Probabilistic Spectral Sparsification In Sublinear Time
在本文中，我们介绍了一个变种的频谱稀疏，称为概率$(\varepsilon,δ)$ -频谱稀疏。粗略地说，它保留具有$1\pm\varepsilon$乘性误差和$δ\left|S\right|$加性误差的任何切割$(S,S^{c})$的切割值。我们展示了如何产生一个概率$(\varepsilon,δ)$谱稀疏与$O(n\log n/\varepsilon^{2})$边的时间$\tilde{O}(n/\varepsilon^{2}δ)$时间的无向图。这给出了已知的最快的次线性时间算法的不同切割问题的无向图，如-一个$\tilde{O}(n/OPT+n^{3/2+t})$时间$O(\sqrt{\log n/t})$ -近似算法的稀疏切割问题和平衡分离器问题。- 具有$\varepsilon n$附加误差的$n^{1+o(1)}/\varepsilon^{4}$时间近似最小s-t截算法。
2013-12-31 cs.DS
A Unified Approach to Scalable Spectral Sparsification of Directed Graphs
最近的谱图稀疏化研究允许构造近似线性大小的子图，这些子图可以很好地保留原始图的谱（结构）属性，例如图拉普拉斯算子的前几个特征值和特征向量，从而导致各种近似线性时间数值和图形算法的发展。然而，没有一个统一的方法，允许真正可扩展的频谱稀疏的有向和无向图。在这项工作中，我们证明了一般有向图的线性大小的谱稀疏器的存在性，并介绍了一个实际有效的和统一的谱图稀疏化方法，允许稀疏化现实世界中，大规模的有向和无向图，并保证保留原始图谱。通过利用一个高度可扩展的（近线性复杂度）谱矩阵扰动分析框架来构造近线性大小的（有向）子图，它使我们能够很好地保持原始（有向）图拉普拉斯算子的关键特征值和特征向量。所提出的方法已被验证，使用各种公共领域稀疏矩阵集合获得的有向图，解决有向图拉普拉斯算子，谱嵌入，一般有向图的分区，以及近似计算（个性化）PageRank向量显示有前途的结果。
2020-04-30 cs.DS
Spectral Sparsification of Simplicial Complexes for Clustering and Label Propagation
作为使用图来描述成对相互作用的推广，单纯复形可以用于模拟复杂系统中三个或更多对象之间的高阶相互作用。最近出现了一个激增的活动，适用于单纯形复形的数据分析方法的发展，包括基于计算拓扑，高阶随机过程，广义Cheeger不等式，等周不等式和谱方法的技术。特别是，谱学习方法（如标签传播和聚类），直接操作的单纯复合代表了分析这样的复杂数据集的新方向。为了将谱学习方法应用于建模为单纯复形的海量数据集，我们开发了一种用于稀疏化单纯复形的方法，该方法保留了相关拉普拉斯矩阵的谱。我们表明，Spielman和Srivastava的稀疏化的图形的理论扩展到单纯复合物通过拉普拉斯算子。特别是，我们引入了一个广义的有效电阻的单纯形，提供了一个算法稀疏单纯复形在一个固定的维度，并给出了一个特定版本的广义Cheeger不等式加权单纯复形。最后，我们介绍了高阶概括的谱聚类和标签传播的单纯形复合物，并通过实验证明了这些应用程序的实用性所提出的频谱稀疏化方法。
2019-02-01 cs.CG cs.DM cs.DS
Spectral Sparsification of Hypergraphs
对于一个无向/有向超图$G=(V,E)$，定义它的拉普拉斯$L_G\colon\mathbb{R}^V\to \mathbb{R}^V$，使得它的“二次形式”$\boldsymbol{x}^\top L_G(\boldsymbol{x})$捕获$G$的割信息。特别地，$\boldsymbol{1}_S^\top L_G(\boldsymbol{1}_S)$与$S \subseteq V$的切割尺寸一致，其中$\boldsymbol{1}_S \in \mathbb{R}^V$是$S$的特征向量。一个超图$G$在顶点集$V$上的加权子图$H$称为$G$的$ε$ -谱稀疏子，如果对每个$\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^V$都有$(1-ε)\boldsymbol{x}^\top L_H(\boldsymbol{x}) \leq \boldsymbol{x}^\top L_G(\boldsymbol{x}) \leq (1+ε)\boldsymbol{x}^\top L_H(\boldsymbol{x})$成立.在本文中，我们提出了一个多项式时间算法，给定一个无向/有向超图$G$的$n$顶点，构造一个$ε$ -谱稀疏的$G$与$O(n^3\log n/ε^2)$超边/超弧。所提出的谱稀疏化可以用于改善用于解决涉及二次型的问题的算法的时间和空间复杂度，例如计算$L…
2018-07-13 cs.DM cs.DS
Fully Dynamic Spectral Sparsification for Directed Hypergraphs
University of Salzburg（萨尔茨堡大学）；University of Vienna（维也纳大学）
本文提出了一种有向超图的完全动态谱稀疏化算法，实现了近最优的稀疏化大小和更新时间，并在并行批动态设置中首次实现了基于谱的稀疏化方法。
2026-01-09 cs.DS
A Matrix Hyperbolic Cosine Algorithm and Applications
本文将Spencer的双曲余弦算法推广到矩阵值情形。我们将该算法应用于几个问题，通过分析其计算效率下的两种特殊情况下的矩阵，其中一个矩阵有一个组结构，另一个在其中，他们有秩一。作为前一种情况的应用，我们给出了一个确定性算法，给定一个有限群的乘法表，其大小为$n$，它在近最优O（n^2 log^3 n）时间内构造一个对数度的扩展Cayley图.对于后一种情况，我们提出了一个快速确定性算法的谱稀疏的半正定矩阵，这意味着一个改进的确定性算法的谱图稀疏的稠密图。此外，我们给出了半正定矩阵的谱稀疏化与矩阵的元素稀疏化之间的一个初等联系。因此，我们得到了改进的对角占优矩阵的元素稀疏化算法。
2012-02-26 cs.DM cs.DS
Spectral Sparsification by Deterministic Discrepancy Walk
本文将确定性差异游走框架从向量差异推广到矩阵差异，统一处理多种谱稀疏化问题，并以确定性分析给出更优结果与更简证明。
2024-08-12 cs.DS math.CO
Near-optimal Linear Sketches and Fully-Dynamic Algorithms for Hypergraph Spectral Sparsification
本文提出一种绕过平衡权重分配的更简单超图谱稀疏化框架，将超图稀疏化归约为普通图有效电阻采样，并据此在线性草图、全动态和在线模型中首次获得近最优算法。
2025-02-06 cs.DS
A Distributed Algorithm for Spectral Sparsification of Graphs with Applications to Data Clustering
谱稀疏化是一种用于减少半正定矩阵中非零元素的数量而对其谱几乎没有改变的技术。特别地，谱稀疏化的主要应用是构造其谱接近给定稠密图的稀疏图。我们研究谱稀疏化的假设下，一个图的边缘之间分配的网站，可以相互沟通。在这项工作中，我们表明，如果一个图是分配在几个网站之间，工会的频谱稀疏的每个诱导子图给我们一个频谱稀疏的原始图。在文献中的其他作品相比，我们提出了精确的计算的近似因子的联盟的谱稀疏，并给出了明确的计算的边缘权重。然后，我们提出了一个应用程序，这个结果的数据聚类在额头上的数字模型的多方通信复杂性时，输入数据分配为一个向日葵之间的网站在党。
2020-12-16 cs.DS math.CO
Cut Sparsification of the Clique Beyond the Ramanujan Bound: A Separation of Cut Versus Spectral Sparsification
我们证明了随机$d$ -正则图，有很高的概率，是近似误差至多为$\left(2\sqrt{\frac 2 π} + o_{n,d}(1)\right)/\sqrt d$的团的割稀疏子，其中$2\sqrt{\frac 2 π} = 1.595\ldots$和$o_{n,d}(1)$表示依赖于$n$和$d$的误差项，如果我们先取极限$n\rightarrow \infty$，然后取极限$d \rightarrow \infty$，则该误差项趋于零.这是通过使用Jagannath和Sen从统计物理学思想中获得的技术分析线性大小切割，并通过鞅不等式分析小切割来建立的。我们还证明了新的下界谱稀疏的集团。若$G$是该团的谱稀疏子，且$G$具有平均度$d$，则只要$G$的加权邻接矩阵是一个双随机矩阵（的倍数），或者$G$满足一定的高“奇伪围长”性质，我们证明了逼近误差至少是$d$ -正则Ramanujan图所满足的“Ramanujan界”$(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$.第一种情况可以被看作是“对称双随机矩阵的阿隆-博帕纳定理”，表明具有$dn$非零元素的对称双随机矩阵具有至少$(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$大小的非平凡特征值;第二种情况推广了Srivastava和Trevisan的下界，这需要大围长假设。总之，这些结果意味着频谱稀疏化和切割稀疏化之间的分离。如果…
2021-10-31 cs.DM cs.DS math.CO
New Notions and Constructions of Sparsification for Graphs and Hypergraphs
图$G$（Benczúr and Karger; Spielman and Teng）的稀疏化子是一个稀疏加权子图$\tilde G$，它近似地保留了$G$的割结构。对于一般的图，非平凡稀疏化是可能的，只有通过使用加权图，其中不同的边缘有不同的权重。即使是图，承认未加权稀疏，有没有已知的多项式时间算法，找到这样的未加权稀疏。我们研究了一个较弱的概念，稀疏化建议Oveis Gharan，在每个切割$(S,\bar S)$的边缘的数量是不是近似的乘法因子$(1+ε)$内，而是，相反，近似到一个添加剂项有界的$ε$倍$d\cdot |S| + \text{vol}(S)$，其中$d$是平均度，和$\text{vol}(S)$是$S$中的顶点的度的总和。我们提供了一个概率多项式时间的建设，这样的稀疏每个图，我们的稀疏有一个接近最佳的边缘数$O(ε^{-2} n {\rm polylog}(1/ε))$。我们还提供了一个确定性的多项式时间的建设，构建稀疏具有较弱的属性具有最佳数量的边缘$O(ε^{-2} n)$。我们的构造也满足光谱版本的“添加剂稀疏”属性。我们构造的"添加剂稀疏“与$O_ε(n)$边缘也适用于超图，并提供了第一个非平凡的概念，稀疏超图实现$O(n)$超边时，$ε$和秩$r$的超边是常数。最后，我们提供了一个新的构造的谱超图稀疏，根据标准定义，与${\rm poly}(ε^{…
2019-05-04 cs.DM cs.DS
Graph Sparsification, Spectral Sketches, and Faster Resistance Computation, via Short Cycle Decompositions
我们开发了一个框架图稀疏化和草图，基于一个新的工具，短周期分解-分解的一个未加权的图到一个边不相交的短周期的集合，加上一些额外的边缘。一个简单的观察给出了任何n阶m边图G都可以在$O(mn)$时间内分解为长度至多为$2\log n$和至多为$2n$额外边的圈。我们给出了一个$m^{1+o(1)}$时间算法，用于构造一个短循环分解，循环长度为$n^{o(1)}$，和$n^{1+o(1)}$额外的边缘。这些分解使我们能够在几个开放的问题上取得进展：* 我们给出了一个算法来找到$(1\pmε)$ -近似的有效电阻的所有边缘的时间$m^{1+o(1)}ε^{-1.5}$，改善了以前最好的$\tilde{O}(\min\{mε^{-2},n^2 ε^{-1}\})$。这给出了在$m^{1 + o(1)} + n^{15/8+o(1)}ε^{-7/4}$时间内将拉普拉斯行列式近似到$(1\pmε)$的算法。* 我们证明了存在性和有效的算法，用于构建图形频谱草图-分布在稀疏图H，这样对于一个固定的矢量$x$，我们有w. h. p. $x'L_Hx=(1\pmε)x'L_Gx$和$x'L_H^+x=(1\pmε)x'L_G^+x$。这意味着存在的电阻稀疏约$nε^{-1}$边缘，保持有效的电阻之间的每对顶点到$(1\pmε).$ * 通过结合短周期分解与已知的工具，在图稀疏化，我们表明存在的近线性…
2018-05-30 cs.DM cs.DS
Spectral hypergraph sparsification via chaining
在一个$n$顶点超图中，如果$D$是一个超边的最大长度，则存在一个加权超图谱$\varepsilon$ -稀疏子，它至多有$O(\varepsilon^{-2} \log(D) \cdot n \log n)$超边.这改进了Kapralov，Krauthgamer，Tardos和Yoshida（2021）实现的$O(\varepsilon^{-4} n (\log n)^3)$的界限，以及Bansal，Svensson和Trevisan（2019）获得的界限$O(\varepsilon^{-2} D^3 n \log n)$。同样的稀疏化结果也是由詹布拉帕蒂、刘和西德福德（2022）独立获得的。
2022-09-23 cs.DS math.CO math.PR
Nearly Tight Spectral Sparsification of Directed Hypergraphs by a Simple Iterative Sampling Algorithm
针对有向超图谱稀疏化，提出首个构造 $O^*(n^2)$ 大小 $\varepsilon$-谱稀疏化器的迭代采样算法，达到最优界，并给出非平凡下界，同时扩展至无向情形。
2023-05-11 cs.DS
GRASS: Graph Spectral Sparsification Leveraging Scalable Spectral Perturbation Analysis
谱图稀疏化的目的是寻找超稀疏子图，其拉普拉斯矩阵能够很好地逼近原始拉普拉斯特征值和特征向量。近年来，谱稀疏技术被广泛研究，以加速各种数值和图形相关的应用。现有的近线性时间谱稀疏化方法首先从原始图中提取低拉伸生成树以形成稀疏器的主干，然后将小部分谱关键离树边缘恢复到生成树以显著提高近似质量。然而，目前还不清楚有多少离树边缘应恢复，以实现所需的频谱相似性水平内的稀疏。受最近的图形信号处理技术的启发，本文提出了一个相似性感知的频谱图稀疏化框架，利用有效的频谱离树边缘嵌入和过滤方案，以保证频谱相似性（相对条件数）水平的频谱稀疏器。一个迭代的图形致密化计划也被引入，以促进高效和有效的过滤高度病态的问题的离树边缘。所提出的方法已被验证，使用各种图形从公共领域稀疏矩阵收集相关的VLSI CAD，有限元分析，以及社会和数据网经常在许多机器学习和数据采掘应用研究。例如，使用单个CPU核心和大约6 GB内存，可以在两分钟内解决具有4000万个未知数和1.8亿个非零的稀疏SDD矩阵（1 E-3精度级别）。
2020-04-29 cs.DS cs.NA cs.SI
SF-GRASS: Solver-Free Graph Spectral Sparsification
Stevens Institute of Technology（史蒂文斯理工学院）；Michigan Technological University（密歇根理工大学）
最近的谱图稀疏化技术在加速许多数值和图形算法方面表现出了良好的性能，例如用于求解大型稀疏矩阵的迭代法，无向图的谱划分，电力/热网格的无向量验证，大型图的表示学习等。然而，先前的谱图稀疏化方法依赖于快速拉普拉斯矩阵求解器，这些求解器通常在实践中具有挑战性。这项工作，第一次，介绍了一种无求解器的方法（SF-GRASS）的频谱图稀疏化，利用新兴的频谱图粗化和图形信号处理（GSP）技术。我们引入了一个局部谱嵌入方案，用于有效地识别谱临界边缘，这些边缘是保持图谱特性的关键，例如前几个拉普拉斯特征值和特征向量。由于SF-GRASS中的关键核函数可以使用稀疏矩阵向量乘法（SpMV）有效地实现，因此所提出的谱方法易于实现并且具有固有的并行友好性。我们广泛的实验结果表明，所提出的方法可以产生一个层次的高品质的光谱稀疏在近线性时间的各种现实世界中，大规模的图形和电路网络相比，与现有的国家的最先进的谱方法。
2020-08-17 cs.DS cs.LG cs.NA
An Efficient Algorithm for Unweighted Spectral Graph Sparsification
谱图稀疏化通过减少边的总数，同时保持可比较的图拉普拉斯矩阵，已经成为分析大规模网络的强大工具。在本文中，我们提出了一种有效的算法构造一种新的类型的谱稀疏，未加权谱稀疏。给定一个一般无向无权图$G = (V, E)$和一个整数$\ell < |E|$（$E$中的边数），我们用$F \subset E$和$|F| = \ell$计算一个无权图$H = (V, F)$，使得对于每个$x \in \mathbb{R}^{V}$ \[ {\displaystyle \frac{x^T L_G x}κ \leq x^T L_H x \leq x^T L_G x,} \]，其中$L_G$和$L_H$分别是$G$和$H$的拉普拉斯矩阵，$κ\geq 1$是$|V|, |E|$和$\ell$的慢变函数.这项工作解决了未加权图的未加权图稀疏的存在性的公开问题。此外，我们的算法可以有效地计算加权图的未加权图稀疏，导致稀疏图保留原始图的权重。
2014-12-15 cs.DS
Similarity-Aware Spectral Sparsification by Edge Filtering
Michigan Technological University（密歇根理工大学）
本文提出一种基于相似性感知的谱稀疏化框架，通过高效的谱离树边嵌入和过滤方案，构造具有保证谱相似性的稀疏图。引入迭代图密集化方案，有效过滤高病态问题中的离树边。
2018-04-07 cs.DS cs.NA cs.SI
Rank-Independent Spectral Hypergraph Sparsification via Global-Dictionary Chaining
研究加权超图谱\(\varepsilon -\)稀疏化器，核心方法是全局字典链，通过该方法消除了秩依赖性，加强了相关工作，回答了开放性问题，其成果强化了许多后续继承采样界的保证。
2026-07-15 cs.DS
Chaining, Group Leverage Score Overestimates, and Fast Spectral Hypergraph Sparsification
给出了给定任意$n$ -点、$m$ -边、秩的$r$超图在近线性$\widetilde{O}(mr)$时间内构造一个具有$O(n \varepsilon^{-2} \log n \log r)$超边的谱稀疏子的算法.这在规模和效率上都优于之前最佳规模为$O(\min\{n \varepsilon^{-4} \log^3 n,nr^3 \varepsilon^{-2} \log n\})$、运行时间为$\widetilde{O}(mr + n^{O(1)})$的工作线（Bansal-Svensson-Trevisan 2019，Kapralov-Krauthgamer-Tardos-Yoshida 2021）。独立的结果：在一个独立的工作，李（李2022）还展示了如何计算一个谱超图稀疏与$O(n \varepsilon^{-2} \log n \log r)$超边。
2022-09-21 cs.DS math.PR
Online Algorithms for Spectral Hypergraph Sparsification
该研究提出首个谱超图稀疏化在线算法，在流式超边到达时即时决策，生成的(ε, δ)-谱稀疏器超边数有理论界，空间复杂度O(n²)，较此前Ω(m)的算法实现指数级提升。
2023-11-07 cs.DS
Spectral Sparsification and Regret Minimization Beyond Matrix Multiplicative Updates
MIT CSAIL（麻省理工学院计算机科学与人工智能实验室）；Boston University（波士顿大学）
在本文中，我们提供了一个新的构造的线性大小的谱稀疏的Batson，Spielman和Srivastava [BSS 14]。虽然以前的构造需要$Ω(n^4)$运行时间[BSS 14，Zou 12]，但我们的稀疏化例程可以在几乎二次的运行时间$O(n^{2+\varepsilon})$中实现。我们工作的基本概念新颖性是利用稀疏化和密度矩阵上的遗憾最小化问题之间的强连接。已知这种连接通过应用矩阵乘法权重更新（MWU）[CHS11，Vis14]提供了Spielman和Srivastava [SS11]随机稀疏因子的解释。在本文中，我们解释了矩阵MWU如何自然地出现，作为一个例子，跟随正规化领导者框架和推广这种方法，以产生更大的一类更新。这个新类使我们能够加速线性大小的谱稀疏器的构建，并对Batson，Spielman和Srivastava [BSS 14]背后的动机提供新的见解。
2015-06-16 cs.DS cs.LG math.OC
Spectral sparsification of matrix inputs as a preprocessing step for quantum algorithms
我们研究的潜在效用的经典技术的频谱稀疏化的图作为数字量子算法的预处理步骤，特别是，哈密顿模拟。我们的研究结果表明，频谱稀疏的图与$n$节点通过抽样方法，例如，如在使用有效电阻的\cite{Spielman2011resistances}中那样，以高概率给出了具有至多$\mathcal{O}(\text{poly}\log n)$的行稀疏性的局部可计算矩阵$\tilde H$。对于具有$m$非零条目的大小为$n$的对称矩阵$H$，然后发现在频谱稀疏化中花费的$\mathcal{O}(m||H||t\log n/ε)$的一次性经典运行时开销作为获得稀疏矩阵$\tilde H$的方式是有用的，该稀疏矩阵可以用于在汉密尔顿算子$H$下将时间演化$e^{itH}$近似为精确$ε$。一旦获得了这样的稀疏因子，它就可以与查询模型中的各种量子算法一起使用，这些量子算法对行稀疏性的使用至关重要。我们专注于有效的量子算法的情况下，稀疏哈密顿模拟，因为哈密顿模拟的基础，作为一个关键的子程序，几个量子算法，包括量子相位估计和最近的线性代数。最后，我们还给出了两个简单的量子算法来估计输入矩阵的行稀疏性，这实现了$\mathcal{O}(n^{3/2})$的查询复杂度，而不是$\mathcal{O}(n^2)$，这将需要任何经典算法的任务。
2019-10-07 cs.DS quant-ph
Fast and Faithful Edge Bundling using Spectral Sparsification
University of Sydney（悉尼大学）
本文提出基于谱稀疏化的边束化方法和忠实度度量，通过有效电阻值稀疏化图结构，减少视觉复杂度并提升效率，实验显示在质量和效率上均优于现有方法。
2026-04-28 cs.DS
Faster Spectral Density Estimation and Sparsification in the Nuclear Norm
Stanford University（斯坦福大学）；New York University（纽约大学）
针对无向图归一化邻接矩阵的谱密度估计，论文提出核稀疏化及随机算法，将复杂度降至 O(nε^{-3}) 时间，并给出最优稀疏化界与首个线性扩展的确定性算法。
2024-06-11 cs.DS cs.LG
Adjacency Spectral Radius Under Laplacian Sparsification: Deterministic and Probabilistic Bounds
研究拉普拉斯稀疏化对邻接谱半径的影响，提出确定性界和基于有效电阻采样的概率界，并利用特征向量离域化理论改进稀疏化误差。
2026-06-05 cs.DS math.CO
On Weighted Graph Sparsification by Linear Sketching
一个开创性的工作[Ahn-Guha-McGregor，PODS'12]表明，可以计算一个削减稀疏的一个未加权无向图采取近线性数量的线性测量图。随后的工作还研究了使用线性草图计算其他图稀疏因子，并获得了谱稀疏因子的近线性上界[Kapralov-Lee-Musco-Musco-Sidford，FOCS'14]和spatial的第一个非平凡上界[Filtser-Kapralov-Nouri，SODA'21]。然而，所有这些线性草图算法都只适用于未加权的图形。在本文中，我们开始研究加权图稀疏线性素描调查一类自然的线性草图，我们称之为关联草图，其中每个测量是一个线性组合的权重的边缘事件在一个单一的顶点。我们的结果是：1.加权切割稀疏化：我们给出了一个算法，计算$(1 + ε)$削减稀疏使用$\tilde{O}(n ε^{-3})$线性测量，这是近最优的。2.加权频谱稀疏化：我们给出了一个算法，计算一个$(1 + ε)$ -频谱稀疏使用$\tilde{O}(n^{6/5} ε^{-4})$线性测量。补充我们的算法，然后，我们证明了一个超线性下界的$Ω(n^{21/20-o(1)})$测量计算一些$O(1)$ -频谱稀疏使用发病率草图。3.加权平均计算：我们专注于图的最大/最小边的权重相差一个$O(1)$因子，并证明，对于关联草图，由~[Filtser-Kapralov-Nouri，SODA'2…
2022-09-16 cs.DS
Spectral Sparsification via Bounded-Independence Sampling
我们给出了一个确定性的，几乎随机空间算法的轻度谱稀疏无向图。给定由长度为$N$的二进制串、整数$k\leq \log n$和误差参数$ε> 0$描述的$n$顶点上的加权无向图$G$，我们的算法在空间$\tilde{O}(k\log (N\cdot w_{\mathrm{max}}/w_{\mathrm{min}}))$中运行，其中$w_{\mathrm{max}}$和$w_{\mathrm{min}}$是$G$中的最大和最小边权重，并且产生具有谱上近似$G$的$\tilde{O}(n^{1+2/k}/ε^2)$边的加权图$H$，在Spielmen和Teng [ST 04]的意义上，直到$ε$的误差。我们的算法基于Spielman和Srivastava基于有效电阻的边缘采样算法[SS08]的新的有界独立性分析，并使用最近关于空间有界拉普拉斯求解器[MRSV17]的工作结果。特别是，我们证明了一个固有的权衡（通过上限和下限）之间的量（有界）的独立性使用的边缘采样算法，表示为$k$以上，和由此产生的稀疏性，可以实现。
2020-04-20 cs.CC cs.DS
inGRASS: Incremental Graph Spectral Sparsification via Low-Resistance-Diameter Decomposition
Stevens Institute of Technology（史蒂文斯理工学院）
本文提出 inGRASS 增量图谱稀疏化算法，利用低电阻直径分解与低维电阻嵌入实现近线性初始化和 O(log N) 更新，实验中最高加速逾 200 倍且质量相当。
2024-09-05 cs.DS cs.LG cs.SI
Graph Spectral Sparsification is in Catalytic Logspace
Harvard University（哈佛大学）；MIT（麻省理工学院）
本研究提出一种催化对数空间下的图谱稀疏化算法，通过基于图拟随机性的悲观估计量及原位算术编码压缩技术，实现了与经典方法边数规模相当的ε-谱稀疏化，拓展了催化计算的技术范式。
2026-08-25 cs.CC cs.DS
Graph Sparsification by Universal Greedy Algorithms
图稀疏化是指用一个稀疏图来近似任意的图，在社交网络的简化、最小二乘问题、对称正定线性方程组的数值求解等方面有着广泛的应用。本文受著名的稀疏信号恢复算法正交匹配追踪（OMP）的启发，提出了一种确定性的，贪婪边选择算法称为通用贪婪方法（UGA）的图稀疏化。对于一般的频谱稀疏化问题，例如，正子集选择问题，提出了一种非负的UGA算法，该算法需要$\mathbb{R}^n$时间来找到一个具有正系数的$\frac{1+ε/β}{1-ε/β}$ -谱稀疏子，该稀疏子具有稀疏性$\le\lceil\frac{n}{ε^2}\rceil$，其中$β$是向量的最小长度与最大长度之比.证明了非负UGA算法的收敛性。对于图的稀疏化问题，本文提出了另一种UGA算法，该算法在适当的假设条件下，可以在$O(m+n^2/ε^2)$时间内从一个具有$m$边和$n$顶点的图输出一个具有$\lceil\frac{n}{ε^2}\rceil$边的$\frac{1+O(ε)}{1-O(ε)}$ -谱稀疏因子.这是一个线性时间算法，根据图稀疏化社区正在寻找的边的数量。据作者所知，文献中的最佳结果是存在一个几乎是线性的确定性算法，即对于某些$o(1)=O(\frac{(\log\log(m))^{2/3}}{\log^{1/3}(m)})$的$O(m^{1+o(1)})$。最后，广泛的实验结果，包括应用图聚类和最小二乘回归，表…
2021-02-21 cs.DS
Structure-Aware Spectral Sparsification via Uniform Edge Sampling
Department of Computer Science（计算机科学系）；Purdue University（普渡大学）
本文证明在强可聚类图（结构比大）中，均匀边采样即可保持谱聚类所需的特征子空间，无需有效电阻估计，为结构保持的谱聚类提供首个理论保证。
2025-10-14 cs.DS cs.LG
Spectral Hypergraph Sparsifiers of Nearly Linear Size
在过去的二十年中，图稀疏化得到了广泛的研究，最终得到了最佳大小的谱稀疏因子（直到常数因子）。谱超图稀疏化是这个问题的一个自然模拟，对于这个问题，稀疏器大小的最佳界限是未知的，主要是因为超图拉普拉斯算子是非线性的，因此缺乏线性代数结构和工具，这些结构和工具对图非常有效。我们的主要贡献是第一个算法构造$ε$ -谱稀疏超图的$O^*(n)$超边，其中$O^*$抑制$(ε^{-1} \log n)^{O(1)}$因素。这个界限是独立的秩$r$（超边的最大基数），并基本上是最好的可能，由于最近的位复杂性下界的$Ω(nr)$超图稀疏。这个结果是通过引入两个新工具得到的。首先，我们给出了一个新的证明谱浓度界的稀疏图，它避免了线性代数方法，取代例如~矩阵伯恩斯坦不等式的通常应用，因此适用于（非线性）超图设置。为了实现这一结果，我们在$\mathbb{R}^n$中的单位球面上设计了一个新的超图依赖的$ε$ -网序列。其次，我们将Chen，Khanna和Nagda [FOCS'20]的权重分配技术扩展到频谱稀疏化设置。令人惊讶的是，权重分配后的生成树的数量可以作为一个潜在的函数，指导在频谱设置中的重新加权过程。
2021-06-04 cs.DS
An SDP-Based Algorithm for Linear-Sized Spectral Sparsification
Microsoft Research（微软研究院）；The University of Bristol（布里斯托大学）
对于任何具有$n$顶点和$m$边的无向加权图$G=(V,E,w)$，如果\[ (1-\varepsilon)x^{\intercal}L_Gx\leq x^{\intercal} L_{H} x\leq (1+\varepsilon) x^{\intercal} L_Gx \]对任何$x\in\mathbb{R}^n$成立，则我们称$G$的稀疏子图$H$为$(1+\varepsilon)$ -谱稀疏子，其中$L_G$和$L_{H}$分别是$G$和$H$的拉普拉斯矩阵。注意到任何算法都需要$Ω(m)$时间来构造谱稀疏器，并且$G$的谱稀疏器需要$Ω(n)$边缘，一个自然的问题是调查，对于任何常数$\varepsilon$，是否可以在$\tilde{O}(m)$时间内构造具有$O(n)$边缘的$G$的$(1+\varepsilon)$ -谱稀疏器，其中$\tilde{O}$符号抑制多对数因子。所有以前的频谱稀疏化的建设需要超线性数量的边缘或$m^{1+Ω(1)}$时间。在这项工作中，我们肯定地回答这个问题，提出了一个算法，对于任何无向图$G$和$\varepsilon>0$，输出一个$(1+\varepsilon)$ -频谱稀疏的$G$与$O(n/\varepsilon^2)$边在$\tilde{O}(m/\varepsilon^{O(1)})$时间。我们的算法是基于三个新的技术：（1…
2017-02-27 cs.DS cs.LG
Quantum Speedup for Graph Sparsification, Cut Approximation and Laplacian Solving
该研究提出针对图谱稀疏化的多项式量子加速算法，可在亚线性时间内生成带权图的谱稀疏器并达近似最优复杂度，同时实现拉普拉斯系统求解与多类割问题近似的量子加速。
2023-05-08 cs.CC cs.DS quant-ph
An Efficient Parallel Algorithm for Spectral Sparsification of Laplacian and SDDM Matrix Polynomials
对于连续概率密度函数（p.d.f.）的“大”类$\mathcal{C}$，我们证明了对于每个$w\in\mathcal{C}$，存在离散二项分布（MDBD）与$T\geq N\sqrt{ϕ_{w}/δ}$不同的二项分布$B(\cdot,N)$的混合，$δ$ -逼近离散p.d. f。所有$i\in[3:N-3]$的$\widehat{w}(i/N)\triangleq w(i/N)/[\sum_{\ell=0}^{N}w(\ell/N)]$，其中$ϕ_{w}\geq\max_{x\in[0,1]}|w(x)|$。此外，我们给出了两个有效的并行算法来找到这样的MDBD。此外，我们提出了一个顺序算法，在输入MDBD与$N=2^k$的$k\in\mathbb{N}_{+}$，诱导一个离散的p.d.f. $β$、作为拉普拉斯或SDDM矩阵的$B=D-M$和参数$ε\in(0,1)$在$\widehat{O}(ε^{-2}m + ε^{-4}nT)$时间中输出矩阵多项式的频谱稀疏因子$D-\widehat{M}_{N} \approx_ε D-D\sum_{i=0}^{N}β_{i}(D^{-1} M)^i$，其中$\widehat{O}(\cdot)$表示法隐藏$\mathrm{poly}(\log n,\log N)$因子。这改进了Cheng et al.的[CCLPT 15]算法，其运行…
2016-04-21 cs.DM cs.DS
Towards Tight Bounds for Spectral Sparsification of Hypergraphs
图的切割和谱稀疏化有许多应用，包括例如加速切割算法和拉普拉斯求解器。这些强大的概念最近被扩展到超图，这是更丰富，并可能提供新的应用。然而，目前超图稀疏器的大小界限并不像图的相应界限那样严格。我们的第一个结果是一个多项式时间算法，给定一个超图的$n$顶点的最大超边大小$r$，输出一个$ε$ -频谱稀疏与$O^*(nr)$超边，其中$O^*$抑制$(ε^{-1} \log n)^{O(1)}$因素。该大小界限改进了先前的两个界限：$O^*(n^3)$ [Soma和Yoshida，SODA'19]和$O^*(nr^3)$ [Bansal，Svensson和Trevisan，FOCS'19]。我们的主要技术工具是一个新的方法证明浓度的非线性模拟的二次形式的拉普拉斯超图扩展。我们补充这一点上的任何压缩方案，$(1+ε)$ -近似在一个给定的超图中的所有削减的位复杂性的下限，因此也对每个$ε$ -削减/频谱稀疏的位复杂性。这些下界基于Ruzsa-Szemerédi图，并且特定的实例化即使对于固定常数$ε$也会产生比特复杂度的$Ω(nr)$下界。这是紧到多对数因子在$n$，由于最近超图削减稀疏的[陈，Khanna和Nagda，FOCS'20]。最后，对于有向超图，我们提出了一个算法，计算一个$ε$ -谱稀疏与$O^*(n^2r^3)$超弧，其中$r$是一个超弧的最大尺寸。对于小$r$，这比从[S…
2021-04-12 cs.DS
Parallel Spectral Graph Sparsification via Low Diameter Decompositions
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
研究提出一种无求解器并行谱稀疏化算法，依赖并行低直径分解和独立采样，改进了此前方法，消除对目标近似精度ε的依赖，通过估计边的鲁棒连通性进行子采样，并经实验验证性能良好。
2026-07-29 cs.DC cs.DS
A Theory of Spectral CSP Sparsification
本文提出CSP谱稀疏化理论，定义谱能量与谱稀疏化器，给出域仿射CSP的近二次大小谱稀疏化算法，并推广Cheeger不等式至偶元XOR CSP，连接组合扩张与解析性质。
2025-04-22 cs.DS
Graph Sparsification by Approximate Matrix Multiplication
本文从 RandNLA 视角研究加权图谱稀疏化，利用随机化矩阵乘法分析按边权采样，并通过 CR-MM 算法得到无偏、最小方差且计算高效的 Laplacian 估计，同时提出加性谱稀疏化器新概念。
2023-04-26 cs.DM cs.DS cs.NA
Faster spectral sparsification and numerical algorithms for SDD matrices
我们研究算法的谱图稀疏化。输入是具有$n$顶点和$m$边的图$G$，并且输出是在代数意义上近似$G$的稀疏图$\tilde{G}$。具体地，对于所有向量$x$和任何$ε>0$，$\tilde{G}$满足$$ (1-ε) x^T L_G x \leq x^T L_{\tilde{G}} x \leq (1+ε) x^T L_G x, $$，其中$L_G$和$L_{\tilde{G}}$分别是$G$和$\tilde{G}$的拉普拉斯算子。我们发现，已知的最快的算法计算的稀疏与$O(n\log n/ε^2)$边缘实际上可以运行在$\tilde{O}(m\log^2 n)$的时间，$O(\log n)$因子比以前更快。我们还提出了更快的稀疏化算法略密图。具体来说，我们给出了一个算法，运行在$\tilde{O}(m\log n)$时间和生成一个稀疏与$\tilde{O}(n\log^3{n}/ε^2)$边缘。这意味着，一个稀疏与$O(n\log n/ε^2)$边缘可以计算在$\tilde{O}(m\log n)$时间的图与$O(n\log^4 n)$边缘以上。我们还给出了一个$\tilde{O}(m)$时间算法的图有多个$n\log^5 n (\log \log n)^3$边的多项式有界的重量，和一个$O(m)$算法的未加权图有多个$n\log^8 n (\log \log n)^3 $边和…
2013-11-16 cs.DS
Single Pass Spectral Sparsification in Dynamic Streams
我们提出了第一个单遍算法计算谱稀疏的动态半流模型。给定一个包含插入和删除边的流到图G的单次遍历，我们的算法保持G的关联矩阵的随机线性草图为O（（1/epsilon ^2）n polylog（n））。使用此草图，在任何点，该算法都可以以高概率输出G的（1 +/-π）谱稀疏因子。虽然O（（1/epsilon^2）n polylog（n））空间算法已知用于计算动态流中的“切割稀疏器”[AGM 12 b，GKP 12]和“仅插入”流中的谱稀疏器[KL 11]，但在我们的工作之前，用于在动态流中维护谱稀疏器的最著名的单遍算法需要尺寸Omega（（1/epsilon^2）n^（5/3））的草图[AGM 14]。为了实现我们的结果，我们表明，使用粗稀疏的G和G的关联矩阵的线性草图，它是可能的采样边缘的有效电阻，获得一个频谱稀疏的任意精度。从草图中采样需要ell_2/ell_2稀疏恢复的新应用，这是[AGM 12 b]中用于切割稀疏器的ell_0方法的自然扩展。最近的工作[MP 12]行采样矩阵近似给出了一个递归的方法来获得所需的粗稀疏。在一定的限制下，我们的方法还扩展到保持一般矩阵A^T A的谱近似的问题，给定A中的行的更新流。
2015-04-16 cs.DS
A Framework for Analyzing Resparsification Algorithms
图$G$的谱稀疏因子是近似保持$G$的二次形式的稀疏图$H$，即对于所有向量$x$、$x^T L_G x \approx x^T L_H x$，其中$L_G$和$L_H$表示相应的图拉普拉斯算子。谱稀疏算子是割稀疏算子的推广，在图算法设计中有着广泛的应用。近年来，在半流式和动态设置中计算谱稀疏器一直受到关注。这些设置中的自然算法通常涉及图的重复稀疏化，以及这些步骤中的错误累积。我们提出了一个框架，用于分析算法，执行重复的稀疏化，只会产生错误对应于一个单一的稀疏化步骤，导致更好的结果为许多基于重新稀疏化的算法。作为一个应用程序，我们展示了如何保持一个频谱稀疏在半流设置：我们提出了一个简单的算法，对于一个图形$G$的$n$顶点和$m$边缘，计算一个频谱稀疏的$G$与$O(n \log n)$边缘在一个单一的通过$G$，只使用$O(n \log n)$空间，和$O(m \log^2 n)$总时间。这改善了以前最好的半流算法的频谱和削减稀疏的$\log{n}$在空间和运行时的因素。该算法扩展到一般PSD矩阵的半流行采样。我们还使用我们的框架相结合的频谱稀疏化算法Koutis与改进的并行结构，给出了一个并行算法，用于构建$O(n\log^2{n}\log\log{n})$大小的频谱稀疏在$O(m\log^2{n}\log\log{n})$时间。这是最著名的组合图稀疏化算法，稀疏化器的大小仅比…
2016-11-21 cs.DS
Analysis of Kelner and Levin graph sparsification algorithm for a streaming setting
INRIA Lille - Nord Europe（法国国家信息与自动化研究所里尔-诺尔欧洲中心）
我们推导了一个新的证明，表明Kelner和Levin（2013）提出的增量再稀疏算法以高概率产生谱稀疏器。我们严格考虑到后续的重新解析使用鞅不等式的依赖关系，修复了原始分析中的一个缺陷。
2016-09-13 cs.DS cs.LG stat.ML
Spectral Sparsification of Random-Walk Matrix Polynomials
USC（南加州大学）；MIT（麻省理工学院）
我们考虑谱图理论中的一个基本算法问题：计算随机游动矩阵多项式$$L_α(G)=D-\sum_{r=1}^dα_rD(D^{-1}A)^r$$的谱稀疏因子，其中$A$是加权无向图的邻接矩阵，$D$是加权度的对角矩阵，$α=(α_1...α_d)$是具有$\sum_{r=1}^dα_r=1$的非负系数.回想一下，$D^{-1}A$是图上随机游动的转移矩阵。$L_α(G)$的稀疏化似乎在算法上具有挑战性，因为矩阵幂$(D^{-1}A)^r$由长度为$r$的所有路径定义，其精确计算将非常昂贵。在本文中，我们开发了第一个近似线性时间算法，这个稀疏化问题：对于任何$G$与$n$顶点和$m$边缘，$d$系数$α$，和$ε> 0$，我们的算法运行在时间$O(d^2m\log^2n/ε^{2})$构建一个拉普拉斯矩阵$\tilde{L}=D-\tilde{A}$与$O(n\log n/ε^{2})$非零，使$\tilde{L}\approx_εL_α(G)$。矩阵多项式出现在矩阵函数的数学分析以及矩阵方程的数值解中。我们的工作是特别动机的算法问题，加速经典的牛顿方法的应用，如计算的精度矩阵的高斯随机场的平方根的逆，以及计算$q$的根转换（$q\geq1$）在时间可逆的马尔可夫模型。这两个应用程序的关键算法步骤是由牛顿方法引入的常数度随机行走矩阵多项式的谱稀疏器的建设。我们的算法也可以用来建立有效的数…
2015-02-12 cs.DM cs.DS cs.LG
Beyond Cut Balance: Spectral Sparsification of the Nonlinear Directed Laplacian
National Institute of Informatics（国立情报学研究所）
本文研究有向图非线性拉普拉斯能量的谱稀疏化，证明割平衡既不充分也不必要，并给出锦标赛的近线性谱稀疏化算法，同时揭示其蕴含流优化信息。
2026-09-09 cs.DS math.SP
Dynamic Streaming Spectral Sparsification in Nearly Linear Time and Space
在本文中，我们考虑的问题，计算谱逼近图的单通道动态流模型。我们提供了一个基于线性草图的解决方案，给定一个流的边缘插入和删除的$n$ -节点无向图，使用$\tilde O(n)$空间，处理每个更新的$\tilde O(1)$时间，并以高概率恢复频谱稀疏在$\tilde O(n)$时间。在我们的工作之前，现有技术的结果要么使用接近最佳的$\tilde O(n)$空间复杂度，要么使用强力$Ω(n^2)$恢复时间[Kapralov et al. '14]，或具有次二次运行时间，但多项式次优空间复杂度[Ahn et al. '14，Kapralov等人。'19]。我们的主要技术贡献是一种新的方法“桶”的输入图形的顶点成集群，允许快速恢复足够大的有效电阻的边缘。我们的算法首先通过使用（近似）其有效电阻度量执行球雕刻来对图的顶点进行桶化，然后从桶中顶点之间的电流的草图版本中恢复高效电阻边缘，总体上在顶点数量上花费几乎线性的时间。该过程在不同的几何尺度下执行，以恢复具有与有效电阻成比例的概率的边缘的样本，并获得输入图的实际稀疏因子。这项工作提供了第一个有效的$\ell_2$ -稀疏恢复算法的图形和新的原语操作的有效电阻嵌入的图，这两个我们希望有进一步的应用。
2019-03-28 cs.DS
Comparison of Matrix Norm Sparsification
本文研究了不同Schatten $p$-范数下矩阵稀疏化之间的关系，发现与向量情形不同，对于几乎所有充分不同的 $p\neq q$，矩阵在一种范数下的稀疏化无法蕴含另一种范数下的稀疏化。
2023-09-09 cs.DS cs.NA math.NA
Faster Spectral Sparsification in Dynamic Streams
图形绘制已经成为一种用于处理随时间变化的大量图形的强大技术（即，在过去的几年中，以Ahn，Guha和McGregor（SODA'12）关于通过草图的图形连接的工作开始。在本文中，我们考虑的问题，设计频谱近似图，或频谱稀疏，使用少量的线性测量，与额外的约束，草图承认一个有效的恢复计划。在我们的工作之前，已知的草图算法具有接近最佳的$\tilde O(n)$空间复杂度，但$Ω(n^2)$时间解码（在输入图的所有潜在边缘上的蛮力），或者具有次二次时间，但相当大的$Ω(n^{5/3})$空间复杂度（由于它们依赖于连通性和有效电阻之间相当弱的关系）。在本文中，我们首先展示了如何一个简单的有效电阻和边缘连接之间的关系，导致一个改进的$\widetilde O(n^{3/2})$空间和时间算法，我们显示是一个天然的障碍，连接为基础的方法。我们的主要结果，然后给出了第一个算法，实现次二次恢复时间，即避免暴力解码，并在同一时间nontrivially使用有效的阻力度量，实现$n^{1.4+o(1)}$空间和恢复时间。我们的主要技术贡献是一种新的方法“桶”的输入图的顶点成集群，允许快速恢复的边缘高有效电阻：桶是通过执行球雕刻的输入图使用（近似）其有效的电阻度量。我们认为，这项技术可能是独立的利益。
2019-03-28 cs.DS
An Alon-Boppana Type Bound for Weighted Graphs and Lowerbounds for Spectral Sparsification
我们证明了下面的Alon-Boppana型定理，（不一定是正则的）加权图：如果$G$是平均组合度$d$的$n$ -结点加权无向图（即，$G$具有$dn/2$边缘）和周长$g> 2d^{1/8}+1$，并且如果$λ_1 \leq λ_2 \leq \cdots λ_n$是（非标准化）$G$的拉普拉斯算子，然后是\[ \frac {λ_n}{λ_2} \geq 1 + \frac 4{\sqrt d} - O \left( \frac 1{d^{\frac 58} }\right) \]（Alon-Boppana定理意味着如果$G$是无权的且$d$是正则的，那么如果直径至少为$d^{1.5}$，则为$\frac {λ_n}{λ_2} \geq 1 + \frac 4{\sqrt d} - O\left( \frac 1 d \right)$。）我们的结果意味着一个下界的谱稀疏。一个图$H$是一个图$G$的谱$ε$ -稀疏子，如果\[ L(G) \preceq L(H) \preceq (1+ε) L(G) \]，其中$L(G)$是$G$的拉普拉斯矩阵，$L(H)$是$H$的拉普拉斯矩阵. Batson，Spielman和Srivastava证明了对于每个$G$都有一个$ε$ -稀疏因子$H$，其平均度为$d$，其中$ε\approx \frac {4\sqrt 2}{\sqrt d}$…
2017-07-20 cs.DM cs.DS math.CO
Speeding Up Sparsification using Inner Product Search Data Structures
我们提出了一个通用的框架，利用不同的高效数据结构，以改善各种稀疏化问题，涉及迭代过程。我们还提供了不同的迭代过程的见解和表征，并回答了什么时候应该使用什么类型的问题中的数据结构。我们获得改善的运行时间为以下问题。* 为了构造线性大小的谱稀疏器（Batson，Spielman和Srivastava，2012），所有现有的确定性算法都需要$Ω(d^4)$时间。在这项工作中，我们提供了第一个确定性算法，打破了运行在$O(d^{ω+1})$时间，其中$ω$是矩阵乘法的指数的障碍。* 对于单侧Kadison-Singer型偏差问题，给出了小迭代次数和大迭代次数的快速算法。* 对于实验设计问题，我们加快了密钥交换过程。在我们的工作的心脏是各种不同的内积搜索数据结构，具有高效的初始化，查询和更新时间，兼容降维和鲁棒性对自适应对手的设计。
2022-04-07 cs.DS
Dynamic Graph Algorithms and Graph Sparsification: New Techniques and Connections
图自然地出现在几个现实世界的上下文中，包括社交网络、web网络和电信网络。虽然图结构的分析和理解一直是算法设计中的中心研究领域，但在过去几十年中数据集的快速增长对设计处理大规模图的高效算法提出了新的挑战。这些挑战源于经典算法设计中的两个常见假设，即图是静态的，并且它们适合于单个机器。然而，在许多应用领域中，图形会随着时间的推移而频繁变化，并且它们的巨大尺寸使得它们不可能存储在单个机器的内存中。由于需要设计新的工具来克服这些挑战，本论文集中在两个领域的现代算法设计，直接处理大量的图形，即动态图算法和图稀疏化。我们从动态和稀疏化的角度开发了新的算法技术，用于众多基于图的优化问题，这些问题是谱图论，图划分和度量嵌入的核心。我们的算法比以前的任何算法都快，并且设计出具有更好（近似）质量的更小的稀疏器。更重要的是，这项工作引入了新的约简技术，显示了看似不同的领域之间的意想不到的联系，如动态图算法和图稀疏化。
2019-09-13 cs.DS
Quantum Speedup for Hypergraph Sparsification
针对超图稀疏化问题，提出了首个运行时间为$\widetilde O(r\sqrt{mn}/\varepsilon)$的量子算法，匹配常数秩下的量子下界，并实现了对经典算法的量子加速。
2025-05-03 cs.DS quant-ph
A Sketching Algorithm for Spectral Graph Sparsification
我们研究了在$G$顶点上压缩加权图$G$的问题，构建$G$的“草图”$H$，以便给定任何向量$x \in \mathbb{R}^n$，值$x^T L_G x$可以仅从$H$和$x$中逼近为乘法$1+ε$因子，其中$L_G$表示$G$的拉普拉斯算子。这个问题的一个解决方案是建立一个谱稀疏$G$，其中，使用Batson，Spielman和Srivastava的结果，由$G$的$O(n ε^{-2})$重加权边，并具有的属性，同时为所有$x \in \mathbb{R}^n$，$x^T L_H x = (1 \pm ε) x^T L_G x$。$O(n ε^{-2})$界对于谱稀疏器是最优的。我们表明，如果有兴趣只保留一个{ \it固定} $x \in \mathbb{R}^n$（在查询时指定）的$x^T L_G x$值具有很高的概率，那么有一个草图$H$只使用$\tilde{O}(n ε^{-1.6})$位的空间。这是第一个实现对$ε$的次二次依赖的数据结构。我们的工作建立在Andoni，Krauthgamer和Woodruff最近的工作基础上，他们表明空间的$\tilde{O}(n ε^{-1})$位可以用于保留固定的{ \it切割查询}（即，$x\in \{0,1\}^n$）的概率很高，在这里，我们表明，即使是一个一般的查询向量$x \in \mathbb{R}^n$，一个次二次依…
2014-12-28 cs.DS
