$ -函数的特殊值的应用。
Iterated integrals and unipotent periods on families of marked elliptic curves
我们用重zeta值和椭圆重zeta值描述了标记椭圆曲线族上的幂单周期迭代积分。
Average analytic rank of elliptic curves with prescribed torsion
证明了在椭圆曲线$L$ -函数的GRH下，具有给定挠率$G$的椭圆曲线的平均解析秩对每个挠群$G$是有界的.
On some remarkable congruences between two elliptic curves
我们证明了两条具有$17$ -挠子群同构于Galois模的非同构有理椭圆曲线.
On the distribution of analytic ranks of elliptic curves
本文在椭圆$L$ -函数的GRH下，给出了椭圆曲线具有$L$ -函数的解析秩$L$-的概率的上界，以及椭圆曲线的解析秩的$n$ -阶矩的上界.这些是计算具有局部条件的椭圆曲线的应用，例如，在$p$处具有好约化。
A note on zeros of $L$-series of elliptic curves
本文研究有限域上椭圆曲线的正定二次型与有理数域上椭圆曲线的正定二次型之间的类比。提出了一个问题，其中一个肯定的答案将意味着类似的黎曼假设的椭圆曲线在有理数域。
Modularity of some elliptic curves over totally real fields
研究了一般全实数域上椭圆曲线的模性，建立了非模$j$ -不变量集的有限性结果.通过分析某些模曲线上的二次点，证明了某些实二次域上的椭圆曲线都是模曲线。
Positive-rank elliptic curves arising pythagorean triples
本文引入了一类新的正秩椭圆曲线，它们都是由勾股三元组组成的.
On the Correspondence between Supersingular Elliptic Curves and maximal quaternionic Orders
给出了计算超奇椭圆曲线自同态环的一个确定的显式算法。作为例子，我们计算了定义在特征p=29，.上的所有超奇椭圆曲线的自同态环，97.
On families of 13-congruent elliptic curves
我们计算的扭曲的模曲线$X(13)$参数化的椭圆曲线13-全等给定的椭圆曲线。通过寻找这些扭上的有理点，我们可以找到${\mathbb Q}$上的非平凡13-全等椭圆曲线对，即${\mathbb Q}$上的非同构椭圆曲线对，它们的13-扭子群同构于Galois模.我们还发现方程的表面参数对13-全等椭圆曲线。有两个这样的表面，对应于13-同余，做或不做，尊重韦尔配对。我们写每个作为一个双重覆盖的射影平面分歧超过一个高度奇异的模型巴兰的模曲线的水平13。通过在这些曲面上寻找合适的有理曲线，我们证明了在${\mathbb Q}$上存在无穷多对非平凡的13-全等椭圆曲线。
L-function and rational points on an elliptic curve via the classical number theory
利用经典数论研究了L函数与椭圆曲线上的有理点。
The first p-jet space of an elliptic curve: global functions and lifts of Frobenius
证明了在椭圆曲线上的第一个$p$ -jet空间上不存在非常数全局函数和Frobenius提升，除非椭圆曲线本身具有Frobenius提升.
Elliptic curves over $\mathbb{Q}_\infty$ are modular
证明了若p是素数，则定义在Q的分圆扩张Z_p上的所有椭圆曲线都是模曲线.
Exponential Sums over Points of Elliptic Curves
本文给出了有限域上椭圆曲线上点的双线性和的一个新的界。我们利用这个界改进了以前关于各种指数和的一系列结果以及一些涉及椭圆曲线上点的算术问题。
Typically bounding torsion on elliptic curves isogenous to rational $j$-invariant
证明了数域上与具有$j$-有理$F_0$-不变量的椭圆曲线几何同构的椭圆曲线族$\mathcal{I}_{F_0}$在挠率上是典型有界的.在一个额外的一致性假设下，我们还证明了数域上的椭圆曲线族$\mathcal{I}_{d_0}$与度为$d_0$ $j$ -不变量的椭圆曲线几何同构时，其挠率通常是有界的.
New Rank Records For Elliptic Curves Having Rational Torsion
我们提出了具有扭子群Z/2 Z、Z/3 Z、Z/4 Z、Z/6 Z和Z/7 Z的破秩记录的椭圆曲线。
Analogy between arithmetic of elliptic curves and conics
在这篇简短的笔记中，我们提出了椭圆曲线的算术和黎曼ζ函数之间的类比。
On The Rank Of Congruent Elliptic Curves
本文中，$p$和$q$是两个不同的奇素数.首先构造了对应于$p$、$2p$、$pq$和$2pq,$的全等椭圆曲线，然后在全等数的情况下，确定了相应的全等椭圆曲线的秩.
Extending Elliptic Curve Chabauty to higher genus curves
将“椭圆曲线Chabauty”方法推广到高亏格曲线及其Jacobian。这种方法有时可以与覆盖技术和修改版本的Mordell-Weil筛结合使用，以提供一个完整的解决方案，以确定代数曲线$Y$的有理点集的问题。
Counting elliptic curves with an isogeny of degree three
我们用高度来计算有理数上具有三次等距的椭圆曲线的个数。
Mod 2 representations of elliptic curves
本文给出了模2表示的椭圆曲线（特征不是2或3）与给定椭圆曲线同构的显式方程。
Elliptic curves of unbounded rank and Chebyshev's bias
建立了$\mathbb Q$上椭圆曲线解析秩的定量无界性与高偏椭圆曲线素数族存在性之间的条件等价性.我们表明，有条件的黎曼假设和假设上的多重性的零$L(E,s)$，大的分析秩转化为一个极端的切比雪夫偏见。相反，我们表明，在一定的线性独立性假设下的零点$L(E,s)$，如果高度偏置的椭圆曲线素数种族确实存在，然后黎曼假设成立无限多个椭圆曲线$L$ -功能，并存在椭圆曲线的任意大的秩。
Families of elliptic curves ordered by conductor
本文研究了一类椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，它在$2$和$3$处有很好的约化，并且它的$j$ -不变量很小.在这组椭圆曲线中，我们考虑以下两个子类：第一，一组椭圆曲线$E$，使得比率$Δ(E)/C(E)$是无平方的;第二，一组椭圆曲线$E$，使得$Δ(E)/C(E)$被$C(E)$的小幂$(<3/4)$限制。当按导体排序时，这两个族都包含正比例的椭圆曲线。我们的主要结果确定这两个家庭的渐近性，当有序的导体。此外，我们证明了第一族中椭圆曲线的$2$ -Selmer群的平均尺寸，当这些曲线按其导体排序时，是$3$。这意味着这些椭圆曲线的平均秩是有限的，并且以$1.5$为界。
Computing the trace of an algebraic point on an elliptic curve
给出了一个计算椭圆曲线上一点的代数共轭和的简单有效的算法。
The even parity Goldfeld conjecture: congruent number elliptic curves
在1979年戈德菲尔德说：50\%的二次扭曲的椭圆曲线定义的有理数分析秩为零。在这篇简要的文章中，我们提出了一些最新的进展对猜想，特别是它的第一个例子-全等数椭圆曲线。
A heuristic for boundedness of ranks of elliptic curves
我们提出了一个启发式，表明椭圆曲线的秩有理数是有界的。事实上，它表明只有1000多个椭圆曲线的秩大于大于21。我们的启发式算法基于同时对椭圆曲线的秩和Shafarevich-Tate群进行建模，并依赖于对指定秩的交替整数矩阵进行计数的定理。我们还讨论了类似的椭圆曲线在其他全球领域。
Local diophantine properties of modular curves of $\cal{D}$-elliptic sheaves
研究了局部域上$\cal{D}$ -椭圆层的模曲线上有理点的存在性及其特殊纤维的结构.讨论了它的一些应用，包括寻找由四元数代数产生的算术群的表示，寻找$\cal{D}$ -椭圆层的模曲线的方程，以及构造违反Hasse原理的曲线.
Isogenies over quadratic fields of elliptic curves with rational $j$-invariant
我们确定了定义在二次域上的有理$j$不变的非CM椭圆曲线的循环同构的可能度。
Non-existence of elliptic curves with everywhere good reduction over some real quadratic fields
证明了某些实二次域上不存在处处好约化好的椭圆曲线。
Ranks of elliptic curves in families of quadratic twists
证明了椭圆曲线二次扭的秩的无界性等价于某些无穷级数的发散性。
On positive proportion of rank zero twists of elliptic curves over Q
推广\cite{dab2}的思想，利用2-下降法，给出了Q上的三类椭圆曲线，使得这类椭圆曲线的素数扭转的正比例同时为秩零.
On the topological aspects of arithmetic elliptic curves
在这篇短文中，我们将构造一个包含Q上所有椭圆曲线的拓扑族，作为应用，证明这个拓扑族提供了Q上Mordell-Weil群秩为$\leq1$的椭圆曲线的Hasse-Weil L-函数的一些几何解释.
Elliptic curves with complex multiplication and $Λ$-structures
本论文主要探讨具有复乘的椭圆曲线与Lambda结构之间的关系。我们的主要结果是证明了具有复乘的椭圆曲线的模栈和具有复乘的泛椭圆曲线都具有Lambda结构，并且结构态射是Lambda态射.这意味着具有复乘的椭圆曲线可以被正则地提升到基的Witt向量（这些是大的全局Witt向量）。我们还表明，椭圆曲线与复乘的志村型恰恰是那些承认λ结构，这些椭圆曲线承认全球极小模型的一大类。在此基础上，我们详细研究了任意基上具有复乘的椭圆曲线族，给出了与局部域和虚二次域相关的互易映射的新的推导，构造了具有复乘的椭圆曲线的模栈的一个新的平坦的、仿射的和准光滑的刚性化，并展示了完美Lambda格式与周期之间的关系，$p$ -adic和analytic。
A positive proportion of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ have rank one
证明了当$\mathbb{Q}$上的所有椭圆曲线按朴素高度排序时，正比例的代数秩和解析秩都为1.因此，椭圆曲线的平均秩和平均解析秩都是严格正的。
Elliptic curves with large torsion and positive rank over number fields of small degree and ECM factorization
本文给出了几种构造小次数域上具有大扭群和正秩的椭圆曲线的方法。我们还讨论了这种曲线在椭圆曲线分解方法（ECM）中的潜在应用。
Numerical modular symbols for elliptic curves
我们提出了一个详细的分析，如何实现计算的模符号为一个给定的椭圆曲线，通过使用数值逼近。随着曲线导体的增加，这种方法比当前的实施方式更有效。
On pairs of 17-congruent elliptic curves
我们计算了$17$ -全等椭圆曲线的曲面Z（17，1）和Z（17，3）参数对的显式方程。我们发现它们都是同一椭圆K3-曲面的双重覆盖。我们使用这些方程展示了第一个非平凡的例子，一对辛17-全等椭圆曲线的有理数。我们还计算了相应的亏格2曲线，其雅可比矩阵具有$(17,17)$ -分裂。
Mod p representations on elliptic curves
当p = 2，3，5时，由椭圆曲线得到GL_2（F_p）的分圆行列式模伽罗瓦表示.我们表明（通过构建明确的例子），这样的椭圆曲线不能选择有导体尽可能小，在所有素数以外的P。我们的证明涉及到找到所有椭圆曲线的导体85779，一个自定义的计算为我们进行克雷莫纳。这导致一个反例的猜想拉里奥和里约。当p > 5时，我们构造了不产生于Q上任何椭圆曲线的分圆行列式的不可约表示.
Elliptic Curves over Real Quadratic Fields are Modular
证明了定义在实二次域上的所有椭圆曲线都是模曲线。
Selmer Groups of Elliptic Curves with Complex Multiplication
本文给出了关于椭圆曲线上具有复乘的Selmer群的Iwasawa模结构的一些结果。
Upper bounds for moments of analytic ranks of elliptic curves over number fields
研究数域上椭圆曲线解析秩矩的上界，通过证明条件上界及解析秩大于给定界的椭圆曲线密度的条件界来进行研究。
Elementary background in elliptic curves
本文给出了代数几何的额外背景，作为文章“形式群、椭圆曲线和Couveignes的一些定理”的补充。第一节讨论了椭圆曲线上的加法律，第二节和第三节介绍了函数场、均匀化器和关于均匀化器的幂级数展开式。
On the discriminant of elliptic curves with non-trivial torsion
对于定义在有理域上的具有非平凡挠子群的椭圆曲线，我们发现挠子群本身与由曲线自然产生的伽罗瓦群之间存在着紧密的关系.
More constructing pairing-friendly elliptic curves for cryptography
构造适合于配对应用的椭圆曲线的问题受到了广泛的关注。为了解决这个问题，我们提出了一个变种算法的一个已知的方法Brezing和翁。我们产生新的家庭的参数使用我们的算法对友好的椭圆曲线的嵌入度为8，我们实际上计算一些显式曲线作为数值例子。
Local solubility and height bounds for coverings of elliptic curves
研究了椭圆曲线的2-、3-和4-覆盖的亏格1曲线。我们描述了有效的算法，用于测试本地的溶解度和修改的经典公式的覆盖地图，使他们的工作在所有的特点。这些成分，然后结合起来，给出明确的界限有关的高度的一个有理点的覆盖曲线上的高度，其图像上的椭圆曲线。我们使用我们的结果，以改善现有的方法寻找有理点在椭圆曲线。
Frobenius lifts and elliptic curves with complex multiplication
利用Frobenius提升的交换族给出了Shimura型椭圆曲线的一个新的刻画，并加强了束类域的一个旧的主理想定理.这两个结果相结合产生的存在性的整体极小模型的椭圆曲线的Shimura型，推广的结果格罗斯。一路上，我们还证明了一些小的，但新的结果，椭圆曲线与复乘。
Regulators of elliptic curves
本文研究了数域、特征为零的函数域和特征为$p>0$的函数域上的椭圆曲线的Mordell-Weil群的调节子.证明了数域上秩至少为$4$的椭圆曲线的调节器的一个新的Northcott性质。在函数域情形下，我们得到了具有有界调节器和有界秩的非平凡椭圆曲线族是有限族。最后，我们提出新的问题。
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