乘法群和集的乘法相关性
Multiplicative dependence in the sumset of multiplicative groups
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
该研究针对有限生成且交集为有限群的代数数乘法群Γ、Δ，探讨其和集元素的乘法相关性，证明二元和的相关结论，并在abc猜想下对三元相关和分类。
中文摘要 AI 辅助
设Γ和Δ是有限生成的代数数乘法群，满足Γ∩Δ为有限群。我们证明，除有限多个例外情况外，非零和x₁+y₁与x₂+y₂（其中x₁,x₂∈Γ，y₁,y₂∈Δ）具有乘法相关性，当且仅当x₁/x₂=y₁/y₂是单位根。对于m≥3，我们讨论m个具有乘法相关性的和x₁+y₁,…,xₘ+yₘ（x₁,…,xₘ∈Γ，y₁,…,yₘ∈Δ）的可能形态；对于m=3，在假设abc猜想成立的前提下，我们对这类和进行了分类，同样除有限多个例外情况外。
英文摘要
Let $Γ$ and $Δ$ be finitely generated multiplicative groups of algebraic numbers such that $Γ\capΔ$ is a finite group. We show that, up to finitely many exceptions, non-zero sums $x_1+y_1$ and $x_2+y_2$, with $x_1, x_2\in Γ$ and $y_1,y_2\in Δ$, are multiplicatively dependent only if $x_1/x_2=y_1/y_2$ is a root of unity. For $m\ge 3$, we discuss possible shapes of $m$ multiplicatively dependent sums $x_1+y_1, \ \ldots, \ x_m+y_m$ with $x_1, \ldots, x_m \in Γ$ and $y_1, \ldots, y_m \in Δ$. For $m=3$ we classify such sums, up to finitely many exceptions, assuming the $abc$-conjecture.
