矩阵范数稀疏化的比较
Comparison of Matrix Norm Sparsification
AI总结：
本文研究了不同Schatten $p$-范数下矩阵稀疏化之间的关系，发现与向量情形不同，对于几乎所有充分不同的 $p\neq q$，矩阵在一种范数下的稀疏化无法蕴含另一种范数下的稀疏化。
摘要：
高效算法设计中的一种著名方法称为矩阵稀疏化，即用稀疏矩阵 $A'$ 来近似矩阵 $A$。Achlioptas 和 McSherry [2007] 开创了关于谱范数稀疏化的一系列长期研究，其目标是保证对于误差参数 $ε>0$，满足 $\\|A'-A\\|\leq ε\\|A\\|$。各种形式的矩阵近似促使人们考虑在一般 $p$ 的 Schatten $p$-范数下保证该问题，其中谱范数作为 $p=\infty$ 的特例。我们研究了固定但不同的 $p\neq q$ 之间的关系，即 Schatten $p$-范数中的稀疏化是否（在存在性和/或算法上）意味着在具有相似稀疏度的 Schatten $q$-范数中的稀疏化。肯定的回答将极具价值，因为它能确定应关注哪个 $p$ 值。我们的主要发现是该问题与向量的 $\ell_p$-范数稀疏化类似情形之间存在惊人的对比：对于向量，当 $p<q$ 时回答是肯定的，当 $p>q$ 时是否定的，但对于矩阵，对于几乎所有充分不同的 $p\neq q$，我们的回答都是否定的。此外，我们的显式构造可能具有独立的研究价值。
英文摘要：
A well-known approach in the design of efficient algorithms, called matrix sparsification, approximates a matrix $A$ with a sparse matrix $A'$. Achlioptas and McSherry [2007] initiated a long line of work on spectral-norm sparsification, which aims to guarantee that $\|A'-A\|\leq ε\|A\|$ for error parameter $ε>0$. Various forms of matrix approximation motivate considering this problem with a guarantee according to the Schatten $p$-norm for general $p$, which includes the spectral norm as the special case $p=\infty$. We investigate the relation between fixed but different $p\neq q$, that is, whether sparsification in the Schatten $p$-norm implies (existentially and/or algorithmically) sparsification in the Schatten $q\text{-norm}$ with similar sparsity. An affirmative answer could be tremendously useful, as it will identify which value of $p$ to focus on. Our main finding is a surprising contrast between this question and the analogous case of $\ell_p$-norm sparsification for vectors: For vectors, the answer is affirmative for $p<q$ and negative for $p>q$, but for matrices we answer negatively for almost all sufficiently distinct $p\neq q$. In addition, our explicit constructions may be of independent interest.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
