Packing and coloring r-bounded axis-parallel rectangles
设$\mathcal{R}$是平面上的平行轴矩形族。横向数$τ(\mathcal{R})$是穿透所有矩形所需的最小点数。独立数$ν(\mathcal{R})$是成对不相交矩形的最大数目。给定一个正实数$r$，我们说$\mathcal{R}$是r-有界族，如果对$\mathcal{R}$中的任何矩形，长边与短边的长宽比至多为$r$。Gyárfás和Lehel问是否有可能用独立数$ν(\mathcal{R})$的线性函数来约束横截数$τ(\mathcal{R})$。Ahlswede和Karapetyan对$r$ -有界族的特殊情况给出了肯定的答案，但没有提供证据。Chudnovsky等人证实了证明$τ\leq (14 + 2r^2) ν$界的结果。本文给出了$τ\leq 2(r+1)(ν-1) + 1$的一个简单证明，改进了已有的结果。作为这种新方法的结果，我们还推出了一个常数因子界的比例$\fracχω$的情况下，$r$-有界的家庭。
2021-01-08 math.CO
On the union complexity of families of axis-parallel rectangles with a low packing number
设R是一族n轴平行的矩形，其堆积数为p-1，这意味着在任意p个矩形中，有两个矩形具有非空交集。我们证明了R的并复杂度最多为O（n+p^2），并且R的（<=k）级复杂度最多为O（kn+k^2p^2）。两个上界都是紧的。
2017-02-02 cs.CG math.CO
A lower bound for online rectangle packing
我们稍微提高了已知的下限的渐近竞争比在线装箱矩形。我们给出了一个完整的证明新的下限，其值是1.91以上。
2018-11-23 cs.DM cs.DS math.CO
Corner Occupying Theorem for the Two-dimensional Integral Rectangle Packing Problem
本文证明了二维的【形】整数矩形装箱问题的一个角占据定理，即如果可以将n个任意给定的整数矩形正交无重叠地放入一个整数矩形容器中，则可以通过将一个整数矩形依次放入容器的左下角来实现可行装箱.基于这个定理，我们可以发展出求解整数矩形装箱问题的有效启发式算法。事实上，作为一个模糊的猜想，这一定理长期以来被许多人以不同的表象含蓄地提及。
2011-11-16 cs.DM math.CO math.OC
Packing Ferrers Shapes
讨论一个问题的Wilf，我们表明，如果$n$是足够大的，那么不能覆盖一个$n \times p(n)$矩形使用每个$p(n)$不同的费勒斯形状的大小$n$正好一次。此外，可以被包装在这样的矩形中的成对不同的、不重叠的费勒斯形状的最大数量仅为$Θ(p(n)/ \log n).$
1998-12-11 math.CO
Packing $1.35\cdot 10^{11}$ rectangles into a unit square
已知$\sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i (i+1)} = 1$ .在1968年，Meir和Moser要求找到最小的$ε$，使得对于$i = 1, 2, \ldots$，所有大小为$1/i \times 1/(i + 1)$的矩形可以被包装成单位正方形或面积为$1 + ε$的矩形。在本文中，我们表明，我们可以包装的第一个$1.35\cdot10^{11}$矩形到单位正方形，并给出了估计$ε$从这种包装。
2022-11-17 math.CO math.MG math.OC
Perfect packing of squares
已知$\sum\limits_{i =1}^\infty {1/ i^2}={π^2/6}$ . Meir和Moser问什么是最小的$ε$，使得所有边长为$1$、$1/2$、$1/3$、$\ldots$的正方形可以被包装成面积为${π^2/6}+ε$的矩形。填充到一个矩形的右面积称为完美填充。Chalcraft包装长度$1$，$2^{-t}$，$3^{-t}$，$\ldots$的正方形，他找到了$1/2<t\le3/5$的完美包装。我们将证明基于Chalcraft的算法，有完美的包装，如果$1/2<t\le2/3$。此外，我们还证明了在$\log_32\le t\le2/3$范围内所有$t$都有一个完美的包装。
2022-12-08 math.CO
PackIt! Gamified Rectangle Packing
本研究提出并分析了回合制矩形装箱游戏PackIt!，推导了完美装箱的存在条件，提出含新型SAT编码技术的自动推理方法可求解n≤50的完美对局，并证明了该问题的NP-hard性。
2024-05-15 cs.DS cs.GT math.CO
Packing Tails of Reciprocal Rectangles into Squares of Equal Area
该论文证明了Meir-Moser矩形打包问题的尾部版本：存在阈值m0，使得从m0开始的倒数矩形族可平移旋转装入边长为m^{-1/2}的正方形，面积恰好相等，并给出六步构造证明，经Lean 4验证。
2026-09-25 cs.DM math.CO
A 13/6-Approximation for Strip Packing via the Bottom-Left Algorithm
Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Bremen（数学与计算机科学系，不来梅大学）
本文提出了一种新的矩形排序方式，利用底左算法在 strip 包装问题中实现了 13/6 的近似比。
2025-12-18 cs.DM cs.DS math.CO
Permutations that separate close elements, and rectangle packings in the torus
本文研究将圆上相近元素映射到相距足够远元素的 $(s,k)$-无冲突排列，并将其等价于环面矩形装填，最终确定所有参数下最大阈值 $σ(n,k)$。
2023-06-06 math.CO
Construction of Minimal Bracketing Covers for Rectangles
我们构造了二维单位立方体中矩形（锚定）集合系统的显式$δ$ -括号覆盖。更确切地说，这些$δ$包围覆盖的基数由$δ^{-2} + o(δ^{-2})$从上方界定。本文给出了$d$维锚定盒的任意$δ$ -包围覆盖的基数的一个下界. Gnewuch，Bracketing numbers for axis-parallel boxes and applications to geometric discrimination，J. Complexity 24（2008）154-172]暗示了维度$d=2$中的下界$δ^{-2}+O(δ^{-1})$，表明我们构造的覆盖是（基本上）最优的。我们还研究了矩形集合系统的其他$δ$括号覆盖，推导出其基数渐近展开中最重要项$δ^{-2}$的系数，并计算其显式值的基数$δ$。
2008-07-28 math.CO math.ST stat.TH
Compactness Theorems for Geometric Packings
莫泽问，尺寸为1 x 1/2，1/2 x 1/3，1/3 x 1/4，...，总面积等于1的正方形的集合是否可以无重叠地装入单位正方形，边长为1/2，1/3，1/4，.可以无重叠地组合成一个面积为pi ^2/6-1的矩形。人们已经分别对将这些集合包装成边长为1+ π的正方形和面积为π ^2/6-1+ π的矩形进行了计算研究，并且可以考虑这样一个显然较弱的问题：对于每个正数π，这种包装是否可能。在本文中，我们建立了一个一般定理序列的几何包装，这意味着特别是“为每一个ε”的版本，这两个问题实际上是等价的原始平铺问题。
2000-05-05 math.CO math.GN math.MG
Clumsy Packing of Polyominoes in Finite Space
笨拙的包装被认为是一种低效的包装，这意味着我们找到了我们可以包装到一个空间中的最小数量的对象，这样我们就不能包装更多的对象。因此，我们有效地将对象间隔开尽可能远，以便我们不能适应另一个对象。本文考虑了有限空间中必须考虑边界条件的四角多项式的笨拙堆积。我们检查矩形，$L$，$T$，加上各种大小的多角形。
2022-03-13 math.CO math.GN
The Bottom-Left Algorithm for the Strip Packing Problem
本文研究条形装箱问题的左下角算法，将其近似比下界从5/4改进到4/3-ε，并证明该下界对正方形也成立，同时给出最坏顺序下的常数上界和10/3-ε下界，还分析了基于置换的局部搜索算法的近似性能。
2024-02-26 cs.DM cs.DS math.CO
A 64-Rectangle Counterexample to Wegner's Conjecture and LP Gaps up to $5/2$
Indian Statistical Institute, Kolkata（印度统计学院）
本文给出更简单可手动检验的64矩形反例，通过八矩形小装置构建无三角形族，定义矩形族$P_r$，在$P_3$处得到有限间隙$73/32$，改进之前基准，还构造递归分数解和匹配穿透集，表明每个有理数$t\in[1,5/2)$都作为间隙和填充 - 穿透比出现。
2026-07-15 cs.DM math.CO
Slack-Pack algorithm for Meir-Moser packing problem
针对 Meir-Moser 矩形铺砌问题，本文提出允许零件堆间留隙的 Slack-Pack 算法，以论证 Tao 关于大索引矩形可铺满等面积正方形的结果可推广至 t=1。
2025-07-23 math.CO
Revisiting Chazelle's Implementation of the Bottom-Left Heuristic: A Corrected and Rigorous Analysis
本文修正并严格化Chazelle于1983年提出的Bottom-Left启发式实现，指出原运行时间分析在特定情况下会退化为Ω(n^3)，并通过补充形式化细节和修复缺陷，最终确认该实现具有O(n^2)时间复杂度和O(n)空间复杂度。
2025-11-10 cs.CG cs.DM cs.DS
On Shallow Packings and Tusnády's Problem
Tusnády问题要求限定$\mathbb{R}^d$中点与平行轴盒的差异。Tusnády问题的数学界使用了Matoušek对点和轴平行盒系统的规范分解，以及其他技术，如部分着色和/或基于随机行走的方法。我们使用的概念，\emph{shallow cell complexity}和\emph{shallow packing lemma}，连同链接技术，以获得一个改进的分解的集合系统。再加上算法技术的Bansal和Garg的差异最小化，我们也稍微延长，这产生了改进的算法界限Tusnády的问题。对于$d\geq 5$，我们的界限与Matoušek，Nikolov和Talwar [IMRN，2020]给出的$Ω(\log^{d-1}n)$的下限相匹配-解决了Tusnády的问题，直到常数因子。对于$d=2,3,4$，我们分别得到了$O(\log^{7/4}n)$、$O(\log^{5/2}n)$和$O(\log^{13/4}n)$的改进算法界，它们匹配或改进了Nikolov关于$d\geq 3$的非构造性界.此外，我们还给出了改进的界限的差异集系统的点和多面体在$\mathbb{R}^d$通过一个固定的超平面集的平移产生。作为应用，我们还得到了$\mathbb{R}^d$中锚定框的几何差异相对于任意测度的界，与Lebesgue测度的上界相匹配，这改进了Aistleitner，Bilyk…
2022-02-10 cs.CG cs.DM math.CO
