Report on Zhi-Wei Sun's "1-3-5 conjecture" and some of its refinements
António Machiavelo, Rogério Reis, Nikolaos Tsopanidis
我们在这里报告的计算验证的改进孙志伟的“1-3-5猜想”的所有自然数到105 103 560 126。这一点，连同结果的两个作者，完成了证明这一猜想。
We report here on the computational verification of a refinement of Zhi-Wei Sun's "1-3-5 conjecture" for all natural numbers up to 105 103 560 126. This, together with a result of two of the authors, completes the proof of that conjecture.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On a Conjecture of Sun Zhi-Wei and Related Diophantine Equations
对于任何整数$m\ge0$，我们记得三角形数就是那些$\mathbf{T}(m)=\frac{m(m+1)}{2}$。孙志伟的一个猜想指出，具有任意$n>2$的整数$2^n\pm n$不可能是三角数.这项工作的动机是证实这一猜想。
Four conjectures by Zhi-Hong Sun
本文证明了孙志红关于$\varepsilon_d^{\frac{p-1}4}$的值$\mod p$的一些结果，其中$\varepsilon_d$是某些域$\mathbb Q(\sqrt d)$中的范数$-1$的单位，用$\left(\frac{-1}p\right) =\left(\frac dp\right) =1$ .答案是根据$p$如何写作$p=f(x,y)=u^2+v^2$给出的，带有$x,y,u,v\in\mathbb Z$，其中$f$是行列式$-4d$的某种二次形式。
A conjecture of Zhi-Wei Sun on determinants over finite fields
本文研究了有限域上的某些行列式。设$\mathbb{F}_q$是$q$元素的有限域，$a_1,a_2,\cdots,a_{q-1}$是$\mathbb{F}_q$的所有非零元素。设$T_q=\left[\frac{1}{a_i^2-a_ia_j+a_j^2}\right]_{1\le i,j\le q-1}$是$\mathbb{F}_q$上的矩阵。我们得到了$\det T_q$的显式值。同时，作为结果的一个推论，我们证实了孙志伟提出的一个猜想。
On the cyclotomic field $\mathbb{Q}(e^{2π{\bf i}/p})$ and Zhi-Wei Sun's conjecture on $\det M_p$
本文通过利用$p$次循环域和有限域$\mathbb{F}_p$的算术性质，证实了Zhi-Wei Sun关于$\det M_p$的猜想。
Zhi-Wei Sun's 1-3-5 Conjecture and Variations
本文利用Lipschitz整数环中的四元数算术，完整证明了Zhi-Wei Sun的1-3-5猜想，并建立了该猜想的一些变体。
A conjecture of Zhi-Wei Sun on matrices concerning multiplicative subgroups of finite fields
本文研究有限域乘法子群相关矩阵的行列式，证明了二次平方元矩阵的显式行列式公式，从而证实Zhi-Wei Sun的猜想。
A Proof of a Conjecture of Zhi-Wei Sun on a Truncated Legendre-Symbol Determinant
对于每个模4余3的素数p，通过将截断勒让德符号行列式化为Chapman满矩阵的逆数据，并利用Vsemirnov分解和Schur-Pfaffian预解式恒等式求值，证明了该行列式等于⌊(p-2)/3⌋²x，从而证实了孙智伟的猜想。
On restricted sums of four squares and Zhi-Wei Sun's $x+24y$ conjecture
本文利用三次二次型理论研究四平方定理的细化问题，并推进了齐桓-韦-孙的$x+24y$猜想。
Sun's Three Conjectures on Apéry-like Sums Involving Harmonic Numbers
本文通过证明多重多项式的特殊值之间的一些恒等式，给出了孙志伟关于调和数的Apéry型和的三个定理的另一个证明。
On Z.-W. Sun's Disjoint Congruence Classes Conjecture
孙志伟证明了如果k个同余类不相交，则其中两个模的最大公因数至少与k一样大.我们证明了这个猜想的k严格小于21。
A Note on Sun's Conjectures on Apéry-like Sums Involving Lucas Sequences and Harmonic Numbers
本文利用Davydychev--Kalmykov的相关结果，证明了Zhi-Wei Sun提出的关于涉及Lucas序列与调和数的类Apéry和的四个猜想恒等式。
A Pfaffian Proof and Generalization of a Conjecture of Sun Zhiwei
本文通过Pfaffian方法证明并推广了孙智伟关于行列式$D_a(0)$为零的条件的猜想，给出了$D_a(x)$和$D_a^{(0)}(x)$的显式Pfaffian平方分解。
The eigenvectors-eigenvalues identity and Sun's conjectures on determinants and permanents
本文利用Denton，Parke，Tao和X.张在2019年。
Integrality of a trigonometric determinant arising from a conjecture of Sun
本文通过Dirichlet L函数和字符间联系，解决Sun提出的三角行列式整性猜想，并揭示其与傅里叶分析和算术不变量的关联。
Almost-primes in Sun's $x^2+ny^2$ conjecture
齐伟孙猜想中，通过加权筛法研究整数分解中同时为质数的条件，并证明了足够大的n具有几乎质数解。
On some monotonic combinatorial sequences conjectures
本文证明了孙志伟最近预印本中关于组合序列单调性的一些定理。
On Sun's conjecture concerning disjoint cosets
2004年，孙志伟提出了如下猜想：如果a_1G_1，...，a_kG_k（k>1）是群G中所有指数[G：G_i]有限的n个成对不相交左陪集，则对某个1个\le i<j \le k，[G：G_i]与[G：G_j]的最大公因数至少为k.本文对k= 3，4的情形证实了Sun的猜想.
Positive density for Sun's $2^k+m$ conjecture
本文无条件证明满足$2^k + m$为素数的自然数具有正密度，计算密度至少为0.0734，并讨论方法局限性，基于 Hardy-Littlewood 猜想指出密度下界不超过0.5906。
An extension of a curious binomial identity
在2002年孙志伟[整数2（2002）]发表了一个奇怪的身份涉及二项式系数。在本文中，我们提出了一个推广的身份。
Egyptian Fractions with Denominators from Sequences Closed Under Doubling
解决了孙志伟的一个猜想，证明了每一个有理数都可以表示为不同的单位分数之和，其分解子是实际数。同样的方法也适用于允许的乘法器，这些乘法器在乘以2时是封闭的，并且包含每个正整数的倍数，包括恶数、恶数、哈代-拉马努金数、乔丹-波利亚数和二进制数。
On the special harmonic numbers $H_{\lfloor p/9 \rfloor}$ and $H_{\lfloor p/18 \rfloor}$ modulo $p$
在孙志红工作的基础上，我们建立了特殊调和数$H_\lfloor p/9 \rfloor$和$H_{\lfloor p/18 \rfloor}$模$p$的同余，它们分别包含3个和4个不同的算术分量.我们还获得了一个完整的决定模$p$相应的家庭的倒数和类型的研究Dilcher和Skula。费马大定理的第一种情况下的应用被认为是。
On Sun's Conjectures for Truncated Jacobi-Symbol Determinants via Supersingular Elliptic Curves
该研究针对孙智伟提出的截断雅可比符号行列式，通过统一方法结合超奇异椭圆曲线，证明了孙的多个相关猜想及强化形式，揭示了这类恒等式的通用机制。
On some determinant conjectures
本文针对孙智伟提出的三个关于素数$p$下行列式$D_p^-(c,d)$的猜想开展研究，最终完成了这三个猜想的证明工作。
On certain determinants and the square root of some determinants involving Legendre Symbols
该数论研究针对孙智伟引入的两类含Legendre符号的行列式，推导了部分参数下T_m(d,p)与D_p^(m)平方根的性质，并证实了孙智伟提出的相关猜想。
Proof of Sun's conjectures on hyperbolic cosine series via the Eisenstein--Lambert method
本文研究了一类双曲朗伯级数，通过将其转化为埃西森级数的导数，在CM点处证明了部分级数的值，并给出了双曲余弦级数的恒等式解释。
On two conjectures of Sun concerning Apéry-like series
本文通过将类Apéry级数转化为对数积分，并利用权重为3和4的单值多重对数函数的非平凡函数方程，证明了Z.-W. Sun提出的两个猜想。
Congruences on Stirling numbers and Eulerian numbers
本文建立了Stirling数和Eulerian数的Fleck-Weisman型同余和Davis-Sun型同余。
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