The Relative Bogomolov Conjecture for Fibered Products of Elliptic Curves

$\mathbf{Z}$ 上的解析动力学。II：Lattès 与 Bogomolov-Fu-Tschinkel 猜想之间的一致差距

Dynamique analytique sur $\mathbf{Z}$. II : Écart uniforme entre Lattès et conjecture de Bogomolov-Fu-Tschinkel

本文证明了 Lattès 动力系统相互作用能的一致下界，进而证明了 Bogomolov-Fu-Tschinkel 猜想，核心依赖于 $\mathbf{Z}$ 上的 Berkovich 空间理论与从中心估计推导全局估计的原创论证。

无限扩张中的小高度点

On points of small height in infinite extensions

本文提出渐近正无限扩张概念，证明此类扩张上对数Weil高度和椭圆曲线典范高度的下界，推广Bombieri-Zannier及Baker的Bogomolov性质结果。

关于纤维品种的Neron-Severi群

On the Neron-Severi groups of fibered varieties

我们应用泰特猜想代数圈研究Néron-Severi群的品种纤维超过一条曲线。这是灵感的工作罗森和西尔弗曼，谁进行了这样的分析，以得出公式的秩组部分的椭圆曲面。对于一个半稳定的纤维表面，根据泰特猜想，我们推导出一个公式的秩组相关的雅可比纤维化的部分。对于半稳定椭圆纤维化$E --> C$的纤维幂，在Tate猜想下，给出了纤维幂的Néron-Severi群的秩的递推公式.对于纤维方，我们无条件地构造了Néron-Severi群中的一组独立元素。当$E --> C$是模曲线$X_0(M)/\Q$上的泛椭圆曲线时，我们应用Selberg迹公式来验证我们的递归公式在纤维平方的情况下。这给出了$\Q$上纤维平方的Tate猜想的一个解析证明，并表明我们构造的独立元实际上形成了Néron-Severi群的一个基。这是Shioda-Tate定理的纤维平方模拟。

使用全局赋值域的新间隙原理研究半阿贝尔簇

New gap principle for semiabelian varieties using globally valued fields

本文基于 Hrushovski 的观察，通过将 Bogomolov 猜想归约，证明了半阿贝尔簇在正特征下的新间隙原理，其中阿贝尔商为椭圆曲线。

椭圆曲线的幂函数中曲线与平移余维2子群并的交

The intersection of a curve with a union of translated codimension 2 subgroups in a power of an elliptic curve

设C是椭圆曲线的幂的代数曲线，两者都定义在代数数上。证明了满足一定条件的C的代数点集是有限集。这一结果与Pink-Zilber猜想和曲线的Mordel-Lang加Bogomolov定理有关。

椭圆曲线上的模式研究超越Bremner猜想

Patterns on elliptic curves beyond Bremner's conjecture

本文基于Bremner猜想，研究椭圆曲线上的更一般模式，通过结合Nevanlinna理论和统一的Mordell-Lang定理，获得与秩相关的统一界。

State counting on fibered CY-3 folds and the non-Abelian Weak Gravity Conjecture

We extend the dictionary between the BPS spectrum of Heterotic strings and the one of F-/M-theory compactifications on $K3$ fibered Calabi-Yau 3-folds to cases with higher rank non-Abelian gauge groups and in particular to dual pairs between Heterotic CHL orbifolds and compactifications on Calabi-Yau 3-folds with a compatible genus one fibration. We show how to obtain the new supersymmetric index purely from the Calabi-Yau geometry by reconstructing the Noether-Lefschetz generators, which are vector-valued modular forms. There is an isomorphism between the latter objects and vector-valued latt…

双椭圆对数的单演群

Monodromy of double elliptic logarithms

本文确定了椭圆概形纤维积中阿贝尔对数的相对单演群，推广了André及Corvaja-Zannier的结果，并猜想任意相对维数情形的类似结论。

亏格为1纤维的Calabi-Yau 3-folds上的拓扑弦与弦对偶

Topological strings on genus one fibered Calabi-Yau 3-folds and string dualities

我们计算BPS指数的生成函数，利用它们在II型紧化和M理论紧化中的模性质，在紧亏格为1的CY 3-folds上，用奇异纤维和附加的有理截面或仅仅是$N$ -截面，来研究四维和五维弦的对偶性，以及引力扭曲的刚性极限。母函数是以复化纤维体积为模参数的$Γ_1(N)$的Jacobi形式。弦耦合$λ$或刚性极限中的$ε_\pm$参数，以及带电超多重态和非阿贝尔规范玻色子的质量都是椭圆参数。为了理解这种结构，我们证明了特定的自等价作用于这些几何上的拓扑B-膜范畴，并在弦凯勒模空间上产生$Γ_1(N)$的作用。我们认为，这些行动总是可以表示在通用的塞德尔-托马斯扭曲的6-膜连同移动的B-场，因此monodromies。这意味着生成函数所满足的椭圆变换定律。我们利用F-理论中的Higgs跃迁将模自举的证明推广到具有$N$ -截面的亏格1纤维化，并在小基度下完全固定了所有亏格生成函数.这使我们能够深入研究广泛的新的，非微扰理论，这是第二类理论的CHL $\mathbb{Z}_N$ orbifolds的杂种优势字符串$K3\times T_2$。特别是，我们比较了BPS退化的大基地限制的扰动杂合单圈振幅与$R_+^2 F_+^{2g-2}$插入许多新的II型几何形状。在刚性极限下，我们可以改进前向，得到5维超共形理论的椭圆亏格。

无同素性的阿贝尔簇

Abelian varieties without homotheties

Bogomolov的一个著名定理断言，数域上的阿贝尔簇的Tate模上的Galois作用所附加的$\ell$ -adic李代数包含所有的同素性。在特征$p$中情况并非如此：一个“反例”由定义在有限域上的正常椭圆曲线提供。在这篇文章中，我们讨论（并明确构建）更有趣的例子“非常数”绝对简单的阿贝尔簇（没有homotheties）在全球领域的特点$p$。

乘积椭圆格式与等距轨道的不可能相交

Unlikely intersections with isogeny orbits in a product of elliptic schemes

修正一条不带CM的椭圆曲线$E_0$和一个光滑不可约曲线上的非等平凡椭圆方案，两者都定义在代数数上。考虑$E_0^g$的固定有限秩子群（任意秩）的所有像的并集，也定义在代数数上，在$E_0^g$和椭圆格式的$g$次纤维幂$\mathcal{A}$的某些纤维之间的所有同构下，其中$g$是固定的自然数。作为一个特殊的情况下，稍微更一般的结果，我们刻画的子品种（任意尺寸）内$\mathcal{A}$，有潜在的Zapriki密集的交集与此设置。在证明中，我们将广义Vojta-Rémond不等式与Pila-Zannier策略相结合。

Elliptic surfaces and intersections of adelic $\mathbb{R}$-divisors

Suppose $\mathcal{E} \to B$ is a non-isotrivial elliptic surface defined over a number field, for smooth projective curve $B$. Let $k$ denote the function field $\overline{\mathbb{Q}}(B)$ and $E$ the associated elliptic curve over $k$. In this article, we construct adelically metrized $\mathbb{R}$-divisors $\overline{D}_X$ on the base curve $B$ over a number field, for each $X \in E(k)\otimes \mathbb{R}$. We prove non-degeneracy of the Arakelov-Zhang intersection numbers $\overline{D}_X\cdot \overline{D}_Y$, as a biquadratic form on $E(k)\otimes \mathbb{R}$. As a consequence, we have the follo…

与毕达哥拉斯三元组相关的椭圆曲线族的Mordell-Weil秩

Mordell-Weil ranks of families of elliptic curves associated to Pythagorean triples

研究了由勾股三元组$(a,b,c)$参数化的椭圆曲线族$y^2=x(x-a^2)(x-b^2)$.证明了对于一般三元组，$\mathbb{Q}$上的Mordell-Weil群的秩的下界为1，对于某些显式给定的无限族，秩为2.对每个家庭，我们附加一个椭圆表面纤维的投影线。我们表明，下界的秩是最佳的，在这个意义上说，这样的椭圆形表面的每一个通用的纤维，其相应的Mordell-Weil组的功能领域$\mathbb{Q}(t)$有秩1或2，分别。为了证明这一点，我们计算的特征多项式的弗罗贝尼乌斯自同构作用于第二个$\ell$ -进上同调群附加到椭圆形表面的Kodaira尺寸0和1。

K3曲面、有理曲线和有理点

K3 surfaces, rational curves, and rational points

证明了对于数域$k$上定义的任意一类椭圆曲面$X$，如果$X$上存在一个代数点只位于任意多条有理曲线上，则$X$上存在一个代数点不位于任何有理曲线上.特别是，我们的定理适用于一个大类的椭圆$K3$表面，这涉及到一个问题所提出的Bogomolov在1981年。我们应用我们的结果来构建一个明确的代数点上的$K3$表面不在于任何光滑的有理曲线。

Generic rank of Betti map and unlikely intersections

Let $\mathcal{A} \rightarrow S$ be an abelian scheme over an irreducible variety over $\mathbb{C}$ of relative dimension $g$. For any simply-connected subset $Δ$ of $S^{\mathrm{an}}$ one can define the Betti map from $\mathcal{A}_Δ$ to $\mathbb{T}^{2g}$, the real torus of dimension $2g$, by identifying each closed fiber of $\mathcal{A}_Δ \rightarrow Δ$ with $\mathbb{T}^{2g}$ via the Betti homology. Computing the generic rank of the Betti map restricted to a subvariety $X$ of $\mathcal{A}$ is useful to study Diophantine problems, e.g. proving the Geometric Bogomolov Conjecture over characterist…

F-理论中的模曲线与Mordell-Weil挠率

Modular Curves and Mordell-Weil Torsion in F-theory

本文证明了光滑椭圆纤维Calabi-Yau 3-和4-折叠的Mordell-Weil群的挠率的一个界。特别是，我们表明，可以发生在一个光滑的椭圆Calabi-Yau $n$ -倍（$n\geq 3$）包含在一组子群出现在一个合理的椭圆形表面，并略大于$n = 2$。我们证明的关键思想是证明任何具有足够大挠率的椭圆纤维化在余维2上都有奇点，这不允许有一个crepant分辨率。我们证明了这一点，明确构建和研究映射到一个模块化的曲线，其存在性是预测的普遍性质。我们用几何的模曲线来解释的最小奇点，出现在椭圆纤维化与规定的扭转，并确定的程度的基本线束（因此Kodaira尺寸）的通用椭圆表面，我们表明是一致的明确Weierstrass模型。在由F理论得到的超引力理论中，模曲线的约束被用来约束任意规范群$G$的第一基本群。我们评论孤立的8维理论，从极值K3的，能够规避低维的界限。这些理论既没有杂种优势对偶，也不能被紧化为低维极小SUGRA理论。我们还评论的最大，离散规范对称性从某些卡-丘三重重子。