On the non-idealness of cyclotomic families of pairing-friendly elliptic curves
设$k=2^mp^n$为奇素数$p$和整数$m\ge 0$和$n\ge 0$ .我们得到了具有嵌入度$k$和$r(x)=Φ_k(x)$的配对友好的椭圆曲线的分圆族的$ρ$ -值的下界。我们的界限意味着这些家庭都不是理想的。
2014-04-17 math.NT
The Sato-Tate Distribution in Thin Parametric Families of Elliptic Curves
我们得到了关于单参数和双参数椭圆曲线族上Frobenius迹分布的Sato-Tate猜想的新结果。我们认为这些曲线的参数值具有规定的算术结构：产品集，等比数列，最显着的素数。特别是，有些家庭比以前研究的家庭要薄得多。
2018-03-07 math.NT
Average Cyclicity for Elliptic Curves in Torsion Families
本文证明了一类具有特定挠率的曲线族中的有理数上的椭圆曲线约化的循环性的渐近公式。这些结果同意既定的条件下的结果，并采取了较大的家庭的平均结果。作为一个关键工具，我们证明了一个类似的结果，Vlaper-duty估计的数量椭圆曲线在一个有限域具有指定的扭点和循环群结构。
2021-01-15 math.NT
Lang-Trotter and Sato-Tate Distributions in Single and Double Parametric Families of Elliptic Curves
我们得到了单参数和双参数椭圆曲线族上关于Frobenius迹和Frobenius场的Lang-Trotter猜想的新结果.对于Sato-Tate猜想，我们也得到了类似的结果.特别地，我们改进了A.C. Cojocaru和第二作者（2008）对多项式参数化椭圆曲线族的Lang-Trotter猜想的平均值，当参数穿过一组有界高度的有理数时。我们考虑的一些家庭比以前研究的家庭要薄得多。
2015-09-07 math.NT
On the distribution of traces of Frobenius for families of elliptic curves and the Lang-Trotter conjecture on average
我们得到分布结果的轨迹Frobenius的各种家庭的椭圆曲线的朗-特罗特猜想，极值素数，和中心极限定理。这包括一些概括和界限有关的工作沙-Shparlinski平均朗-特罗特猜想单参数家庭的椭圆曲线和工作的各个作者的跟踪Frobenius素数的同余类。对于模形式也得到了一些结果。
2021-09-13 math.NT
Sphere Packing Densities of Sublattices of the Mordell-Weil Lattices of two Families of Elliptic Curves
本文研究了特征为$p > 0$的域上两类椭圆曲线的Mordell-Weil格的极大秩子格.我们计算明确的下界上的densitivesphere包装这些子格找到下界上的最小范数的子格，并明确计算其基本区的体积。
2022-10-02 math.NT
Low-lying zeros of families of elliptic curves
研究了各种有趣的椭圆曲线L-函数族的低零点。一个应用是所有椭圆曲线族的平均解析秩的上界。得到的上界小于2，这意味着有理数上正比例的椭圆曲线具有与解析秩相等的代数秩和有限的Tate-Shafarevich群.这些结果是以广义黎曼假设为条件的。
2005-04-06 math.NT
Explicit Families Of Elliptic Curves With The Same Mod 6 Representation
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线。本文研究了两种特定的模曲线，它们分别参于直接（或间接）为参数的椭圆曲线族。逆）6-全等于$E$以及显式参数化。直接情况下的方程已经制定出来，但参数化只给出了极少数情况。在本文中，我们使用一种新的方法来获得方程的直接和反向的情况下，充分（和更简单）的参数化。
2014-05-25 math.NT
Families of elliptic curves ordered by conductor
本文研究了一类椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，它在$2$和$3$处有很好的约化，并且它的$j$ -不变量很小.在这组椭圆曲线中，我们考虑以下两个子类：第一，一组椭圆曲线$E$，使得比率$Δ(E)/C(E)$是无平方的;第二，一组椭圆曲线$E$，使得$Δ(E)/C(E)$被$C(E)$的小幂$(<3/4)$限制。当按导体排序时，这两个族都包含正比例的椭圆曲线。我们的主要结果确定这两个家庭的渐近性，当有序的导体。此外，我们证明了第一族中椭圆曲线的$2$ -Selmer群的平均尺寸，当这些曲线按其导体排序时，是$3$。这意味着这些椭圆曲线的平均秩是有限的，并且以$1.5$为界。
2019-04-30 math.NT
Low-lying zeros in families of elliptic curve $L$-functions over function fields
本文研究了定义在$\mathbb{F}_q(T)$上的椭圆曲线的二次和三次扭曲上的$L$ -函数族的低零点。特别是，我们提出了精确的表达式的痕迹的高功率的Frobenius类在这些家庭的期望值的重点是较低的顺序行为。作为应用，我们得到了单能级密度的结果，并证明了这些椭圆曲线族具有正交对称型。在二次扭曲的家庭，我们的结果完善了以前的工作Comeau-Lapointe。此外，在这种情况下，我们发现一个低阶项的一级密度让人想起Rudnick在超椭圆系综中发现的偏差项。另一方面，我们的调查是第一个处理这些问题的家庭的三次扭曲的椭圆曲线，在这种情况下，它原来是更复杂的孤立低阶项，由于更大程度的取消之间的低阶贡献。
2021-09-30 math.NT
Root number in integer parameter families of elliptic curves
在以前的文章中，作者证明了根数的值在一个非等平凡的椭圆曲线的家庭由一个参数$t$运行通过$\mathbb{Q}$索引。然而，当$t$运行通过$\mathbb{Z}$时，华盛顿的一个众所周知的示例对于每个光纤具有根编号$-1$。这样的例子是罕见的，因为在本文中证明，根数的整数纤维变化的一大类家庭的椭圆曲线。我们的结果依赖于无平方猜想和Chowla猜想，并且在许多情况下是无条件的。
2021-04-30 math.NT
Families Of Elliptic Curves With The Same Mod 8 Representations
设$E:y^2=x^3+ax+b$是在$\mathbb{Q}$上定义的椭圆曲线。我们计算了经典模曲线$X(8)$的某些扭曲。在这些扭上寻找有理点使我们能够找到非平凡的$\mathbb{Q}$上的$8$ -全等椭圆曲线对，即$\mathbb{Q}$上的非同构椭圆曲线对，它们的$8$ -扭子群同构为伽罗瓦模.我们还证明了在$\mathbb{Q}$上有无穷多个例子。
2014-12-20 math.NT
Iwasawa Theory of Elliptic Curves in Quadratic Twist Families
University of Regina（里贾纳大学）；Institut für Theoretische Informatik, Mathematik und Operations Research, Universität der Bundeswehr München（慕尼黑联邦国防大学理论信息学、数学与运筹学研究所）
本文通过代数和分析方法研究二次twists家族中椭圆曲线的Iwasawa不变量变化，涉及半整数权模形式和Selmer群的研究。
2025-12-19 math.NT
Frobenius constants for families of elliptic curves
本文研究代数几何中描述 Frobenius 解单值性的 Frobenius 常数，将其表示为模形式的迭代积分，并利用模形式周期理论以 zeta 值表达了部分常数。
2023-05-22 math.NT
On families of n-congruent elliptic curves
本文用不变论方法计算了n= 7，9，11时模曲线X（n）的某些扭曲。通过寻找这些扭上的有理点，可以找到Q上的非平凡n-全等椭圆曲线对，即Q上的n-扭子群同构为Galois模的非同构椭圆曲线对.我们还通过给出Q（T）上的显式非平凡例子证明了在n=9和n=11的情况下Q上有无穷多个例子。
2011-05-09 math.NT
Selmer groups of families of elliptic curves with an $\ell$-isogeny
本文研究具有素数次有理同源的椭圆曲线族，通过 Tamagawa 比的中心极限定理及其平均值界，证明若干 $\ell$ 值下存在任意大的 $\ell$-Selmer 群。
2025-08-29 math.NT
Zero repulsion in families of elliptic curve L-functions and an observation of S. J. Miller
我们提供了一个理论解释的观察S。J. Miller的方法证明了如果L（s，E）是L（1/2，E）不为零的椭圆曲线L-函数，则L（s，E）的最低零点与临界点有斥力，这是标准Katz Sarnak几何学所不能解释的。我们建立了一个类似的结果的情况下，一阶消失。
2011-10-20 math.NT
Lower-Order Terms of the 1-Level Density of Families of Elliptic Curves
Katz Sarnak哲学预言，L-函数族零点的统计是惊人的普遍性。然而，通过计算感兴趣的统计量的低阶项，可以检测到相同对称类型的家族之间的细微算术差异。本文计算了某些椭圆曲线族的1-能级密度的低阶项。我们发现，有本质上是两个不同的影响，低躺零的分布。首先，在具有相对大量的点（mod p）的椭圆曲线E族中，低位零点更多。第二，有点令人惊讶的是，一个有相对大量的坏约化素数的族有相对较少的低位零。我们还表明，低阶项可以增长任意大，通过采取一个偏置的家庭与一个相对较大数量的点（mod p）的所有小素数p。
2004-12-22 math.NT
Constructing families of moderate-rank elliptic curves over number fields
本文将$\mathbb{Q}$上中等秩椭圆曲线族的构造推广到数域$K/\mathbb{Q}$上.这种构造最初是由Steven J. Miller、Álvaro Lozano-Robledo和Scott Arms提出的，它引用了Rosen和Silverman的一个定理来证明计算这些曲线的秩可以通过控制Frobenius迹的平均值来完成，数域的构造基本上是以同样的方式进行的。这种方法的一个新颖之处是，我们可以构建家庭的中等排名，而不必显式地确定点和计算行列式的高度矩阵。
2017-06-03 math.NT
Selmer Groups in Twist Families of Elliptic Curves
本文的目的是给出与椭圆曲线的扭族中Selmer群的阶有关的数值数据。为此，我们假设Birch和Swinnerton-Dyer猜想是正确的，我们使用著名的Waldspurger定理得到一个快速算法来计算$% L_{E}(1)$。有大量的数据，我们比较分布的顺序塞尔默组的功能类型$α\frac{(\log \log (X))^{1+\varepsilon}}{\log (X)}$与$\varepsilon $小。讨论了$α$的“最佳选择”如何依赖于所选椭圆曲线的导体和扭曲因子的同余类。
2012-03-13 math.NT
Criteria for p-ordinarity of families of elliptic curves over infinitely many number fields
设$K_i$是所有$i \in \mathbb{Z}_{> 0}$的数域，并且设$\mathcal{E}$是一族椭圆曲线，其包含定义在所有$i$的$K_i$上的无穷多个成员。修复一个有理素数$p$。我们给出了整数$i_0$存在的充分条件，使得对于所有$i > i_0$和所有椭圆曲线$E \in \mathcal{E}$在$K_i$中的所有$\mathfrak{p} \mid p$处都有好的约化，我们有$E$在所有素数$\mathfrak{p} \mid p$处都有好的普通约化.
2014-04-12 math.NT
On families of 13-congruent elliptic curves
我们计算的扭曲的模曲线$X(13)$参数化的椭圆曲线13-全等给定的椭圆曲线。通过寻找这些扭上的有理点，我们可以找到${\mathbb Q}$上的非平凡13-全等椭圆曲线对，即${\mathbb Q}$上的非同构椭圆曲线对，它们的13-扭子群同构于Galois模.我们还发现方程的表面参数对13-全等椭圆曲线。有两个这样的表面，对应于13-同余，做或不做，尊重韦尔配对。我们写每个作为一个双重覆盖的射影平面分歧超过一个高度奇异的模型巴兰的模曲线的水平13。通过在这些曲面上寻找合适的有理曲线，我们证明了在${\mathbb Q}$上存在无穷多对非平凡的13-全等椭圆曲线。
2019-12-23 math.NT
Effective equidistribution and the Sato-Tate law for families of elliptic curves
推广了最近的工作，我们给出了所有椭圆曲线族和单参数椭圆曲线族模p（p素数趋于无穷大）服从Sato-Tate律的有效界.我们提出了两种证明方法。两者都使用Murty Sinha的框架;第一个只涉及L函数和组合学的傅里叶系数的矩的知识，并保存对数，而第二个需要Sato-Tate定律。我们的目的是说明结果的口径如何取决于输入的误差项，以及必须做什么组合。
2010-04-30 math.NT
Iwasawa Main Conjecture for $p$-adic families of elliptic modular cuspforms
本文讨论了椭圆模尖形的$p$ -adic族的Iwasawa主猜想.在对Hida族的普通情形作了概述之后，我们将介绍一个Coleman族在非普通情形（Coleman族）下的Coleman映射，这是我们与Filippo Nuccio [NO16]合作得到的，并给出了Coleman族的Iwasawa理论的一些结果作为应用.首先，利用文献[NO16]中给出的成分，构造了Coleman族的二元$p$ -adic $L$ -函数（定理5.1）.结合这个结果和文献[NO16]中得到的Coleman映射，我们构造了Coleman族上的Beilinson-Kato Euler方程组（Thorem 5.3）.最后，我们对Coleman族提出了岩泽主猜想，并证明了岩泽主猜想的一半（定理5.6）。
2019-03-05 math.NT
On the Distribution of 2-Selmer Ranks within Quadratic Twist Families of Elliptic Curves with Partial Rational Two-Torsion
本文给出了关于在二除域上没有循环4-等距线的二阶单点椭圆曲线的二次扭族中2-Selmer秩分布的一个新结果。我们证明了这样一条椭圆曲线的所有二次扭转中至少有一半具有任意大的2-Selmer秩，表明这样一条椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布不同于没有有理二挠或完全有理二挠的椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布.
2012-03-14 math.NT
An octic diophantine equation and related families of elliptic curves
我们得到了丢番图方程$ϕ(x_1, x_2, x_3)=ϕ(y_1, y_2, y_3)$的两个参数解，其中$ϕ(x_1, x_2, x_3)$是由$ϕ(x_1, x_2, x_3)=x_1^8+ x_2^8 + x_3^8 - 2x_1^4x_2^4 - 2x_1^4x_3^4 - 2x_2^4x_3^4$定义的八度形式.这些参数解产生了无穷多个两个等面积三角形的例子，它们的边是整数的完满平方。进一步地，两个参数解中的每一个导致$\mathbb{Q}(t)$上秩为~ $5$的椭圆曲线族。我们研究了两个家庭中的一个，并确定了一组五个免费的家庭发电机。
2022-06-28 math.NT
The Relative Bogomolov Conjecture for Fibered Products of Elliptic Curves
本文从作者最近提出的关于阿贝尔簇族的等分布定理出发，推导出椭圆曲线族纤维积中非退化子簇的Bogomolov猜想的一个类似结果.推广了DeMarco和Mavraki的结果，并将Masser和Zannier证明的Manin-Mumford型的某些结果改进为Bogomolov型的结果，得到了关于具有平凡迹的阿贝尔簇族中相对维数为$>1$的子簇的这类结果.
2022-10-18 math.NT
Families of elliptic curves with rational torsion points of even order
本文是arXiv：1702.02255 [math.NT]的后续文章。构造了分别具有4、6、8、10、12阶有理点的显式双曲型椭圆曲线族.
2017-12-13 math.AG math.NT
Biases in Moments of the Dirichlet Coefficients in One- and Two-Parameter Families of Elliptic Curves
本文研究了$\mathbb{Q}(T)$上的单参数椭圆曲线族，其形式为$y^2=x^3+A(T)x+B(T)$，且具有非常数的$j$ -不变量.我们定义椭圆曲线的$r$ \textsuperscript{th}矩为$A_{r,E}(p) := \frac1{p} \sum_{t \bmod p} a_t(p)^r$，其中$a_t(p)$为$p$减去$y^2 = x^3 + A(t)x + B(t) \bmod p$的解的数目。罗森和西尔弗曼表明，偏见的第一时刻等于排名的莫德尔-韦伊组的合理解决方案。Michel证明了$pA_{2,E}(p)=p^2+O(p^{3/2})$ .基于几个特殊的家庭，其中计算可以在封闭的形式，米勒在他的论文中阐明，最大的低阶项的二阶矩，不平均$0$平均是负的。他进一步表明，这种负偏置有影响的分布零点的椭圆曲线$L$ -功能附近的中心点。到目前为止，这个猜想的证据仅限于特殊的家庭。在本文中，我们探讨了一些单参数和双参数椭圆曲线族的一阶矩和二阶矩，看看偏差是否持续存在，并探索这些对椭圆曲线基本性质的影响。我们观察到，在所有的一个和两个参数的家庭，我们可以计算在封闭的形式，第一项，不平均为零的二阶矩展开的狄利克雷系数有一个负平均。除了研究一些额外的家庭，计算可以在封闭的形式，我们还系统地调查家庭的各种秩。这些是第一次一般测试的猜想;虽然我们不能在一般情况下获得…
2021-05-03 math.NT
Moments of the critical values of families of elliptic curves, with applications
本文给出了所有椭圆曲线族的中心值的矩和一大类正秩曲线族的中心值的一阶导数的矩。在这两种情况下的数量级是相同的矩的中心值的正交家庭的L-功能。值得注意的是，我们预测的临界值的所有秩1椭圆曲线是几何大于秩1曲线的正秩家庭。此外，作为算术应用，我们对所有秩为2的椭圆曲线中a_p的分布作了一个猜想，并说明了如何从正秩族的一阶矩的充分知识（基于Iwaniec的思想）中推导出黎曼假设.
2007-08-30 math.NT
Unbounded average Selmer ranks of elliptic curves in torsion families
本文研究了具有特定 torsion 子群的椭圆曲线的 p-塞勒尔群平均大小，证明在许多情况下该平均值是无界的。
2025-12-18 math.NT
Non-isotrivial elliptic surfaces with non-zero average root number
我们考虑的问题，发现$1$参数族的椭圆曲线，其根数不平均为零的参数变化在$\mathbb{Z}$。我们分类所有这样的家庭时的程度的系数（在参数$t$）是小于或等于$2$，我们计算的排名超过$\mathbb{Q}(t)$的所有这些家庭。此外，我们明确计算的平均根数为这些家庭突出一些特殊情况。最后，我们证明了一些结果的可能值的平均根数，例如，显示所有的有理数在$[-1,1]$是平均根数的一些$1$ -参数的家庭。
2018-06-11 math.NT
Geometric families of multiple elliptic Gamma functions and arithmetic applications, II
Sorbonne Université（索邦大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；INRIA（法国国家信息与自动化研究所）；IMJ-PRG（巴黎数学研究所）
本文研究了多重椭圆Gamma函数的几何族及其在算术中的应用，展示其平滑版本生成模形式并限制为数域中的余数。
2026-02-06 math.NT
$Λ$-adic Families of Jacobi Forms
证明了Hida族的$p$ -adic椭圆模形式推广到$p$ -adic族的Jacobi形式.我们还构造了从椭圆模形式到Jacobi形式的θ提升的$p$ -adic版本。我们的结果推广到Jacobi形式以前的工作Hida和Stevens的半整权模形式的相关情况。
2020-04-01 math.NT
Families of curves over any finite field with a class number greater than the Lachaud - Martin-Deschamps bounds
研究并明确构造了代数函数域的渐近正合序列族。事实证明，这些家庭有一个渐近的类数广泛大于一般Lachaud-Martin-Deschamps界限。我们强调，我们得到的渐近精确序列的代数函数域在任何有限域$\F_q$，特别是当$q$不是一个正方形，这些序列是密集的塔。
2009-06-30 math.AG math.NT
Partitions into Triples with Equal Products and Families of Elliptic Curves
本文将具有相同和与积的正整数三元组参数子集联系于椭圆曲线族，构造出泛型秩至少为5、6、8的曲线族，并通过计算机搜索找到秩至少11乃至秩14的具体曲线。
2025-03-17 math.NT
Regulators of elliptic curves
本文研究了数域、特征为零的函数域和特征为$p>0$的函数域上的椭圆曲线的Mordell-Weil群的调节子.证明了数域上秩至少为$4$的椭圆曲线的调节器的一个新的Northcott性质。在函数域情形下，我们得到了具有有界调节器和有界秩的非平凡椭圆曲线族是有限族。最后，我们提出新的问题。
2019-02-27 math.NT
Central limit theorems for elliptic curves and modular forms with smooth weight functions
第二位和第三位作者（arXiv：1705.04115）为模形式族的Sato-Tate定律中的误差项建立了一个中心极限定理。这种方法适用于家庭的椭圆曲线的第一和第二命名的作者（arXiv：1705.09229）。在这种情况下，中心极限定理是建立在一个强假设超越了黎曼假设。在本文中，我们考虑一个平滑版本的佐藤-泰特猜想，这使我们能够克服一些限制。特别是，对于平滑的版本，我们能够建立一个中心极限定理的小得多的家庭的模形式，我们成功地证明了这种类型的一个定理的家庭的椭圆曲线的黎曼假设下的$L$ -功能相关的Hecke特征型的完整模群。
2019-10-12 math.NT
Average root numbers in two isotrivial families of elliptic curves
本文研究两条等椭圆曲线族的平均根数，证明其在一类固定二元形式的本原对上存在，推导特定del Pezzo曲面的Zariski稠密性，建立固定次数几乎所有多项式的根数显式平均值，提出多项式值的定量转移原理。
2026-08-12 math.NT
A graphical method to calculate Selmer groups of several families of non-CM elliptic curves
本文推广了Feng [F1]，Feng-Xiong [FX]和Faulkner-James [FJ]的思想，计算了椭圆曲线的Selmer群$ y^{2} = x (x + \varepsilon p D) (x + εq D). $
2009-12-27 math.AG math.NT
Note on families of pairing-friendly elliptic curves with small embedding degree
基于配对的密码方案需要所谓的配对友好的椭圆曲线，它具有特殊的性质。由给定多项式生成的配对友好椭圆曲线的集合形成一个完整的族。虽然$ρ$ -值为1的完整族是理想情况，但只有一个这样的例子是已知的，这是由Barreto和Naehrig给出的。我们证明了不存在嵌入度为3、4或6的理想族，并且许多嵌入度为8或12的完全族是非理想的，即使我们选择了非分圆族。
2016-05-08 cs.CR math.NT
On several families of elliptic curves with arbitrary large Selmer groups
本文利用下降理论计算了椭圆曲线的$ ϕ(\hatϕ)-$ Selmer群$ S^{(ϕ)} (E / \Q) $和$ y^{2} = x (x + εp D) (x + εq D) $（见[S，第X章]），特别地，我们得到了几类这样的椭圆曲线的Selmer群可以是任意大的.
2009-11-02 math.AG math.NT
Hypergeometric Distributions and Joint Families of Elliptic Curves
本文将椭圆曲线族超几何函数极限分布的研究推广到${_4F_3}$超几何函数，通过推广Michel的Sato-Tate律工作并结合平展上同调等理论，确定了椭圆曲线对的弗罗贝尼乌斯迹和的极限分布。
2025-08-20 math.NT
Biases in Moments of Dirichlet Coefficients of Elliptic Curve Families
椭圆曲线出现在现代数论的许多重要领域。研究它们的一种方法是取局部数据，即解的个数模$p$，并创建一个$L$函数。这个全局对象的行为与七个粘土千禧年问题中的两个有关：伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想和广义黎曼假设。本文研究了$\mathbb{Q}(T)$上的单参数族，其形式为$y^2=x^3+A(T)x+B(T)$，且具有非常数的$j$ -不变量.我们将椭圆曲线的r阶矩定义为$A_{r,E}(p) := \frac1{p} \sum_{t \bmod p} a_t(p)^r$，其中$a_t(p)$是$p$减去$y^2 = x^3 + A(t)x + B(t) \bmod p$的解的数目。罗森和西尔弗曼表明，偏见的第一时刻等于排名的莫德尔-韦伊组的合理解决方案。米歇尔证明了$pA_{2,E}(p)=p^2+O(p^{3/2})$。基于几个特殊的家庭，其中计算可以在封闭的形式，米勒在他的论文中阐明，最大的低阶项的二阶矩，不平均到$0$平均是负的。他进一步表明，这种负偏置的影响，在分布的零椭圆曲线$L$ -功能附近的中心点。到目前为止，这个猜想的证据仅限于特殊的家庭。除了研究一些额外的家庭，计算可以在封闭的形式，我们还系统地调查家庭的各种秩。这些是第一次一般测试的猜想;虽然我们不能在一般情况下获得封闭形式的解决方案，我们讨论的计算支持或矛盾的猜想。然后，我们推广到更高的时刻，并看到证据表明，偏见继…
2021-02-08 math.NT
Short average distribution of a prime counting function over families of elliptic curves
令$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，并且令$N$是正整数。现在，$M_E(N)$计算素数$p$的个数，使得群$E_p(\mathbb{F}_p)$的阶为$N$。在早期的联合工作与Balasubramanian，我们表明，$M_E(N)$服从泊松分布时，平均采取了一个家庭的椭圆曲线参数$A$和$B$其中$A,\, B\ge N^{\frac{\ell}{2}}(\log N)^{1+γ}$和$AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{2+γ}$为一个固定的整数$\ell$和任何$γ>0$。在本文中，我们表明，对于足够大的$N$，相同的结果保持，即使我们采取$A$和$B$范围内的$\exp(N^{\frac{ε^2}{20\ell}})\ge A, B>N^ε$和$AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{6+γ}$任何$ε>0$。
2016-09-27 math.NT
Euclidean Geometry and Elliptic Curves
本文证明了某些几何图形与正秩椭圆曲线族之间的密切关系。这些几何图形包括\textit{\textbf{Heron triangles}}、\textit{\textbf{Brahmagupta quadrilaterals}}和\textit{\textbf{Bicentric quadrilaterals}}。首先，我们研究了这些图的重要性质，然后利用这些性质，我们证明了如何构造具有不同挠子群的不同正秩的椭圆曲线族.
2020-07-04 math.NT
Canonical lifts of families of elliptic curves
我们证明了特征$p>0$的完满域上的正常椭圆曲线的正则提升构造唯一地扩展到正常椭圆曲线的任意族，甚至扩展到$p$ -adic形式概形上。特别地，通用的正常椭圆曲线具有正则提升。存在性陈述在很大程度上是应用于正常椭圆曲线的模空间的维特向量的泛性质的形式结果，至少具有足够的水平结构。作为一个应用程序，我们展示了如何从这个角度来看，允许更正式的证明最近的结果Finotti和Erdostan。
2016-08-21 math.AG math.NT
Elliptic curves with bounded ranks in function field towers
设$k$表示代数闭域。我们重新建设的作者的家庭椭圆曲线的有理函数域$k(t)$。结合组合分析与乌尔默的秩公式，我们证明了，对于所有的，但许多家庭的这些曲线，Mordell-Weil群在$k(t^{1/d})$的秩为零，因为$d$范围在正整数素数的特征$k$。
2011-05-30 math.NT
One-level density of families of elliptic curves and the Ratios Conjectures
利用Conrey，Farmer和Zirnbauer引入的比率结构，得到了两类附着在椭圆曲线上的L-函数的一级密度的闭公式.从这些闭公式中，我们可以确定族的基本对称类型。第一族的一级标度密度对应于Katz和Sarnak公式预测的正交分布，第二族的一级标度密度是Dirac分布和偶正交分布之和。这似乎是一个新的现象，造成的事实，第二家庭的曲线有奇数的排名。然后，在中心点有一个平凡的零点，它解释了狄拉克分布，也影响了标度密度的其余部分，然后（可能令人惊讶地）是偶正交分布。在过去研究了这第二个家庭的一级密度与小支持的傅里叶变换的检验函数，但由于傅里叶变换的偶正交和奇正交分布是不可区分的小支持，它是不可能的，以确定与这些技术的分布。这可以通过比率运算来实现，它可以更好地解释“独立”和“非独立”的零点以及排斥现象。
2013-09-04 math.NT
Two infinite families of elliptic curves with Mordell-Weil rank at least $3$
BITS-Pilani, Hyderabad campus（印度理工学院比拉尼分校海德拉巴校区）；Department of Mathematics, Siksha Bhavana, Visva-Bharati（维萨巴拉提大学教育馆数学系）
本文通过构造两个无穷参数族椭圆曲线，证明其Mordell-Weil秩至少为3，并扩展了之前关于秩下界的研究。
2026-01-13 math.NT
Mordell-Weil ranks of families of elliptic curves parametrized by binary quadratic forms
证明了二元二次型参数化的椭圆曲线$y^2=x(x-αa^2)(x-βb^2)$的Mordell-Weil秩.我们表达我们明确的下界的数字字段，并提供了一个详细的描述相应的Mordell-Weil群结构的功能字段的情况下。
2016-09-15 math.AG math.NT
Families of isogenous elliptic curves ordered by height
本文研究数域上有理曲线上的椭圆曲线乘积族，在一般纤维无同源假设下，给出同源特殊纤维数量的高度上界，并通过修改高度定义得到仅依赖族次数、数域和高度界的一致上界，展示了 Heath-Brown 型覆盖计数方法的应用潜力。
2025-08-21 math.NT
Quadratic families of elliptic curves and unirationality of degree 1 conic bundles
我们考虑系数为二次多项式的椭圆曲线。我们证明，对于无穷多个值的t所产生的椭圆曲线的秩至少为1。所有这样的曲线一起形成一个代数曲面，该曲面对于具有7个奇异纤维的圆锥丛是双有理的。证明的主要步骤是证明这样的锥丛是单有理的。V.2：对小有限域的主要定理作了修正。
2016-04-11 math.AG math.NT
1- and 2-Level Densities for Rational Families of Elliptic Curves: Evidence for the Underlying Group Symmetries
继Katz-Sarnak，Iwaniec-Luo-Sarnak和Rubinstein之后，我们利用1-和2-层密度研究了Q（t）上单参数有理椭圆曲线族的低零点分布.模标准结构，小支持密度同意Katz和Sarnak的预测。此外，密度证实了曲线的L-函数的行为方式与在临界点有r个零一致，正如伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想所预测的那样。通过研究一些常数符号族的2-能级密度，我们发现了椭圆曲线族的第一个例子，我们可以区分SO（偶）和SO（奇）对称。
2003-10-12 math.NT math.SP
