Bounds on exponential sums over small multiplicative subgroups
Par Kurlberg
本文证明了有限域的乘法子群上的某些指数和存在显著的相消性，并对Bourgain和Chang的结论作了进一步的解释.
We show that there is significant cancellation in certain exponential sums over small multiplicative subgroups of finite fields, giving an exposition of the arguments by Bourgain and Chang.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Moments and equidistributions of multiplicative analogues of Kloosterman sums
我们考虑一族特征和作为Kloosterman和的乘法类似物。利用超Kloosterman和的Gauss和、Jacobi和及Deligne界，建立了当特征标遍历mod $p.$的所有非平凡乘法特征标时，上述特征标和的任意实（正）矩的渐近公式，并利用矩量法建立了反正弦律.这些时刻的评价也使我们能够获得渐近公式的时刻，这种字符和加权的特殊$L$ -值（在$1/2$和$1$）。
Exponential sums with multiplicative coefficients and applications
我们表明，如果一个指数和乘法系数是大的，那么相关的乘性函数是“自命不凡”。这导致了圆方法的应用，以及局部-全局原理的自然解释。
Large quadratic character sums with multiplicative coefficients
本文在广义黎曼假设下，研究了具有乘法系数的二次狄利克雷特征和的条件大值，并证明了若干Omega结果。
Weyl sums with multiplicative coefficients and joint equidistribution
该研究将Montgomery与Vaughan的带乘性系数指数和结果推广至Weyl和，得到多项式同余根与值的联合等分布结论及混合特征和新结果。
Multiplicative Energy of Shifted Subgroups and Bounds On Exponential Sums with Trinomials in Finite Fields
本文给出了素有限域子群中共线性三元组的一个新的界，并利用它给出了具有三项式的指数和的一些新的界。
Sums with multiplicative functions over a Beatty sequence
研究了非齐次Beatty序列上取值的乘性函数的求和问题。然后，我们应用我们的结果在一些特殊情况下，以获得渐近公式，如整数的数量在Beatty序列表示为一个总和的两个平方到一个给定的幅度。
Incomplete Kloosterman sums and multiplicative inverses in short intervals
研究了同余式xy=1（mod p）的可解性，其中p是素数，x，y被限制在适当的短区间内.我们的工作依赖于不完全Kloosterman和的中值定理。
Sums of random multiplicative functions over function fields with few irreducible factors
本文建立了函数域上随机Rademacher乘性函数部分和的极限分布的一个正态逼近，只要多项式的不可约因子个数足够小.这与Harper在整数上随机Rademacher乘性函数的工作类似。
Multiplicative dependence in the sumset of multiplicative groups
该研究针对有限生成且交集为有限群的代数数乘法群Γ、Δ，探讨其和集元素的乘法相关性，证明二元和的相关结论，并在abc猜想下对三元相关和分类。
Size of product of a number and its multiplicative inverse, Moments of L-functions and Exponential Sums
本文研究了一个数与其模为素数p的乘法逆乘积的平均大小，这与L函数的矩有关，并导出了某个三重指数和的一个奇异的渐近公式.
On Multiplicative Functions with Bounded Partial Sums
考虑一个在单位圆上取值的乘性函数f（n）。这个函数的部分和有界吗？我们证明，如果我们削弱乘法的概念，使f（pn）=f（p）f（n）的所有素数p在一些有限集P，那么答案是肯定的。我们还讨论了一个结果的布朗斯坦表明，功能修改字符在有限数量的地方。
Character sums of Division polynomials twisted by multiplicative functions
研究除法多项式与乘法函数结合的特征和估计，提出非平凡界。
Large values of character sums with multiplicative coefficients
本文研究了带乘性系数的Dirichlet字符和的大值，并在特定区域证明了一个Omega结果。
An elementary approach to character sums over multiplicative subgroups
设$p$为奇素数。使用I. M. Vinogradov的双线性估计，给出了特征和$$ \sum_{x\in H}χ(x+a),\qquad a\in\Bbb F_p^*, $$的非平凡估计的一种初等方法，其中$H<\Bbb F_p^*$是有限素域$\Bbb F_p$中的乘法子群.还提供了一些有趣的均值估计。
Quadratic character sums with multiplicative coefficients
本文针对带乘法系数的二次特征和$\sum_{n \le N}f(n)χ_d(n)$的极值问题，通过共振方法对适当范围的正数$N$建立了条件$Ω$-结果。
On Kloosterman sums with multiplicative coefficients
得到了\[ S_{q}(x;f)\,=\,\mathop{{\sum}'}\limits_{n\leqslant x}f(n)e_{q}(an^{*}+bn) \]型和的一些新的估计列.这里$q$是一个足够大的整数，$\sqrt{q}(\log{q})\!\ll\!x\leqslant q$，$a,b$是整数，$(a,q)=1$，$e_{q}(v) = e^{2πiv/q}$，$f(n)$是一个乘性函数，$nn^{*}\equiv 1 \pmod{q}$和素数意味着$(n,q)=1$。
Complex valued multiplicative functions with bounded partial sums
给出了一类部分和有界的乘性函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$.这里的新颖之处在于，我们的函数不需要具有以$1$为界的模。关键的特征是它们假装是常数函数$1$，并且对于某个素数$q$，假装是$\sum_{k=0}^\infty \frac{f(q^k)}{q^k}=0$。这些与其他条件相结合，保证这些函数是周期性的，并且在每个周期内的总和等于零。进一步，我们研究了乘性函数类$f=f_1\ast f_2$，其中每个$f_j$是乘法的，且部分和有界.我们证明了部分和$\sum_{n\leq x}f(n)$的一个Ω界和一个与经典Dirichlet除数问题中的误差项有关的上界.
Multiplicative functions commutable with sums of squares
令$k$为大于或等于$4$的整数。证明了如果乘性函数$f$对所有正整数$x_i$都满足\[ f(x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_k^2) = f(x_1)^2 + f(x_2)^2 + \dots + f(x_k)^2 \]，则$f$是恒等函数.
Large character sums with multiplicative coefficients
本文研究带乘法系数的狄利克雷特征和的大值，在特定区间内证明了新的 Omega 结果。
Multiplicative functions which are additive on sums of two nonzero squares
设$f$是一个乘法函数，它对正整数$a$、$b$、$c$和$d$满足\[ f(a^2+b^2+c^2+d^2) = f(a^2+b^2)+f(c^2+d^2) \]。我们证明了$f$是恒等函数，条件是$f(3)\,f(11) \ne 0$。否则，对除$n=3,9,11$以外的所有$n \ge 2$执行$f(n)=0$。
Multiplicative functions supported on the $k$-free integers with small partial sums
我们提供了在$k$自由整数上支持的乘性函数$f$的例子，使得在素数$f(p)=\pm 1$处，并且使得$f$到$x$的部分和是$o(x^{1/k})$ .此外，如果我们假设广义黎曼假设，那么我们可以改进指数$1/k$：有这样的例子，部分和$x$是$o(x^{1/(k+\frac{1}{2})+ε})$，对所有$ε>0$。这推广到$k$ -自由整数的结果Aymone，"A note on乘性函数similar the {M}öbius function '“，J. Number Theory，212（2020），pp. 113--121.
On Larcher's theorem concerning good lattice points and multiplicative subgroups modulo p
证明了模$p$的厚乘法子群中二维好格点的存在性。
Beyond the LSD method for the partial sums of multiplicative functions
Landau-Selberg-Delange（LSD）方法给出了素数平均为$α$的乘性函数$f$的部分和的一个渐近公式.在文献中，平均值通常取为具有很强误差项的$α$，从而得到具有很强误差项的部分和的渐近公式。在实践中，在素数值的平均值可能只知道一个相当弱的误差项，所以我们在这里探讨如何好的估计，这将意味着部分和$f$，开发新的技术来做到这一点。
Bilinear sums of Kloosterman sums, multiplicative congruences and average values of the divisor function over families of arithmetic progressions
本文从模$q$的约化剩余集和任意集上的平均得到了等差数列$n \equiv a \pmod q$在$a$上的除数函数函数$τ(n)$与$n \le x$之和的几个渐近公式.主要目标是通过对$a$进行少量的平均来获得$q \ge x^{2/3}$的非平凡结果。我们记得，对于$a$的个别值，我们目前的方法的极限是对于任意固定的$\varepsilon> 0$的$q \le x^{2/3-\varepsilon}$。我们的方法基于Blomer（2008）基于Voronoi求和公式的方法，我们将其与Kowalski，Michel和Sawin（2017）和Shparlinski（2017）的Kloosterman和的双线性和的一些最新结果相结合。我们还利用额外的应用程序的Voronoi求和公式后，扩大到Kloosterman和，这减少了问题估计的解决方案的数量乘性同余。
Alternating sums concerning multiplicative arithmetic functions
本文推导了交错和$\sum_{n\le x} (-1)^{n-1} f(n)$和$\sum_{n\le x} (-1)^{n-1} \frac1{f(n)}$的渐近公式，其中$f$是下列经典乘法算术函数之一：欧拉函数，Dedekind函数，除数和函数，除数函数，gcd和函数.我们还考虑这些函数的类似物，这是与酉和指数因子，以及其他特殊函数。我们的一些结果改进了Bordellès和Cloitre得到的误差项。我们提出了一些悬而未决的问题。
On the multiplicative pair correlations of sums of two squares
本文研究了两个平方和的乘积对称性，揭示了在不同缩放下从点测度到泊松行为的过渡过程。
Multiplicative Functions and a Taxonomy of Dirichlet Characters
证明了一种估计与狄利克雷字符编织的乘性函数的总和的方法，导致这样的总和是大的字符的分类。
New estimates for exponential sums over multiplicative subgroups and intervals in prime fields
设${\mathcal H}$是$\mathbb{F}_p^*$的阶为$H>p^{1/4}$的乘法子群.我们证明了$$ \max_{(a,p)=1}\left|\sum_{x\in {\mathcal H}} {\mathbf{\,e}}_p(ax)\right| \le H^{1-31/2880+o(1)}, $$，其中${\mathbf{\,e}}_p(z) = \exp(2 πi z/p)$，这改进了Bourgain和Garaev（2009）的结果。对于连续整数的短区间${\mathcal N}$，我们还得到了双指数和的新估计，其乘积为$nx$与$x \in {\mathcal H}$和$n \in {\mathcal N}$.
Sums of reciprocals of fractional parts and multiplicative Diophantine approximation
本文有两个相互关联的主要目标。首先我们研究和\[ S_N(α,γ):=\sum_{n=1}^N\frac{1}{n\|nα-γ\|}~~~\text{and}~~~ R_N(α,γ):=\sum_{n=1}^N\frac{1}{\|nα-γ\|}\,, \]其中$α$和$γ$是实参数，$\|\cdot\|$是到最近整数的距离。我们的定理改进了W. M. Schmidt和其他人，并且是（直到常数）最好的可能。与上述总和有关，我们还得到了\[ \{1\le n\le N:\|nα-γ\|<\varepsilon\} \, , \]的基数的上界和下界，对所有足够大的$N$和所有足够小的$\varepsilon$都有效。这第一股的工作是出于应用乘法丢番图逼近，这也被认为是。特别地，我们在$\mathbb{R}^2$中得到了纤维上乘法同时丢番图逼近的完全Khintchine型结果。分歧的结果是第一次，它代表了一种尝试，发展的概念，普遍性的乘法设置。
Weil Sums over Small Subgroups
我们得到了素数有限域的小乘法子群上的短Weil和的新的界，这些子群在经典Weil界已经平凡的范围内保持非平凡。我们使用的方法是一个混合的技术来自代数几何和加法组合。
Kloosterman Sums with Multiplicative Coefficients
设$f(n)$是满足$|f(n)|\leq 1$的乘法函数，$q$ $(\leq N^2)$是正整数，$a$是满足$(a,\,q)=1$的整数.本文证明了$$\sum_{\substack{n\leq N\\ (n,\,q)=1}}f(n)e({a\bar{n}\over q})\ll\sqrt{τ(q)\over q}N\log\log(6N)+q^{{1\over 4}+{ε\over 2}}N^{1\over 2}(\log(6N))^{1\over 2}+{N\over \sqrt{\log\log(6N)}},$$，其中$\bar{n}$是$n$的乘法逆，使得$\bar{n}n\equiv 1\,({\rm mod}\,q),\,e(x)=\exp(2πix),\,τ(q)$是除数函数。
Short Exponential Sums and Ternary Correlations of Multiplicative Functions
研究一般k-除数有界的乘法函数的三元相关性平均行为，结合圆法与加权短指数和界，利用L-函数积分矩界获得关键输入。
On some double sums with multiplicative characters
本文得到了具有小加法加倍的集合上具有乘法特征的二元和的一个新的上界。
On a question of Cochrane and Pinner concerning multiplicative subgroups
提出了T. Cochrane和C. Pinner，我们证明了对于任意ε>0，充分大的素数p和域Z/pZ的任意乘法子群R，p^ε < |R| < p^{2/3-ε}，|R + R|, |R - R|> |R| ^{3/2+δ}，其中δ>0仅取决于ε。
On the multiplicative Erdős discrepancy problem
早在20世纪30年代，Pál Erdés就证明：{ \em对于任何乘性函数$f:\mathbb{N}\to\{-1,1\}$，部分和$\sum_{n\leq x}f(n)$是无界的。考虑到这个猜想，本文考虑了满足$$\sum_{p\leq x}f(p)=c\cdot\frac{x}{\log x}(1+o(1)).$$的乘性函数$f$.证明了：如果$c>0$，则$f$的部分和是无界的;如果$c<0$，则$μf$的部分和是无界的.本文还讨论了这一结果的推广。
Multiplicative mimicry and improvements of the Polya-Vinogradov inequality
研究了系数完全乘法且属于复单位圆盘的指数和。我们的主要结果表明，这样的总和有实质性的取消，除非系数函数本质上是一个狄利克雷字符。作为应用，我们改进了目前奇阶特征和的界。在广义黎曼假设的条件下，得到了奇阶特征和的最佳可能界。
Additive decompositions of large multiplicative subgroups in finite fields
本文研究有限域乘法子群的加法不可分解性，证明大型子群不能非平凡表示为两项或三项集合和，并推广了素数模二次剩余的相关结论。
Average Multiplicative Order of Finitely Generated Subgroup of Rational Numbers Over Primes
给定一个由有理数$Γ$生成的乘法子群，在广义黎曼假设的条件下，给出了素数上的平均值的渐近公式，给出了约化群模$p$的阶的幂. Pomerance和Kurlberg在秩$1$的情况下考虑了这个问题。在$Γ$只包含正数的情况下，我们给出了所涉及的密度的欧拉积的显式表达式。最后我们用一些数值计算来作结论。
Mean values of multivariable multiplicative functions and applications to the average number of cyclic subgroups and multivariable averages associated with the LCM function
我们使用多个zeta函数证明，在适当的假设下，多变量乘性函数的平均值的精确渐近公式。作为应用，我们证明了群${\mathbb Z}_{m_1}\times\dots\times {\mathbb Z}_{m_n}$的循环子群的平均数和与LCM函数相关的多元平均数的一些性质。
Shifted Character Sums with Multiplicative Coefficients, II
设$f(n)$是一个乘法函数，其中$|f(n)|\leq 1, q$是一个素数，$a$是一个整数，其中$(a, q)=1, χ$是一个模$q$的非主Dirichlet特征标.设$\varepsilon$是一个足够小的正常数，$A$是一个大常数，$q^{\frac12+\varepsilon}\ll N\ll q^A$。本文证明了$$ \sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a)\ll N\frac{\log\log q}{\log q} $$和$$ \sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a_1)\cdotsχ(n+a_t)\ll N\frac{\log\log q}{\log q}, $$，其中$t\geq 2, a_1, \ldots, a_t$是模$q$的不同整数.
Sign changes of the partial sums of a random multiplicative function
本文给出了Rademacher随机乘性函数$f$的部分和$\sum_{n\leq x}f(n)$几乎必然无穷地变号为$x\to\infty$的简单证明。
Sums of multiplicative characters with additive convolutions
本文给出了具有小加法加倍的集合的特征函数的加法卷积的乘法特征标的二进制和三进制和的新估计。特别地，我们改进了M. C.昌证明使用Croot-Sisask几乎周期引理。
Logarithmic exponential sums with multiplicative coefficients
该论文针对1-有界乘法函数的对数指数和，证明了含最优常数的上界估计，解决了Granville与Lamzouri的两个猜想，提出双素数Ramaré分解恒等式作为核心新方法。
An Asymptotic Formula For Counting Subset Sums Over Subgroups Of Finite Fields
设F_q是q元的有限域。设H是F_q^* 的乘法子群。对于正整数k和元素b \in F_q，我们给出了H中和为b的k元子集个数的精确估计.
Reductions of subgroups of the multiplicative group
令$K$为数字字段，令$G\subset K^\times$为随机生成的子群。固定某个素数$\ell$，并考虑$K$的素数集$\mathfrak{p}$满足以下性质：$G$模$\mathfrak{p}$的约简是定义良好的，并且与$\ell$大小互质.我们给出了这个集合的密度的一个封闭形式的表达式。
On multiplicative functions with small partial sums
该研究聚焦解析数论中积性函数素数取值与平均值的反向关联，证明了除数有界且部分和小的积性函数，其素数平均取值可由对应Dirichlet级数在ℜ(s)=1上的零点虚部表示，推广了已有相关结果。
Multiple Exponential and Character Sums with Monomials
当变量在较短的区间上运行时，我们得到了具有单项式的多元指数和的新的界。此外，我们使用相同的方法来获得估计类似的和乘法字符，以前已知的方法不适用。特别是，在乘法字符模一个总理$p$，我们打破了$p^{1/4}$的范围内的个体变元的障碍。
Pointwise and correlation bounds on Dedekind sums over small subgroups
本文研究了模素数p且λ具有小乘法阶的Dedekind和的点态与平均界，在Mersenne素数无穷假设下达到最优范围，并利用该界分析了特征子群上L(1,χ)高阶矩与Dedekind和相关性的联系。
On balanced subgroups of the multiplicative group
称G=（Z/dZ）^* 的子群H是平衡的，如果H的每个陪集均匀分布在G的下半部分和上半部分之间，即，具有相同数量的元素，代表在（0，d/2）和（d/2，d）中。这个概念可以应用于椭圆曲线的秩。我们给出了子群H平衡的一个简单的特征标准则，并对一个固定的整数p，研究了使得p生成的（Z/dZ）^* 的循环子群平衡的整数d的分布.
Equidistribution of exponential sums indexed by a subgroup of fixed cardinality
我们考虑指数和的家庭指标的一个子群的可逆类模一些素数幂$q$。对于固定的$d$，我们限制到模$q$，使有一个唯一的可逆类模$q$的顺序$d$的子群。我们研究了这些家庭的和作为$q$增长的分布特性，我们建立等分布的结果，在某些地区的复平面，这是通过一个明确的Laurent多项式描述为一个多维环面的图像。在某些情况下，均匀分布的区域可以解释为内摆线所界定的区域，或者解释为这些区域的闵可夫斯基和。
On additive shifts of multiplicative subgroups
推广了S. V. Konyagin和D.R. Heath-Brown，我们证明了，特别地，对Z/pZ的任何乘法子群R和任何非零元素mu_1，…，mu_k以下内容成立|R \cap（R+mu_1）\cap. \cap（R+mu_k）|\ll_k |R| ^{1/2+alpha_k}，由1 \ll_k |R| \ll_k p^{1-β_k}提供，其中alpha_k、beta_k是正实数的一些序列，并且alpha_k、beta_k趋于零。此外，我们证明了对于任意子群R，|R| < p^{1/2}，有|R \pm R|> |R| ^{5/3} \log^{-1/2} |R|。
The structure of multiplicative functions with small partial sums
Landau-Selberg-Delange方法给出了一个乘积函数的部分和的渐近公式，该函数的素数平均值是一个固定的复数$v$。这个渐近的形状意味着，$f$可以得到非常小的平均只有当$v=0,-1,-2,\dots$。此外，如果是$v<0$，则与$f$相关联的狄利克雷级数必须在$s=1$处具有重数$-v$的零。在本文中，我们证明了一个相反的结果，该结果表明，如果$f$是一个由适当的约数函数限制的乘法函数，并且$f$具有非常小的部分和，则必须有有限个实数$γ_1$、$\dots$、$γ_m$，使得平均而言$f(p)\approx -p^{iγ_1}-\cdots-p^{-iγ_m}$。数字$γ_j$对应于与$f$相关联的狄利克雷级数的零的坐标，以多重性计数。这概括了第一作者，谁处理的情况下，$|f|\le 1$在以前的工作的结果。
A folklore conjecture on multiplicative exponential sums
本文证明了带乘法系数的指数和的一个民间猜想，还证明了两个相关猜想界，并指出特定条件下该界可能不成立。
Multiplicative Subgroups of $\mathbb{Z}_p^*$ that are Generalized Arithmetic Progressions
本文证明了$\mathbb{Z}_p^*$中乘法子群为广义算术进展的充要条件，并推广了Hanson和Petridis的结果。
Stratification for multiplicative character sums
我们证明了一个分层的结果，某些家庭的$n$维（完全代数）乘法字符和。我们考虑的字符和是在有理函数处评估的$r$乘法字符的乘积的和，并且通过允许每个$r$有理函数被其自身的“偏移”（即平移）替换来获得家族（具有$nr$参数）。对于非常一般的家庭，我们表明，地层的参数空间上的字符和具有最大的权重$n+j$具有余维至少$j\lfloor(r-1)/2(n-1)\rfloor$的$1\le j\le n-1$和$\lceil nr/2\rceil$的$j=n$。
Shifted Character Sums with Multiplicative Coefficients
设$f(n)$是一个满足$|f(n)|\leq 1$的乘法函数，$q$ $(\leq N^2)$是一个素数，$a$是一个具有$(a,\,q)=1$的整数，$χ$是一个模$q$的非主Dirichlet特征标.本文将证明$$ \sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a)\ll {N\over q^{1\over 4}}\log\log(6N)+q^{1\over 4}N^{1\over 2}\log(6N)+{N\over \sqrt{\log\log(6N)}}. $$我们还将证明\begin{align*} &\sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a_1)\cdotsχ(n+a_t)\ll {N\over q^{1\over 4}}\log\log(6N)\\ &\quad+q^{1\over 4}N^{1\over 2}\log(6N)+{N\over \sqrt{\log\log(6N)}}, \end{align*}其中$t\geq 2$，$a_1,\,\cdots,\,a_t$是模$q$的两两不同的整数.
$p$-adic estimates for multiplicative character sums
这篇文章是第一作者在“有限域上的指数和及其应用”会议（ETH，苏黎世，2010年11月）上演讲的扩展版本。本文给出了光滑射影簇上乘法特征和的阿基米德估计和$p$ -adic估计.我们还回顾了J. Dollarhide的一些结果，这些结果构成了这些理论的基础。应用他的结果，我们证明了当光滑射影簇是${\mathbb P}^n$自身时的一个定理.
Matrix Representation for Multiplicative Nested Sums
本文研究了乘性套和，它是调和和的推广，并给出了一个通过指数矩阵相乘的计算方法。在特殊情况下，将指数矩阵解释为有限个站点上随机游动的随机转移阵。乘性套和之间的关系是多重zeta函数与调和级数之间关系的推广，它可以很容易地由指数矩阵的恒等式导出.组合恒等式及其推广也可以从这个计算中得到。
Multiplicative structure of shifted multiplicative subgroups and its applications to Diophantine tuples
研究移位乘法子群的乘法结构及其与加性组合学和丢番图方程理论的联系，提出新的结果，包括改进的上界和对Sárközy猜想的进展。
Equations and character sums with matrix powers, Kloosterman sums over small subgroups and quantum ergodicity
我们得到了在有限域$\mathbb F_q$上具有固定$n\times n$矩阵$A$的方程$$ A^{x_1} + \ldots + A^{x_ν} = A^{x_{ν+1}} + \ldots + A^{x_{2ν}}, \quad 1 \le x_1, \ldots,x_{2ν} \le τ, $$的解的个数的一个非平凡界，该域由乘法阶$τ$的$q$元素组成.我们给出了我们的结果的应用，以获得一个新的界的加性特征和矩阵指数函数，这是非平凡的平方根阈值之外。对于$n=2$，Kurlberg和Rudnick（2001）（对于$ν=2$）和Bourgain（2005）（对于大的$ν$）在研究剩余环上线性映射的量子遍历性时考虑了这个方程。在这里，我们使用一种新的方法来改善他们的结果。我们还得到了一个界限Kloosterman和小的子群，大小低于平方根阈值。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。