Edge Multiway Cut and Node Multiway Cut are NP-complete on subcubic graphs
该研究证明边多路割与节点多路割在最大度为3的次立方图（含平面次立方图）上是NP完全的，将此前的度界从11改进至3。
2024-08-19 cs.CC cs.DM cs.DS
Packing multiway cuts in capacitated graphs
我们考虑无向图中的“多路切割包装”问题：给定图G=（V，E）和k个商品，每个商品对应于图中不同顶点上的一组终端;我们的目标是产生一个切割集合{E_1，...，E_k}，使得E_i是商品i的多路切割，并且使任何边缘上的最大负载最小化。边上的载荷被定义为解中穿过边的切口数。在该问题的容量限制版本中，目标是最小化任何边缘上的最大相对负载--边缘负载与其容量的比率。多路切割包装出现在图标记问题的上下文中，其中我们给出了一组项目的部分标记和它们的邻域结构，并且，非正式地，目标是以最一致的方式完成标记。这个问题是由Rabani，Schulman和Swamy（SODA'08）提出的，他们在一般图中提出了一个O（log n/log log n）的近似，在树中也提出了一个改进的O（log^2 k）近似。这里n是图中的节点数。我们提出了这个问题的第一个常数因子近似任意无向图。我们的方法是基于这样的观察，即问题的每一个实例都有一个接近最优的层流解（也就是说，没有一对切口相互交叉）。
2008-10-03 cs.DS
Nearly Tight Bounds For Differentially Private Min $s$-$t$ and Multiway Cut
本文研究最小s-t割与多路k割问题的差分隐私，提出近乎紧的上下界及高效隐私算法，隐私损失指数级降低，且实验显示近似质量接近非私有算法。
2023-12-27 cs.DS
Approximation Algorithms for Norm Multiway Cut
本文研究 $\ell_p$ 范数及一般范数下的 Multiway Cut，改进已有近似比，并在 oracle 模型下给出算法及无 oracle 时的难度结果。
2023-08-16 cs.DS
Planar Multiway Cut with Terminals on Few Faces
本文研究平面图上的Edge Multiway cut问题，提出基于同伦和球面切割分解并结合全局树宽与Dreyfus-Wagner动态规划的$n^{O(\sqrt{k})}$时间算法，以面数$k$为参数优化了求解复杂度。
2025-06-29 cs.DS
Computing multiway cut within the given excess over the largest minimum isolating cut
设$(G,T)$是（顶点）多路切割问题的实例，其中$G$是图，$T$是终端集。对于$t \in T$，将$t$与$T \setminus \{T\}$分开的一组非终结顶点称为$t$的一个\emph{isolating cut}。所有最小隔离割中的最大隔离割是$(G,T)$的多路割的自然下界。用$m$表示这个下限，并令$k$为整数。在本文中，我们提出了一个$O(kn^{k+3})$算法，计算一个多路切割的$(G,T)$的大小最多$m+k$或报告，没有这样的多路切割。所提出的算法的核心是下面的组合结果。设$G$是一个图，$X,Y$是$G$的两个不相交的顶点子集.令$m$为顶点$X-Y$分隔符的最小尺寸。然后，对于给定整数$k$，大小至多为$m+k$的\emph{important} $X-Y$分隔符\cite{MarxTCS}的数目至多为$\sum_{i=0}^k{n \choose i}$。
2010-11-29 cs.DM cs.DS
Fixed-Parameter Tractability of Directed Multiway Cut Parameterized by the Size of the Cutset
给定一个有向图$G$，一组$k$终端和一个整数$p$，\textsc{Directed Vertex Multiway Cut}问题询问是否存在一个至多由$p$（非终端）顶点组成的$S$集合，该集合的删除将断开每个终端与所有其他终端的连接。\textsc{Directed Edge Multiway Cut}是类似的问题，其中$S$是至多$p$边的集合。众所周知，这两个问题确实是等效的。多路切割的自然推广是\emph{multicut}问题，其中我们希望仅断开一组给定的$k$对，而不是所有对。马克思（Theor。比较科学2006）证明了在无向图中多路割是由$p$参数化的固定参数易处理（FPT）。Marx和Razgon（STOC 2011）证明了无向多割是FPT，有向多割是W[1]-hard，由$p$参数化。我们通过我们的主要结果完成了这幅图，该结果是\textsc{Directed Vertex Multiway Cut}和\textsc{Directed Edge Multiway Cut}都可以在时间$2^{2^{O(p)}}n^{O(1)}$中求解，即，FPT由解的割集的大小$p$参数化。这就回答了马克思提出的一个悬而未决的问题（Theor.比较科学2006）和Marx and Razgon（STOC 2011）。从我们的结果可以看出，对于$k=2$末端对的情况，\texts…
2013-04-25 cs.CC cs.DS
Multiway Cut, Pairwise Realizable Distributions, and Descending Thresholds
我们为多路切割问题设计了新的近似算法，改进了先前已知的因子1.32388 [Buchbinder等人，2013年]。我们分三步进行。首先，我们分析了Buchbinder等人的舍入方案，2013年，并设计了一种改进，将近似值提高到（3+sqrt（5））/4（约为1.309017）。我们还提出了一个严格的例子，表明这是最好的近似可以实现与类型的削减考虑布赫宾德等人，2013年：（1）按指数时钟划分，（2）具有相等阈值的单坐标切割。然后，我们证明了这个因素可以通过引入一个新的舍入方案：（3）单坐标削减与下降的阈值。通过结合这三个方案，我们设计了一个算法，实现了（10 + 4 sqrt（3））/13（约1.30217）的一个因素。这是我们能够手动验证的最佳近似因子。最后，我们表明，通过将这三个舍入方案与Karger等人的独立阈值方案相结合，2004年，近似因子可以进一步提高到1.2965。该近似因子仅经计算机验证。
2014-05-12 cs.DS
Algorithms for Cut Problems on Trees
本文研究了{ \sc树上多割}和{ \sc树上广义多路割}问题。对于{ \sc多割树}问题，我们提出了一个在时间上运行的参数化算法$O^{*}(ρ^k)$，其中$ρ= \sqrt{\sqrt{2} + 1} \approx 1.555$是多项式$x^4-2x^2-1$的正根.这改进了Chen等人在时间上运行的当前最佳算法$O^{*}(1.619^k)$。对于{ \sc generalized multiway cut on trees}问题，我们证明了如果终端集的数目是固定的，这个问题在多项式时间内是可解的，这回答了刘和张在最近的一篇论文中提出的一个公开问题.通过将{ \sc树上的广义多路割}问题化为{ \sc树上的多路割}问题，我们的结果给出了在时间$O^{*}(ρ^k)$上求解{ \sc树上的广义多路割}问题的参数化算法，其中$ρ= \sqrt{\sqrt{2} + 1} \approx 1.555$时间.
2013-04-12 cs.DS
On Happy Colorings, Cuts, and Structural Parameterizations
我们研究了最大快乐顶点和最大快乐边问题。前一个问题是集群化的一个变体，其中一些顶点已经被分配到集群。第二个问题给出了多路未切割的自然推广，这是经典多路切割问题的补充。由于聚类和切割问题在理论和实践中的基础性作用，它们一直受到人们的广泛关注。我们建立了一个新的这两类问题之间的连接，通过提供最大幸福顶点和节点多路切割之间的减少。此外，我们还研究了最大快乐点和最大快乐边的结构和距离平凡参数化。在这些方向上获得的结果回答了四个作品中明确提出的问题：Agrawal '17，Aravind等人'16，Choudhari和Reddy '18，Misra和Reddy '17。
2019-07-14 cs.DS
Bilu-Linial Stable Instances of Max Cut and Minimum Multiway Cut
我们研究了Bilu和Linial提出的稳定性概念。我们得到了一个精确的多项式时间算法的$γ$稳定的最大割实例与$γ\geq c\sqrt{\log n}\log\log n$的一些绝对常数$c > 0$。我们的算法是鲁棒的：它永远不会返回错误的答案;如果实例是$γ$ -稳定的，它会找到最大切割，否则，它要么找到最大切割，要么证明实例不是$γ$ -稳定的。我们证明了，没有强大的多项式时间算法的$γ$稳定的情况下，最大切割时，$γ< α_{SC}(n/2)$，其中$α_{SC}$是最佳逼近因子的非均匀需求的稀疏切割。我们的算法是基于半定规划。我们证明了最大割的标准SDP松弛（具有$\ell_2^2$三角不等式）是积分的，如果$γ\geq D_{\ell_2^2\to \ell_1}(n)$，其中$D_{\ell_2^2\to \ell_1}(n)$是每个负型$n$点度量空间嵌入到$\ell_1$中的最小失真.在消极的一面，我们表明，SDP弛豫是不完整的，当$γ< D_{\ell_2^2\to \ell_1}(n/2)$。此外，当$γ< α_{SC}(n/2)$时，对于最大割的$γ$稳定实例，不存在易处理的凸松弛。这表明用$γ=o(\sqrt{\log n})$解决$γ$稳定实例可能很困难或不可能。我们的结果显着改善以前已知的结果。最大切割的$γ$稳定实例的最佳已知算法要求$γ\geq …
2013-11-11 cs.DS
Multiway Cuts with a Choice of Representatives
本文研究终端可从候选集中选择代表的多路割推广，扩展 CKR 松弛以匹配固定 q 下的最佳近似，并给出一般 q 的不可近似性结果及单代表情形的 2-近似算法。
2024-07-04 cs.DS
Approximation Algorithms for Multi-Multiway Cut and Multicut Problems on Directed Graphs
本文给出了有向多路割和有向多路割问题的两个近似算法。对区域生长范式\cite{1}进行了改进，并将其用于有向图上的这两个割问题。通过使用这种模式，我们给每个问题的近似算法，使这两种算法的近似因子$O(k)$相同的这些问题上所做的以前的工作。然而，以前的工作需要解决$k$线性规划，而我们的算法只需要一个线性规划。因此，我们的算法提高了以前的算法的运行时间。
2019-03-30 cs.CC cs.DS
Node Multiway Cut and Subset Feedback Vertex Set on Graphs of Bounded Mim-width
节点多路割（NMC）和子集反馈点集（SFVS）两个赋权图问题都要求一个总权最小的点集，对于NMC，它不连通给定的端点集，而对于SFVS，它相交于包含给定顶点集的所有圈.我们设计了一个元算法，允许解决这两个问题的时间$2^{O(rw^3)}\cdot n^{4}$，$2^{O(q^2\log(q))}\cdot n^{4}$，和$n^{O(k^2)}$其中$rw$是秩宽度，$q$的$\mathbb{Q}$秩宽度，和$k$的最小宽度的一个给定的分解。这肯定地回答了Jaffke等人提出的一个悬而未决的问题。（Jummica，2019）关于通过最小宽度参数化的SFVS的XP算法。通过一个统一的算法，在多项式时间内解决了以下图类的两个问题：区间图、置换图和双区间图，圆弧图和圆置换图，凸图，固定$k$的$k$ -多边形，Dilworth- $k$和Co- $k$ -退化图;并且如果叶根被给定为输入，则也在叶功率图上，如果$H$表示被给定为输入，则在固定$H$的$H$ -图上，和任意权力的图在所有上述类别。在此之前，我们的结果，只有SFVS被称为是易于处理的限制只在区间和排列图，而所有其他的结果是新的。
2022-01-17 cs.DS
Simple and Fast Rounding Algorithms for Directed and Node-weighted Multiway Cut
在有向多路割（Dir-MC）中，输入是一个边加权有向图$G=(V,E)$和一组$k$终端节点$\{s_1,s_2,\ldots,s_k\} \subseteq V$ ;目标是找到一个边的最小权重子集，删除它可以确保任何$i \neq j$都没有从$s_i$到$s_j$的路径。在节点加权多路割（Node-weighted Multiway Cut，Node-MC）中，输入是一个节点加权无向图$G$和一组$k$终端节点$\{s_1,s_2,\ldots,s_k\} \subseteq V$ ;目标是删除最小权重的节点子集，以断开每对终端。Dir-MC承认$2$ -近似[Naor，Zosin '97]，Node-MC承认$2(1-\frac{1}{k})$ -近似[Garg，Vazirani，Yannakakis '94]，两者都通过LP松弛的舍入。以前的舍入算法，这些问题，从近二十年前，是基于仔细舍入的“最佳”解决方案的LP松弛。这对于Dir-MC尤其如此，其中舍入依赖于定制LP公式而不是基于自然距离的LP松弛[Naor，Zosin '97]。在本文中，我们描述了非常简单的和近线性时间舍入算法的Dir-MC和Node-MC通过自然的距离为基础的LP松弛。这种松弛的对偶是最大多商品流问题的一个特例。我们的算法实现了与以前相同的界限，但具有显着的优势，因为它们可以与“任何可行的”解决方案的…
2015-07-16 cs.DS
Steiner Tree Parameterized by Multiway Cut and Even Less
本文针对斯坦纳树问题提出两种更小结构参数化的固定参数可解算法：以最小多路割为参数并借助二分匹配求解，以及引入K-自由树宽混合参数化并扩展基于秩的方法，分别获得相应时间复杂度的求解算法。
2024-06-28 cs.DS
Improved Approximation Algorithms for Multiway Cut by Large Mixtures of New and Old Rounding Schemes
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；University of Michigan（密歇根大学）；University of Chicago（芝加哥大学）；Blavatnik School of Computer Science, Tel Aviv University（特拉维夫大学布拉特尼克计算机科学学院）
本文提出了一种改进的多方式割问题近似算法，通过混合新旧舍入方案，将近似比从1.2965降低到1.2787，并在k≥4时取得了25年来最佳结果。
2026-03-30 cs.DS
Improving the Integrality Gap for Multiway Cut
在多路切割问题中，我们给出了一个无向图，它的边权值为非负，且图中有一组$k$终端节点，目标是将图中的节点集划分为$k$非空部分，每个非空部分只包含一个终端，使得穿过划分的边的总权值最小. $k\ge 3$的多路切割问题是APX困难的。对于任意$k$，最知名的近似因子是$1.2965$，源于[Sharma and Vondrák，2014]，而最知名的不可近似因子是$1.2$，源于[Angelidakis，Makarychev and Manurangsi，2017]。在这项工作中，我们通过构造CKR松弛的完整性间隙实例来改进$1.20016$的下限。在改善差距的技术挑战是缺乏几何工具来理解高维单纯形。我们的实例是一个非平凡的$3$维实例，它克服了这个技术挑战。我们分析的差距的情况下，将其视为一个凸组合的$2$维的实例和一个统一的3维实例。我们相信，这种技术可以进一步利用，以构建更大的完整性差距的实例。我们的证明技术的一个组成部分是对[Mirzakhani and Vondrák，2015]中关于\emph{Sperner admissible labelings}的结果的推广，该结果可能具有独立的组合兴趣。
2018-11-21 cs.DS math.OC
Min-Max Connected Multiway Cut
Charles University, Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学与物理学院）
本文研究了最小-最大连接多方式割问题，该问题要求将图分成t个连通部分，每个部分包含一个终端，并最小化各部分边界的最大权重。问题在连接性约束下具有新的特性，通过复杂度分析和算法设计揭示了其计算难度。
2026-04-26 cs.DS math.CO math.OC
Rounding Algorithms for a Geometric Embedding of Minimum Multiway Cut
多路切割问题是，给定一个加权图和k >= 2个终端节点，找到一个最小权的边集，去除这些边可以分离所有终端。这个问题是NP难的，甚至对于一些小的delta > 0，在1+delta内近似也是NP难的。Calinescu，Karloff，and Rabani（1998）给出了一个性能保证为3/2-1/k的算法，该算法基于问题的几何松弛。本文给出了一种改进的随机化舍入方案，并给出了一个k=3的12/11-近似算法和一个一般的1.3438-近似算法.我们的方法取决于观察，设计一个随机舍入方案的几何松弛的问题本身是一个线性规划问题。本文探讨了这个问题的计算解决方案，并给出了一个证明，对于一般类的几何松弛，总是有随机舍入方案，匹配的完整性差距。
2003-09-15 cs.DM cs.DS
Parameterized Algorithms for Min-Max Multiway Cut and List Digraph Homomorphism
本文设计了求解两个参数化问题的{ \sf FPT}-算法。第一个是\textsc{List Digraph Homomorphism}：给定两个有向图$G$和$H$以及对于$G$的每个顶点的$H$的允许顶点列表，问题是是否存在关于列表约束的从$G$到$H$的同态。第二个问题是\textsc{Multiway Cut}的一个变体，即\textsc{Min-Max Multiway Cut}：给定一个图$G$，一个非负整数$\ell$，和一个$r$终端的集合$T$，问题是我们是否可以将$G$的顶点划分成$r$部分，使得（a）每个部分包含一个终端，并且（b）在该部分中最多有只有一个端点的$\ell$边。我们用$G$中映射到$H$的非循环边的边的个数$w$来表示\textsc{List Digraph Homomorphism}，并给出了一个时间$2^{O(\ell\cdot\log h+\ell^2\cdot \log \ell)}\cdot n^{4}\cdot \log n$算法，其中$h$是宿主图$H$的阶数.我们还证明了\textsc{Min-Max Multiway Cut}可以在时间$2^{O((\ell r)^2\log \ell r)}\cdot n^{4}\cdot \log n$中求解。我们的方法引入了一个一般问题，称为{ \sc列表分配}，其表达能力允许设计上述两个…
2015-09-24 cs.DS math.CO
Submodular Cost Allocation Problem and Applications
研究了最小子模块费用分配问题（MSCA）。在这个问题中我们给出了有限基集$V$和$V$上的$k$非负次模集函数$f_1 ,..., f_k$.目标是将$V$划分为$k$（可能为空）集合$A_1 ,..., A_k$，使得总和$\sum_{i=1}^k f_i(A_i)$最小化。几个研究得很好的问题，如非度量设施选址问题，多路切割图和超图，统一度量标记及其推广可以被证明是特殊情况下的MSCA。在本文中，我们考虑了凸规划松弛通过次模函数的Lovász扩张。这使我们能够理解以前的几个松弛和舍入程序在一个统一的方式，也开发新的配方和近似算法的几个问题。特别地，我们给出了超图多路划分问题的一个$(1.5 - 1/k)$ -近似。当$Δ$是最大超边长度时，我们给出了超图多路割问题的一个$\min\{2(1-1/k), H_Δ\}$ -近似.这两个问题推广了图的多路割问题，并且超图割问题与图的结点加权多路割问题是等价的。
2011-05-10 cs.DM cs.DS
Monotone Submodular Multiway Partition
本文研究单调次模多路划分问题，给出4/3近似算法及(10/9-ε)不可近似下界，并针对图覆盖函数特例得到1.125近似算法和基于唯一博弈猜想的不可近似性结果，从而将其与图多路割在可近似性上区分开。
2025-07-21 cs.DS
First-principles multiway spectral partitioning of graphs
本文研究了用谱方法将一个图划分为两个以上部分的最小割问题。虽然存在完善的频谱算法，这个问题，给出了良好的结果，他们传统上没有得到很好的动机。它们不是通过最小化图切割从第一原理导出的，而是通常在没有直接推导的情况下提出，然后在事实证明有效。在本文中，我们采取了一种对比的方法，我们从一个矩阵制定的最小割问题，然后显示，通过一个放松的优化，它如何可以映射到一个谱嵌入定义的领导特征向量的图形拉普拉斯算子。最终的结果是一个算法，是类似的精神，但不同的细节，以前的频谱分割方法。在测试中的算法，我们发现，它优于以前的方法在某些特别困难的分区问题。
2013-07-19 cs.DS cs.SI
Close relatives of Feedback Vertex Set without single-exponential algorithms parameterized by treewidth
割计数技术和基于秩的方法导致了单指数FPT算法的树宽参数化，即运行在时间$2^{O(tw)}n^{O(1)}$，反馈顶点集和连接版本的经典图问题（如顶点覆盖和支配集）。我们表明，子集反馈顶点集，子集奇循环transmittance，限制边子集反馈边集，节点多路切割，和多路切割不太可能有这样的运行时间。更准确地说，我们在指数时间假设（ETH）下将时间上运行的算法$2^{O(tw \log tw)}n^{O(1)}$与严格的下限相匹配，排除了$2^{o(tw \log tw)}n^{O(1)}$，其中$n$是顶点数，$tw$是输入图的树宽。我们的算法扩展到加权的情况下，而我们的下界也保持较大的参数路径宽度，不需要权重。我们还表明，与奇数周期transmitting相比，在ETH下，偶数周期transmitting没有$2^{o(tw \log tw)}n^{O(1)}$时间算法。
2020-07-28 cs.CC cs.DS
Approximation Algorithms for Submodular Multiway Partition
本文研究子模多路划分问题（SubMP）的算法。SubMP的一个实例由一个有限基集$V$、一个称为终端的$k$元素的子集$S = \{s_1,s_2,...,s_k\}$和一个作为值oracle提供的$V$上的非负子模集函数$f:2^V\rightarrow \mathbb{R}_+$组成。目标是将$V$划分为$k$集合$A_1,...,A_k$，使得对于$1 \le i \le k$、$s_i \in A_i$和$\sum_{i=1}^k f(A_i)$最小化。SubMP推广了一些著名的问题，如图和超图中的多路割问题，以及图中的节点加权多路割问题。Zhao，Nagamochi和Ibaraki \cite{ZhaoNI05}考虑了任意次模函数（而不仅仅是对称函数）的SubMP。以前的算法是基于贪婪的分裂和分而治之的策略。在最近的工作\cite{ChekuriE11}，我们提出了一个凸规划松弛SubMP的基础上的子模函数的Lovász-扩展，并显示其适用于某些特殊情况。在本文中，我们得到了以下结果任意次模函数通过这种松弛。(i)SubMP的2-近似。这改进了来自\cite{ZhaoNI05}的$(k-1)$ -近似和（ii）当$f$是对称的时用于SubMP的$(1.5-1/k)$ -近似。这改进了来自\cite{Queyranne99,ZhaoNI05}的$2(1-1/k)$近似。
2011-05-10 cs.DM cs.DS
Representative sets and irrelevant vertices: New tools for kernelization
奇圈变换多项式核的存在性是参数复杂性中一个著名的公开问题。最近，这是由本作者（Kratsch和Wahlström，SODA 2012）解决的，该问题具有随机多项式内核，使用拟阵理论对终端数量的大小多项式中的一组终端上的流问题进行编码。在目前的工作中，我们进一步建立了拟阵理论的核化的有用性，通过展示Lovász（Combinatorial Surveys 1977）和Marx（TCS 2009）的代表集的结果的应用。我们展示了如何代表集可以用来给一个难以捉摸的几乎2-SAT问题的多项式内核。我们进一步将代表集工具应用于图割问题中寻找不相关顶点的问题，即，可以使其不可删除而不影响问题状态的顶点。这给出了Multiway Cut问题的多项式核的第一个重要进展;特别地，我们得到了至多s个终端的Multiway Cut实例的O（k^{s+1}）个顶点的核。这两个核化结果都有显著的副产品效应，为一系列相关问题产生了第一个多项式核。更一般地说，不相关顶点的结果有覆盖图中的最小割的影响。对于有向图G=（V，E）且集合S，T \subseteq V，设r是最小（S，T）-点割（它可能与S和T相交）的大小.我们可以找到一个大小为O（|S| * |T| *r）的集合Z \subseteq V，它包含每个A \subseteq S，B \subseteq T的最小（A，B）-顶点割。类似地，对于一个无向图…
2012-06-26 cs.DS
On the Parameterized Complexity of Multiway Near-Separator
本文研究了推广自顶点多路割的新型图分离问题Multiway Near-Separator，基于重要分离器推送引理及两个专属技术，提出了运行时间为$2^{O(k \log k)} * n^{O(1)}$的固定参数可处理算法。
2023-10-06 cs.DS
Domination and Cut Problems on Chordal Graphs with Bounded Leafage
弦图G的叶数是使G可实现为具有l个叶的树的子树的交图的最小整数l。我们考虑弦图的经典控制和切割问题的叶数结构参数化。Fomin，Golovach和Raymond [ESA 2018，Monumica 2020]证明了弦图上的支配集允许在时间上运行的算法$2^{O(l^2)} n^{O(1)}$。我们提出了一个概念上更简单的算法，运行在时间$2^{O(l)} n^{O(1)}$。我们扩展我们的方法，得到类似的结果连接支配集和Steiner树。然后，我们考虑两个经典的切割问题与不可删除的终端多路切割和不可删除的终端。我们证明了前者是W[1]-硬时，参数的叶龄和补充这一结果，提出了一个简单的$n^{O(l)}$ -时间算法。令我们惊讶的是，我们发现，多路切割与不可删除的终端弦图可以解决，相反，在$n^{O(1)}$时间。
2022-08-04 cs.CC cs.DS
A Parameterized Algorithm for Mixed Cut
经典门格尔定理指出，在任何无向（或有向）图$G$中，给定一对顶点$s$和$t$，顶点（边）不相交路径的最大数目等于从$s$和$t$断开所需的顶点（边）的最小数目。该最小-最大结果可以转化为多项式时间算法，以找到顶点（边）不相交路径的最大数量以及将$s$从$t$断开所需的顶点（边）的最小数量。在本文中，我们研究了这个问题的混合版本，称为混合切割，其中我们给定一个无向图$G$，顶点$s$和$t$，正整数$k$和$l$，目的是检验是否存在$k$大小的顶点集$S \subseteq V(G)$和$l$大小的边集$F \subseteq E(G)$，使得从$G$与$s$和$F$断开连接。我们从一个小的观察开始，这个问题是NP完全的，然后研究这个问题，实际上是一个更强的泛化，在参数化复杂性领域。特别是我们研究的混合多路切割未切割的问题，随着一组终端$T$，我们也给出了一个等价关系$\mathcal{R}$上$T$，问题是我们是否可以删除最多$k$顶点和最多$l$边缘，使终端的连通性在所得到的图方面$\mathcal{R}$。我们的主要结果是使用Chitnis等人（FOCS 2012）引入的递归理解方法的混合多路切割-未切割的固定参数算法。
2015-09-18 cs.DS
On group feedback vertex set parameterized by the size of the cutset
我们研究了经典反馈顶点集问题的一个鲁棒推广的参数化复杂性，即群反馈顶点集问题;我们给出一个图G，其边用群元素标记，目标是计算最小的顶点集，该顶点集击中G的所有圈，这些圈的值为群的非空元素。该问题不仅推广了反馈点集问题，而且推广了子集反馈点集问题、多路割问题和奇循环变换问题。完成Guillemot的结果[Discr. Opt.2011]，我们提供了一个固定参数的算法参数化的割集的大小。我们的算法的作品，即使该集团是作为一个多项式时间的预言。
2011-12-29 cs.DS
Designing FPT algorithms for cut problems using randomized contractions
我们介绍了一种设计切割问题固定参数算法的新技术，即随机收缩。我们应用我们的框架，以获得第一FPT算法的唯一标签覆盖问题和新的FPT算法与指数速度的施泰纳切割和节点多路切割未切割问题。更确切地说，我们证明了：-我们证明了唯一标签覆盖问题的参数化版本，这是唯一游戏猜想的基础，可以在2^{k ^2 \log}中求解|Σ|）}n^4 \log n确定性时间（即使在更强的顶点删除变体中），其中k是未满足边的数量，|Σ|就是字母表的大小因此，我们可以在多项式时间内解决唯一游戏的情况下，允许不被满足的边的数量是O（\sqrt{\log n}）的上限到最优性，这提高了平凡的O（1）上限。- 我们证明了Steiner割问题在2^{O（k^2 \log k）}n^4 \log n确定时间和\tilde{O}（2^{O（k^2 \log k）}n^2）随机时间内都能解，其中k是割集的大小.这一结果改进了Kawarabayashi和Thorup最近的工作（FOCS'11）的双指数运行时间。- 我们将展示如何结合考虑'削减'和'未削减'的约束在同一时间。更确切地说，我们定义了一个强大的问题节点多路切割，未切割，可以作为一个抽象的引入未切割的约束，并表明它允许算法运行在2^{O（k^2 \log k）}n^4 \log n确定性时间，其中k是割集的大小。据我们所知，处理未切割约束的唯一已知方法是通过Marx，…
2016-07-19 cs.DS
Almost Tight Lower Bounds for Hard Cutting Problems in Embedded Graphs
我们证明本质上紧的下界，有条件的指数时间假设，两个基本的，但似乎非常不同的切割问题的表面嵌入图：最短的切割图问题和多路切割问题。图$G$嵌入在表面$S$上的割图是$G$的子图，其从$S$移除留下圆盘。研究了嵌入亏格$g$曲面上的无权图是否有长度至多为给定值的割图的问题。证明了$n^{Ω(g/\log g)}$问题在ETH条件下的时间下界。换句话说，Erickson和Har-Peled的第一个$n^{O(g)}$时间算法[SoCG 2002，Discr.\计算。\ Geom.\ #20004;是最佳的。我们还证明了问题是W[1]-困难时，参数的亏格，回答了17岁的问题，这些作者。一个无向图$G$的多路割图，它有$t$可区分的顶点（称为终端），是一组边，去除这些边会断开所有终端对。本文研究了一个无权图$G$的权值至多为给定值的多路割问题。我们证明了这个问题的$n^{Ω(\sqrt{gt + g^2+t}/\log(g+t))}$的时间下界，有条件的ETH，为任何选择的属$g\ge0$的图和终端数$t\ge4$。换句话说，第二作者的算法[Mimica 2017]（对于更一般的多割问题）本质上是最优的;这扩展了第三作者[ICALP 2012]的下限（对于平面情况）。平面问题的简化通常涉及网格状结构。我们的结果的主要新颖的想法是了解什么结构，而不是网格是必要的，如果我们要利用最佳的某个值$g…
2021-02-17 cs.CC cs.CG cs.DS
Improved Region-Growing and Combinatorial Algorithms for $k$-Route Cut Problems
我们研究了各种切割问题的{ \em $k$ -route}推广，其中最一般的是\emph{$k$-route multicut}（$k$ -MC）问题，其中我们有$r$源-汇对，目标是删除一个最小成本的边缘集，以减少每个源-汇对的边缘连接到$k$以下。多路切割的$k$ -路由扩展（$k$-MWC）和最小$s$切割问题（$k$ - $(s,t)$ -cut）被类似地定义。我们提出了各种近似和硬度的结果，这些$k$路线切割的问题，提高了国家的最先进的这些问题在几种情况下。(i)对于{ \em $k$ -路由多路切割}，我们设计简单，但令人惊讶的有效，组合算法，产生双准则近似保证，显着提高了以前的最佳保证。(ii)对于{ \em $k$ -route multicut}，我们设计了算法，该算法通过粗略的$O(\sqrt{\log r})$ -因子来改进先前的最佳近似因子，当$k=2$时，并且对于一般的$k$和单位成本以及连接阈值$k$的任何固定违反。主要的技术创新是一个新的，强大的\emph{region growing}引理的定义，使我们能够执行区域增长的递归方式，即使LP解决方案产生一个{ \em不同的度量}为每个源-汇对。(iii)我们补充这些结果表明，{ \em $k$ -路由$s$ - $t$切}问题至少是很难近似的一致超图上的{ \em denigration- $k$ -s…
2014-10-19 cs.DM cs.DS
Preprocessing to Reduce the Search Space for Odd Cycle Transversal
针对奇环横贯问题核化无法缩小解规模参数搜索空间的问题，提出紧奇环割分解概念，开发参数化算法通过预处理检测最优解顶点，缩小搜索空间。
2024-10-07 cs.DS
Experimental Evaluation of Parameterized Algorithms for Graph Separation Problems: Half-Integral Relaxations and Matroid-based Kernelization
近年来，我们已经目睹了一个快速发展的新的算法技术的参数化算法的图分离问题。我们目前的实验评估的两个基石的理论成果在这方面：线性时间分支算法指导下的半积分松弛和内核化（预处理）例程的基础上，在拟阵的代表集。边贡献是一组新的（未加权，顶点删除）Multiway Cut的基准实例。
2018-11-19 cs.DS
Network Sparsification for Steiner Problems on Planar and Bounded-Genus Graphs
我们提出了多项式时间算法，稀疏平面和有界属图，同时保持最佳或接近最佳的解决方案，施泰纳问题。我们的主要贡献是一个多项式时间的算法，给定一个未加权图$G$嵌入表面的属$g$和指定的面$f$有界的一个简单的周期长度$k$，发现一组$F \subseteq E(G)$的大小多项式在$g$和$k$包含一个最佳的Steiner树的任何一组终端是一个子集的$f$的顶点。我们应用这个一般定理证明了：* 给定嵌入在亏格$g$的曲面上的一个未赋权图$G$和一个终端集$S \subseteq V(G)$，我们可以在多项式时间内找到一个集合$F \subseteq E(G)$，它包含$S$的一个最优Steiner树$T$，并且在$g$和$|E(T)|$中具有大小多项式; * 一个类似的结果对于终端对集合$S$的一个最优Steiner森林也成立;* 给定一个未加权平面图$G$和一个终端集$S \subseteq V(G)$，可以在多项式时间内找到一个集$F \subseteq E(G)$，它包含一个分离$S$的最优（边）多路割$C$，并且在$|C|$中具有大小多项式。在参数化复杂性的语言中，这些结果意味着平面和有界亏格图（分别由树和森林的大小参数化）上的Steiner树和Steiner森林以及平面图（由割集的大小参数化）上的（边）多路割的第一多项式核。此外，我们得到了我们的主要贡献的加权变体。
2017-07-11 cs.DS
Tight Bounds for Connectivity Problems Parameterized by Cutwidth
在这项工作中，我们开始调查严格的复杂性界限的连通性问题的参数化cutwidth假设强指数时间假设（SETH）。Van Geffen等人对奇圈截线和反馈点集提出了这个问题。我们回答了这两个和四个进一步的问题，即连通顶点覆盖，连通控制集，steiner树，连通奇圈断面。对于后两个问题，它足以证明下界匹配的运行时间继承的参数化树宽;对于其他人，我们提供更快的算法比相对树宽和证明匹配的下界。对于上界，我们首先扩展了Groenland等人的思想。[STACS~2022]来解决我们所说的类似着色的问题。这样的问题是由一个对称矩阵$M$定义的$\mathbb{F}_2$索引的一组颜色。我们的目标是计算一个图的着色数（模为某个素数$p$），使得$M$在任何边的端点的颜色索引下都有一个$1$ -条目。我们表明，这个问题可以更快地解决，如果$M$有小的排名超过$\mathbb{F}_p$。我们应用这个结果得到了连通顶点覆盖和连通支配集的上界。奇循环截线和反馈顶点集的上界使用细分技巧，使其低于矩阵秩产生的上界。
2022-12-23 cs.DS
Differentially Private Algorithms for Graph Cuts: A Shifting Mechanism Approach and More
本文研究图割的边差分隐私，提出通用移位机制并结合指数机制，为多路割、最小 k-割等给出近似最优或误差最优的私有算法及匹配下界。
2024-12-03 cs.CR cs.DS
Hypergraph Cuts with General Splitting Functions
图中的最小$s$ - $t$割问题是组合优化中最基本的问题之一，并且图割是贯穿离散数学、理论计算机科学、运筹学和数据科学的算法的基础。虽然图是成对关系的标准模型，但超图提供了建模多路关系的灵活性，现在是复杂数据和系统的标准模型。然而，当从图推广到超图时，“切割超边”的概念不太清楚，因为超边的节点可以以多种方式分裂。在这里，我们通过考虑以最小化分裂超边处的惩罚之和的方式分离超图中的两个终端节点的问题，开发了超图切割的框架。在我们的设置中，不同的方法分裂相同的超边有不同的惩罚，惩罚是由我们所谓的分裂函数编码的。我们的框架在超图切割的基础上打开了一个丰富的空间。我们首先确定一个自然类的基数为基础的超边缘分裂功能，只依赖于分裂的每一侧的节点数。在这种情况下，我们表明，一般超图$s$ - $t$切割问题可以减少到一个易处理的图$s$ - $t$切割问题当且仅当分裂功能是子模。我们还确定了一个广泛的制度，非次模分裂函数的问题是NP-困难的。我们还分析了扩展到多路切割至少有三个终端节点，并确定一个自然类的分裂功能，该问题可以减少在一个近似保持的方式在图中的节点加权多路切割问题，再次受到子模块属性。最后，我们概述了一般超图割问题的几个开放性问题。
2020-01-09 cs.CC cs.DM cs.DS
Solving $(k-1)$-Stable Instances of k-Terminal Cut with Isolating Cuts
k-终端切割问题，也称为多路切割问题，定义在具有称为“终端”的$k$不同顶点的边加权图上。“我们的目标是从图中删除最小权重的边集合，这样任何一对终端之间都没有路径。这个问题是NP难的。隔离切口是将一个端子与其余端子分开的最小切口。所有隔离切割的并集（最大的除外）是最佳k-末端切割的$(2-2/k)$ -近似。这是目前已知的唯一一种不需要求解线性规划的用于k-端子切割的近似算法。一个k-末端切割的实例是$γ$ -稳定的，如果切割中的边最多可以乘以$γ$而不改变唯一的最优解。在本文中，我们表明，在任何$(k-1)$ -稳定的情况下，k-终端切割，源集的隔离切割是唯一的最优解的k-终端切割实例的源集。我们的结论是，$(2-2/k)$近似算法返回的最优解$(k-1)$稳定的情况下。我们是第一个结果表明，这种$(2-2/k)$ -近似是一类特殊的图的精确优化算法。我们还表明，我们的$(k-1)$ -稳定性的结果是紧密的。我们构造了k-终端割问题的$(k-1-ε)$ -稳定实例，这些实例只有平凡的隔离割：也就是说，每个终端的隔离割的源集就是终端本身.因此，$(2-2/k)$近似不返回最优解。
2019-10-02 cs.DS
Local Guarantees in Graph Cuts and Clustering
相关聚类是一个优雅的模型，它可以捕获基本的图切割问题，例如组合优化中广泛研究的最小$s-t$切割，多路切割和多切割。这里，我们给出一个图，其边标记为$+$或$-$，目标是产生尽可能与标签一致的聚类：聚类内的$+$边和聚类间的$-$边。相关聚类（和其他图切割问题）的经典方法是优化全局目标。我们离开这一点，并研究当地的目标：最大限度地减少分歧的边缘事件在一个单一的节点，和类似的最大最小协议的目标。这自然会产生一个家庭的基本最小最大图切割问题。一个典型的代表是最小最大$s-t$切割：找到一个$s-t$切割，最大限度地减少任何节点上的切割边的最大数量。我们提出以下结果：$(1)$是求解最小化任意结点上不一致边的最大总权问题的一个$O(\sqrt{n})$ -近似（从而提供了第一个已知的近似上述家庭的最小最大图切割问题），$(2)$一个非常简单的$7$ -近似最小化局部分歧完全图（在$48$的先前最佳已知近似的基础上进行改进），以及$(3)$是用于最大化入射在任何节点上的一致边的最小总权重的$1/(2+\varepsilon)$近似，从而改进了$1/(4+\varepsilon)$ -近似，该近似是从切割和政党联盟博弈中的近似纯纳什均衡的研究中得出的。
2017-04-02 cs.DS
Cut-matching Games for Generalized Hypergraph Ratio Cuts
超图聚类是一种基本的算法原语，用于分析复杂的数据集和系统，这些数据集和系统的特征是多路交互，例如组电子邮件对话，共同购买的零售产品组和合著数据。本文提出了一个实用的$O(\log n)$-近似算法的超图比割聚类目标的一个广泛的类。这包括涉及广义超图切割函数的目标，其允许用户根据每个集群中的节点数量来不同地惩罚切割超边。我们的方法是一个推广的切割匹配框架图比率削减，并只依赖于解决最大的s-t流问题，在一个特殊的减少图。它比现有的超图比率切割算法快得多，同时也解决了一个更一般的问题。在各种类型的超图的数值实验中，我们表明，它可以快速找到一个小的最优因子内的比例切割解决方案。
2023-01-28 cs.DM cs.DS cs.SI
Cuts in Graphs with Matroid Constraints
本文研究了顶点割和多路割问题的拟阵推广，证明了以解大小为参数时这些问题是固定参数可解的，并推广至奇环横截等变体。
2024-06-27 cs.DM cs.DS math.CO
Optimal Approximations for the Requirement Cut Problem on Sparse Graph Classes
本文针对稀疏图类上的需求切割问题，通过分析最小斯坦纳树数量和系列-并行图深度，提出单对数级别的近似算法，改进了现有图类的近似比。
2025-11-24 cs.DS
Close relatives (of Feedback Vertex Set), revisited
在IPEC 2020上，Bergougnoux，Bonnet，Brettell和Kwon表明，与经典反馈顶点集（FVS）问题相关的许多问题不允许在树宽最多为$k$的图上使用$2^{o(k \log k)} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$ -时间算法，假设指数时间假设。这与使用切割和计数技术的FVS的$3^{k} \cdot k^{\mathcal{O}(1)} \cdot n$时间算法形成对比。在IPEC 2020的现场演讲中，Bergougnoux等人。提出了一些悬而未决的问题，我们在这项工作中回答。- 在树宽至多为$k$的图中，子集偶圈平移、子集奇圈平移、子集反馈顶点集可以在时间$2^{\mathcal{O}(k \log k)} \cdot n$内求解.这与Bergougnoux等人的偶数周期transmittance的下限相匹配。并在它们的一些上界中改进多项式因子。- 如果输入图是以尺寸$n$和宽度$k$的宽度-宽度表达式给出的，则子集反馈顶点集和节点多路割可以在时间$2^{\mathcal{O}(k \log k)} \cdot n$内求解。- 如果输入图被给定为大小为$n$和宽度为$k$的周期-宽度表达式，则奇周期事务可以在时间$4^k \cdot k^{\mathcal{O}(1)} \cdot n$中求解。此外，存在一个常数$\varepsilo…
2021-06-30 cs.CC cs.DM cs.DS
Subexponential Parameterized Algorithms for Cut and Cycle Hitting Problems on H-Minor-Free Graphs
我们设计了第一个次指数时间（参数化）算法的几个切割和循环击中问题的$H$ -小自由图。特别是，我们得到了以下结果（其中$k$是解决方案的大小参数）。1.边二分化和奇循环变换的$2^{O(\sqrt{k}\log k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法; 2.用于边缘多路切割的$2^{O(\sqrt{k}\log^4 k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法和用于顶点多路切割的$2^{O(r \sqrt{k} \log k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法，其中$r$是要分离的端子的数量; 3.用于边缘多切的$2^{O((r+\sqrt{k})\log^4 (rk))} \cdot n^{O(1)}$时间算法和用于顶点多切的$2^{O((\sqrt{rk}+r) \log (rk))} \cdot n^{O(1)}$时间算法，其中$r$是要分离的端子对的数量; 4.用于组反馈边集的$2^{O(\sqrt{k} \log g \log^4 k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法和用于组反馈顶点集的$2^{O(g \sqrt{k}\log(gk))} \cdot n^{O(1)}$时间算法，其中$g$是组的大小。5.此外，我们的方法也给出了$n^{O(\sqrt{k})}$时间算法的所有上述问题，除了$n^{O(r+\sqrt{k})}$时间的边缘/顶点多…
2022-07-04 cs.DM cs.DS
List H-Coloring a Graph by Removing Few Vertices
在列表同态问题的删除版本中，我们给出图G和H，对于G的每个顶点v，作为V（H）的子集的列表L（v），以及整数k。任务是决定是否存在大小至多为k的V（G）的子集W，使得存在关于列表的从G \ W到H的同态。我们表明，DL-Hom（H），参数为k和|H|，是固定参数易处理的任何（P6，C6）-自由二部图H;已经为这类限制图，问题推广顶点覆盖，奇循环translation，和顶点多路切割参数化的割集的大小和终端的数量。我们猜想DL-Hom（H）对于列表同态问题（无删除）多项式时间可解的图类H是固定参数易处理的;根据Feder，Hell和Huang（1999）的一个结果，一个图H精确地属于这类图，如果它是一个补图是圆弧图的二部图。我们发现，这个猜想是等价于一个相当自然的可满足性问题，条款删除链SAT的固定参数的易处理性。
2013-08-05 cs.DS
Fast Algorithms for Graph Arboricity and Related Problems
本文提出在近线性时间内求解带权无向图荫度的快速算法，并给出计算完整割层级的新算法，将此前上界显著改进，且揭示割层级与生成树多面体最大熵解及理想边负载的对应关系。
2025-07-21 cs.DS
Tractability of Hard Digraph Cut Problems on Eulerian Instances: Treewidth Reduction and Reducing CMSO to Unbreakable Eulerian Instances
Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）；DIMAG, Institute for Basic Science（基础科学研究院DIMAG）
本文针对欧拉有向导图，证明了树宽约简与CMSO约简的类似结果，为多个W[1]-难的有向导割问题（如Directed Multicut等）提供了FPT算法。
2026-10-14 cs.DS
Clique cover and graph separation: New incompressibility results
核化领域在参数化复杂性的框架下研究了困难问题的多项式时间预处理例程。虽然在2008年已经发现了一个证明核化下限的框架，并且在过去的三年中多次成功应用，但许多重要问题的核化复杂性仍然是开放的。在本文中，我们证明了，除非NP是coNP/poly的子集，并且多项式层次崩溃到其第三层，否则以下参数化问题不允许多项式时间预处理算法将实例的大小减少到参数中的多项式：- 有向边缘/顶点多路切割，由切割集的大小参数化，即使在两个终端的情况下，- EDGE/VERTEX MULTICUT，由割集的大小参数化，和- k-WAY CUT，由割集的大小参数化。EDGE CLIQUE COVER的多项式核化的存在是开放问题会议的经验丰富的老手。此外，我们的结果补充了最近的发展，在设计参数化算法的切割问题的马克思和Razgon [STOC'11]，Bousquet等人。[STOC'11]，Kawarabayashi和Thorup [FOCS'11]和Chitnis等人。[SODA'12]。
2011-11-02 cs.CC cs.DS
Approximating Multicut and the Demand Graph
在最小多割问题中，输入是边加权供应图$G=(V,E)$和简单需求图$H=(V,F)$。$G$和$H$之一是有向的（DMulC），或者两者都是无向的（UMULC）。目标是在$G$中移除边的最小权重集，使得对于任何$(s,t) \in F$，在剩余图中没有从$s$到$t$的路径。UMulC允许$O(\log k)$近似，其中$k$是$H$的顶点覆盖大小，而DMulC的最佳已知近似是$\min\{k, \tilde{O}(n^{11/23})\}$。这些近似是通过证明多商品流切间隙上的相应结果而得到的。与这些结果相反，一些特殊情况下的Multicut，如研究充分的多路切割问题，承认一个常数因子近似无向和有向图。从应用程序和抽象的考虑的具体实例的激励下，我们认为的作用，结构的需求图$H$在确定多切的近似性。在无向图中，我们的主要结果是一个$2$ -近似在$n^{O(t)}$时间时，需求图$H$排除了诱导匹配的大小$t$。这给出了激励这项工作的特定需求图的常数因子近似。与无向图相反，我们证明了在有向图中不存在这样的近似算法。假设唯一博弈猜想（UGC），对于一大类固定需求图，DMulC不能近似为比最坏情况下的流切间隙更好的因子。因此，我们证明，对于任何固定的$k$，假设UGC，DMulC与$k$需求对是很难近似到一个因素内比$k$更好。在积极的一面，我们证明了$k$的近似时，需求图排除某些图形…
2016-07-25 cs.CC cs.DM cs.DS
Graph Partitioning With Limited Moves
本文研究在预算限制下仅允许移动少量节点的图划分优化问题，提出 $r$-移动 $k$-划分问题，并给出多项式时间 $3(r+1)$ 近似算法，同时证明其 $W[1]$-难性及小常数 $r$ 下的 FPTAS。
2024-02-23 cs.DS
Graph Wavelets via Sparse Cuts: Extended Version
在从社交网络到物联网的许多实际应用中，对驻留在大型图的顶点上的信息进行建模是一个关键问题。图上的信号处理，特别是图小波可以利用这些数据集的内在平滑性，以便以紧凑和准确的方式表示它们。然而，如何发现小波基，捕捉相对于信号的数据的几何形状以及图形结构仍然是一个悬而未决的问题。在本文中，我们研究的问题，计算图小波基通过稀疏削减，以产生低维编码的数据驱动的基础。这个问题与图论中已知的困难问题（例如多路切割）有关，因此需要一个有效的启发式算法。我们将基础发现任务制定为向量优化问题的松弛，这导致了作为正则化特征值计算的优雅解决方案。此外，我们提出了几种策略，以扩大我们的算法到大型图。实验结果表明，该算法可以有效地编码的图形结构和信号，产生压缩和准确的表示在广泛的数据集（如传感器和基因网络）的顶点值，并显着优于最佳基线。
2016-06-13 cs.DS cs.SI
