Tate-Shafarevich groups of constant elliptic curves and isogeny volcanos
Brendan Creutz, Jose Felipe Voloch
利用有限域上椭圆曲线的等距图的火山结构，刻画了函数域上常数椭圆曲线的Tate-Shafarevich群的结构.
We describe the structure of Tate-Shafarevich groups of a constant elliptic curves over function fields by exploiting the volcano structure of isogeny graphs of elliptic curves over finite fields.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Ordinary isogeny graphs over $\mathbb{F}_p$: the inverse volcano problem
给出了定义在$\mathbb{F}_p$上的正常椭圆曲线的$\ell$ -等距图的详细描述.然后，我们专注于以下逆问题：给定一个抽象的火山$V$，是否总是存在素数$\ell, p \in \mathbb{N}$，使普通的$\ell$ -等距图在$\mathbb{F}_p$包含$V$作为一个连通组件？我们对这个问题提供了肯定的回答。
Isogeny volcanoes
有限域上的椭圆曲线的等距图的显著结构和计算显式形式使其成为计算数论和椭圆曲线密码学的重要工具。这篇简要的论文叙述了这些图背后的理论，并研究了几个最近开发的算法，通过利用这一理论实现了大量（通常是戏剧性的）性能增益。
Mumford-Tate and Generalised Shafarevich conjectures
在本文中，我们制定了广义Isogeny，Mumford-Tate和Shafarevich拓扑，并证明它们是等价的。
CM points on Shimura curves via QM-equivariant isogeny volcanoes
本文利用 QM 等变同源火山描述一般层 Shimura 曲线上指定序的 CM 点轨迹，完成计数、本原剩余域与次数判定，并据此研究零星 CM 点。
Modular polynomials via isogeny volcanoes
对素数n和任意正整数m，给出了计算环Z[X，Y]和（Z/mZ）[X，Y]中经典模多项式Phi_n的一个新算法.我们的方法使用的n-同构图，有效地计算Phi_n mod p的许多素数p的一个适当的形式，然后应用孙子剩余定理（CRT）。在广义黎曼假设（GRH）下，我们实现了O（n^3（log n）^3 log log n）的预期运行时间，并在O（n^2（log n）^2 + n^2 log m）空间中计算Phi_n mod m.我们已经使用新算法计算Phi_n（n大于5000）和Phi_n mod m（n大于20000）。我们还考虑了几个模函数g，其中Phi_n^g小于Phi_n，允许我们处理n超过60000。
Bounds on Heights of $2$-isogeny Graphs in Ordinary Curves over $\mathbb{F}_p$ and $\mathbb{F}_{p^2}$ and Its Application
本文研究有限域上普通椭圆曲线 $2$-同源火山图的高度界，在 $q=p^2$ 时给出更紧的显式上界，并为 $q=p$ 情形提出可计算良好界的技术。
Descent via (3,3)-isogeny on Jacobians of genus 2 curves
我们给出了亏格为2的曲线C在J[3]中具有最大迷向（ZZ/3）^2的参数化，其中J是C的雅可比簇，并发展了通过（3，3）-等距进行下降所需的理论。我们应用这几个例子，它可以表明，不可约雅可比有非平凡的3-部分的Tate-Shafarevich群。
CM Drinfeld Modules, Self-isogenous Modular Polynomials, and Volcano Structure
本文研究了CM德拉芬模块的自同源模形式和火山结构，提出了一种计算方法并证明了火山结构在同源图中的出现。
Finiteness of an Isogeny Class via Equidistribution
本文利用等分布思想，将数域上同源类有限性的证明归约到有限域情形，从而给出沙法列维奇猜想的新证明。
Pairing the Volcano
等生火山是顶点是椭圆曲线，边是$\ell$ -等生的图。允许在这些图上旅行的算法由Kohel在他的论文（1996）中开发，后来由Fouquet和Morain（2001）开发。然而，到目前为止，还没有一种方法可以预测，在火山上迈出一步之前，这一步的方向。因此，在Kohel算法和Fouquet-Morain算法中，在选择正确的方向之前要采取许多步骤。特别是，通常使用试错法发现上升或水平同源性。在本文中，我们提出了一种替代方法，有效地找到所有点$P$的顺序$\ell$，使由$P$产生的子群是一个水平或上升的Isochrons的内核。在许多情况下，我们的方法比以前的方法更快。这是一篇发表在ANTS 2010会议录上的论文的扩展版本。此外，我们处理的情况下，2-等距火山，我们从群结构的曲线和配对推导出一个新的不变量的自同态类的椭圆曲线。我们的基准测试结果表明，所得算法的自同态环计算是快于Kohel的方法计算的$\ell$ -adic值的导体的自同态环小$\ell$。
Examples of non-simple abelian surfaces over the rationals with non-square order Tate-Shafarevich group
设A是定数域上的阿贝尔曲面.如果A是主极化的，则已知A的泰特-沙法列维奇群的阶如果是有限的，则必须是平方或平方的两倍。A的情况主要不是两极分化的仍然不清楚。对于{1，2，3，5，6，7，10，13}中的每个k，我们在其Tate-Shafarevich群的阶为k乘平方的有理数上构造一个非简单的非主极化阿贝尔曲面。为了得到这个结果，我们探讨了Birch和Swinnerton-Dyer猜想在等距条件下的不变性。
Second Isogeny Descents and the Birch and Swinnerton-Dyer Conjectural Formula
设h是椭圆曲线的p-等距线。我们描述了如何对Shafarevich-Tate群中被对偶Islach '杀死的非平凡元进行h-下降。这使得计算的p-Selmer群的椭圆曲线承认一个p-等距在Q可行的p = 5，7的情况下，等距下降是不够的，一个完整的p-下降将是不可行的。作为应用，我们完成了对Q上秩为0或1且导体小于5000的所有椭圆曲线的Birch和Swinnerton-Dyer全曲率公式的验证.
Ordinary 3-Isogeny Graphs and Improvement of Supersingularity Testing for Twisted Hessian Curves over Prime Fields
本文利用扭曲Hessian曲线的3-同源性质，证明当p≡2 mod 3时普通曲线位于3-火山表面，并据此改进Sutherland超奇异检测算法，同时推广了超奇异j-不变量为立方的结论。
Weighted Distributions of Complex Multiplication Orders in Ordinary Isogeny Classes
本文基于Deuring对应，研究有限域上普通椭圆同源类内端射影环的加权分布，通过类数公式得到全局分布，并揭示了同源图几何与类域理论的联系。
On ordinary isogeny graphs with level structure
该研究针对特征p有限域上带水平结构的普通椭圆曲线l-同源图，证明其随p幂水平构成岩泽理论p-塔，推广了火山口结构结论，并解决了对应图的逆问题，部分推广了已有最新结果。
Ordinary Isogeny Graphs with Level Structure
本文研究了具有层级结构的普通椭圆曲线ℓ-同源图，探讨了层级结构对图结构的影响及理想类群的作用。
Distribution questions for isogeny graphs over finite fields
本文研究了有限域上椭圆曲线ℓ-火山的高度分布，推导了素数p的自然密度公式，并计算了极限密度。
Large Tate--Shafarevich orders from good $abc$ triples
记录值被确定为阶$|\Sha|$的泰特-Shafarevich群的椭圆曲线$E$，解析计算的Birch-Swinnerton-Dyer猜想，并为Goldfeld-Szpiro比$G=|\Sha|/\sqrt{N}$，其中$N$是导体的$E$。这些曲线的秩为零，且与由互质正整数$(a,b,c)$与$a+b=c$和$c>r^{1.4}$构成的Frey曲线的二次扭曲是同构的，其中根式$r$是素数除$abc$的乘积.在20个胰岛细胞分类中发现了具有$|\Sha|>250000^2$和$G>12$的曲线。三条曲线具有$G>150$。$|\Sha|$的最大值是$1937832^2>3.755\times10^{12}$。这是以前记录的3.5倍多，以前的记录是以比新记录高出600倍的成本计算的。素数25913、27457、36929和49253被标识为$|\Sha|$值的约数。
Elements of given order in Tate-Shafarevich groups of abelian varieties in quadratic twist families
设$A$是数域$F$上的阿贝尔簇，$p$是素数. Cohen-Lenstra-Delaunay型代数预言，$A_s$的Tate-Shafarevich群应该包含一个$p$阶元素，因为$A$的二次扭曲$A_s$的比例为正。我们通过利用$A$的独立同构给出了证明该猜想实例的一般方法。对于每一个素数$p$，有一大类椭圆曲线，我们的方法表明，正比例的二次扭曲有非平凡的$p$ -扭转在他们的Tate-Shafarevich群。特别地，当模曲线$X_0(3p)$具有无穷多个$F$ -有理数点时，该方法适用于具有循环$3p$ -等距的“最”椭圆曲线$E$。当$X_0(3p)$只有1000个点时，它也适用于某些情况。例如，我们发现一个椭圆曲线上的$\mathbb{Q}$，其中正比例的二次扭曲有一个元素的$5$阶在他们的泰特-Shafarevich群。该方法适用于任意维数的阿贝尔簇，至少在原则上。作为一个概念的证明，我们给，对于每个总理$p \equiv 1 \pmod 9$，CM阿贝尔三倍的正比例的二次扭曲有元素的顺序$p$在他们的泰特-Shafarevich群的例子。
Faltings' Isogeny Theorem via Equidistribution
利用 Yuan 的非阿基米德等分布定理，将同态和半单性从有限域提升到数域，从而直接由 Tate 定理推出 Faltings 同源定理的新证明。
On Conjectural Rank Parities of Quartic and Sextic Twists of Elliptic Curves
研究了定义在数域上的主极化阿贝尔簇上的自对偶素度同构的Selmer秩宇称在扭曲下的行为，扭曲与同构之间存在相容关系.特别是，我们研究的阿贝尔簇的Selmer秩奇偶性相关的椭圆曲线的秩奇偶性与$j$不变0或1728，假设Shafarevich-Tate猜想的同构。利用这些结果，我们给出了如何对定义在数域上的椭圆曲线的所有四次或六次扭曲的秩奇偶进行分类。这推广了Hadian和Weidian关于$p$ -Selmer秩在$p$ -twists下的行为的先前结果。
On the Visibility category of the Shafarevich--Tate group
本文研究了椭圆曲线的Shafarevich-Tate群中非平凡元素的可见性范畴，探讨了最小对象的性质，并通过两种构造方法分析了最小可视化阿贝尔簇的生成。
Elements of prime order in Tate-Shafarevich groups of abelian varieties over $\mathbb{Q}$
对每一个素数$p$，我们证明了在它们的Tate-Shafarevich群中存在具有非平凡$p$ -挠的几何单阿贝尔簇$A/\mathbb Q$.具体地说，对于任何素数$N\equiv 1 \pmod{p}$，令$A_f$是$J_0(N)$与阶为$p$的有理点$P$的最优商，令$B = A_f/\langle P \rangle$。则正整数$d \leq X$的个数为$\gg X/\log X$，其中$\hat B_d$是$B$的第$d$次二次扭曲的对偶。我们证明了这一点更普遍的阿贝尔簇的$\mathrm{GL}_2$型的$p$ -ischet满足一个温和的技术条件。在椭圆曲线的特殊情况下，我们给出了更强的结果，包括许多例子，其中$\mathrm{Sha}(E_d)[p] \neq 0$的整数$d$的显式正比例。
Computing the Charlap-Coley-Robbins modular polynomials
设$\mathcal{E}$是域$K$上的椭圆曲线，$\ell$是素数。存在一条与$\mathcal{E}$有关的椭圆曲线$\mathcal{E}^*$当且仅当$\ell$，其中$Φ_\ell(X, Y)$是传统的模多项式.此外，模多项式给出了$\mathcal{E}^*$的系数，以及显式地构建ISORM所需的参数。由于传统的模多项式具有较大的系数，因此可以使用许多具有较小系数的族来代替，如Elkies，Atkin和其他人所描述的。在这项工作中，我们专注于计算家庭的模块化多项式介绍了Charlap，Coley和罗宾斯。它的优点是直接给出$\mathcal{E}^*$的系数作为这些多项式的根。我们回顾和适应已知的算法来执行计算的模多项式。在描述了使用系列计算，我们研究了快速算法使用浮点数的基础上快速数值评估的爱森斯坦系列。我们还解释了如何使用冰岛火山作为替代。
Extensions of CM elliptic curves and orbit counting on the projective line
在$GL_2$的子群作用下，射影直线的轨道数有几个公式。我们用椭圆曲线的几何学解释了这两个公式，并证明了Bianchi群的一大类同余子群的一个更一般的公式.我们的公式涉及到在一个叫做ismarticlevolcano的图上行走的次数。我们的结果是一个完整的描述的一对CM椭圆曲线，并在一个二次域的一对格的扩展组。
Elliptic curves related to cyclic cubic extensions
本文的目的是研究定义在数域$F$上的一类椭圆曲线族$\{\mathscr{X}_H\}_H$，该数域$F$由与循环三次扩张$K/F$相关联的三次曲面$\mathscr{X}/F$的超平面截面产生.我们证明了每个$\mathscr{X}_H$在$F$上都有一个3-等距的$ϕ$，并且对偶Selmer群$S^{(\hatϕ)}(\hat{\mathscr{X}_H}/F)$被一类附着在$K/F$上的单位/类群所包围.通过椭圆曲线$\mathscr{X}_H$上的有理函数证明了这一点，并具有良好的性质。我们还证明了Shafarevich-Tate群$\text{\cyr X} (\hat{\mathscr{X}_H}/\rat)[\hatϕ]$作为特殊情况与$K$的一个类群重合.
Explicit CM-theory for level 2-structures on abelian surfaces
对于一个复阿贝尔簇$A$，其自同态环同构于四次CM-域$K$的极大序模，Igusa不变量$j_1(A), j_2(A),j_3(A)$生成$K$的反射域的阿贝尔扩张。本文给出了这个反射场的类群在$j_1(A),j_2(A),j_3(A)$上的伽罗瓦作用的一个明确的描述。我们给出了一个几何描述，可以表示为各种西格尔模品种之间的映射。我们可以明确地计算这个行动的理想的小范，这使我们能够改善CRT方法计算Igusa类多项式。此外，我们发现循环的阿贝尔曲面的等距图，从而意味着“等距火山”算法计算正常椭圆曲线的自同态环在有限域没有一个简单的推广计算阿贝尔曲面的自同态环在有限域。
Using Fricke modular polynomials to compute isogenies
本文研究使用 Fricke 模多项式计算椭圆曲线同源，通过调整已知算法、利用级数计算、Eisenstein 级数快速数值求值及同源火山等方法，获得了系数更小的多项式及 $\mathcal{E}^*$ 系数的显式公式。
Modular Parametrizations of Neumann-Setzer Elliptic Curves
假设$p$是一个素数，其形式为$u^2+64$，对于某个整数$u$，我们取其为3 mod 4。然后，给出了素导体$p$的两条Neumann-Setzer椭圆曲线$E_0$和$E_1$，它们都具有Mordell-Weil群$\Z/2\Z$ .存在不通过任何其他椭圆曲线（即，$π$是最优的），其中$X_0(p)$是水平$p$的模数曲线。我们的主要结果是：$π$的次数是奇的当且仅当$u \con 3\pmod{8}$ .我们还证明了Glenn Stevens的一个猜想的素导体情形，即如果$E$是素导体$p$的椭圆曲线，则$X_1(p)$在$E$的等距类中的最优商是具有最小Faltings高度的曲线.最后讨论了Neumann-Setzer曲线的Shafarevich-Tate群的模次数和模阶的一些结构和数据。
On the Selmer group and rank of a family of elliptic curves and curves of genus one violating the Hasse principle
本研究针对一族j不变量为零的椭圆曲线及其3-同源曲线，结合整二元三次型等价类，在Tate-Shafarevich群有限假设下推导秩的奇偶性与上下界，并构造出显式违反哈塞原理的亏格1曲线类。
The arithmetic of critical values II: critical elliptic curves
本文作为《临界值的算术》系列第二章，通过伽罗瓦理论直接证明双覆叠 $E_f$ 存在 3-同源，推导塞尔默伴随定理并给出相关应用与新雅可比簇例子。
Curves with few bad primes over cyclotomic $\mathbb{Z}_\ell$-extensions
该研究聚焦有理数的ℓ-分圆扩张，突破数域中经典有限性结论，证明小素数情形下仅含完全分歧素数的S-单位方程有无穷多解，还构造出坏素数极少的无穷多椭圆或超椭圆曲线并证其Jacobian具无穷多同源类。
When the BSD Real Period Remembers Elliptic Curves over $\mathbb{Q}$
本文证明椭圆曲线的实周期等 BSD 不变量可唯一确定该曲线（直至同构或同源），并给出精度依赖的数值版本。
BSD Invariants and Murmurations of Elliptic Curves
研究BSD不变量与椭圆曲线有理数上的鸣群现象，发现不变量在滑动导数窗口中无鸣群振荡，但影响标准弗罗贝尼乌斯迹鸣群形状，且塔希-沙法列夫群模拟能量在控制L(1)、实周期和导数后仍有效。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。