Tate-Shafarevich groups of constant elliptic curves and isogeny volcanos

亏格为2的曲线Jacobian的（3，3）-等距下降

Descent via (3,3)-isogeny on Jacobians of genus 2 curves

我们给出了亏格为2的曲线C在J[3]中具有最大迷向（ZZ/3）^2的参数化，其中J是C的雅可比簇，并发展了通过（3，3）-等距进行下降所需的理论。我们应用这几个例子，它可以表明，不可约雅可比有非平凡的3-部分的Tate-Shafarevich群。

CM德拉芬模块、自同源模形式与火山结构

CM Drinfeld Modules, Self-isogenous Modular Polynomials, and Volcano Structure

本文研究了CM德拉芬模块的自同源模形式和火山结构，提出了一种计算方法并证明了火山结构在同源图中的出现。

通过等分布证明同源类的有限性

Finiteness of an Isogeny Class via Equidistribution

本文利用等分布思想，将数域上同源类有限性的证明归约到有限域情形，从而给出沙法列维奇猜想的新证明。

配对火山

Pairing the Volcano

等生火山是顶点是椭圆曲线，边是$\ell$ -等生的图。允许在这些图上旅行的算法由Kohel在他的论文（1996）中开发，后来由Fouquet和Morain（2001）开发。然而，到目前为止，还没有一种方法可以预测，在火山上迈出一步之前，这一步的方向。因此，在Kohel算法和Fouquet-Morain算法中，在选择正确的方向之前要采取许多步骤。特别是，通常使用试错法发现上升或水平同源性。在本文中，我们提出了一种替代方法，有效地找到所有点$P$的顺序$\ell$，使由$P$产生的子群是一个水平或上升的Isochrons的内核。在许多情况下，我们的方法比以前的方法更快。这是一篇发表在ANTS 2010会议录上的论文的扩展版本。此外，我们处理的情况下，2-等距火山，我们从群结构的曲线和配对推导出一个新的不变量的自同态类的椭圆曲线。我们的基准测试结果表明，所得算法的自同态环计算是快于Kohel的方法计算的$\ell$ -adic值的导体的自同态环小$\ell$。

具有非平方阶Tate-Shafarevich群的有理数上的非单交换曲面的例子

Examples of non-simple abelian surfaces over the rationals with non-square order Tate-Shafarevich group

设A是定数域上的阿贝尔曲面.如果A是主极化的，则已知A的泰特-沙法列维奇群的阶如果是有限的，则必须是平方或平方的两倍。A的情况主要不是两极分化的仍然不清楚。对于{1，2，3，5，6，7，10，13}中的每个k，我们在其Tate-Shafarevich群的阶为k乘平方的有理数上构造一个非简单的非主极化阿贝尔曲面。为了得到这个结果，我们探讨了Birch和Swinnerton-Dyer猜想在等距条件下的不变性。

第二类等位基因下降与Birch和Swinnerton-Dyer猜想公式

Second Isogeny Descents and the Birch and Swinnerton-Dyer Conjectural Formula

设h是椭圆曲线的p-等距线。我们描述了如何对Shafarevich-Tate群中被对偶Islach '杀死的非平凡元进行h-下降。这使得计算的p-Selmer群的椭圆曲线承认一个p-等距在Q可行的p = 5，7的情况下，等距下降是不够的，一个完整的p-下降将是不可行的。作为应用，我们完成了对Q上秩为0或1且导体小于5000的所有椭圆曲线的Birch和Swinnerton-Dyer全曲率公式的验证.

普通3-同源图与素数域上扭曲Hessian曲线超奇异检测的改进

Ordinary 3-Isogeny Graphs and Improvement of Supersingularity Testing for Twisted Hessian Curves over Prime Fields

本文利用扭曲Hessian曲线的3-同源性质，证明当p≡2 mod 3时普通曲线位于3-火山表面，并据此改进Sutherland超奇异检测算法，同时推广了超奇异j-不变量为立方的结论。

复乘阶在普通同源类中的加权分布

Weighted Distributions of Complex Multiplication Orders in Ordinary Isogeny Classes

本文基于Deuring对应，研究有限域上普通椭圆同源类内端射影环的加权分布，通过类数公式得到全局分布，并揭示了同源图几何与类域理论的联系。

关于带水平结构的普通同源图

On ordinary isogeny graphs with level structure

该研究针对特征p有限域上带水平结构的普通椭圆曲线l-同源图，证明其随p幂水平构成岩泽理论p-塔，推广了火山口结构结论，并解决了对应图的逆问题，部分推广了已有最新结果。

具有层级结构的普通同源图

Ordinary Isogeny Graphs with Level Structure

本文研究了具有层级结构的普通椭圆曲线ℓ-同源图，探讨了层级结构对图结构的影响及理想类群的作用。

有限域上同调图的分布问题

Distribution questions for isogeny graphs over finite fields

本文研究了有限域上椭圆曲线ℓ-火山的高度分布，推导了素数p的自然密度公式，并计算了极限密度。

Large Tate--Shafarevich orders from good $abc$ triples

Record values are determined for the order $|\Sha|$ of the Tate--Shafarevich group of an elliptic curve $E$, computed analytically by the Birch--Swinnerton-Dyer conjecture, and for the Goldfeld--Szpiro ratio $G=|\Sha|/\sqrt{N}$, where $N$ is the conductor of $E$. The curves have rank zero and are isogenous to quadratic twists of Frey curves constructed from coprime positive integers $(a,b,c)$ with $a+b=c$ and $c>r^{1.4}$, where the radical $r$ is the product of the primes dividing $abc$. Curves with $|\Sha|>250000^2$ and $G>12$ are found in 20 isogeny classes. Three curves have $G>150$. The la…

Elements of given order in Tate-Shafarevich groups of abelian varieties in quadratic twist families

Let $A$ be an abelian variety over a number field $F$ and let $p$ be a prime. Cohen-Lenstra-Delaunay-style heuristics predict that the Tate-Shafarevich group of $A_s$ should contain an element of order $p$ for a positive proportion of quadratic twists $A_s$ of $A$. We give a general method to prove instances of this conjecture by exploiting independent isogenies of $A$. For each prime $p$, there is a large class of elliptic curves for which our method shows that a positive proportion of quadratic twists have nontrivial $p$-torsion in their Tate-Shafarevich groups. In particular, when the modul…

Faltings 同源定理的等分布证明

Faltings' Isogeny Theorem via Equidistribution

利用 Yuan 的非阿基米德等分布定理，将同态和半单性从有限域提升到数域，从而直接由 Tate 定理推出 Faltings 同源定理的新证明。

On Conjectural Rank Parities of Quartic and Sextic Twists of Elliptic Curves

We study the behavior under twisting of the Selmer rank parities of a self-dual prime-degree isogeny on a principally polarized abelian variety defined over a number field, subject to compatibility relations between the twists and the isogeny. In particular, we study isogenies on abelian varieties whose Selmer rank parities are related to the rank parities of elliptic curves with $j$-invariant 0 or 1728, assuming the Shafarevich-Tate conjecture. Using these results, we show how to classify the conjectural rank parities of all quartic or sextic twists of an elliptic curve defined over a number …

关于Shafarevich-Tate群的可见性范畴

On the Visibility category of the Shafarevich--Tate group

本文研究了椭圆曲线的Shafarevich-Tate群中非平凡元素的可见性范畴，探讨了最小对象的性质，并通过两种构造方法分析了最小可视化阿贝尔簇的生成。

Elements of prime order in Tate-Shafarevich groups of abelian varieties over $\mathbb{Q}$

For each prime $p$, we show that there exist geometrically simple abelian varieties $A/\mathbb Q$ with non-trivial $p$-torsion in their Tate-Shafarevich groups. Specifically, for any prime $N\equiv 1 \pmod{p}$, let $A_f$ be an optimal quotient of $J_0(N)$ with a rational point $P$ of order $p$, and let $B = A_f/\langle P \rangle$. Then the number of positive integers $d \leq X$, such that the Tate-Shafarevich group of $\hat B_d$ has non-trivial $p$-torsion, is $\gg X/\log X$, where $\hat B_d$ is the dual of the $d$-th quadratic twist of $B$. We prove this more generally for abelian varieties o…

Computing the Charlap-Coley-Robbins modular polynomials

Let $\mathcal{E}$ be an elliptic curve over a field $K$ and $\ell$ a prime. There exists an elliptic curve $\mathcal{E}^*$ related to $\mathcal{E}$ by anisogeny (rational map that is also a group homomorphisms) of degree $\ell$ if and only $Φ_\ell(X, j(\mathcal{E})) = 0$, where $Φ_\ell(X, Y)$ is the traditional modular polynomial. Moreover, the modular polynomial gives the coefficients of $\mathcal{E}^*$, together with parameters needed to build the isogeny explicitly. Since the traditional modular polynomial has large coefficients, many families with smaller coefficients can be used instead, …

Extensions of CM elliptic curves and orbit counting on the projective line

There are several formulas for the number of orbits of the projective line under the action of subgroups of $GL_2$. We give an interpretation of two such formulas in terms of the geometry of elliptic curves, and prove a more general formula for a large class of congruence subgroups of Bianchi groups. Our formula involves the number of walks on a certain graph called an isogeny volcano. Underlying our results is a complete description of the group of extensions of a pair of CM elliptic curves, and of a pair of lattices in a quadratic field.

与循环三次扩张有关的椭圆曲线

Elliptic curves related to cyclic cubic extensions

本文的目的是研究定义在数域$F$上的一类椭圆曲线族$\{\mathscr{X}_H\}_H$，该数域$F$由与循环三次扩张$K/F$相关联的三次曲面$\mathscr{X}/F$的超平面截面产生.我们证明了每个$\mathscr{X}_H$在$F$上都有一个3-等距的$ϕ$，并且对偶Selmer群$S^{(\hatϕ)}(\hat{\mathscr{X}_H}/F)$被一类附着在$K/F$上的单位/类群所包围.通过椭圆曲线$\mathscr{X}_H$上的有理函数证明了这一点，并具有良好的性质。我们还证明了Shafarevich-Tate群$\text{\cyr X} (\hat{\mathscr{X}_H}/\rat)[\hatϕ]$作为特殊情况与$K$的一个类群重合.

阿贝尔曲面上二阶结构的显式CM-理论

Explicit CM-theory for level 2-structures on abelian surfaces

对于一个复阿贝尔簇$A$，其自同态环同构于四次CM-域$K$的极大序模，Igusa不变量$j_1(A), j_2(A),j_3(A)$生成$K$的反射域的阿贝尔扩张。本文给出了这个反射场的类群在$j_1(A),j_2(A),j_3(A)$上的伽罗瓦作用的一个明确的描述。我们给出了一个几何描述，可以表示为各种西格尔模品种之间的映射。我们可以明确地计算这个行动的理想的小范，这使我们能够改善CRT方法计算Igusa类多项式。此外，我们发现循环的阿贝尔曲面的等距图，从而意味着“等距火山”算法计算正常椭圆曲线的自同态环在有限域没有一个简单的推广计算阿贝尔曲面的自同态环在有限域。

使用 Fricke 模多项式计算同源

Using Fricke modular polynomials to compute isogenies

本文研究使用 Fricke 模多项式计算椭圆曲线同源，通过调整已知算法、利用级数计算、Eisenstein 级数快速数值求值及同源火山等方法，获得了系数更小的多项式及 $\mathcal{E}^*$ 系数的显式公式。

Neumann-Setzer椭圆曲线的模参数化

Modular Parametrizations of Neumann-Setzer Elliptic Curves

假设$p$是一个素数，其形式为$u^2+64$，对于某个整数$u$，我们取其为3 mod 4。然后，给出了素导体$p$的两条Neumann-Setzer椭圆曲线$E_0$和$E_1$，它们都具有Mordell-Weil群$\Z/2\Z$ .存在不通过任何其他椭圆曲线（即，$π$是最优的），其中$X_0(p)$是水平$p$的模数曲线。我们的主要结果是：$π$的次数是奇的当且仅当$u \con 3\pmod{8}$ .我们还证明了Glenn Stevens的一个猜想的素导体情形，即如果$E$是素导体$p$的椭圆曲线，则$X_1(p)$在$E$的等距类中的最优商是具有最小Faltings高度的曲线.最后讨论了Neumann-Setzer曲线的Shafarevich-Tate群的模次数和模阶的一些结构和数据。

关于一族违反哈塞原理的椭圆曲线与亏格1曲线的Selmer群与秩

On the Selmer group and rank of a family of elliptic curves and curves of genus one violating the Hasse principle

本研究针对一族j不变量为零的椭圆曲线及其3-同源曲线，结合整二元三次型等价类，在Tate-Shafarevich群有限假设下推导秩的奇偶性与上下界，并构造出显式违反哈塞原理的亏格1曲线类。

临界值的算术 II：临界椭圆曲线

The arithmetic of critical values II: critical elliptic curves

本文作为《临界值的算术》系列第二章，通过伽罗瓦理论直接证明双覆叠 $E_f$ 存在 3-同源，推导塞尔默伴随定理并给出相关应用与新雅可比簇例子。

分圆 $\u001b[1;31m\mathbb{Z}_\ell\u001b[0m$-扩张上具有很少坏素数的曲线

Curves with few bad primes over cyclotomic $\mathbb{Z}_\ell$-extensions

该研究聚焦有理数的ℓ-分圆扩张，突破数域中经典有限性结论，证明小素数情形下仅含完全分歧素数的S-单位方程有无穷多解，还构造出坏素数极少的无穷多椭圆或超椭圆曲线并证其Jacobian具无穷多同源类。

当 BSD 实周期记住有理数域上的椭圆曲线时

When the BSD Real Period Remembers Elliptic Curves over $\mathbb{Q}$

本文证明椭圆曲线的实周期等 BSD 不变量可唯一确定该曲线（直至同构或同源），并给出精度依赖的数值版本。

BSD不变量与椭圆曲线的鸣群现象

BSD Invariants and Murmurations of Elliptic Curves

研究BSD不变量与椭圆曲线有理数上的鸣群现象，发现不变量在滑动导数窗口中无鸣群振荡，但影响标准弗罗贝尼乌斯迹鸣群形状，且塔希-沙法列夫群模拟能量在控制L(1)、实周期和导数后仍有效。