当 BSD 实周期记住有理数域上的椭圆曲线时
When the BSD Real Period Remembers Elliptic Curves over $\mathbb{Q}$
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文证明椭圆曲线的实周期等 BSD 不变量可唯一确定该曲线（直至同构或同源），并给出精度依赖的数值版本。
中文摘要 AI 辅助
我们研究 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想中出现的那些不变量在多大程度上能记住椭圆曲线，并给出该问题的若干肯定回答。例如，实周期 $\Omega_E =\frac{\Gamma(1/4)^2}{2\sqrt{\pi}\\,17^{1/4}}$ 和 Tate--Shafarevich 群 $\Sha(E/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 记住了椭圆曲线 $E: y^2=x^3+17x$。设 $K$ 是一个允许实嵌入的数域，并固定这样一个嵌入 $\sigma\colon K\hookrightarrow\mathbb{R}$。我们首先证明，对于 $K$ 上的椭圆曲线 $E$，与 $\sigma$ 相联系的 $E$ 的实周期决定了 $E$ 的 $K$-同源类。然后我们证明，有理数域上的椭圆曲线 $E$ 由其实周期、$E(\mathbb{R})$ 的连通分支数以及二次扭 $E^{D}$ 的实周期（其中 $D$ 是负的无平方因子整数，$D\equiv 1 \bmod 4$，且与 $E$ 的极小判别式互素）在 $\mathbb{Q}$ 上决定到同构。此外，在 $\mathbb{Q}$ 上，当实周期仅已知到足够多的小数位时，上述两个命题仍然成立，所需精度依赖于 $E$（以及 $D$）。
英文摘要
We study the extent to which the invariants appearing in the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture remember the elliptic curve, and we give several affirmative answers to this question. For example, the real period $Ω_E =\frac{Γ(1/4)^2}{2\sqrtπ\,17^{1/4}}$ and the Tate--Shafarevich group $ \Sha(E/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ remember the elliptic curve $E: y^2=x^3+17x$. Let $K$ be a number field admitting a real embedding, and fix one such embedding $σ\colon K\hookrightarrow\mathbb{R}$. We first prove that, for an elliptic curve $E$ over $K$, the real period of $E$ attached to $σ$ determines the $K$-isogeny class of $E$. We then prove that an elliptic curve $E$ over $\mathbb{Q}$ is determined up to isomorphism over $\mathbb{Q}$ by its real period, the number of connected components of $E(\mathbb{R})$, and the real period of the quadratic twist $E^{D}$ by a negative square-free integer $D\equiv 1 \bmod 4$ coprime to the minimal discriminant of $E$. Moreover, over $\mathbb{Q}$, both statements already hold when the real periods are known only to sufficiently many decimal places, where the required precision depends on $E$ (and $D$).
发表机构
- Tohoku University（东北大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
