Nagamochi 计分引理的反例与新的矩形装填界
A counterexample to Nagamochi's scoring lemma and a new rectangle packing bound
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中文总结 AI 辅助
本文构造了 Nagamochi 计分引理的反例，指出其矩形装填界证明不完整，但用条带度量独立证明了较弱界，恢复了 $s(k^2-1)=k$ 并给出优于面积界的下界。
中文摘要 AI 辅助
设 $s(N)$ 表示包含 $N$ 个单位正方形（可任意旋转且内部两两不相交）的最小正方形的边长。Nagamochi 在《Packing Unit Squares in a Rectangle》（2005）中陈述了一个矩形装填界，并由此推导出两个无限精确值族：对每个整数 $k \geq 2$，有 $s(k^2-1) = k$ 和 $s(k^2-2) = k$。我们构造了一族反例，这些反例局部于容器的角落，针对 Nagamochi 引理 1 中的计分断言。这些反例表明该矩形界的已发表证明是不完整的，但并不否定该界本身。随后，我们使用条带度量给出了一个较弱矩形界的独立证明。这恢复了每个整数 $k \geq 2$ 的 $s(k^2-1) = k$，并为 $s(N)$ 提供了一个显式下界，该下界对每个非平方整数 $N \geq 8$ 严格优于面积界。我们的论证并未确立 Nagamochi 的完整矩形界或恒等式 $s(k^2-2) = k$。
英文摘要
Let $s(N)$ denote the smallest side length of a square containing $N$ unit squares with arbitrary orientations and pairwise disjoint interiors. Nagamochi's Packing Unit Squares in a Rectangle (2005) states a rectangle packing bound from which he deduces two infinite families of exact values: $s(k^2-1) = k$ and $s(k^2-2) = k$ for every integer $k \geq 2$. We construct a family of counterexamples, local to a corner of the container, to the scoring assertion in Nagamochi's Lemma 1. These counterexamples show that the published proof of the rectangle bound is incomplete, but do not disprove the bound itself. We then give an independent proof of a weaker rectangle bound using a strip measure. This recovers $s(k^2-1) = k$ for every integer $k \geq 2$ and yields an explicit lower bound for $s(N)$ that improves strictly on the area bound for every nonsquare integer $N \geq 8$. Our argument does not establish Nagamochi's full rectangle bound or the identity $s(k^2-2) = k$.
发表机构
- Boğaziçi University（博阿齐奇大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
