Improved Guarantees for Vertex Sparsification in Planar Graphs
图稀疏化的目的是将大型图压缩成较小的图，同时保留输入图的重要特征。在这项工作中，我们研究顶点稀疏，即，稀疏器，其目标是减少顶点的数量。（1）给定有向图$G=(V,E)$和具有$|K| = k$的终端顶点$K \subset V$，$G$的（顶点）可达性稀疏因子是有向图$H=(V_H,E_H)$，$K \subset V_H$，它保持终端对之间的所有可达性信息。在这项工作中，我们介绍了可达性保留未成年人（RPM）的概念，即，我们要求$H$是$G$的副修课程。我们证明了任何有向图$G$都允许一个大小为$O(k^3)$的RPM $H$，并且如果$G$是平面的，则$H$的大小提高到$O(k^{2} \log k)$。我们补充我们的上限显示，存在一个无限的家庭的网格，使任何RPM必须有$Ω(k^{2})$顶点。(2)给定一个带权无向图$G=(V,E)$和一个带$|K|=k$的端点$K$，$G$的一个精确（点）割稀疏子是一个带$K \subset V_H$的图$H$，它保持了分离$K$的任何二分划的最小割的值.我们表明，平面图与所有的$k$终端躺在同一个脸上承认确切削减稀疏的大小$O(k^{2})$，也是平面的。我们的结果扩展到流和距离稀疏。它提高了以前最著名的界的$O(k^22^{2k})$切割和流稀疏的指数因子，并匹配这一类图的$Ω(k^2)$下界。
2017-12-27 cs.DS
Vertex Sparsifiers and Abstract Rounding Algorithms
在\cite{M}中引入了顶点稀疏化的概念，其中示出了对于任何图$G = (V, E)$和$k$终端$K \subset V$的子集，存在多项式时间算法来仅在终端集上构造图$H = (K, E_H)$，使得同时对于所有切割$(A, K-A)$，将$A$与$K -A$分开的$G$中的最小切割值与$H$中的相应切割值大致相同。我们给出了第一个超常数下界如何以及切割稀疏$H$可以同时近似所有最小切割$G$。我们证明了一个下界的$Ω(\log^{1/4} k)$ -这是多项式相关的$O(\log k/\log \log k)$已知的上界。这是对\cite{LM}中给出的$Ω(\log \log k)$界的指数级改进，该界实际上是为了更强的顶点稀疏化保证，并且不适用于切割稀疏器。尽管有这个负面的结果，我们表明，对于许多自然问题，我们不需要招致我们的减少乘法处罚。得到了最优的$O(\log k)$竞争Steiner不经意路由方案，推广了\cite{R}中的结果.我们还表明，对于广泛的图包装问题（其中包括最大并发流，最大多流和组播路由，除其他外，作为一个特殊情况），线性规划的完整性差距总是在最多$O(\log k)$倍的完整性差距限制树。这一结果有助于解释$O(\log k)$对此类问题的保证的普遍性。最后，我们使用我们的想法，给出一个有效的顶点稀疏匹配当前最好的存在结果的构造-这是以前开放的。…
2010-06-23 cs.DS
Cut-Preserving Vertex Sparsifiers for Planar and Quasi-bipartite Graphs
本文研究高质量保割顶点稀疏器，证明平面图存在多项式规模的(1+ε)稀疏器，拟二分图存在单指数规模的精确稀疏器，并指出收缩方法不一定最优。
2024-10-17 cs.DS
Cactus Representations in Polylogarithmic Max-flow via Maximal Isolating Mincuts
本文提出最大隔离最小割技术，通过多对数次最大流调用构造 Steiner cactus 和超图 cactus，首次实现两个问题的近线性时间算法，并加速超图最小割维护与连通性增强算法。
2023-11-17 cs.DS
Fast Dynamic Cuts, Distances and Effective Resistances via Vertex Sparsifiers
我们提出了一个通用的框架，设计有效的动态近似算法优化无向图。特别是，我们开发了一种技术，任何问题，承认一定的概念顶点稀疏，给出数据结构，保持近似的解决方案，在次线性更新和查询时间。我们说明了我们的范例的适用性，以下列问题。(1)一个完全动态的算法，近似所有对最大流量/最小切割到一个接近对数的因子在$\tilde{O}(n^{2/3})$摊销时间对一个不经意的对手，和$\tilde{O}(m^{3/4})$时间对自适应对手。(2)一种增量数据结构，它以$n^{o(1)}$时间为单位维护$O(1)$ -近似最短路径，以$\tilde{O}(n^{2/3+o(1)})$分摊时间为单位维护全动态近似所有对最短路径和转运。(3)一种全动态算法，可将所有对的有效电阻近似为$\tilde{O}(n^{2/3+o(1)} ε^{-O(1)})$中的$(1+ε)$因子，每个操作的分摊更新时间。结果（1）背后的关键工具是Madry [FOCS' 10]算法构造的动态维护，它将图划分为更简单的图结构（称为j树）的集合，并近似捕获图的割流和度量结构。（2）的$O(1)$近似保证是通过[Thorup-Zwick JACM '05]调整距离预言。结果（3）是通过以分层方式调用[Durfee et al. STOC `19]的基于随机游走的谱顶点稀疏器，同时仔细跟踪分层中的级别之间的追索权而获得的。
2020-05-05 cs.DS
Vertex Sparsifiers: New Results from Old Techniques
给定一个容量限制图$G = (V,E)$和一组终端$K \subseteq V$，我们应该如何产生一个图$H$只在终端$K$，使每个（多商品）在$G$中的终端之间的流可以支持在$H$低拥塞，反之亦然？(Such图$H$被称为$G$的流稀疏因子。）如果我们想让$H$成为一个“简单”的图呢？如果我们允许$H$是简单图的凸组合会怎样？改进Moitra [FOCS 2009]和Leighton和Moitra [STOC 2010]的结果，我们给出了有效的算法来构建：（a）流稀疏器$H$，其将拥塞维持到因子$O(\log k/\log \log k)$，其中$k = |K|$，（b）终端$K$上的树的凸组合，其将拥塞维持到因子$O(\log k)$，以及（c）对于平面图$G$，平面图的凸组合，其保持拥塞直到常数因子。这就要求我们给出一个新的算法来解决0-扩张问题，第一个算法是在$G$中每个终端的原像是连接的。此外，这一结果扩展到小闭图族。我们的改进的界限立即意味着改进的近似保证几个终端为基础的切割和排序问题。
2014-04-23 cs.DS
Refined Vertex Sparsifiers of Planar Graphs
我们研究以下版本的切割稀疏化。给定一个具有$k$终端顶点的大边加权网络$G$，将其压缩为具有相同终端的较小网络$H$，使得$H$中的每个最小终端割近似于$G$中的对应最小终端割，直到称为质量的因子$q\geq 1$。(The情况$q=1$也被称为模仿网络）。我们提供了新的见解最小终端切割的结构，导致新的结果切割稀疏平面图。我们的第一个贡献确定了一个子集的最小终端削减，我们称之为小学，产生所有其他的。因此，$H$是割稀疏化子当且仅当它保留所有的基本终端割（直到这个因子$q$）。这种结构表征导致$H$的大小的改进的界限。例如，它将平面图的模仿网络大小的界提高到一个近似最优的界。我们的第二个和主要的贡献是完善已知的界限方面的$γ=γ(G)$，这是定义为最小数量的面是入射到所有终端的平面图$G$。我们证明了初等终端割的数目是$O((2k/γ)^{2γ})$（与$O(2^k)$终端割相比），并进一步得到了一个大小为$O(γ2^{2γ} k^4)$的模仿网络，它是$γ$的函数。在分析中，我们将基本的终端切割分成碎片，并仔细计数。我们的第三个贡献是切割稀疏化和距离稀疏化的某些平面图之间的对偶，当稀疏$H$要求是一个小的$G$。这种对偶性连接了以前分别研究的问题，这意味着新的结果，已知结果的新证明，以及开放间隙之间的等价性。
2019-10-04 cs.DS
Local Algorithms for Bounded Degree Sparsifiers in Sparse Graphs
在图稀疏化中，目标几乎总是具有{全局}性质：将图压缩成较小的子图（{sparsifier}），以保持原始图的某些特征。然后算法可以在稀疏器上运行，这在许多情况下会导致整体运行时间和内存的改进。本文研究了具有有界（最大）度的稀疏因子，因此是{局部}稀疏的，旨在提高运行时间和内存的局部度量。为了改进这些局部度量，重要的是能够{本地}计算这样的稀疏因子。本文首先研究了无权稀疏图中有界度稀疏算子的局部算法，主要研究了顶点覆盖、匹配和独立集等问题。令$ε> 0$为松弛参数，而$α\ge 1$为密度参数。我们设计了计算以下问题的局部算法：（1）对任意{荫度} $α$的图，构造了度为$O(α/ ε)$的$(1+ε)$ -顶点覆盖稀疏子. (2)对于任意荫度图$α$，一个$(1+ε)$-最大匹配稀疏因子和一个度为$O(α/ ε)$的$(1+ε)$ -最大匹配稀疏因子。(3)一个度为$O(α^2 / ε)$的$(1+ε)$无关集稀疏子，对任何平均度为$α$的图.在分布式计算的标准消息传递模型中，我们的算法只需要一个通信轮，而且，它们可以在本地以一种简单的方式进行模拟。作为一个直接的应用程序，我们可以扩展结果从分布式计算和本地计算算法，适用于图的程度有界的$d$图荫度$O(d / ε)$或平均度$O(d^2 / ε)$，在增加近似保证的一个因素的代价$(1+ε)$。特别是，我们可以扩展最近过多的本地计…
2021-05-05 cs.DS
Computing a tree having a small vertex cover
我们考虑一个新的Steiner树问题，称为顶点覆盖加权Steiner树问题。该问题定义Steiner树的权为树中顶点覆盖的最小权，并在给定的顶点加权无向图中寻找最小权Steiner树。由于它包含在Steiner树激活问题中，因此在一般的n阶图中，该问题的近似算法为O（log n）-近似算法.这个近似因子是紧到一个常数，因为它是NP-困难的实现一个o（log n）-近似的顶点覆盖加权Steiner树问题的一般图，即使给定的顶点权重是均匀的，需要一个生成树，而不是一个Steiner树。在本文中，我们提出了常数因子的近似算法的问题与单位圆盘图和图不包括一个固定的子。对于后一类图，我们的算法也可以应用于Steiner树激活问题。
2018-08-07 cs.DS
A Dynamic Shortest Paths Toolbox: Low-Congestion Vertex Sparsifiers and their Applications
我们提出了基于新顶点稀疏化的动态最短路径工具箱，实现确定性数据结构，支持最坏情况亚多项式更新时间的近似APSP和SSSP，并保持低拥塞嵌入，应用于流路由MWU方法。
2023-11-10 cs.DS
Lower Bounds on $0$-Extension with Steiner Nodes
本文研究允许 Steiner 节点的 $0$-Extension 变体，证明同一半度量 LP 松弛即便使用超线性数量 Steiner 节点，整性隙仍有 $\Omega(\log\log |T|)$ 下界。
2024-01-17 cs.DS
The Power of Vertex Sparsifiers in Dynamic Graph Algorithms
我们引入了一个新的算法框架，用于设计动态图算法在小的无图，通过利用这样的图的结构和一个工具，称为顶点稀疏化，这是一种方法来压缩大型图成小的，以及保持相关属性之间的一个子集的顶点，以前主要用于设计的近似算法。使用这个框架，我们得到了一个Monte Carlo随机全动态算法$(1+\varepsilon)$ -近似的能量的电流在$n$ -顶点平面图与$\tilde{O}(r\varepsilon^{-2})$最坏情况下的更新时间和$\tilde{O}((r+\frac{n}{\sqrt{r}})\varepsilon^{-2})$最坏情况下的查询时间，任何$r$大于一些常数。对于$r=n^{2/3}$，这给出了$\tilde{O}(n^{2/3}\varepsilon^{-2})$更新时间和$\tilde{O}(n^{2/3}\varepsilon^{-2})$查询时间。我们还扩展了该算法的工作，为小的免费图形与类似的近似和运行时间的保证。此外，我们说明了我们的框架上的所有对最大流和最短路径问题，通过在次线性更新和查询时间的小自由图给出相应的动态算法。据我们所知，我们的研究结果是第一次系统地建立动态图算法和顶点稀疏化之间的联系。我们还提出了上界和下界，以维持电力流的能量在增量子图模型，其中更新只包括顶点激活，这可能是独立的利益。
2017-12-18 cs.DS
Near-linear-time, Optimal Vertex Cut Sparsifiers in Directed Acyclic Graphs
令$G$是图，并且$S, T \subseteq V(G)$是终端$|S|=|T|=k$的（可能重叠的）集合。我们感兴趣的是计算$G$中终端割的顶点稀疏因子，即，图$H$上的最小可能数目的顶点，其中$S \cup T \subseteq V(H)$且使得对于每个$A \subseteq S$和$B \subseteq T$，最小$(A,B)$ -顶点割的大小在$G$中与在$H$中相同。我们假设我们的图是未加权的，终端可能是最小割的一部分。在以前的工作中，Kratsch和Wahlström（FOCS 2012/JACM 2020）使用拟阵理论的连接来证明顶点稀疏器$H$与$O(k^3)$顶点可以在随机多项式时间内计算，即使是任意有向图$G$。然而，从那时起，尺寸$O(k^3)$没有改进。在本文中，我们从极值组合学中著名的Bollobás两族定理中得到启发，并将全序引入Kratsch和Wahlström的方法中。这个新的视角允许我们构造一个稀疏的$H$的$Θ(k^2)$顶点的情况下，$G$是一个DAG。我们还展示了如何计算$H$在时间上接近线性的$G$的大小，提高了以前的$O(n^{ω+1})$。此外，$H$为每个分区$(A,B)$恢复$G$中最接近的最小切割，这是以前不知道的。最后，我们表明，一个稀疏的大小$Ω(k^2)$是必需的，无论是DAG和无向边切割。
2021-07-03 cs.DS math.CO
Vertex Sparsification for Edge Connectivity in Polynomial Time
在顶点稀疏化领域中的一个重要的开放问题是是否存在大小接近终端数的$(1+ε)$ -近似割保持顶点稀疏化器。Chalermsook等人的工作（SODA 2021）介绍了一种称为连通性- $c$模仿网络的松弛，它要求构建一个顶点稀疏器，该稀疏器将$k$终端之间的连通性精确地保持到$c$的值，并显示了动态连通性数据结构和可生存网络设计的应用。我们证明了具有$\widetilde{O}(kc^3)$边的连通性- $c$模仿网络存在，并且可以在$n$和$c$中在多项式时间内构造，改进了Chalermsook等人（SODA 2021）对任何$c \ge \log n$的结果，其运行时间以指数方式依赖于$c$。
2021-01-14 cs.DS
Fully Dynamic Spectral Vertex Sparsifiers and Applications
我们研究了\emph{dynamic}算法，用于维护图的谱顶点稀疏器，相对于我们选择的一组终端$T$。这样的对象保存成对电阻、线性方程组的解以及$T$中端子之间的电流能量。我们给出了一个数据结构，支持插入和删除的边缘，和终端添加，所有在次线性时间。我们的结果然后被应用到以下问题。(1)一种用于维护拉普拉斯系统解的数据结构$\mathbf{L} \mathbf{x} = \mathbf{b}$，其中$\mathbf{L}$是拉普拉斯矩阵，$\mathbf{b}$是需求向量。对于一个有界的程度，未加权的图形，我们支持修改$\mathbf{L}$和$\mathbf{b}$，同时提供访问$ε$ -近似的能量路由的电力流与需求$\mathbf{b}$，以及查询访问一个矢量$\tilde{\mathbf{x}}$的条目，使$\left\lVert \tilde{\mathbf{x}}-\mathbf{L}^{\dagger} \mathbf{b} \right\rVert_{\mathbf{L}} \leq ε\left\lVert \mathbf{L}^{\dagger} \mathbf{b} \right\rVert_{\mathbf{L}}$在$\tilde{O}(n^{11/12}ε^{-5})$预期摊销更新和查询时间。(2)用于维护所有对有效电阻的数据结构。对于边插入，删除和阻力查询…
2019-06-24 cs.DS
Faster Maxflow via Improved Dynamic Spectral Vertex Sparsifiers
我们做了几个进展广泛涉及到维护的电流在加权图进行动态电阻更新，包括：1。更有效的动态谱顶点稀疏化，通过使用Morris计数器快速估计加权图中的随机游走长度来实现[Morris 1978，Nelson-Yu 2020]。2.从动态电流中检测具有大能量的边缘到动态谱顶点稀疏器的直接还原。3.一种用于将用于估计在来自不经意对手的更新下的向量序列的算法从差分隐私经由高斯机制转变为容忍自适应对手的算法的过程。将这些部分与对先前的鲁棒内点框架的修改相结合，给出了一种算法，该算法在具有$m$边的图上计算$[1, U]$中的边成本和容量在时间$\widetilde{O}(m^{3/2-1/58} \log^2 U)$上的最小成本流。在先前的独立工作中，[Axiotis-Mackdry-Vladu FOCS 2021]还获得了容量限制图上稀疏最小成本流的改进算法。我们的算法隐含了$\widetilde{O}(m^{3/2-1/58} \log U)$时间最大流算法，对[Gao-Liu-Peng FOCS 2021]的$\widetilde{O}(m^{3/2-1/328}\log U)$时间最大流算法进行了改进。
2021-12-01 cs.DS math.OC
Approximation algorithms for the vertex-weighted grade-of-service Steiner tree problem
给定图$G = (V,E)$和终端的子集$T \subseteq V$，$G$的\emph{Steiner tree}是跨越$T$的树。在顶点加权Steiner树（VST）问题中，每个顶点都被赋予一个非负的权值，目标是计算$G$的最小权Steiner树。我们研究由多级图构造激发的VST问题的自然推广，\emph{vertex-weighted grade-of-service Steiner tree problem}（V-GSST），其可以表述如下：给定图$G$和终端$T$，其中每个终端$v \in T$需要最小服务等级$R(v)\in \{1,2,\ldots\ell\}$的设施，通过在顶点子集上安装设施来计算Steiner树$G'$，使得需要特定服务等级的任何两个顶点通过$G'$中具有最小服务等级或更好服务等级的路径连接。高等级的设施比低等级的设施更昂贵。像这样的多级变量在网络设计问题中可能很有用，其中顶点可能需要不同优先级的设施。虽然类似的问题已经在边加权的情况下进行了研究，但在更一般的顶点加权的情况下也没有进行研究。我们首先描述了一个简单的启发式的V-GSST问题，其近似比取决于$\ell$，服务等级的数量。然后，我们推广的贪婪算法[Klein \& Ravi，1995]，以表明V-GSST问题承认一个$(2 \ln |T|)$ -近似，其中$T$是一组终端需要一些设施。…
2019-05-03 cs.DS
All-Subsets Important Separators with Applications to Sample Sets, Balanced Separators and Vertex Sparsifiers in Directed Graphs
推广了有向图中重要分离器的数量界限，并据此提出了首个寻找有向图平衡分离器的FPT算法、近似算法以及顶点稀疏器新结论。
2025-04-28 cs.DS
On Directed Steiner Trees with Multiple Roots
我们引入了一个新的Steiner型有向图问题\textsc{$q$-Root Steiner Tree}。这里给出一个有向图$G=(V,A)$和它的两个顶点子集，$R$的大小为$q$和$T$，任务是找到$G$的最小大小子图，该子图包含从$R$的每个顶点到$T$的每个顶点的路径。$q=1$的这个问题的特殊情况是众所周知的\textsc{Directed Steiner Tree}问题，而$T=R$的特殊情况是\textsc{Strongly Connected Steiner Subgraph}问题。我们首先证明了对于任何$q \ge 2$，问题关于$|T|$是W[1]-困难的.然后，我们将自己限制为具有$R \subseteq T$的实例。推广Feldman和Ruhl的方法[SIAM J. COMPUT. 2006]，我们提出了一个算法，这种限制与运行时间$O(2^{2q+4|T|}\cdot n^{2q+O(1)})$，即，对于任何恒定的$q$，该限制是关于$|T|$的FPT。我们进一步表明，我们可以，而不会显着影响可实现的运行时间，放松限制，只需要在解决方案中有一个顶点$v$和路径从每个顶点的$R$ $v$和从$v$到每个顶点的$T$。最后，我们使用Chitnis等人的方法。[SODA 2014]证明了限制版本可以在平面图中在$O(2^{O(q \log q+|T|\log q…
2016-04-18 cs.DS
Spectral Subspace Sparsification
我们介绍了一种新的方法，频谱稀疏近似的二次形式的伪逆的图拉普拉斯限制到一个子空间。我们表明，稀疏子空间的维度中的边缘的近线性数量存在。我们的设置概括了舒尔补充稀疏。我们的方法通过对输入图的均匀随机生成树进行采样，并使用该树来指导合同，删除和重新加权边缘的边缘消除过程来产生稀疏器。在舒尔补稀疏的背景下，我们的方法有两个好处比以前的工作。首先，它在几乎线性的时间内产生一个稀疏器，而不依赖于期望的误差。我们直接利用这一点来计算近似的有效电阻的一小组顶点对在更快的时间比以前的工作（Durfee-Kyng-Peeke-Rao-Sachdeva '17）。其次，它产生的稀疏，是重新加权的输入图的未成年人。其结果是，我们给出了一个接近最优的答案的一个变种的施泰纳点去除问题。我们的算法的一个关键组成部分是一个子程序的独立利益：一个近线性时间算法，给定一组选定的顶点，建立一个数据结构，我们可以查询一个乘法近似的两个顶点之间的有效电阻的减少后，确定所有的顶点在选定的集合到一个单一的顶点与逆多项式额外的附加误差在近恒定的时间。
2018-10-07 cs.DM cs.DS
Near-linear Size Hypergraph Cut Sparsifiers
图中的割是一个基本的研究对象，在图算法的研究中起着核心作用。图的稀疏化同时保持其割结构的问题已经得到了广泛的研究，并有许多应用。Benczúr和Karger（1996）在一项开创性的工作中证明了，给定任何$n$ -顶点无向加权图$G$和一个参数$\varepsilon \in (0,1)$，存在一个近线性时间算法，该算法输出$G$的一个大小为$\tilde{O}(n/\varepsilon^2)$的加权子图$G'$，使得$G$中每个割的权重保持在$G'$中的一个$(1 \pm \varepsilon)$ -因子内。图$G'$被称为$G$的{ \em $(1 \pm \varepsilon)$ -近似切割稀疏因子}。一个自然的问题是，如果这样的切割保持稀疏也存在超图。Kogan和Krauthgamer（2015）发起了对这个问题的研究，并证明了给定任何加权超图$H$，其中每个超边的基数由$r$限定，存在多项式时间算法来找到$H$的大小为$\tilde{O}(\frac{nr}{\varepsilon^2})$的$(1 \pm \varepsilon)$ -近似切割稀疏子。由于$r$可以和$n$一样大，一般来说，这给出了一个大小为$\tilde{O}(n^2/\varepsilon^2)$的超图割稀疏因子，它是比图的Benczúr-Karger界大$n$的因子。超图的Benczúr-K…
2020-09-10 cs.DS
Nearly-Tight Bounds for Flow Sparsifiers in Quasi-Bipartite Graphs
本文针对拟二部图构造了规模为 3^{k^3} 的精确流稀疏化器和 2^{k^2} 的精确割稀疏化器，提出基于多面体几何的新技术，并改进有界树宽图的归约定理，得到规模 O(k·w)、质量 O(log w/log log w) 的流稀疏化器。
2024-09-06 cs.DS
Optimal algorithm for computing Steiner 3-eccentricities of trees
图$G$的顶点$v$的SteinerPDMATHABMM-偏心率是包含$v$的所有$V (G)$的$k$ -子集上的最大Steiner距离。本文设计了一个计算树的Steiner $3$ -偏心率和连接Steiner $3$ -偏心率指标的线性算法，从而改进了[G. Yu，X. Li，\emph{Connective Steiner 3-eccentricity index and network similarity measure}，应用数学计算。386（2020），125446.]
2021-02-21 cs.DS
Optimal Vertex-Cut Sparsification of Quasi-Bipartite Graphs
在点割稀疏化中，给定一个图$G=(V,E)$，其终端集为$T\subseteq V$，我们希望构造一个具有$T\subseteq V'$的图$G'=(V',E')$，使得对于每两个终端集$A,B\subseteq T$，$G'$中的最小$(A,B)$ -点割的大小与$G$中的相同.在最基本的设置中，$G$是不加权和无向的，我们希望通过$k=|T|$的函数来限制$G'$的大小。Kratsch和Wahlström [JACM 2020]证明了每个图$G$（可能有向），允许一个顶点切割稀疏化器$G'$，其顶点为$O(k^3)$，实际上可以在随机多项式时间内构造。我们研究（可能有向）图$G$是准二部，即，证明了$T$中的每条边至少有一个端点，并证明了它们允许一个顶点割稀疏算子，该稀疏算子具有$O(k^2)$边和顶点，并且实际上可以在确定性多项式时间内构造.事实上，这个界限自然地扩展到所有具有小分隔符的图，以划分有界大小的集合。最后，我们证明了信息理论上的一个近似匹配的下限，即，$\tildeΩ(k^2)$边是稀疏化拟二部无向图所必需的。
2022-07-04 cs.DS
A deterministic polynomial kernel for Odd Cycle Transversal and Vertex Multiway Cut in planar graphs
我们表明，奇循环transmittance和顶点多路切割承认确定性多项式核时，限制到平面图和参数化的解决方案的大小。这就回答了索拉布的一个问题。在获得这些结果的过程中，我们提供了一个高效的稀疏化例程，其风格类似于用于平面图中施泰纳树问题的稀疏化例程（FOCS 2014）。它与以前的工作不同，因为它保留了低成本子图的存在，这些子图不一定是原始平面图中的Steiner树，而是在添加位于公共面上的顶点对之间的所有边后变成Steiner树的结构。我们还展示了顶点多路切割和顶点平面化问题之间的联系，其中多项式核的存在仍然是一个重要的开放问题。
2018-12-12 cs.DS
Fully Dynamic Effective Resistances
在本文中，我们考虑的\emph{fully-dynamic}所有对有效阻力问题，其中的目标是保持有效阻力图$G$之间的任何一对查询顶点下的边插入和删除的混合序列在$G$。一对顶点之间的有效阻力是一个物理驱动的量，它包含了流的拥塞和扩张。它与随机游动直接相关，并且在最近的工作中为组合优化问题、图稀疏化和网络科学设计快速算法。我们给出了一个数据结构，保持$(1+ε)$ -近似的所有对有效电阻的完全动态的未加权的，无向的多图$G$与$\tilde{O}(m^{4/5}ε^{-4})$预期摊销的更新和查询时间，对一个不经意的对手。我们的结果的关键是维护一个动态的\emph{Schur complement} ~（也称为顶点电阻稀疏）到我们选择的一组终端顶点。这种维护是通过（1）将舒尔补解释为随机游动的和和（2）随机挑选稀疏化器所构造的顶点子集来获得的。然后，我们可以证明图中的每次更新都会影响少量这样的行走，这反过来又会导致我们的次线性更新时间。我们相信，这种局部表示的顶点稀疏可能是独立的利益。
2018-04-11 cs.DS
FPT Algorithms for Connected Feedback Vertex Set
本文从参数化算法的角度研究了最近提出的连通反馈顶点集（CFVS）问题。CFVS是经典反馈顶点集问题的连通变体，定义如下：给定图G=（V，E）和整数k，判定是否存在V的子集F，其大小至多为k，使得G[V F]是森林且G[F]是连通的。我们表明，连通反馈顶点集可以解决在时间$O(2^{O(k)}n^{O(1)})$一般图和时间$O(2^{O(\sqrt{k}\log k)}n^{O(1)})$的图不包括一个固定的图H作为一个小的。我们的结果一般无向图使用子程序，参数化算法组Steiner树，一个很好的研究变形Steiner树。我们发现算法的组Steiner树的独立利益，并相信这将是有用的，为获得参数化算法的其他连通性问题。
2009-09-17 cs.DS
On Weighted Graph Sparsification by Linear Sketching
一个开创性的工作[Ahn-Guha-McGregor，PODS'12]表明，可以计算一个削减稀疏的一个未加权无向图采取近线性数量的线性测量图。随后的工作还研究了使用线性草图计算其他图稀疏因子，并获得了谱稀疏因子的近线性上界[Kapralov-Lee-Musco-Musco-Sidford，FOCS'14]和spatial的第一个非平凡上界[Filtser-Kapralov-Nouri，SODA'21]。然而，所有这些线性草图算法都只适用于未加权的图形。在本文中，我们开始研究加权图稀疏线性素描调查一类自然的线性草图，我们称之为关联草图，其中每个测量是一个线性组合的权重的边缘事件在一个单一的顶点。我们的结果是：1.加权切割稀疏化：我们给出了一个算法，计算$(1 + ε)$削减稀疏使用$\tilde{O}(n ε^{-3})$线性测量，这是近最优的。2.加权频谱稀疏化：我们给出了一个算法，计算一个$(1 + ε)$ -频谱稀疏使用$\tilde{O}(n^{6/5} ε^{-4})$线性测量。补充我们的算法，然后，我们证明了一个超线性下界的$Ω(n^{21/20-o(1)})$测量计算一些$O(1)$ -频谱稀疏使用发病率草图。3.加权平均计算：我们专注于图的最大/最小边的权重相差一个$O(1)$因子，并证明，对于关联草图，由~[Filtser-Kapralov-Nouri，SODA'2…
2022-09-16 cs.DS
Near-Optimal Vertex Fault-Tolerant Labels for Steiner Connectivity
本文提出一种紧凑的 $f$-FT Steiner连通性标签方案，利用Duan和Pettie分解定理构建的Steiner树绕过稀疏化，实现了近最优的 $|U|^{1-1/f} \cdot \mathrm{poly}(f, \log n)$ 比特标签长度。
2025-06-29 cs.DS
Fully Dynamic Spectral and Cut Sparsifiers for Directed Graphs
本文研究有向图的完全动态稀疏化，提出保持度平衡的谱近似及面向部分对称化图、β-平衡图的动态谱与割稀疏化算法，并给出 polylog 级更新时间和稀疏化规模保证。
2025-07-25 cs.DS
Surviving in Directed Graphs: A Polylogarithmic Approximation for Two-Connected Directed Steiner Tree
本文研究了有向图2-连通有向Steiner树（2-DST）上的可生存网络设计问题：给定一个$n$ -顶点加权有向图，一个根$r$，和一组$h$终端$S$，找到一个最小代价子图$H$，它有两条从$r$到任何$t\in S$的边/顶点不相交路径. 2-DST是经典的有向Steiner树问题（DST）的自然推广，其中我们有一个额外的要求，即网络必须容忍一个故障。没有非平凡的近似是已知的2-DST。这是Feldman等人留下的一个悬而未决的问题，[SODA'09; JCSS]，然后由Cheriyan等人[SODA'12; TALG]和Laekhanukit SODA'14]进行了研究。然而，除了$D$的特殊情况-浅实例[Laekhanukit，ICALP'16]之外，没有已知的阳性结果。我们提出了一个$O(D^3\log D\cdot h^{2/D}\cdot \log n)$近似算法的2-DST运行在时间$O(n^{O(D)})$，任何$D\in[\log_2h]$。这意味着对于任何常数$ε>0$的多项式时间$O(h^ε\log n)$近似，以及以准多项式时间运行的多对数近似。我们注意到，这基本上是最有名的，即使是经典的DST，后者的问题是$O(\log^{2-ε}n)$ -很难近似[Halperin和Krauthgamer，STOC'03]。作为副产品，我们获得了一个对$2$ -连通有…
2016-11-05 cs.DS
The Power of Dynamic Distance Oracles: Efficient Dynamic Algorithms for the Steiner Tree
在本文中，我们研究了Steiner树问题的一个动态的终端集。我们考虑的模型，我们给出了一个$n$ -顶点图$G=(V,E,w)$与正实边权重，我们的目标是保持一棵树，这是一个很好的近似的最小斯坦纳树跨越终端集$S \subseteq V$，随着时间的推移而变化。应用于终端集的更改可以是终端添加（增量方案）、终端删除（减量方案），也可以是两者兼而有之（完全动态方案）。我们在这方面的任务是双重的。我们希望支持次线性$o(n)$时间的更新，并保持算法的近似因子尽可能小。我们表明，我们可以保持一个$(6+\varepsilon)$近似Steiner树的一般图在$\tilde{O}(\sqrt{n} \log D)$时间每终端添加或删除。这里，$D$表示由$G$引起的度量的拉伸。对于平面图，我们实现了相同的运行时间和$(2+\varepsilon)$的近似比。此外，我们展示了更快的算法，增量和减量的情况。最后，我们表明，如果我们允许更高的近似比，甚至更有效的算法是可能的。特别是，我们展示了平面图的多对数时间$(4+\varepsilon)$ -近似算法。我们的算法的主要组成部分之一是动态距离预言的顶点标记图，这是独立的利益。我们还改进和使用在线算法的Steiner树问题。
2016-06-24 cs.DS
Connectivity Oracles Under Vertex Failures via a Simple and Fast Low-Degree Steiner Forest Decomposition
University of Warwick（华威大学）；University of Michigan（密歇根大学）；Peking University（北京大学）
该研究提出一种简单快速的低度数Steiner森林分解算法，构建出性能更优的顶点失效下确定性连通性预言机，消除了现有算法的$n^{o(1)}$因子。
2026-09-03 cs.DS
Optimal Offline Dynamic $2,3$-Edge/Vertex Connectivity
我们给离线算法处理序列的$2$和$3$边和顶点连接查询在一个完全动态的无向图。虽然目前最好的$3$ -边缘和$3$ -顶点连接的全动态在线数据结构每次更新分别需要$O(n^{2/3})$和$O(n)$时间，但我们的每次操作成本仅为$O(\log n)$，这是由于Patrascu和Demaine的动态连接下限而优化的。我们的方法利用了一个分而治之的方案，将一个图转换成更小的等价物，保留连接信息。这种等价物的构造与顶点稀疏器的发展密切相关，并且与动态图数据结构中的几个即将出现的结果有着重要的联系，而不仅仅是离线模型。
2019-03-21 cs.DS
Polylogarithmic Approximation Algorithm for k-Connected Directed Steiner Tree on Quasi-Bipartite Graphs
在k-连通有向斯坦纳树问题（k-DST）中，我们给出一个有向图G=（V，E），其边（或顶点）代价为r，根顶点r，一组q个终端T，连通性要求k>0;目标是找到G的最小代价子图H，使得H有k条从根r到每个终端t的内部不相交路径。k-DST问题是经典的有向Steiner树问题（DST）在容错环境下的自然推广，在容错环境下，即使去掉k-1条边或顶点，要求解子图对每个终端t都有一条r，t-路。尽管这是一个经典问题，但关于这个问题的正结果并不多，特别是对于k >= 3的情况。在本文中，我们将提出一个O（log k log q）-近似算法的k-DST时，输入图是准二部，即，当没有边连接两个非终端顶点时。据我们所知，我们的算法是唯一已知的非平凡的近似算法的k-DST，k >= 3，在多项式时间内运行的最优解的结构无关。此外，我们的算法是紧的每个常数k，由于硬度的结果继承了集合覆盖问题。
2019-11-20 cs.DS
Graph Spanners for Group Steiner Distances
本文研究群组 Steiner 度量下的图稀疏生成树构造，揭示其与按源稀疏生成树的联系，并为全对和单源情形给出多种规模-拉伸权衡，其中单元素情形达到几乎最优，同时分析了转化为距离预言机后的查询时间。
2024-07-01 cs.DS
Parameterized Complexity of Secluded Connectivity Problems
隐蔽路径问题模拟了敏感信息必须沿着网络中的路径在一对节点之间传输的情况。所选路径的质量的度量是其暴露度，即其封闭邻域中顶点的总权重。为了最大限度地降低信息被截获的风险，我们有兴趣选择一条隐蔽的路径，即具有小暴露的路径。类似地，隐蔽斯坦纳树问题是在图中找到连接给定终端集合的树，使得树的暴露最小化。这些问题是Eschahik等人在[欧空局，2013年]中提出的。在其他的结果中，Escherhik等人已经证明了，在未加权图上，Secluded Path是固定参数可处理的（FPT），由图的最大顶点度参数化，Secluded Steiner Tree是FPT，由图的树宽参数化。在这项工作中，我们得到了以下结果的参数化复杂性的隔离连接问题。我们给出了FPT算法，判定具有给定代价函数的图G是否包含一条隐蔽路和一棵隐蔽Steiner树，该树的曝光量至多为k，代价至多为C。我们开始研究的“以上保证”参数化的隐蔽的问题，其中的下界是由一个斯坦纳树的大小。我们从核化的角度研究了隐式Steiner树，并给出了树宽、顶点覆盖大小、最大顶点度和解大小等参数的上下界。最后，我们通过改进输入图的树宽的指数依赖性来改进Escherhik等人的算法结果。
2015-04-21 cs.DS
Parameterized Algorithms for Steiner Forest in Bounded Width Graphs
本文重新评估了有界宽度图中Steiner Forest问题的复杂度，提出了更快的EPAS算法，并在vertex cover number和feedback edge set参数下给出了最优精确算法及下界证明。
2024-07-25 cs.DS
Sublinear Time Hypergraph Sparsification via Cut and Edge Sampling Queries
图或超图的稀疏化问题在保持其割结构的同时得到了广泛的研究，并有许多应用。Benczúr和Karger（1996）在一项开创性的工作中证明了，给定任何$n$ -顶点无向加权图$G$和一个参数$\varepsilon \in (0,1)$，存在一个近线性时间算法，该算法输出$G$的一个大小为$\tilde{O}(n/\varepsilon^2)$的加权子图$G'$，使得$G$中每个割的权重保持在$G'$中的一个$(1 \pm \varepsilon)$ -因子内。图$G'$被称为$G$的{ \em $(1 \pm \varepsilon)$ -近似切割稀疏因子}。最近的后续工作得到了类似的结果，更一般的超图削减稀疏的问题。然而，所有已知的稀疏化算法都需要$Ω(n + m)$时间，其中$n$表示超图中顶点的数量，而$m$表示超图中超边的数量。由于$m$在$n$中可以是指数大的，一个自然的问题是是否可以在$n$中的时间多项式中创建超图割稀疏因子，{ \em独立于边的数量}。我们解决这个问题的肯定，给出了第一次次线性时间算法，这个问题，给出了适当的查询访问超图。
2021-06-18 cs.DS
Deterministic Tree Embeddings with Copies for Algorithms Against Adaptive Adversaries
将图嵌入到树的分布中以保持期望中的距离是许多优化算法的基石。不幸的是，使用这些嵌入的在线或动态算法似乎本质上是随机的，不适合自适应对手。在本文中，我们提供了一个新的树嵌入，解决了这些问题，确定性地嵌入到一个单一的树包含$O(\log n)$副本的每个顶点，同时保持连接结构的每个子图和$O(\log^2 n)$ -近似每个子图的成本。使用这种嵌入，我们得到了几个新的算法结果：我们减少了一个开放的问题，阿隆等人。[SODA 2004] -存在的确定性多日志竞争算法在线组Steiner树一般图-它的树的情况。我们给出了一个多对数竞争的确定性算法的一个密切相关的问题-在线部分组Steiner树-这，大致上，是一个双准则版本的在线组Steiner树。最后，我们给出了需求鲁棒Steiner森林、群Steiner树和群Steiner森林的第一个多对数近似。
2021-02-09 cs.DS
Steiner Point Removal with distortion $O(\log k)$, using the Noisy-Voronoi algorithm
在Steiner点移除（SPR）问题中，我们给出了一个加权图$G=(V,E)$和一组大小为$k$的终端$K\subset V$.我们的目标是找到一个次要的$M$的$G$与终端作为其顶点集，使终端之间的距离将被保留到一个小的乘法失真。Kamma、Krauthgamer和Nguyen [SICOMP 2015]设计了一种具有指数分布的球增长算法，以表明失真最多为$O(\log^5 k)$。Cheung [SODA 2018]改进了相同算法的分析，通过$O(\log^2 k)$限制失真。我们设计了一种新的和更简单的算法（称为噪声Voronoi算法），招致失真$O(\log k)$。该算法可以在几乎线性时间（$O(|E|\log |V|)$）内实现。
2018-08-08 cs.DS
New Parameterized and Exact Exponential Time Algorithms for Strongly Connected Steiner Subgraph
Utrecht University（乌得勒支大学）；The University of Tokyo（东京大学）
本文提出了一种针对强连通Steiner子图问题的新算法，能够在给定树分解的情况下以$17^{\mathrm{tw}} n^{O(1)}$的时间复杂度解决，同时给出了一个精确指数时间算法和关于顶点覆盖参数化的核化研究。
2026-04-28 cs.DS
Approaching optimality for solving SDD systems
我们提出了一个算法，在输入的$n$ -顶点$m$ -边加权图$G$和一个值$k$，产生一个{ \em增量稀疏} $\hat{G}$与$n-1 + m/k$边，使$G$与$\hat{G}$的条件数是有界以上的$\tilde{O}(k\log^2 n)$，概率$1-p$。该算法在时间上运行$$\tilde{O}((m \log{n} + n\log^2{n})\log(1/p)).$$因此，我们得到了一个算法，该算法在具有$m$非零元素的$n\times n$对称对角占优矩阵$A$和向量$b$的输入下，计算满足$||{x}-A^{+}b||_A<ε||A^{+}b||_A $的向量${x}$，在预期时间内$$\tilde{O}(m\log^2{n}\log(1/ε)).$$求解器基于增量稀疏器的重复应用，该增量稀疏器产生一个图链，然后将其用作递归预处理Chebyshev迭代
2010-08-03 cs.DS
$O(1)$ Steiner Point Removal in Series-Parallel Graphs
我们研究了如何在保持图的度量和结构的同时对图进行顶点稀疏化。具体来说，我们研究了Steiner点去除（SPR）问题，我们被赋予一个加权图$G=(V,E,w)$和终端集$V' \subseteq V$，必须计算一个加权子$G'=(V',E', w')$的$G$的近似$G$的度量$V'$。度量嵌入领域的一个主要的开放问题是，对于每个（非平凡的）次闭图族，是否存在$O(1)$乘性失真SPR解。为此，以前的工作研究了SPR的树木，仙人掌和outerplanar图，并表明，在这些图中存在这样一个未成年人与$O(1)$失真。我们给$O(1)$失真SPR解决方案的串并联图，扩展了这条线的工作前沿。我们的方法的主要引擎是一个新的度量分解的串并行图，我们称之为吊床分解。大致上，吊床分解是一种森林状的结构，它保留了由串并行图导出的度量的某些关键部分。
2021-04-01 cs.DS
From Directed Steiner Tree to Directed Polymatroid Steiner Tree in Planar Graphs
在有向斯坦纳树（DST）问题中，输入是有向边加权图$G=(V,E)$、根顶点$r$和$k$终端的集合$S \subseteq V$。我们的目标是找到一个最小成本的子图，连接$r$到每个终端。DST允许准多项式时间的$O(\log^2 k/\log \log k)$ -近似，以及多项式时间的任何固定$ε> 0$的$O(k^ε)$ -近似。解决多项式时间多对数逼近的存在性问题是逼近算法中的一个主要问题。在最近的工作中，Friggstad和Mousavi [ICALP 2023]通过Thorup的最短路径分离定理获得了平面有向图中DST的简单而优雅的多项式时间$O(\log k)$ -近似。我们建立在他们的工作，并取得了一些新的成果DST和相关问题。- 我们通过对Friggstad和Mousavi [ICALP 2023]中递归的解释，开发了一种用于平面有向图中有根问题的树嵌入技术。利用这一点，我们得到多项式时间的多对数近似的群Steiner树，覆盖Steiner树，和多拟阵Steiner树问题的平面有向图。所有这些问题即使在树中也很难近似到$Ω(\log^2 n/\log \log n)$的因子内。- 我们证明了DST的自然割LP松弛在平面图中具有$O(\log^2 k)$的完整性间隙。这与一般图形成对比，其中已知该LP的完整性间隙为$Ω(k)$，并且对于某些固定的$δ> 0$为$Ω(…
2024-07-02 cs.DS
Finding All Useless Arcs in Directed Planar Graphs
提出了一个简化有向平面图上流网络的线性时间算法：给定一个有向平面图上的$n$顶点，一个源顶点$s$和一个汇顶点$t$，我们的算法在线性时间内删除所有不参与任何简单$s,t$ -路的弧.该算法产生的输出图满足Weihe [FOCS'94 \& JCSS'97]的$O(n\log n)$ -时间算法计算有向平面图最大$s,t$ -流的前提条件。以前，由于没有预处理步骤，Weihe的算法不能在$O(n\log n)$时间内运行;所有前面的算法都在$\tildeΩ(n^2)$时间内运行[Misiolek-Chen，COCOON'05 \& IPL'06; Biedl，Brejov{á}和Vinar，MFCS'00]。因此，除了已知的$O(n\log n)$-时间算法[Borradaile-Klein，SODA'06 \& J.ACM'09; Erickson，SODA'10]之外，这提供了用于计算有向平面图中的最大$s,t$ -流的替代的$O(n\log n)$ -时间算法。我们的算法可以被看作是一个（真正的）线性时间$s,t$流稀疏有向平面图，它运行速度比任何最大$s,t$流算法（也可以被看作是一个稀疏）。所得到的图的简化结构可能是有用的，在未来的发展中的最大$s,t$流算法在有向和无向平面图。
2018-05-08 cs.DS
Expander Decomposition in Dynamic Streams
本文首次在动态流模型中研究了图的 expander 分解，通过引入 power_cut 稀疏器这一新型算法工具，使用 $\tilde{O}(n/εδ)$ 空间实现了递归最稀疏割过程，并证明了其空间复杂度的渐近紧致性。
2023-08-03 cs.DS
Graph-TSP from Steiner Cycles
提出了一种基于Steiner圈的图度量旅行商问题的求解方法。斯坦纳圈是一个需要包含一些指定的顶点子集的圈。对于一个图$G$，如果我们能找到一个生成树$T$和一个包含$T$中奇度顶点的简单圈，那么我们给出了如何将经典的“双生成树”算法与Christofides算法相结合，得到一个长度至多为$\frac{4n}{3}$的TSP之旅.我们使用这种方法表明，一个图包含一个哈密尔顿路径有一个TSP旅游的长度最多$4n/3$。由于哈密尔顿路径是一个有两片叶子的生成树，这就引出了一个问题：一个包含很少叶子的生成树的图是否有一个短的TSP之旅。Mömke和Svensson最近的技术意味着一个包含$k$叶子的深度优先搜索树的图有一个长度为$4n/3 + O(k)$的TSP之旅。使用我们的方法，我们可以证明，一个$2(k-1)$ -顶点连通图，包含一个生成树，最多$k$叶有一个TSP旅游的长度$4n/3$。我们还探讨了其他条件下，我们的方法在短期内的结果。
2014-07-10 cs.DS
Steiner Trees for Hereditary Graph Classes: a Treewidth Perspective
我们考虑了经典的问题（边）Steiner树和顶点Steiner树限制输入的一类图的特征在于一个小的禁止诱导子图的集合。我们显示了一个二分法的前一个问题限制在$(H_1,H_2)$ -免费的图形和二分法的后一个问题限制在$H$ -免费的图形。我们发现，存在一个无限的图族$H$，使得顶点Steiner树是多项式时间可解的$H$ -free图，而只有两个图$H$，这对边Steiner树成立。我们还发现边Steiner树对于$(H_1,H_2)$ -free图是多项式时间可解的当且仅当$(H_1,H_2)$ -free图类的树宽是有界的（服从P $\neq$ NP）.为了得到后一个结果，我们确定所有的对$(H_1,H_2)$的类$(H_1,H_2)$ -自由图有界树宽。
2020-12-15 cs.CC cs.DM cs.DS
Steiner Connectivity Augmentation and Splitting-off in Poly-logarithmic Maximum Flows
我们给出了Steiner连通性增强问题的一个几乎线性时间算法：给定一个无向图，找到一个最小（或最小权重）的边集，其加法使得一组给定的终端$τ$-连通（对于任何给定的$τ> 0$）。我们的算法的运行时间由对任何最大流子例程的多对数调用支配;使用最近的几乎线性时间最大流算法（Chen等人，FOCS 2022），我们得到了一个几乎线性的运行时间为我们的算法。这是紧到多对数因子，即使只有两个终端。在我们的工作之前，几乎线性（实际上，接近线性）的运行时间仅在全局连接增强的特殊情况下才知道，即，当所有顶点都是终端时（Cen等人，STOC 2022）。我们还扩展我们的算法密切相关的施泰纳分裂问题，在一个顶点上的事件的边缘必须是{\em分裂关闭}，同时保持（施泰纳）连接一组给定的终端。在我们的工作之前，一个近似线性的时间算法只知道用于全局连通性的特殊情况（Cen等人，STOC 2022）。唯一已知的超越全局连通性的推广是使用慢得多的算法来保持所有成对连通性，该算法对所有对最大流（或Gomory-Hu树）子例程进行$n$调用（Lau和Yung，SICOMP 2013），而不是在这项工作中对（单对）最大流子例程进行polylog（n）调用。
2022-11-10 cs.DS
Tight Conditional Lower Bounds for Vertex Connectivity Problems
本文在寻找4-clique的猜想下证明顶点连通性问题无法全部归入近线性时间，并给出稠密图及一般密度图中各类顶点连通性问题的紧复杂度下界。
2023-04-16 cs.DS
Minor Sparsifiers and the Distributed Laplacian Paradigm
我们研究了基于minor的顶点稀疏器的分布式算法，并给出了在CONGEST模型中求解图拉普拉斯矩阵中的线性系统的高精度算法。我们的Laplacian求解器的轮复杂度为$O(n^{o(1)}(\sqrt{n}+D))$，因此几乎与$\widetildeΩ(\sqrt{n}+D)$的下界匹配，其中$n$是网络中的节点数，$D$是其直径。我们表明，我们的分布式求解器产生新的次线性轮算法的几个基石问题，组合优化。这是通过在分布式图算法的背景下利用内点方法（IPM）和拉普拉斯范式的强大算法框架来实现的，这需要通过一系列拉普拉斯系统数值求解图上的优化问题。受益于我们的分布式算法范式的问题，包括精确的最小成本流，负权重最短路径，最大流，和稀疏有向图的二分匹配。对于最大流问题，这是第一个适用于有向图的精确分布式算法，而以前的工作[Ghaffari et al. SICOMP'18]考虑了近似设置，仅适用于无向图。对于最小费用流和负权最短路径问题，我们的结果构成了第一个精确的分布式算法运行在一个次线性轮数。考虑到IPM和拉普拉斯范式之间的混合已被证明是有用的，在集中式设置中处理众多的优化问题，我们相信，我们的分布式求解器将找到未来的应用。
2022-02-05 cs.DC cs.DS
The Sketching Complexity of Graph Cuts
我们研究的问题，素描输入图，使给定的草图，可以估计的权重内的因素$1+ε$的图中的任何削减。我们提出了一个随机草图的大小上下限，专注于依赖的准确性参数$ε>0$。首先，我们证明了，对于每一个$ε> 1/\sqrt n$，每个草图，成功（以恒定的概率）在估计的所有削减$(S,\bar S)$在$n$顶点图（同时）的重量，必须是大小$Ω(n/ε^2)$位。在草图本身是加权图（其可以是或可以不是子图）并且估计量是草图中的切割上的边权重的总和的特殊情况下，即，一个切割稀疏因子，我们证明草图必须有$Ω(n/ε^2)$边，这是最优的。尽管在图稀疏化方面有很长的工作序列，但在切割稀疏因子的大小上没有这样的下限。然后，我们设计一个随机草图，给定$ε\in(0,1)$和边加权$n$顶点图，产生大小为$\tilde O(n/ε)$位的草图，从中可以报告任何切割$(S,\bar S)$的权重，具有高概率，在因子$1+ε$内。之前的上限是$\tilde O(n/ε^2)$位，随后存储一个切割稀疏因子（Bencz{ú}r和Karger，1996）。为了获得这种改进，我们严格使用的草图只需要是正确的每个固定的削减与高概率（而不是在所有的削减），和数据结构的估计过程可以是任意的（而不是一个加权子图）。我们还显示了一个下界的$Ω(n/ε)$位的空间要求的任何数据结构实现这一保证。
2014-11-10 cs.DS
Chaining, Group Leverage Score Overestimates, and Fast Spectral Hypergraph Sparsification
给出了给定任意$n$ -点、$m$ -边、秩的$r$超图在近线性$\widetilde{O}(mr)$时间内构造一个具有$O(n \varepsilon^{-2} \log n \log r)$超边的谱稀疏子的算法.这在规模和效率上都优于之前最佳规模为$O(\min\{n \varepsilon^{-4} \log^3 n,nr^3 \varepsilon^{-2} \log n\})$、运行时间为$\widetilde{O}(mr + n^{O(1)})$的工作线（Bansal-Svensson-Trevisan 2019，Kapralov-Krauthgamer-Tardos-Yoshida 2021）。独立的结果：在一个独立的工作，李（李2022）还展示了如何计算一个谱超图稀疏与$O(n \varepsilon^{-2} \log n \log r)$超边。
2022-09-21 cs.DS math.PR
