On some monotonic combinatorial sequences conjectures
Florian Luca, Pantelimon Stanica
本文证明了孙志伟最近预印本中关于组合序列单调性的一些定理。
Here we prove some conjectures on the monotony of combinatorial sequences from the recent preprint of Zhi--Wei Sun.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Proofs of some conjectures on monotonicity of number-theoretic and combinatorial sequences
本文研究了序列z_{n+1} /z_n和序列\sqrt [n]{z_n}的单调性.本文用统一的方法验证了孙志伟和Amdeberhan等人的一系列结论。
Higher order log-monotonicity of combinatorial sequences
在比率序列$\{\frac{z_{n+1}}{z_n}\}_{n\geq0}$是对数凸的意义上，序列$\{z_n\}_{n\geq0}$被称为比率对数凸的。基于序列的一个三项递推关系，我们发展了处理比率序列的比率对数凸性的技巧。作为应用，我们证明了包括乱序数、Motzkin数、Fine数、Franel数和Domb数在内的比数列分别是比对数凸的。最后，我们不仅证明了这类无序数序列是渐近无穷对数单调的，而且还证明了与Γ函数有关的一些数的无穷对数单调性，特别地，这一结果包含了Chen { \it et al.}关于Catalan数的无穷对数单调性和中心二项式系数。
Infinitely Log-monotonic Combinatorial Sequences
我们引入了无穷对数单调序列的概念。通过建立完全单调函数与无穷对数单调序列之间的联系，证明了Bernoulli数、Catalan数和中心二项式系数的序列是无穷对数单调的.特别地，如果序列$\{a_n\}_{n\geq 0}$是二阶对数单调的，则在序列$\{a_{n+1}/a_{n}\}_{n\geq 0}$是对数凹的意义上，它是比率对数凹的。进一步证明了如果序列$\{a_n\}_{n\geq k}$是比率对数凹的，则在一定的初始条件下序列$\{\sqrt[n]{a_n}\}_{n\geq k}$是严格对数凹的.作为推论，我们证明了乱序数、Motzkin数、Fine数、中心Delannoy数、树状多边形数和Domb数的序列是比率对数凹的.对于Domb数$D_n$的情形，我们证实了Sun关于序列$\{\sqrt[n]{D_n}\}_{n\geq 1}$的对数对数的一个猜想.
On monotonicity of some combinatorial sequences
我们证实了Sun的猜想，即$(\root{n+1}\of{F_{n+1}}/\root{n}\of{F_n})_{n\ge 4}$严格地减少到极限1，其中$(F_n)_{n\ge0}$是Fibonacci序列。我们还证明了序列$(\root{n+1}\of{D_{n+1}}/\root{n}\of{D_n})_{n\ge3}$是严格递减的，其中$D_n$是第$n$次乱序数.对于$m$ -阶调和数$H_n^{(m)}=\sum_{k=1}^n 1/k^m\ (n=1,2,3,\ldots)$，我们证明了$(\root{n+1}\of{H^{(m)}_{n+1}}/\root{n}\of{H^{(m)}_n})_{n\ge3}$是严格递增的.
A note on some conjectures about combinatorial models for RNA secondary structures
我们解决了Black-Drellich-Tymoczko关于给定准素序列的有效平面树个数的两个问题。
Infinite families of crank functions, Stanton-type conjectures, and unimodality
戴森的秩函数和安德鲁斯-加文曲柄函数著名的组合证人拉马努金的分拆函数同余模5，7和11。虽然这些函数可以用来显示对应的分区集合被分成5、7或11个大小相等的集合，但人们可能会问，如何使由秩或曲柄组合显式组织的分区之间的结果双射。斯坦顿最近做了一些尝试，旨在揭示沿着这些路线的更深层次的组合结构，事实证明，需要对秩和曲柄进行微小的修改。在这里，我们证明了其中的两个命题。基于单峰性和对称性，我们还给出了某些分圆多项式的多项式导数具有非负系数的抽象判据。此外，我们将Stanton猜想推广到曲柄的无限族。这表明进一步应用到其他组合对象。我们还讨论了数值证据，我们的结构，连接与其他分析结构，如分配的分区排名。
On the combinatorial local log-concavity conjecture and a result of Stanley
本文的目的是说明Gross，Mansour，Tucker和Wang（Eur. J.Comb.52，207-222，2016）事实上是从Stanley（Eur. 32（6），937-943，2011）。
Combinatorial proofs and generalizations of conjectures related to Euler's partition theorem
在最近的一项工作中，安德鲁斯给出了分析证明的两个alturtures有关的一些变化的两个组合的身份之间的分区的一个正整数成奇数部分和分区成不同的部分发现贝克。随后，使用与Andrews相同的方法，陈省身给出了另一个Beck猜想的解析证明，该猜想与无间隙划分和奇数长度的不同划分有关。然而，这些结构的组合解释仍然是不清楚的和必要的。本文受Glaucine双射的启发，直接或通过证明更一般的结果，给出了这三个定理的组合证明。
On Ratio Monotonicity of a New Kind of Numbers Conjectured by Z.-W. Sun
最近，Z. W. Sun以$\{z_n/z_{n-1}\}_{n=N}^\infty$和$\{\sqrt[n+1]{z_{n+1}}/\sqrt[n]{z_n}\}_{n=N}^\infty$的形式给出了一系列关于组合序列单调性的证明，其中$\{z_n\}_{n=0}^\infty$是正整数序列. Luca和Stenjnickel，Hou等人，Chen等人，孙和杨证明了其中的一些。本文对Z所证明的另一类新数的单调性给出了肯定的回答。W. Sun通过交错方法证明了序列的对数凸性和对数凸性，并利用了Xia提出的以$\{\sqrt[n]{z_n}\}_{n=1}^\infty$形式表示的序列对数凸性判据。
Combinatorial data of a free arrangement and the Terao conjecture
本文通过刻画 $D(\mathcal{A})$ 生成元的组合结构，建立其与向量场奇异性的联系，从而仅用组合数据构造自由情形的模基并证明 Terao 猜想。
Proof of a Combinatorial Conjecture Coming from the PAC-Bayesian Machine Learning Theory
给出了A的一个猜想的证明. Lacasse在他的博士论文中有机器学习算法的应用。证明依赖于阿贝尔（1839）引入的一些有趣的二项式和恒等式，以及赫维茨（1902）对多项式情况的推广。
Combinatorial Speculations and the Combinatorial Conjecture for Mathematics
组合数学是近百年来兴起的处理目标间关系的有力工具。然而，对于数学家来说，更重要的工作是将组合数学应用于其他数学和其他科学，而不仅仅是寻找目标的组合行为。最近，这些研究成果出现在关于宇宙的数学和理论物理学杂志上。本文的主要目的是综述这些数学和宇宙物理的思想和观点，如多重空间、地图几何和组合宇宙，以及我在2005年提出的数学组合猜想。通过一个组合猜想，为21世纪数学的发展提供了一些新的问题。
The Strengthened Hanna Neumann Conjecture I: A Combinatorial Proof
我们证明了加强汉娜诺依曼猜想，在其共同的图论制定。我们原来的方法，这一猜想使用上同调的层图，虽然在这里我们给出了一个简短的组合证明，我们发现在一系列的简化的上同调的方法。我们的证明是归纳的，并要求Tardos以前的结果解决秩二的情况下的猜想。
Coloring linear hypergraphs: the Erdős-Faber-Lovász conjecture and the Combinatorial Nullstellensatz
长期存在的Erdens-Faber-Lovász猜想指出，每个具有$n$边的$n$ -均匀线性超图都有一个使用$n$颜色的适当顶点着色。在本文中，我们提出了一个代数框架的问题，并制定了相应的更强的猜想。利用组合零点定理，我们将Erdens-Faber-Lovász猜想归结为某些多项式中存在非零系数。这些系数又与一些辅助图的具有规定入度序列的方向的数量有关。我们证明了某些方向的存在性，这验证了我们的代数方法工作的必要条件。
Special Matchings, Brenti's Conjecture, and the Combinatorial Invariance Conjecture
本文完全刻画了A型Coxeter群中任意Bruhat区间的特殊匹配，并应用此结果证明了Brenti关于通过特殊匹配计算Kazhdan-Lusztig R-多项式的猜想，为组合不变性猜想提供了新证据。
The combinatorial invariance conjecture for parabolic Kazhdan-Lusztig polynomials of lower intervals
本文的目的是证明一个与Kazhdan-Lusztig多项式的组合不变性猜想有关的猜想，在抛物的设置下，对于任意Coxeter群的下区间。该结果改进和推广了[Advances in Math. {202}（2006），555-601]，[Trans. Amer. Math. Soc. {368}（2016），no. 7，5247- 5269]的主要结果。
A combinatorial conjecture from PAC-Bayesian machine learning
我们提出了一个证明的组合猜想从第二作者的博士学位。论文证明依赖于二项式和多项式和身份。我们还讨论了PAC贝叶斯机器学习的上下文中的相关性的猜想。
Towards the Automorphism Conjecture I: Combinatorial Control
本文利用有序集轨道邻接性与有限单群分类推论，在多数情况下对自同构数量给出指数界限，并指出阻碍该界限的结构，为解决自同构猜想迈出第一步。
Combinatorial groupoids, cubical complexes, and the Lovasz conjecture
为组合群胚的理论奠定了基础，使我们能够在单纯（多面体）复形、偏序集、图、多面体和其他组合对象的上下文中使用“完整性”、“并行传输”、“对称性”、“组合曲率”等概念。本文引入了一个新的立方复形的完整型不变量，并由此得到了一个立方复形不可嵌入立方格的组合“极值定理”。Hom复形和映射的并行运输被用作一种工具，用于将Babson-Kozlov-Lovasz图着色结果扩展到关于单纯复形和图的非退化映射（着色）的更一般的陈述。
A combinatorial proof of the $λ_g$ conjecture in genus 2
本研究通过将$\lambda_2$类表示为边界层的线性组合，结合投影公式、弦方程和胀子方程，用归纳法给出了亏格2下$\lambda_g$猜想的简洁组合证明。
Combinatorial rules for three bases of polynomials
本文给出了关于Z[x1，x2，…]的三个基的组合规则（一个定理和两个定理）.首先，我们证明了一个“分裂”规则的基础上的关键多项式[Demazure '74]，从而建立了一个新的正性定理。其次，我们引入了一个扩展[Kohnert '90]的“移动”猜想的第一个组合规则的一定变形[Lascoux '01]的关键多项式。第三，我们使用相同的扩展猜想一个新的规则的Grothendieck多项式[Lascoux-Schutzenberger '82]。
A Combinatorial Problem from Group Theory
Keller在证明某些线性群作用存在许多不同大小的轨道的基础上，提出了一个关于构造n ×无穷矩阵的组合猜想.他证明了它的情况下n=4，我们表明，猜想是真实的一般情况下。我们还提出了一个组合游戏版本的猜想，甚至进一步推广的问题。
Strictly monotone sequences of lower and upper bounds on Perron values and their combinatorial applications
本文给出了非负矩阵Perron值的单调上下界和上界序列，并研究了它们的严格单调性。使用这些序列，我们提供了两个组合的应用。一种是改进组合环境下有根树的Perron值的界，以寻找树的特征集。二是利用单调序列生成对数凹序列和对数凸序列。
A counterexample to conjecture 18.5 in "Geometric Etudes in Combinatorial Mathematics", second edition
如果在$\Fscr$的每个$p$元素中，有$q$具有公共点，则集合$\Fscr$具有$(p,q)$ -属性。集合$\Fscr$的截线是与$\Fscr$的每个成员相交的集合$A$。Grünbaum证明了每个家庭$\Fscr$的封闭，凸集在平面上的$(4,3)$ -财产和至少两个元素是紧凑的有一个断面的有界基数。在这里，我们构造一个反例，他的猜想。在积极的一面，我们还表明，如果这样的集合$\Fscr$包含两个{ \em disjoint}的矩阵，那么有一个横的基数最多为13。
Some Ratio Monotonic Properties of a New Kind of Numbers introduced by Z.-W. Sun
最近，Z. W. Sun引入了一类新的数$S_n$，并提出了与之相关的组合序列的比单调性猜想。本文通过对$S_n$的一些算术性质的研究，对他的猜想给出了肯定的回答.我们的方法是基于Chen，Guo和Wang新建立的对数凸性的判据和交错方法，以及序列的比对数凸性的判据。
A note on Combinatorial Invariance of Kazhdan--Lusztig polynomials
本文引入惊人超立方体分解及双捷径概念，提出蕴含对称群Kazhdan--Lusztig多项式组合不变性猜想的组合性猜想，附录还在余初等区间下证明了双超立方体的类似猜想。
Proof of the combinatorial Kirillov-Reshetikhin conjecture
本文直接证明了对于每个单李代数g，Kirillov-Reshetikhin模的张量积重数所对应的生成函数相等.连同中岛和埃尔南德斯的定理，这给出了组合版本的Kirillov-Reshetikhin猜想的证明，该猜想给出了限制性费米子求和的张量积重数。
Seven combinatorial problems around quasihomogeneous singularities
本文围绕拟齐次奇点的特征多项式和谱数的公式提出了七个组合问题。其中之一是关于特征多项式的一个新猜想。这是一个修正旧猜想Orlik的积分monodromy的一个quasihomogeneous奇点。寻找新猜想的组合证明使我们产生了七个纯粹的组合问题。
Combinatorial invariance conjecture for $\widetilde{A}_2$
组合不变性猜想（独立于G. Lusztig和M. Dyer）预言，如果$[x,y]$和$[x',y']$是同构的Bruhat偏序集（可能是不同的Coxeter系统），那么相应的Kazhdan-Lusztig多项式是相等的，即$P_{x,y}(q)=P_{x',y'}(q)$。我们证明了这个猜想的仿射外尔群的类型$\widetilde{A}_2$。这是证明猜想的第一个具有非平凡Kazhdan-Lusztig多项式的无限群。
Generalized Kneser coloring theorems with combinatorial proofs
Kneser猜想（1955年）由Lovász（1978年）使用Borsuk-Ulam定理证明;所有后续的证明，扩展和推广也依赖于代数拓扑学的结果，即Borsuk-Ulam定理及其扩展。直到2000年，Matoušek才首次给出了Kneser猜想的组合证明。在这里，我们提供了一个超图着色定理，并给出了组合证明，该定理的特殊情况是Kneser猜想及其由Dol'nikov、Alon-Frankl-Lovász、Sarkaria和Kriz的（超图）着色定理进行的扩展和推广。我们还给出了Schrijver定理的一个组合证明。
Non-commutative Combinatorial Inverse Systems
我们引入了非交换变量的组合逆系统的概念。我们提出了两个重要的例子，一些示意图和结果。这些结构和结果得到了计算机研究的支持。
Proof of a combinatorial conjecture posed in "The Blimpy Shape of Heady-s and Taily-s Bit Strings"
本文证明了关于位字符串数量的组合猜想，揭示了函数的离散凸性、负值最大参数的公式以及正期望性质。
A combinatorial formula for the Ehrhart $h^{*}$-vector of the hypersimplex
给出了超单形的Ehrhart $h^*$ -向量的一个组合公式。特别地，我们证明了$h^{*}_{d}(Δ_{k,n})$是具有卷绕数$d$的$(k,n)$型超单纯装饰有序集划分的个数，从而证明了Nick Early的一个猜想.我们这样做是通过证明一个更一般的猜想尼克早期的Ehrhart $h^*$ -向量的一个通用的横截面的超立方体。
Combinatorial Polytope Enumeration
我们描述了一个可证明完备的算法，用于生成R^d中所有组合不同的简单n面多面体的紧的、可能精确的超集，以及它们的图、f-向量和面格。该技术将重复的切割平面和平面扫描应用于d单形。我们的发电机有几个突出的问题在多面体理论的影响，包括不同的多面体的数量，边扩张的多面体图，和d-步骤猜想。
Combinatorial quantum field theory and the Jacobian conjecture
在这篇简短的评论中，我们首先回顾组合或（$0-$维）量子场论（QFT）。然后，我们给出了一个标准的QFT方法的主要思想，称为中间场方法，我们回顾了如何将这种方法应用到组合QFT重新制定的著名的雅可比猜想的可逆性的多项式系统。这种方法建立了一个相关的定理，涉及部分消除的变量，这意味着减少的通用情况下的二次。注意，这并不意味着解决雅可比猜想，因为需要为系统保持的某个线性子空间的维度引入补充参数。
A combinatorial proof of the Burdzy-Pitman conjecture
我们证明了一个尖锐的上界的高度差异的二部图的数量：让$ (U, V, E)$是一个二部图与$U=\{u_1, u_2, \dots, u_n\}$和$V=\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ ; $n\ge k>\frac{n}{2}$，我们表明，$\sum_{1\le i,j \le n} 1 {\Big\{|\text{deg}(u_i)-\text{deg}(v_j)|\ge k}\Big\} \le 2k(n-k).$作为一个直接的应用程序，我们显示了一个稍微强，概率版本的这个定理，从而确认Burdzy-Pitman猜想的最大传播的相干和独立的分布。
A combinatorial model for $\nabla m_μ$
由Garsia和Haiman（1996）引入的修正Macdonald多项式具有许多显著的组合性质。其中一类性质涉及将Bergeron和Garsia（1999）的$\nabla$算子应用于基本对称函数。这种类型的第一个发现是Haglund，Haiman，Loehr，Remmel和Ulyanov（2005）的洗牌猜想，它将表达式$\nabla e_n$与停车函数联系起来。这个猜想的一个改进，称为组合洗牌猜想，由Haglund，Morse和Zabrocki（2012）引入，并由Carlsson和Mellit（2015）证明。本文给出了一个将钩单项式对称函数与合成洗牌猜想中的算子联系起来的对称函数恒等式。这意味着一个停车功能解释nabla的钩单项对称函数，以及LLT的积极性。我们证明了我们的恒等式是一个$q$ -类似于由Kulikauskas和Remmel（2006）给出的钩子单项式到完全齐次对称函数的展开。我们使用这种连接来推测当$μ$不是钩子时以这种方式扩展$\nabla m_μ$的模型。
Recent progress in combinatorial random matrix theory
本文讨论了随机矩阵理论中组合性质的许多问题的最新进展，包括解决长期著名难题的几个突破。
A combinatorial divisibility question from noncommutative algebra
我们提出了一个一般性猜想的整除的某一表达式的Kostka数及其密切的变化。这个猜想与非交换代数的周期指数问题的一个变体密切相关，在两个方向上都有部分含义。我们提出了一个描述这两个问题之间的联系，通过舒伯特微积分的动机和证据的猜想，然后再转向证明的猜想在一个家庭的情况下。
Polyhedral graph abstractions and an approach to the Linear Hirsch Conjecture
本文提出了一种新的多面体图的组合抽象。新的抽象是一个灵活的框架定义的组合属性，每个集合的属性提供了一个变量，用于研究多面体图的直径。一个特定的变体具有满足多面体直径的最佳已知上界的直径。另一个变式具有超线性渐近直径，并结合一些组合运算，给出了一个具体的证明线性赫希猜想的方法。
A combinatorial $K$-theory perspective on the Edge Reconstruction Conjecture in graph theory
本研究构建了基于带覆盖族的范畴$K$-理论的抽象重构问题研究框架，将其用于重新表述图论边重构猜想，并给出了该范畴$K$-理论的若干基本定理。
Combinatorial and Gaussian Foundations of Rational Nth Root Approximations: Theorems and Conjectures
本文提出用于n次根逼近的双根法，基于二项式、高斯函数、DAG结构生成闭式有理函数，提出三个相关猜想，验证其收敛性优于泰勒级数与Padé逼近，兼具理论与计算意义。
On a combinatorial problem of Erdos, Kleitman and Lemke
在本文中，我们研究了一个组合问题，起源于以下猜想的Erdos和Lemke：给定任何序列的n个因子的n，允许重复，存在一个子序列的元素是总和为n。这个猜想由Kleitman和Lemke证明，他们随后将原问题扩展到有限阿贝尔群框架下的零和不变量问题。建筑等早期的作品由阿隆和Dubiner和作者，我们的主要定理给出了一个新的上界为这一不变的一般情况下，并提供其权利的数量级。
Refined Absorption: A New Proof of the Existence Conjecture
本文提出精化吸收新方法，并在假设 $K_q^r$-吸收子存在的前提下，为组合设计存在性猜想给出新的替代证明。
Statistics on monotonically ordered non-crossing partitions
本文研究单调有序非交叉划分上的组合统计量，发现期望与方差呈对数增长，并利用树结构简化论证，应用于单调概率的累积量计算。
Combinatorial Approach to ABV-packets for $\mathbf{GL_n}$
本文用组合方法证明了 $GL_n$ 中 Arthur 型轨道的 ABV-包为单点集，从而证实局部朗兰兹对应中 A-包即 ABV-包猜想的特例，并证明梯形多段的偏序关系。
Monotonicity and log-behavior of some functions related to the Euler Gamma function
本文的目的是发展分析技术来处理一定的单调性的组合序列。(1)给出了函数$\sqrt[x]{f(x)}$单调性的一个判别准则，它是Wang和Zhu的一个结果的连续模拟. (2)考虑了函数$θ(x)=\sqrt[x]{2 ζ(x)Γ(x+1)}$和$F(x)=\sqrt[x]{\frac{Γ(ax+b+1)}{Γ(c x+d+1)Γ(e x+f+1)}}$的对数行为，其中$ζ(x)$和$Γ(x)$分别是Riemann zeta函数和Euler Γ函数.作为结果，严格的对数凹函数$θ(x)$（一个猜想陈{ \it等}）和$\{\sqrt[n]{z_n}\}$对一些组合序列（包括Bernoulli数、切数、Catalan数、Fuss-Catalan数和一些二项式系数）的性质.特别地，这包含Chen { \it等人}的一些结果，卢卡和斯丹尼克。（三）、通过研究某些函数的数学完全单调性，证明了序列$\{\frac{(n_{0}+ia)!}{(k_0+ib)!(\overline{k_0}+i\overline{b})!}\}_{i\geq0}$的无穷对数单调性.这推广了Chen { \it et al.}证明了Catalan数$\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$和中心二项式系数$\binom{2n}{n}$都是无穷对数单调的，并加强了Su和Wang关于$\binom{dn}…
A Combinatorial Proof of Hilton's Conjecture and Beyond
本文用精细吸收方法组合证明了Hilton猜想，即对足够大的n存在无子方阵拉丁方，并推广到高围长拉丁方及扩散分布。
A note on a combinatorial interpretation of the e-coefficients of the chromatic symmetric function
Stanley研究了图G的色多项式的对称函数推广X_G。Stanley-Stembridge偏序集链猜想指出，如果G是无爪不可比图，则X_G的初等对称函数展开式具有非负系数。在这里，我们给出了一个组合解释这些系数结合Gasharov的工作与Egecioglu和Remmel的组合解释的逆Kostka矩阵的猜想。这给出了Stanley的一个部分非负性结果的新证明。作为一个有趣的副产品，我们得到了一个以前没有注意到的结果有关的非循环取向的P-tableaux。
Exploring a Delta Schur Conjecture
在\cite{HRW15}，Haglund，Remmel，威尔逊国家一个猜想，预测一个纯粹的组合方式获得对称函数$Δ_{e_k}e_n$。这就是所谓的Delta猜想。最近在\cite{GHRY}中证明了当$q=0$或$t=0$时Delta猜想成立。在本文中，我们完成了一项工作开始Remmel的最初目的是探讨对称函数$Δ_{s_ν} e_n$的相同方法开发的\cite{GHRY}。这里我们首先需要的是一种构造对称函数的方法，该对称函数可以被视为$t=0$的对称函数$Δ_{s_ν} e_n$的“组合侧”。基于在\cite{GHRY}中所发现的，我们阐明了这样一种构造机制。我们在这里证明，在情况下，$ν=(m-k,1^k)$与$1\le m< n$的平等的双方可以建立相同的方法中使用的\cite{GHRY}。虽然这项工作正在进行中，我们了解到，罗兹和Shimozono以前也建造了这样一个“组合的一面”。最近，Jim Haglund能够证明他们的猜想来自于\cite{GHRY}的结果。我们在这里表明，适当修改的Haglund参数证明，多项式$Δ_{s_ν}e_n$以及Rhoades-Shimozono的“组合侧”有一个plethystic评价钩舒尔函数扩展。
On combinatorial invariance of parabolic Kazhdan-Lusztig polynomials
本文证明 Lusztig-Dyer 的 Kazhdan-Lusztig 多项式组合不变性猜想与 Marietti 的抛物型版本及作者新提出的精细抛物型版本等价，并据此在低 Bruhat 区间情形下重新证明 Marietti 猜想，同时证明抛物型猜想的若干新情形。
Some remarks on combinatorial wall-crossing
我们建立了一个新的简单的显式描述的组合壁交叉的理性Cherednik代数应用于平凡表示。这样我们就恢复了P.Dimakis和G.岳我们还提出了两个组合跨壁，这是使用计算机实验发现。
Combinatorial description of Lusztig $q$-weight multiplicity
本文提出类型C的Lusztig q-权重重数与Kirillov-Reshetikhin晶体之间的精确关系猜想，并定义其gl_n版本且猜想正性。
A short combinatorial proof of Di Francesco's conjecture on Aztec triangles
本文针对Di Francesco关于Aztec三角形domino平铺数的乘积公式猜想，利用完美匹配的分解定理和互补定理，给出了一个无需计算机的简短组合证明。
Partial sequencings and other combinatorial aspects of large groups
本文证明了关于对称序列和2序列的两个猜想在大群中成立，并探讨了双序列在阿贝尔群和非阿贝尔群中的扩展结果。
Some lower bounds in the B. and M. Shapiro conjecture for flag varieties
芽孢和M. Shapiro猜想指出，与有理正态曲线上实点相关的舒伯特微积分问题的所有解都应该是实的。对于格拉斯曼主义者来说，穆欣、塔拉索夫和瓦尔琴科证明了这一点。对于旗簇，Sottile找到了一个反例，并建议在一定的单调性条件下，所有的解都应该是实的。本文计算了B型方程某些特殊情形的实解个数的下界。和M.不满足Sottile单调性条件时旗簇的Shapiro猜想。
The Dirac--Goodman--Pollack Conjecture
在他们的一篇关于容许序列的开创性文章中，古德曼和波拉克给出了离散几何中三个问题的组合推广，其中之一是狄拉克猜想。根据这一猜想，平面上任何一组$n$非共线点都有一个点至少与由该集合确定的$c n$连接线相关联。容许排列序列的概念为分析这些问题提供了一个自然的组合设置。在这种形式主义中，所述的一般化如下：\emph{Any nontrivial allowable $n$-sequence $Σ$ has a local sequence $Λ_i$ whose half-period is at least $c n$.}这个猜想在这里用一个具体的界$c=1/845$来证实。讨论了几个相关问题。
A Combinatorial Formula for the Character of the Diagonal Coinvariants
设R_n是对称群S_n的对角作用的共不变量环。我们知道，R_n作为双分次S_n模的特征标可以用Frobenius特征映射表示为\nabla e_n，其中e_n是n阶初等对称函数，\nabla是Macdonald多项式理论中的一个算子.我们猜想了\nabla e_n的一个组合公式，并证明了它有许多令人满意的性质支持我们的猜想.特别地，我们证明了我们的公式是一个对称函数（这是不明显的），它是舒尔积极的。这些结果利用了Lascoux、Leclerc和Thibon的带状表母函数理论。我们还证明了关于\nabla e_n的各种较早的证明和定理是我们猜想的特例。最后，我们将我们关于\nabla e_n的理论和一些支持它们的结果推广到更高次幂的\nabla^m e_n。
Shannon's problem on the monotonicity of entropy and a Conjecture of Tao
针对无挠阿贝尔群中有限支撑独立同分布随机变量和的香农熵单调性问题，通过推导得到熵差的下界公式，证明了陶哲轩2010年提出的相关猜想。
A refinement of the Shuffle Conjecture with cars of two sizes and $t=1/q$
Haglund等人的原始Shuffle猜想具有对称函数侧和组合侧。对称函数侧可以简单地表示为$<\nabla e_n, h_μ>$，其中\nabla是Bergeron和Garsia的Macdonald多项式本征算子，并且$h_μ$是由n的$μ=(μ_1,μ_2,...,μ_k)$分区索引的齐次基。组合侧q，t-列举了一系列停车函数，其读取字是k个连续段1，2，3，.，n的相应长度$μ_1,μ_2,...,μ_k$。可以表明，对于t=1/q，对称函数侧简化为q-二项式系数与q的幂的乘积。这种减少表明了一个令人惊讶的组合改进的一般洗牌猜想。在这里，我们证明了k=2和t=1/q的这种改进。由此产生的公式给出了一个q-模拟的研究纳拉亚纳数。
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