Biquadratic Tensors, Biquadratic Decomposition and Norms of Biquadratic Tensors
双二次张量在许多科学领域中起着核心作用。例子包括固体力学中的弹性张量和Eshelby张量，以及相对论中的黎曼曲率张量。一般三阶张量的奇异值和谱范数是双二次张量的M-特征值和谱范数的平方根。张量积运算对双二次张量是封闭的。这些都促使我们研究双二次张量、双二次分解和双二次张量的范数。证明了利用双二次张量的双二次结构可以计算其谱范数和核范数。然后，要么减少变量的数量，要么减少可行域。我们建设性地表明，对于一个双二次张量，一个双二次秩一分解总是存在的，并表明，双二次张量的双二次秩下保持一个独立的双二次塔克分解。给出了双二次张量核范数的一个下界和一个上界。最后，我们定义了可逆双二次张量，并给出了可逆双二次张量的核范数与其逆的核范数乘积的下界和可逆双二次张量的核范数与其逆的谱范数乘积的下界.
2019-10-05 cs.NA math.NA
Quaternion tensor low rank Quaternion tensor low-rank approximation using a family of non-convex norms
Mohammed VI Polytechnic University（穆罕默德六世polytechnic大学）
本文提出使用非凸范数对四元数张量进行低秩近似，通过准范数和非凸范数方法提升张量修复和去噪的效率。
2025-11-20 cs.NA math.NA
Tensor robust principal component analysis via the tensor nuclear over Frobenius norm
本文提出用张量核范数与Frobenius范数之比（TNF）作为管秩的非凸近似，并结合L1或LF范数构建TRPCA模型，通过ADMM求解，在合成数据、图像和视频上验证了其优越性能。
2025-05-07 cs.NA math.NA
Tensor Completion via Tensor QR Decomposition and $L_{2,1}$-Norm Minimization
本文考虑了机器学习领域许多研究人员特别关心的张量完备问题。我们的快速和精确的方法是建立在扩展的$L_{2,1}$ -范数最小化和卡塔尔里亚尔分解（LNM-QR）的矩阵完成张量完成方法，并不同于流行的张量完成方法，使用张量奇异值分解（t-SVD）。在缩短计算时间方面，用基于卡塔尔里亚尔分解的近似t-SVD（CTSVD-QR）方法代替t-SVD，迭代计算最大$r \left(r>0 \right)$奇异值（管）及其相关奇异向量（管）。此外，我们使用张量$L_{2,1}$ -范数而不是张量核范数来最小化我们的模型，因为它很容易优化。然后，在提高精度方面，ADMM，一个基于梯度搜索的方法，在我们的方法中起着至关重要的作用。数值实验结果表明，该方法比现有算法速度快，精度高。
2020-11-09 cs.NA math.NA
Relations of the Nuclear Norms of a Tensor and its Matrix Flattenings
Tianjin University（天津大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
研究了张量及其矩阵展开的核范数关系，证明了矩阵展开的核范数是张量核范数的下界，并给出了上界。结果可推广至N维张量，当N=3时，上下界均为紧致。
2014-12-08 cs.NA math.NA
On the tensor nuclear norm and the total variation regularization for image and video completion
本文提出了三阶张量张量完备化的两个新算法。所提出的方法包括使用其近似函数，即张量核范数，最小化基本张量的平均秩，然后通过使用全变差正则化技术获得恢复的数据。我们将采用乘子的交替方向法（ADM），利用张量积，解决与这两种算法相关的主要最优化问题。在最后一节中，我们提出了一些数值实验和最知名的图像完成方法的比较。
2021-02-20 cs.NA math.NA
Extreme ratio between spectral and Frobenius norms of nonnegative tensors
多重线性代数的基本问题之一，张量的谱模与Frobenius模之比，近年来受到了广泛的关注。虽然大多数值是未知的实和复杂的张量，渐近数量级和严格的下界已经建立。然而，人们对非负张量知之甚少。在本文中，我们提出了一个几乎完整的图片的比率为非负张量。特别是，我们提供了一个严格的下界，可以实现的一个简单的充要条件下，这有助于描述极端张量和获得的结果，如渐近数量级的一个广泛的非负张量类。我们发现，对称张量的比例是不超过一般张量乘以一个常数只取决于张量的顺序，从而确定了渐近数量级的真实，复杂的，和非负的对称张量。我们还发现，该比率一般是不同的Frobenius和非负张量的核规范之间的最小比率，形成鲜明对比的情况下，真正的张量和复杂的张量。
2022-06-16 cs.NA math.NA
Towards automated generation of fast and accurate algorithms for recursive matrix multiplication
我们提出一种自动生成非交换递归矩阵乘法快速且精确算法的策略，通过最小化范数界、优化运算次数和替代基稀疏化，得到比已知算法更精确且时间复杂度更优的2x2矩阵乘法算法。
2025-06-24 cs.NA cs.SC math.NA
Metric tensors for the interpolation error and its gradient in $L^p$ norm
LSEC, ICMSEC, Academy of Mathematics and Systems Science, CAS（中国科学院数学与系统科学研究院）；Department of Mathematics, Central China Normal University（华中师范大学数学系）
提出一种统一策略，通过后验误差估计推导二维空间插值误差及其梯度在$L^p$范数下的度量张量，生成各向异性自适应网格，数值结果表明收敛率最优。
2012-01-08 cs.NA math.NA
Tensor Completion with BMD Factor Nuclear Norm Minimization
本文提出一种基于BMD分解和逐切片核范数惩罚的张量补全方法，并用ADMM高效求解，在恢复精度与HaLRTC相当的同时具有子问题更小、并行性更高的优势。
2024-02-20 cs.NA math.NA
Scaled Nuclear Norm Minimization for Low-Rank Tensor Completion
Columbia University（哥伦比亚大学）
本文提出通过最小化张量展开的加权核范数之和来恢复低TT秩张量，证明该方法相比传统核范数求和方法更高效，需更少样本即可恢复原始张量。
2017-07-25 cs.NA math.NA stat.ML
Tensor norm and maximal singular vectors of non-negative tensors - a Perron-Frobenius theorem, a Collatz-Wielandt characterization and a generalized power method
Saarland University（萨尔兰大学）
本文研究非负张量的l^{p1,...,pm}奇异值问题，提出广义幂方法并证明其渐近线性收敛性。
2015-03-04 cs.NA math.NA math.SP
On the Nuclear Norm and the Singular Value Decomposition of Tensors
求张量的秩是一个有许多应用的问题。不幸的是，通常很难确定给定张量的秩。受凸松弛理论的启发，我们考虑了核范数而不是张量的秩。我们确定各种感兴趣的张量的核范数。同时，我们还系统地研究了张量积空间中正交性的各种度量，并将奇异值分解推广到高阶张量。
2014-04-21 cs.NA math.NA math.OC
Trace Norm Regularized Tensor Classification and Its Online Learning Approaches
提出一种基于迹范数正则化的张量分类算法，利用加速近端梯度和Douglas-Rachford分裂技术解决优化问题，并扩展至在线学习。
2011-09-07 cs.NA math.NA math.OC
Entrywise tensor-train approximation of large tensors via random embeddings
本文针对大张量逐元素最大范数下低秩张量列近似误差估计失效的问题，基于张量结构 Hanson--Wright 不等式提出直接误差估计，并用交替投影实验验证。
2025-03-31 cs.NA math.NA math.PR
Nuclear Norm Under Tensor Kronecker Products
德克森证明了谱范数对于垂直张量积（也称为张量克罗内克积）是乘法的。我们将用这个结果来证明核范数和其他感兴趣的范数关于垂直张量积也是乘法的。
2020-02-18 cs.NA math.NA math.RA
Characterizing digital microstructures by the Minkowski-based quadratic normal tensor
对于微结构介质的材料建模，底层微结构的准确表征是必不可少的。从数学上讲，微结构表征的总体目标是找到描述所考虑的微结构的几何形状以及组成的简单泛函，并且能够区分具有不同有效材料行为的微结构。为了这个目的，我们建议使用闵可夫斯基张量，在一般情况下，和二次正常张量，特别是，并介绍了一个计算算法适用于基于体素的微观结构表示。闵可夫斯基张量植根于积分几何的数学领域，将张量与相当一般的几何形状相关联，这使得它们适用于广泛的微结构材料类别。此外，它们满足可加性和连续性，这使得它们适用于大规模应用。提出了一种计算数字微结构二次法向张量的模块化算法。我们证明了多重网格收敛选定的数值例子，并将我们的方法应用到各种微观结构。引人注目的是，所提出的算法仍然不受不准确的计算的接口面积。二次法向张量可以用于工程目的，例如平均场均匀化或作为用于生成合成微结构的目标值。
2020-07-30 cs.CE cs.NA math.NA
Normalized tensor train decomposition
State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院数学科学重点实验室）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）；The Hong Kong University of Science and Technology (Guangzhou)（香港科技大学（广州））
本文提出归一化张量列（NTT）分解，在张量列格式中保持单位范数约束，建立其黎曼几何，并应用于低秩张量恢复、高维特征值问题、稳定子秩估计及量子信道最小输出 Rényi 2-熵计算，实验验证了其高效性与可扩展性。
2025-11-06 cs.NA math.NA math.OC
Operator Norm Inequalities between Tensor Unfoldings on the Partition Lattice
高阶张量的兴趣最近在数据密集型领域激增，具有广泛的应用，包括图像处理，盲源分离，社区检测和特征提取。张量相关算法中的一个常见范例主张将张量展开（或展平）为矩阵，并应用为矩阵开发的经典方法。尽管这种技术很受欢迎，但张量的功能特性如何在展开时变化目前还没有很好的理解。与现有的工作机构几乎完全集中在matricizations相反，我们在这里考虑所有可能的展开的顺序- $k$张量，这是在一对一的对应关系的一组分区的$\{1,\ldots,k\}$。我们得到了定义在分划格上的任意开折的$l^p$ -范数之间的一般不等式。特别地，我们证明了张量的谱范数（$p=2$）是如何被其开折的谱范数所限制的，并且得到了任意张量的Frobenius范数与谱范数之比的一个改进的上界.对于满足广义正交可分解性定义的特殊结构张量，我们证明了谱范数在展开操作的特定子集下保持不变。
2017-01-16 cs.NA math.NA math.ST
Convex Tensor Decomposition via Structured Schatten Norm Regularization
本文研究用于凸优化张量分解的结构化Schatten范数，从理论上证明“潜在”方法优于“重叠”方法，并建立对偶性、一致性和可识别性结果。
2013-03-26 cs.LG cs.NA math.NA
Two New Low Rank Tensor Completion Methods Based on Sum Nuclear Norm
Northwest A&F University（西北农林科技大学）；University of Texas of the Permian Basin（德克萨斯大学帕米亚盆地分校）
低秩张量完备化问题在计算机视觉和信号处理领域引起了广泛的关注。如何获得高质量的图像恢复效果仍然是目前亟待解决的课题。提出了一种新的张量$L_{2,1}$范数极小化模型（TLNM），该模型将基于核范数的和核范数（SNN）方法与$L_{2,1}$范数和卡塔尔里亚尔分解相结合，用于求解LRTC问题.为了提高图像局部先验信息的利用率，引入全变差（TV）正则化项，得到一类新的张量$L_{2,1}$范数最小化与全变差模型（TLNMTV）。这两个模型都是凸的，因此具有全局最优解。此外，我们采用交替方向乘子法（ADMM），以获得每个变量的封闭形式的解决方案，从而确保算法的可行性。数值实验表明，这两种算法都是收敛的，并且优于比较的算法。特别是，当高光谱图像的采样率为2.5%时，我们的方法明显优于对比方法。
2022-07-11 cs.CV cs.LG cs.NA
L1-norm Tucker Tensor Decomposition
Rochester Institute of Technology（罗切斯特理工学院）；Air Force Research Laboratory（空军研究实验室）
本文提出L1-Tucker方法，通过L1范数重构标准Tucker分解，提出L1-HOSVD和L1-HOOI算法，证明其在数据无噪声时性能与标准Tucker相当，在存在严重噪声时具有更强鲁棒性。
2019-04-13 cs.DS cs.NA eess.SP
Tensorion: A Tensor-Aware Generalization of the Muon Optimizer
MTML-LAB（MTML实验室）
提出Tensorion优化器，将Muon的约束优化从矩阵扩展到高阶张量，通过线性最小化预言机在张量范数球上实现，实验表明在张量视觉任务上比Adam和现有张量感知方法收敛更稳定。
2026-08-28 cs.CV cs.LG cs.NA
On Tensor Completion via Nuclear Norm Minimization
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；Rutgers University（罗格斯大学）
本文提出通过直接最小化张量核范数进行张量补全，证明该方法能提升采样需求，发展了张量核范数的子微分刻画和张量鞅集中不等式等技术。
2014-05-07 cs.IT cs.NA math.IT
