Ranks of elliptic curves in families of quadratic twists
Karl Rubin, Alice Silverberg
证明了椭圆曲线二次扭的秩的无界性等价于某些无穷级数的发散性。
We show that the unboundedness of the ranks of the quadratic twists of an elliptic curve is equivalent to the divergence of certain infinite series.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Periods of Quadratic Twists of Elliptic Curves
本文证明了椭圆曲线的周期与其实、虚二次扭转的周期之间的关系。这种关系在文献中经常被错误地描述。
On positive proportion of rank zero twists of elliptic curves over Q
推广\cite{dab2}的思想，利用2-下降法，给出了Q上的三类椭圆曲线，使得这类椭圆曲线的素数扭转的正比例同时为秩零.
On the Ranks of the 2-Selmer Groups of Twists of a Given Elliptic Curve
本文推广了Swinnerton-Dyer关于给定椭圆曲线具有特定秩的2-Selmer群的扭数密度的工作.
Average rank in families of quadratic twists: a geometric point of view
研究了定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的二次扭曲族的平均秩，当曲线按其最低无挠有理点的标准高度排序时.
Iterated integrals and unipotent periods on families of marked elliptic curves
我们用重zeta值和椭圆重zeta值描述了标记椭圆曲线族上的幂单周期迭代积分。
Lower bounds of the canonical height on quadratic twists of elliptic curves
本文计算了某些椭圆曲线二次扭曲的标准高度的一个下界。同时给出了一种构造具有明确有理点的二次扭族的简单方法。%的多项式。利用上述下界，我们证明了显式有理点作为Mordell-Weil群的元素是本原的。
The Frobenius twists of elliptic curves over global function fields
对于定义在特征p>0的整体函数域K上的椭圆曲线A，A的Frobenius扭的p-Selmer群的阶往往比A的p-Selmer群的阶大.本说明的目的就是讨论这一现象。
Non-vanishing Theorems for Quadratic Twists of Elliptic Curves
本文利用模符号的一些结果，证明了对于定义在$\mathbb Q$上的一类椭圆曲线，存在一大类显式二次扭曲，其复$L$ -级数在$s=1$处不为零，并且Birch-Swinnerton-Dyer猜想的$2$ -部分成立.
The distribution of $\ell^{\infty}$-Selmer groups in degree $\ell$ twist families II
我们继续研究上一篇论文中开始的数域上伽罗瓦模的度$\ell$扭曲族中的$\ell^{\infty}$ -Selmer群的分布。在这一部分中，我们建立了更高的塞尔默群的工作，我们找到了条件，在此条件下，我们可以计算分布的$\ell^{\infty}$ -塞尔默群为一个给定的程度$\ell$扭曲家庭。一路上，我们表明，在任何给定的阿贝尔簇在数域上的二次扭曲家庭的平均秩是有界的。
Selmer groups of twists of elliptic curves over K with K-rational torsion points
本文将Frey [Fre 88]关于Q上具有Q-有理扭点的椭圆曲线的Selmer扭群的一个结果推广到具有K-有理点的小次K数域上的椭圆曲线.我们还提供了来自[Zyw 15]的满足我们定理B的条件的椭圆曲线的例子。
Moments of quadratic twists of elliptic curve L-functions over function fields
本文计算了F_q[x]上固定的椭圆曲线E的二次扭曲族中L函数的一阶和二阶矩，当扭曲次数趋于无穷大时，渐近于极限.我们还计算矩涉及导数的L函数在二次扭曲，使我们能够推导出下界的相关性的分析秩的扭曲的两个不同的曲线。
The distribution of 2-Selmer ranks of quadratic twists of elliptic curves with partial two-torsion
本文给出了任意数域K上椭圆曲线的二次扭族的2-Selmer秩分布的一个新结果，该数域K上有一个二阶点，且在其二除域上没有定义循环4-等距线.我们证明了这样一条椭圆曲线的所有二次扭转中至少有一半具有任意大的2-Selmer秩，表明这样一条椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布不同于没有有理二挠或完全有理二挠的椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布.
On the Distribution of 2-Selmer Ranks within Quadratic Twist Families of Elliptic Curves with Partial Rational Two-Torsion
本文给出了关于在二除域上没有循环4-等距线的二阶单点椭圆曲线的二次扭族中2-Selmer秩分布的一个新结果。我们证明了这样一条椭圆曲线的所有二次扭转中至少有一半具有任意大的2-Selmer秩，表明这样一条椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布不同于没有有理二挠或完全有理二挠的椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布.
Twists of Elliptic Curves
在这份说明中，我们延长理论的扭曲椭圆曲线提出的各种标准文本的特征不等于两个或三个其余的特点。为此，我们明确使用扭曲和伽罗瓦上同调集$H^1\big(\operatorname{G}_{\overline{K}/K}, \operatorname{Aut}_{\overline{K}}(E)\big)$之间的对应关系。最后用实例说明了结果。
Prime twists of elliptic curves
对于某些具有$E(\mathbb{Q})[2]=\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$的椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，基于Heegner点的2-adic矩阵的模4同余，证明了$E$的素扭具有解析秩0或1的一个判别准则.作为应用，我们证明了Silverman猜想中存在秩为零的$E$的素扭的正命题的新情形（分别为.正秩）。
A Simple Method for High-Rank Families of Elliptic Curves with Specified Torsion
我们描述了一个简单而有效的方法，用于推导具有高秩的所有成员具有相同挠子群结构的椭圆曲线族。
Height of rational points on quadratic twists of a given elliptic curve
我们提出了一个关于给定椭圆曲线的二次扭曲上的最低无挠有理点的标准高度随扭曲变化的分布的猜想。这个猜想似乎是非常深刻的，我们只能证明在这个方向的部分结果。
On families of 9-congruent elliptic curves
我们计算了与给定椭圆曲线9-全等的椭圆曲线族的方程。我们利用它们来寻找Q上无穷多个非平凡的9-同余椭圆曲线对，即Q上的非同构椭圆曲线对，它们的9-挠子群同构为Galois模。
Quadratic twists of pairs of elliptic curves
给出了定义在数域K上的两条椭圆曲线，证明了在$ K^\times/{K^\times}^2 $中存在无穷多个两两相异像的$D\in K^\times$，使得这两条曲线被D二次扭曲都有正的Mordell-Weil秩.证明依赖于将三次多项式对的值与另一条椭圆曲线上的有理点以及纤维积构造相关联。
Quadratic Twists of Elliptic Curves with 3-Selmer Rank 1
1979年戈德菲尔德猜想的一个较弱的形式指出，对于每一条椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，它的二次扭曲$E^{(d)}$的秩为1。利用Galois上同调的工具，我们给出了E和d的准则，该准则使得E的二次扭曲的正比例具有3-Selmer秩1和整体根数-1。然后，我们给出了四个非同构的椭圆曲线的无限族$E_{m, n}$满足这些标准。在Birch和Swinnerton-Dyer猜想的秩部分的条件下，这证明了无限多条椭圆曲线的上述猜想。我们的椭圆曲线很容易明确地给出，我们精确地说明了使用哪些二次扭曲d。此外，我们的方法有可能被推广到其他数域上的椭圆曲线。
Supersingular elliptic curves and twisting endomorphisms
将扭曲自同态概念推广到O-定向超奇异椭圆曲线，提出算法寻找具有素数度ℓ扭曲自同态的曲线并计算其完整自同态环基。
Congruences between Heegner points and quadratic twists of elliptic curves
建立了两条具有相同模$p$伽罗瓦表示的椭圆曲线的Heegner点的$p$ -adic矩阵之间的同余关系.作为第一个应用，我们使用的同余公式时，$p=2$显式构造许多二次扭曲的解析秩为零（分别。一个）对于广泛的一类椭圆曲线$E$。我们证明了$E$到解析秩为零的扭转判别式$X$的扭转数（分别为.一个）是$\gg X/\log^{5/6}X$，改进了Ono-Skinner（resp. Perelli-Pomykala）。我们还证明了2-部分的Birch和Swinnerton-Dyer猜想的许多秩零和秩一扭曲的$E$，这是最近才建立的特定CM椭圆曲线$E$。
The Sato--Tate Distribution in Families of Elliptic Curves with a Rational Parameter of Bounded Height
本文得到了关于有理参数为有界高度的椭圆曲线参数族上Frobenius角分布的Sato-Tate猜想的新结果。
Extreme central $L$-values of almost prime quadratic twists of elliptic curves
该研究证明椭圆曲线殆素数二次扭曲的中心 $L$-函数极值，并在 BSD 猜想下推出其二次扭曲族中 Tate--Shafarevich 群的极值。
Behaviour of the order of Tate-Shafarevich groups for the quadratic twists of elliptic curves
本文给出了关于椭圆曲线二次扭转的Tate-Shafarevich群的阶的研究结果。给出了一个一般猜想，对$\Bbb Q$上的固定椭圆曲线$E$和正整数$k$，在有限群$E_d(\Bbb Q)$和$|\Sha(E_d(\Bbb Q))| = k^2$的情况下，给出了小于$X$的二次扭曲数$E_d$，$d$的渐近公式.本文继续了作者以前关于Tate-Shafarevich群在曲线$X_0(49)$的二次扭中的阶的研究。在第8节中，我们展示了具有$|\Sha(E)| > 63408^2$的秩为零的椭圆曲线的$88$示例，这是之前已知的任何显式曲线的最大值。我们的记录是一个椭圆曲线$E$与$|\Sha(E)| = 1029212^2$。
Symmetric diophantine systems and families of elliptic curves of high rank
虽然已经有相当大的兴趣在这个问题上找到高秩的椭圆曲线的$\mathbb{Q}$，很少参数化家庭的椭圆曲线的一般秩$\geq 8$已公布。在本文中，我们使用某些对称丢番图系统的解决方案，以建立几个参数化的家庭椭圆曲线，其一般的秩范围从至少8到至少12。具体数值的参数产生椭圆曲线具有相当大的系数，因此，我们可以确定精确的排名只有在少数情况下，排名的椭圆曲线$\leq 13$。然而，期望本文中得到的椭圆曲线的参数化族将产生具有更高秩的椭圆曲线的例子。
The number of twists with large torsion of an elliptic curve
对于一条椭圆曲线$E/\Q$，我们确定它可以具有的最大扭曲数$E^d/\Q$，使得$E^d(\Q)_{tors}\supsetneq E(\Q)[2]$。我们使用这些结果来确定不同的二次域$K$的数量，使得$E(K)_{tors}\supsetneq E(\Q)_{tors}$。答案取决于$E(\Q)_{tors}$，我们给所有可能的情况下，最好的可能范围。
On the non-idealness of cyclotomic families of pairing-friendly elliptic curves
设$k=2^mp^n$为奇素数$p$和整数$m\ge 0$和$n\ge 0$ .我们得到了具有嵌入度$k$和$r(x)=Φ_k(x)$的配对友好的椭圆曲线的分圆族的$ρ$ -值的下界。我们的界限意味着这些家庭都不是理想的。
Elliptic curves with all quadratic twists of positive rank
我们观察到存在数域上的椭圆曲线，它们的二次扭转必须具有正秩，假设Birch-Swinnerton-Dyer猜想。我们给这样的曲线的分类，在他们的本地行为，并将它们的Galois行动的泰特模块。特别是，他们的存在表明，戈德菲尔德的猜想并不直接延伸到椭圆曲线在数域。
On the quadratic twist of elliptic curves with full $2$-torsion
设$E: y^2=x(x-a^2)(x+b^2)$是具有全$2$ -挠群的椭圆曲线，其中$a$和$b$是互质整数，$2(a^2+b^2)$是平方数.假设$E$的$2$ -Selmer群具有秩2。在一定条件下，我们刻画了具有Mordell-Weil秩零和$2$ -主Shafarevich-Tate群$(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$的$E$的所有二次扭曲.我们还得到了这些椭圆曲线的分布结果。
On Conjectural Rank Parities of Quartic and Sextic Twists of Elliptic Curves
研究了定义在数域上的主极化阿贝尔簇上的自对偶素度同构的Selmer秩宇称在扭曲下的行为，扭曲与同构之间存在相容关系.特别是，我们研究的阿贝尔簇的Selmer秩奇偶性相关的椭圆曲线的秩奇偶性与$j$不变0或1728，假设Shafarevich-Tate猜想的同构。利用这些结果，我们给出了如何对定义在数域上的椭圆曲线的所有四次或六次扭曲的秩奇偶进行分类。这推广了Hadian和Weidian关于$p$ -Selmer秩在$p$ -twists下的行为的先前结果。
Ranks of twists of elliptic curves and Hilbert's Tenth Problem
本文研究了任意数域上二次扭椭圆曲线族的2-Selmer秩。本文给出了椭圆曲线具有任意2-Selmer秩的扭的充分条件，并给出了给定2-Selmer秩的扭数（有界导体）的下界.因此，在适当的假设下，我们可以发现许多平凡的Mordell-Weil群的扭曲，以及（假设Shafarevich-Tate猜想）许多无限循环的Mordell-Weil群的其他扭曲。利用Poonen和Shlapentokh的工作，从我们的结果可以得出，如果Shafarevich-Tate猜想成立，那么Hilbert第十问题在每个数域的整数环上都有否定解.
Iwasawa Theory of Elliptic Curves in Quadratic Twist Families
本文通过代数和分析方法研究二次twists家族中椭圆曲线的Iwasawa不变量变化，涉及半整数权模形式和Selmer群的研究。
On the rank of quadratic twists of elliptic curvers over function fields
我们证明了一个给定的椭圆曲线$E/\Fp_q(C)$在一个函数域上的有限域，有秩$\geq 2$的二次扭曲的数量的定量上界，并为他们的平均秩。主要工具是结构和结果的卡茨和统一版本的Chebotarev密度定理品种在有限域。此外，我们有条件地推导出在某些情况下，导体的程度是无界的一个界。
High rank quadratic twists of pairs of elliptic curves
给定一对有理域$\mathbb Q$上的椭圆曲线$E_1$和$E_2$，其$j$ -不变量不同时为0或1728，Kuwata和Wang证明了存在无穷多个无平方根的有理曲线$d$，使得$E_1$和$E_2$的$d$ -二次扭都是正秩的.我们构造了$\mathbb Q$上的椭圆曲线对$E_1$和$E_2$的无限族，使得对于每一对都存在无穷多个无平方有理数$d$，对于这些有理数，$E_1$和$E_2$的$d$ -二次扭曲都是秩至少为2的.
How Twist Class Redundancy Drives the Prediction of Traces of Frobenius of Elliptic Curves
本文探讨了二次扭类中的冗余如何影响椭圆曲线弗罗贝尼乌斯迹预测，提出通过独特扭类代表构建基准数据集以避免数据冗余影响。
On 2-Selmer ranks of quadratic twists of elliptic curves
研究了椭圆曲线的$2$ -Selmer秩.证明了对于任意数域$K$上的椭圆曲线$E$，如果$E$的二次扭转的2-Selmer秩的集合$A_E$包含一个整数$c$，则它包含所有大于$c$且与$c$具有相同奇偶性的整数.我们还找到了$A_E$上的充分条件，使得对于某些数目的$t_E$，$A_E$等于$\Z_{\ge t_E}$。当$E[2]$中的所有点都是有理数时，我们给出了$t_E$的一个上界.
The Sato-Tate Distribution in Thin Parametric Families of Elliptic Curves
我们得到了关于单参数和双参数椭圆曲线族上Frobenius迹分布的Sato-Tate猜想的新结果。我们认为这些曲线的参数值具有规定的算术结构：产品集，等比数列，最显着的素数。特别是，有些家庭比以前研究的家庭要薄得多。
On the 2-part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for quadratic twists of elliptic curves
本文证明了对于定义在$\mathbb{Q}$上的一大类椭圆曲线，存在一个具有解析秩$0$的显式二次扭无穷族.此外，我们建立了$2$ -Birch和Swinnerton-Dyer猜想的一部分，许多这些无限家庭的二次扭曲。最近，万欣利用我们的结果首次证明了定义在复乘空间$\mathbb{Q}$上的某些显式椭圆曲线无限族的完全Birch-Swinnerton-Dyer猜想.
On a BSD-type formula for L-values of Artin twists of elliptic curves
本文研究了用Artin表示扭曲的椭圆曲线的L-函数的Birch-Swinnerton-Dyer型公式的可能存在性及其结果。我们将L-函数的预期性质转化为椭圆曲线的纯算术预测，并表明这些力的Tate-Shafarevich群，这似乎是不听话的传统Selmer群技术的一些特殊性质。特别是，我们展示的设置，不同的p-主要组件的泰特-Shafarevich组不独立的行为。我们还给出了例子的“算术相同”设置的椭圆曲线扭曲的阿廷表示，其中相关的L-值仍然可以不同，与经典的Birch-Swinnerton-Dyer猜想。
Average Cyclicity for Elliptic Curves in Torsion Families
本文证明了一类具有特定挠率的曲线族中的有理数上的椭圆曲线约化的循环性的渐近公式。这些结果同意既定的条件下的结果，并采取了较大的家庭的平均结果。作为一个关键工具，我们证明了一个类似的结果，Vlaper-duty估计的数量椭圆曲线在一个有限域具有指定的扭点和循环群结构。
Hasse principle violations in twist families of superelliptic curves
在$abc$猜想的基础上，我们推广了Clark和作者以前的工作，证明了亏格足够大的超椭圆曲线$C: y^n = f(x)$有无穷多个违反Hasse原理的twists当且仅当$f(x)$没有$\mathbb Q$ -有理根.我们还无条件地证明了由$C: y^{pN}=f(x)$定义的曲线在任意数域$k$上有无穷多个违反Hasse原理的扭曲，使得$k$包含$p$的单位根，而$f(x)$没有$k$ -有理根.
Lang-Trotter and Sato-Tate Distributions in Single and Double Parametric Families of Elliptic Curves
我们得到了单参数和双参数椭圆曲线族上关于Frobenius迹和Frobenius场的Lang-Trotter猜想的新结果.对于Sato-Tate猜想，我们也得到了类似的结果.特别地，我们改进了A.C. Cojocaru和第二作者（2008）对多项式参数化椭圆曲线族的Lang-Trotter猜想的平均值，当参数穿过一组有界高度的有理数时。我们考虑的一些家庭比以前研究的家庭要薄得多。
On $2$-Selmer groups and quadratic twists of elliptic curves
设$K$是数域，$E/K$是没有$2$ -扭点的椭圆曲线.本文利用$K$的某个三次扩张与$E$相连的窄类群的$2$ -挠，给出了$E$的$2$ -Selmer秩的上下上界.作为应用，我们证明了（在温和的假设下），正比例的素导体二次扭转的$E$具有相同的$2$ -Selmer群。
Quadratic Twists of Elliptic Curves with Small Selmer Rank
给定有理域上的椭圆曲线E，不存在有理2-扭点，证明了E的2-Selmer秩小于或等于1的二次扭的存在性.利用作者的结果，建立了扭转E（D）具有2-Selmer秩<= 1的D的个数的一个下界.我们在引言中包括我们的（简短）意见，为什么它应该是很难推动我们的技术，使塞尔默组微不足道。
Rank frequencies for quadratic twists of elliptic curves
我们给出了无限族的椭圆曲线E在Q上的（非常数）二次扭曲的Q（t）的秩至少为2和3的明确的例子。我们恢复了梅斯特宣布的一些结果，以及一些额外的家庭。设D是一个无平方因子的整数，r_E（D）表示E与D的二次扭的秩.我们将Stewart和Top的结果应用到我们的例子中，得到了对所有充分大的x，具有#{D：|D| < x，r_E（D）>= 2} >> x^{1/3}，#{D：|D| < x，r_E（D）>= 3} >> x^{1/6}形式的结果。
Disparity in Selmer ranks of quadratic twists of elliptic curves
研究了任意数域K上任意椭圆曲线E的二次扭族中2-Selmer秩的奇偶性。我们证明了一个给定的椭圆曲线在一个固定的数域的扭曲的分数，甚至2-Selmer秩存在作为一个稳定的限制家庭的扭曲，我们计算这个分数作为一个明确的产品的本地因素。我们给出一个椭圆曲线E的例子，使得当K变化时，这些分数在[0，1]中是稠密的。更一般地，我们的结果也适用于K的绝对伽罗瓦群的二维自对偶F_p-表示的p阶特征标的p-Selmer扭曲秩。
Watkins's conjecture for quadratic twists of Elliptic Curves with Prime Power Conductor
本文证明了具有有理$2$-扭和素数幂导子的椭圆曲线的任意二次扭满足Watkins猜想，并对形如$y^2=x^3-dx$的椭圆曲线给出了同余数的下界。
Integrality of twisted L-values of elliptic curves
在适当的，相当弱的假设下，椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$和一个原始的非平凡的Dirichlet字符$χ$，我们证明了代数$L$ -值$\mathscr{L}(E,χ)$在$s=1$是一个代数整数。例如，对于半稳定曲线，只要$E$不允许在$\mathbb{Q}$上定义同构，则$\mathscr{L}(E,χ)$是整数。此外，我们给出的例子说明，我们的假设是必要的完整性举行。
Selmer Groups in Twist Families of Elliptic Curves
本文的目的是给出与椭圆曲线的扭族中Selmer群的阶有关的数值数据。为此，我们假设Birch和Swinnerton-Dyer猜想是正确的，我们使用著名的Waldspurger定理得到一个快速算法来计算$% L_{E}(1)$。有大量的数据，我们比较分布的顺序塞尔默组的功能类型$α\frac{(\log \log (X))^{1+\varepsilon}}{\log (X)}$与$\varepsilon $小。讨论了$α$的“最佳选择”如何依赖于所选椭圆曲线的导体和扭曲因子的同余类。
On the distribution of traces of Frobenius for families of elliptic curves and the Lang-Trotter conjecture on average
我们得到分布结果的轨迹Frobenius的各种家庭的椭圆曲线的朗-特罗特猜想，极值素数，和中心极限定理。这包括一些概括和界限有关的工作沙-Shparlinski平均朗-特罗特猜想单参数家庭的椭圆曲线和工作的各个作者的跟踪Frobenius素数的同余类。对于模形式也得到了一些结果。
Galois module structures and the Hasse principle in twist families via the distribution of Selmer groups
本文利用 Abel 簇稀疏二次扭族中 2-Selmer 秩的分布结果，统一研究 Mordell–Weil 群 Galois 模结构及 Hasse 原理失效等问题。
Small Algebraic Central Values of Twists of Elliptic $L$-Functions
本文研究椭圆曲线$L$-函数经Dirichlet特征扭形后的小的非零代数中心值，提出启发式预测并给出计算证据，进而探讨其对固定次数循环扩张族中Brauer-Siegel定理类比的推论。
The Parity of Analytic Ranks among Quadratic Twists of Elliptic Curves over Number Fields
椭圆曲线的解析秩的奇偶性由函数方程L（E，s）中的根数给出。在任意数域上固定一条椭圆曲线，并考虑它的二次扭曲族，很自然地会问这个族的平均解析秩是多少。这个数的下界由平均根数给出。本文研究了这类曲线族的根数，并给出了这类曲线族中偶数秩曲线所占比例的一个渐近公式。然后，我们的结果被用来支持一个猜想的平均解析秩在这个家庭的椭圆曲线。
A Family of Elliptic Curves with a Lower Bound on 2-Selmer Ranks of Quadratic Twists
对任意具有复数位的数域K，我们给出了定义在K上的椭圆曲线的无限族，使得对于该族中的每一条曲线E的每一个二次扭曲E^F，有$dim \mathbb{F}_2 Sel_2(E^F/K) \ge dim \mathbb{F}_2 E^F(K)[2] + r_2$，其中r_2是K的复数位数.这为Mazur和Rubin的工作中出现的一个猜想提供了一个反例。
Sphere Packing Densities of Sublattices of the Mordell-Weil Lattices of two Families of Elliptic Curves
本文研究了特征为$p > 0$的域上两类椭圆曲线的Mordell-Weil格的极大秩子格.我们计算明确的下界上的densitivesphere包装这些子格找到下界上的最小范数的子格，并明确计算其基本区的体积。
Low-lying zeros of families of elliptic curves
研究了各种有趣的椭圆曲线L-函数族的低零点。一个应用是所有椭圆曲线族的平均解析秩的上界。得到的上界小于2，这意味着有理数上正比例的椭圆曲线具有与解析秩相等的代数秩和有限的Tate-Shafarevich群.这些结果是以广义黎曼假设为条件的。
Explicit Families Of Elliptic Curves With The Same Mod 6 Representation
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线。本文研究了两种特定的模曲线，它们分别参于直接（或间接）为参数的椭圆曲线族。逆）6-全等于$E$以及显式参数化。直接情况下的方程已经制定出来，但参数化只给出了极少数情况。在本文中，我们使用一种新的方法来获得方程的直接和反向的情况下，充分（和更简单）的参数化。
Families of elliptic curves ordered by conductor
本文研究了一类椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，它在$2$和$3$处有很好的约化，并且它的$j$ -不变量很小.在这组椭圆曲线中，我们考虑以下两个子类：第一，一组椭圆曲线$E$，使得比率$Δ(E)/C(E)$是无平方的;第二，一组椭圆曲线$E$，使得$Δ(E)/C(E)$被$C(E)$的小幂$(<3/4)$限制。当按导体排序时，这两个族都包含正比例的椭圆曲线。我们的主要结果确定这两个家庭的渐近性，当有序的导体。此外，我们证明了第一族中椭圆曲线的$2$ -Selmer群的平均尺寸，当这些曲线按其导体排序时，是$3$。这意味着这些椭圆曲线的平均秩是有限的，并且以$1.5$为界。
Two infinite families of elliptic curves with rank greater than one
我们证明，使用初等方法，每个成员的无限族的椭圆曲线给出的$E_m \colon y^2=x^3 - x + m^6$和$E_m' \colon y^2=x^3 + x - m^6$的秩至少$2$和3，分别在温和的限制$m$。我们还证明了更强的结果$E_m$和$E_m'$使用更多的技术机器。
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