Zhi-Wei Sun关于有限域乘法子群相关矩阵的一个猜想
A conjecture of Zhi-Wei Sun on matrices concerning multiplicative subgroups of finite fields
AI总结：
本文研究有限域乘法子群相关矩阵的行列式，证明了二次平方元矩阵的显式行列式公式，从而证实Zhi-Wei Sun的猜想。
摘要：
受Zhi-Wei Sun近期关于涉及Legendre符号的行列式工作启发，本文研究若干与有限域子群有关的矩阵。例如，设q≡3 mod 4为奇素数幂，ϕ为有限域F_q上唯一的二次乘法特征。若集合{s_1,…,s_(q-1)/2}={x^2:x∈F_q\{0}}，则证明矩阵[t+ϕ(s_i+s_j)+ϕ(s_i-s_j)]（1≤i,j≤(q-1)/2）的行列式等于((q-1)/2 t−1)q^((q-3)/4)。这证实了Zhi-Wei Sun的一个猜想。
英文摘要：
Motivated by the recent work of Zhi-Wei Sun on determinants involving the Legendre symbol, in this paper, we study some matrices concerning subgroups of finite fields. For example, let $q\equiv 3\pmod 4$ be an odd prime power and let $ϕ$ be the unique quadratic multiplicative character of the finite field $\mathbb{F}_q$. If set $\{s_1,\cdots,s_{(q-1)/2}\}=\{x^2:\ x\in\mathbb{F}_q\setminus\{0\}\}$, then we prove that $$\det\left[t+ϕ(s_i+s_j)+ϕ(s_i-s_j)\right]_{1\le i,j\le (q-1)/2}=\left(\frac{q-1}{2}t-1\right)q^{\frac{q-3}{4}}.$$ This confirms a conjecture of Zhi-Wei Sun.
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