Homology of configuration spaces of hard squares in a rectangle
本文推广“15 Puzzle”，研究矩形中硬方块有序构型空间的拓扑，通过构建同伦等价的立方体胞腔复形，利用离散Morse理论证明同调消没定理，并给出非平凡圈显式族与参数插值方法。
2022-01-11 math.AT math.CO
Projective Rectangles: A New Kind of Incidence Structure
本文提出并系统研究了投影矩形这一新型关联结构，涵盖其基本性质、构造方法及部分德萨格定理，为后续调和共轭与图论研究奠定基础。
2024-07-15 math.CO
Jordan curves inscribe a positive measure of rectangles
Boston College（波士顿学院）；Durham University（杜伦大学）
研究Jordan曲线内嵌矩形的性质，证明存在测度至少为A/R²的集合，使得其中任一角度θ对应矩形对角线交角。
2026-04-18 math.CO math.GT math.SG
Colouring bottomless rectangles and arborescences
我们研究与无底矩形着色有关的问题。我们的一个主要结果表明，对于任何正整数$m, k$，有没有半在线算法，可以$k$颜色的无底矩形与不相交的边界在其顶边的递增顺序，使任何$m$倍覆盖点覆盖至少有两种颜色。令人惊讶的是，这是一个更强的结果为树状着色的必然结果。任何半在线着色算法，颜色的树形图在叶到根的顺序与有限数量的颜色产生任意长的单色路径。这是补充的最佳上界给出了简单的在线着色算法从其他方向。我们的其他主要结果研究配置的无底矩形，试图改善\textit{polychromatic $k$-colouring number}，$m_k^*$。我们表明，对于许多家庭的无底矩形，如单位宽度的无底矩形，$m_k^*$是线性的$k$。我们还提出了一个改进的下界一般家庭：$m_k^* \geq 2k-1$。
2020-09-07 math.CO
Permutations that separate close elements, and rectangle packings in the torus
本文研究将圆上相近元素映射到相距足够远元素的 $(s,k)$-无冲突排列，并将其等价于环面矩形装填，最终确定所有参数下最大阈值 $σ(n,k)$。
2023-06-06 math.CO
A Note on the Probability of Rectangles for Correlated Binary Strings
考虑两个$n$独立且同分布的公平硬币投掷序列$X=(X_1,\ldots,X_n)$和$Y=(Y_1,\ldots,Y_n)$，它们对于每个$j$是$ρ$相关的，即$\mathbb{P}[X_j=Y_j] = {1+ρ\over 2}$。我们研究的问题有多大（小）的概率$\mathbb{P}[X \in A, Y\in B]$可以在一个给定的基数的所有集合$A,B\subset\{0,1\}^n$。对于集合$|A|,|B| = Θ(2^n)$，众所周知，最大（最小）概率近似由同心（反同心）汉明球获得，这可以通过超压缩不等式（反向超压缩性）来证明。这里我们考虑$|A|,|B| = 2^{Θ(n)}$的情况。通过应用Polyanskiy-Samorodnitsky（J. Functional Analysis，2019）的超压缩不等式的最新扩展，我们证明了相同大小的Hamming球在$ρ\to 1$的状态下近似最大化$\mathbb{P}[X \in A, Y\in B]$。我们还证明了一个类似的紧下界，即表明，$ρ\to 0$的对相反的汉明球近似最小化概率$\mathbb{P}[X \in A, Y\in B]$。
2020-08-18 cs.IT math.CO math.IT
Mutually orthogonal frequency rectangles
FR $(m,n;q)$类型的频率矩形是一个$m \times n$矩阵，使得来自一组大小$q$的每个符号在每一行中出现$n/q$次数，在每一列中出现$m/q$次数。相同类型的两个频率矩形被称为正交的，如果在叠加时，每个可能的有序符号对出现相同的次数。其中每对正交的一组$k$频率矩形称为一组相互正交的频率矩形，用$k$-MOFR $(m,n;q)$表示。我们证明了一个$k$-MOFR $(2,2n;2)$和一个正交表OA $(2n,k,2,2)$是等价的。我们还表明，一个OA $(mn,k,2,2)$意味着存在一个$k$ -MOFR $(2m,2n;2)$。我们构造$(4a-2)$ -MOFR $(4,2a;2)$假设存在的阿达玛矩阵的顺序$4a$。一个$k$ -MOFR $(m,n;q)$被称为是$t$-正交的，如果每个子集的大小$t$，当叠加时，包含每个$q^t$可能有序$t$ -元组的条目正好$mn/q^t$倍。有限域$\mathbb{F}_q$上的向量集称为$t$独立的，如果每个大小为$t$的子集是线性独立的。我们描述了一种方法，以获得一组$t$ -正交$k$ -MOFR $(q^M, q^N, q)$对应于一组$t$ -独立的矢量在$(\mathbb{F}_q)^{M+N}$。我们还讨论了$t$ -独立向量的集合上界和下界，并给出了长度为$N \leq 16$的二进制向量…
2022-12-21 math.CO
Canonical Ramsey: triangles, rectangles and beyond
本文解决了关于所有三角形和矩形是否满足典范Ramsey性质的开放问题，通过旋转球形链式论证、结构化归约及摄动框架给出了证明。
2025-10-14 math.CO math.MG
A new approach to the results of Kövari, Sós, and Turán concerning rectangle-free subsets of the grid
对于正整数$m$和$n$，将$f(m,n)$定义为最小整数，使得具有$|A| \geq f(m,n)$的$m \times n$整数网格的任何子集$A$都包含矩形;也就是说，存在$x\in [m]$、$y \in [n]$和$d_{1},d_{2} \in \mathbb{Z}^{+}$，使得所有四个点$(x,y)$、$(x+d_{1},y)$、$(x,y+d_{2})$和$(x+d_{1},y+d_{2})$都包含在$A$中。在\cite{kovarisosturan}中，Kövari、Sós和Turán证明了$\dlim_{k \to \infty}\dfrac{f(k,k)}{k^{3/2}} = 1$。他们还表明，只要$p$是素数，$f(p^{2},p^{2}+p) = p^{2}(p+1)+1$。我们恢复他们的渐近结果和加强第二，提供清洁的证据，利用连接到投影平面，首先注意到门德尔松在\cite{mendelsohn87}。我们还提供了一个明确的下界$f(k,k)$，它适用于所有$k$。
2012-10-21 math.CO
Birational rowmotion on a rectangle over a noncommutative ring
本文证明非交换环上矩形偏序集双有理行移动的周期性，解决2014年猜想，并给出对径互反公式。
2023-09-28 math.CO math.RA
Subsets of $\mathbb{F}_p^n\times\mathbb{F}_p^n$ without L-shaped configurations
该研究针对素数$p\geq11$下不含特定L形四点构型的$\u211d_p^n\times\u211d_p^n$子集，证明其密度满足$m$重迭代对数倒数阶的上界，为二维四点构型的多维Szemerédi定理提供了首个合理界。
2023-12-12 math.CO math.NT
Polynomial factorization statistics and point configurations in $\mathbb{R}^3$
我们使用生成函数的多项式因式分解统计的期望值在$\mathbb{F}_q$的有序配置的上同调$\mathbb{R}^3$作为对称群的表示。我们的方法导致一个新的证明扭曲Grothendieck-Lefschetz公式squarefree多项式分解统计的教堂，Ellenberg和Farb。
2018-01-30 math.CO math.NT math.RT
A new perspective on the distance problem over prime fields
设$\mathbb{F}_p$是素域，${\mathcal E}$是$\mathbb{F}_p^2$中的集合。令$Δ({\mathcal E})=\{||x-y||: x,y \in {\mathcal E} \}$，为${\mathcal E}$的距离集。本文给出了距离集$Δ({\mathcal E})$与${\mathcal E}$中由点确定的矩形集之间的定量联系。因此，我们得到一个新的下界的大小$Δ({\mathcal E})$时，${\mathcal E}$不是太大，提高了以前的估计，由于隆德和Petridis和建立一个方法，应导致显着的进一步改进。
2019-05-10 math.CA math.CO
Stability of $\mathbb{Z}^2$ configurations in 3D
受分子结构稳定性问题的启发，我们研究了两体和三体贡献的构型能量点集的严格极小性。我们的主要重点是表征这些配置，不能变形，而不改变第一邻居或第一邻居对形成的角度之间的距离。这种构型称为{ \it角刚性}。我们在$\mathbb{Z}^2$中的有限配置类中解决了这个问题，将其视为平面三维点集。给出了避免角刚度的一个充分条件。这个条件也被证明是必要的，当限制到特定的子类的配置。
2021-10-05 math.CO
Configuration spaces of $\mathbb{C} \setminus k$
本文收集了平面$k$的位形空间的标准Poincaré多项式和虚Poincaré多项式的计算公式和方法，并对它们的结果进行了比较。
2018-01-12 math.AG math.CO
Product of simplices and sets of positive upper density in $\mathbb{R}^d$
我们建立了正上Banach密度的$\mathbb{R}^d$的任何子集必然包含$d\geq4$提供的任何固定的二维矩形的所有足够大的膨胀的等距副本。我们进一步提出了一个扩展的配置，是两个非退化单纯形的产品，具体地说，我们表明，如果$Δ_{k_1}$和$Δ_{k_2}$是两个固定的非退化单纯形的$k_1+1$和$k_2+1$点分别，那么任何子集的$\mathbb{R}^d$的正上Banach密度与$d\geq k_1+k_2+6$必然包含等距副本的所有足够大的膨胀的$Δ_{k_1}\timesΔ_{k_2}$。一个新的直接证明的事实，即任何子集的$\mathbb{R}^d$的正上Banach密度必然包含等距副本的所有足够大的膨胀的任何固定的非退化单形的$k+1$点提供$d\geq k+1$，一个结果，最初由于布尔甘，也提出。
2017-01-22 math.CA math.CO
Three-point configurations determined by subsets of $\mathbb{F}_q^2$ via the Elekes-Sharir paradigm
证明了如果$E \subset {\mathbb F}_q^2$，$q \equiv 3 \mod 4$的大小大于$Cq^{7/4}$，则$E$决定了${\mathbb F}_q^2$中所有同余类三角形的正比例.在本文中的方法是基于该方法的Erd \H OS距离问题在平面上由于Elekes和Sharir，其次是一个关联界的点和线在${\mathbb F}_q^3$。我们还建立了一个弱下界的相关问题的意义上说，任何子集$E$的${\mathbb F}_q^2$的大小小于$cq^{4/3}$肯定不包含一个积极的比例{ \bf翻译}类的三角形在平面上。这个结果是${\mathbb F}_q^d$中$n$ -单纯形的一个特例.最后，作为${\mathbb F}^d$中$d$ -单形的一个结果的特例，对特征不等于2的域$\mathbb F$，建立了$\mathbb{F}^2$中存在三角形的长度的一个充要条件.
2012-01-25 math.CA math.CO math.NT
Borel factors and embeddings of systems in subshifts
本文研究Polish空间上群$\mathbb Z^d$的自由Borel作用的组合学。建立在最近的工作，由Eschericha和Meyerovitch，我们介绍了性质$F$的$\mathbb Z^d$ -移位空间$X$下，有一个等变映射从任何自由Borel行动的自由部分的$X$。在进一步的熵假设下，我们证明了任何子移位$Y$（模周期点）可以Borel嵌入到$X$。几个例子满足性质$F$，包括但不限于，适当的$3$ -着色的空间，矩形的平铺（在自然算术条件下），$\mathbb Z^d$的适当的$2d$ -边着色和双无限哈密顿路径的空间。这回答了Seward和Gao-Jackson提出的问题，并恢复了Weilacher的一个结果和Gao-Jackson-Krohne-Seward宣布的一些结果。
2022-03-17 math.CO math.DS math.LO
On $k$-point configuration sets with nonempty interior
我们给出了薄集的$k$ -点配置集具有非空内部的条件，适用于各种配置。这是我们早期工作的延续\cite{GIT19}上的2点配置，扩展了一个定理的马蒂拉和Sjölin \cite{MS99}的距离集在欧氏空间。我们发现，对于一般类的$k$ -点配置，配置集的$k$ -元组的集合，$E_1,\,\dots,\, E_k$，具有非空的内部提供的Hausdorff维数的总和满足一个下限，规定通过优化$L^2$ -Sobolev估计相关的广义拉东变换在所有非平凡分区的$k$点成两个子集。我们用许多具体的例子来说明一般定理。三点构型的应用包括$\mathbb R^2$中三角形的面积或其外接圆的半径; $\mathbb R^3$中钉扎平行六面体的体积;以及$\mathbb R^2$和$\mathbb R^3$中钉扎距离的比值。4点配置的结果包括$\mathbb R$上的交比、由$\mathbb R^2$中的四边形确定的三角形面积对以及$\mathbb R^d$中差异的点积。
2021-04-26 math.CA math.CO
Fermat-type configurations of lines in $\mathbb P^3$ and the containment problem
本说明的目的是显示一系列新的例子齐次理想$I$在${\mathbb K}[x,y,z,w]$的包容$I^{(3)}\subset I^2$失败。这些理想在${\mathbb P}^3$中的某些线的排列上得到支持，它类似于${\mathbb P}^2$中的费马点的配置，见\cite{NagSec16}。迄今为止，所有显示安全壳$I^{(3)}\subseteq I^2$失效的实例都是在点或锥上支撑的。除了提供新的反例之外，这些理想本身似乎很有趣。
2017-09-08 math.AC math.AG math.CO
Spanning subspace configurations
该论文给出了复向量空间中张成子空间构型模空间的整上同调，推广了部分旗簇及张成线构型簇的上同调表示，后者与Delta猜想相关。
2024-05-25 math.CO
On the configurations of nine points on a cubic curve
本文根据共线关系研究了平面上九点的相互位置。特别是，我们考虑的情况下，其中九个点包含在一个不可约的三次曲线，我们给他们的分类。如果我们考虑两种不同的构型，当相关的入射结构不是同构的时，我们看到有131种构型可以在$\mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}$中实现，在$\mathbb{P}^2_K$中还有两种，其中$K =\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$（其中一种是由三次曲线的九个拐点给出的海塞构型）。最后，我们计算了这九个点的理想的可能的Hilbert函数。
2019-12-17 math.AG math.CO
Decidability and Periodicity of Low Complexity Tilings
本文研究二维网格$\mathbb{Z}^2$的着色（或平铺）问题。如果着色的所有$n\times m$子图案都在$P$中，则该着色被称为相对于$n\times m$矩形图案的集合$P$有效。如果存在$m,n\in\mathbb{N}$和$n\times m$矩形图案的集合$P$，使得$c$相对于$P$和$|P|\leq nm$有效，则着色$c$被称为相对于矩形具有低复杂度。自1997年提出以来，Nivat猜想一直是开放的，它指出这样的着色必然是周期性的。如果Nivat猜想成立，则所有关于$P$的有效着色使得$|P|\leq mn$必须是周期性的。我们证明了在有效的周期染色中至少存在一个周期染色。我们使用这个结果来调查平铺问题，也被称为多米诺骨牌问题，这是众所周知的，在其充分的一般性是不可判定的。然而，我们表明，它是可判定的低复杂性设置。然后，我们使用我们的结果表明，Nivat的猜想成立的一致递归配置。这些结果也可以推广到其它凸形代替矩形。在此之后，我们证明了$nm$界是乘法最优的多米诺骨牌问题的可判定性，因为对于所有的$\varepsilon>0$，它是不可判定的，以确定是否存在一个有效的着色为一个给定的$m,n\in \mathbb{N}$和一组矩形模式$P$的大小$n\times m$，使$|P|\leq (1+\varepsilon)nm$。我们证明了一个稍微好一点的情况下，…
2022-06-03 cs.DM math.CO math.DS
Configuration sets with nonempty interior
Steinhaus的一个定理指出，如果$E\subset \mathbb R^d$有正的Lebesgue测度，则差集$E-E$包含$0$的邻域。类似地，如果$E$只有Hausdorff维数$\dim_{\mathcal H}(E)>(d+1)/2$，Mattila和Sjölin的结果表明距离集$Δ(E)\subset\mathbb R$包含一个开区间。在这项工作中，我们研究这样的结果从一个一般的观点，取代$E-E$或$Δ(E)$更一般的$Φ\,$ -配置的一类$Φ:\mathbb R^d\times\mathbb R^d\to\mathbb R^k$，并表明，在适当的下界$\dim_{\mathcal H}(E)$和正则性假设的家庭广义Radon变换与$Φ$，它遵循的$E$的$Φ$ -配置的集合$Δ_Φ(E)$在$\mathbb R^k$非空内部。进一步的扩展适用于$Φ\,$ -由两个集合$E$和$F$在可能不同维度的空间中生成的配置，并且在$\dim_{\mathcal H}(E)+\dim_{\mathcal H}(F)$上具有合适的下界。
2019-09-19 math.CA math.CO
An Algebraic Approach to Periodicity and Complexity of Delone Sets
Department of Mathematics and Statistics, University of Turku（图尔库大学数学与统计系）
本文通过代数方法研究Delone集的复杂性与周期性，推广了零化子与周期化子概念，并证明了低复杂度配置及Meyer集存在非平凡零化子，同时给出了强制周期性的条件。
2026-10-20 cs.DM math.CO math.DS
Artin-Schreier geproci configurations in projective spaces of arbitrary dimension
Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione e Scienze Matematiche, Università di Siena（锡耶纳大学）；Department of Mathematics, University of the National Education Commission（国家教育委员会大学）；Dipartimento di Ingegneria, Università degli Studi di Palermo（巴勒莫大学）；Department of Mathematics, University of Nebraska–Lincoln（内布拉斯加大学林肯分校）；Department of Mathematics, University of Notre Dame（圣母大学）
研究人员引入𝔽_N-Artin-Schreier构型，刻画ℙ³中该构型为(q,N)-geproci的条件（q≤N），并通过提升构造得到任意n≥3时ℙⁿ中的geproci集。
2026-09-04 math.AC math.AG math.CO
