香农关于熵单调性的问题与陶哲轩的一个猜想

中文摘要 AI 辅助

设$X_1,X_2,\boldsymbol{\text{…}}$为无挠阿贝尔群中有限支撑的独立同分布随机变量，记$S_k=X_1+\boldsymbol{\text{…}}+X_k$，$H(S_k)$为$S_k$的香农熵（对所有$k\boldsymbol{\text{≥}}1$）。我们证明，对每个固定的$n\boldsymbol{\text{≥}}1$，$H(S_{n+1})-H(S_n)\boldsymbol{\text{≥}}\frac12\boldsymbol{\text{log}}\frac{n+1}{n}-o_{H(X_1)\to\boldsymbol{\text{∞}}}(1)$，该式在环境群与输入分布上一致成立，从而证明了陶哲轩2010年提出的猜想[29]。

英文摘要

Let $X_1,X_2,\ldots$ be i.i.d. finitely supported random variables in a torsion-free abelian group, and write $S_k=X_1+\cdots+X_k$, and $H(S_k)$ is the Shannon entropy $S_k$, for all $k \ge 1$. We prove that, for every fixed $n\geq1$, \[ H(S_{n+1})-H(S_n) \geq \frac12\log\frac{n+1}{n} -o_{H(X_1)\to\infty}(1), \] uniformly over the ambient group and the input law. This proves a conjecture of Tao [29] in 2010.

发表机构

• Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS)（上海数学与交叉学科研究院）
• Research Institute of Intelligent Complex Systems, Fudan University（复旦大学智能复杂系统研究院）

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补充信息

备注

62 pages