Odd Multiway Cut in Directed Acyclic Graphs
我们研究奇多路节点（边）切割问题，其中输入是一个图与指定的终端节点的集合，目标是找到一个最小的子集的非终端节点（边）删除，使终端节点之间没有一个奇数长度的路径。在早期的工作中，Lokshtanov和Ramanujan证明了奇数多路节点割和奇数多路边割在无向图中由解的大小参数化时都是固定参数易处理的（FPT）。在这项工作中，我们专注于有向无环图（DAG）和设计一个固定参数的算法。我们的主要贡献是扩大了阴影消除框架，以解决奇偶校验问题的DAG。我们补充我们的FPT结果与紧密的逼近性，以及多面体的结果为2终端的DAG。此外，我们还证明了无向图中奇多路边割的不可逼近性结果，即使是2个终端。
2018-04-06 cs.DS
Computing multiway cut within the given excess over the largest minimum isolating cut
设$(G,T)$是（顶点）多路切割问题的实例，其中$G$是图，$T$是终端集。对于$t \in T$，将$t$与$T \setminus \{T\}$分开的一组非终结顶点称为$t$的一个\emph{isolating cut}。所有最小隔离割中的最大隔离割是$(G,T)$的多路割的自然下界。用$m$表示这个下限，并令$k$为整数。在本文中，我们提出了一个$O(kn^{k+3})$算法，计算一个多路切割的$(G,T)$的大小最多$m+k$或报告，没有这样的多路切割。所提出的算法的核心是下面的组合结果。设$G$是一个图，$X,Y$是$G$的两个不相交的顶点子集.令$m$为顶点$X-Y$分隔符的最小尺寸。然后，对于给定整数$k$，大小至多为$m+k$的\emph{important} $X-Y$分隔符\cite{MarxTCS}的数目至多为$\sum_{i=0}^k{n \choose i}$。
2010-11-29 cs.DM cs.DS
Min-Max Connected Multiway Cut
Charles University, Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学与物理学院）
本文研究了最小-最大连接多方式割问题，该问题要求将图分成t个连通部分，每个部分包含一个终端，并最小化各部分边界的最大权重。问题在连接性约束下具有新的特性，通过复杂度分析和算法设计揭示了其计算难度。
2026-04-26 cs.DS math.CO math.OC
Fixed-Parameter Tractability of Directed Multiway Cut Parameterized by the Size of the Cutset
给定一个有向图$G$，一组$k$终端和一个整数$p$，\textsc{Directed Vertex Multiway Cut}问题询问是否存在一个至多由$p$（非终端）顶点组成的$S$集合，该集合的删除将断开每个终端与所有其他终端的连接。\textsc{Directed Edge Multiway Cut}是类似的问题，其中$S$是至多$p$边的集合。众所周知，这两个问题确实是等效的。多路切割的自然推广是\emph{multicut}问题，其中我们希望仅断开一组给定的$k$对，而不是所有对。马克思（Theor。比较科学2006）证明了在无向图中多路割是由$p$参数化的固定参数易处理（FPT）。Marx和Razgon（STOC 2011）证明了无向多割是FPT，有向多割是W[1]-hard，由$p$参数化。我们通过我们的主要结果完成了这幅图，该结果是\textsc{Directed Vertex Multiway Cut}和\textsc{Directed Edge Multiway Cut}都可以在时间$2^{2^{O(p)}}n^{O(1)}$中求解，即，FPT由解的割集的大小$p$参数化。这就回答了马克思提出的一个悬而未决的问题（Theor.比较科学2006）和Marx and Razgon（STOC 2011）。从我们的结果可以看出，对于$k=2$末端对的情况，\texts…
2013-04-25 cs.CC cs.DS
A deterministic polynomial kernel for Odd Cycle Transversal and Vertex Multiway Cut in planar graphs
我们表明，奇循环transmittance和顶点多路切割承认确定性多项式核时，限制到平面图和参数化的解决方案的大小。这就回答了索拉布的一个问题。在获得这些结果的过程中，我们提供了一个高效的稀疏化例程，其风格类似于用于平面图中施泰纳树问题的稀疏化例程（FOCS 2014）。它与以前的工作不同，因为它保留了低成本子图的存在，这些子图不一定是原始平面图中的Steiner树，而是在添加位于公共面上的顶点对之间的所有边后变成Steiner树的结构。我们还展示了顶点多路切割和顶点平面化问题之间的联系，其中多项式核的存在仍然是一个重要的开放问题。
2018-12-12 cs.DS
Local Distribution and the Symmetry Gap: Approximability of Multiway Partitioning Problems
我们研究了多路划分问题的可逼近性，其中的例子包括多路割，节点加权多路割和超图多路割。我们调查这些问题的角度来看，两种可能的概括：作为最小的CSP，和子模块化多路划分问题。这两个推广导致两个自然松弛，基本LP和Lovasz松弛。我们证明了Lovasz松弛给出了具有$k$终端的次模多路划分的（2-2/k）-近似，改进了最近的一个2-近似.我们证明了这个因子在两个意义上是最优的：（1）k个终端的次模多路划分的（2-2/k-ε）-近似需要指数级的多个值查询。(2)对于超图多路割和有k个终端的结点加权多路割，这两种子模多路划分的特殊情况，我们证明了（2-2/k-ε）-近似是NP-难的，假设唯一对策猜想.我们的硬度结果是更一般的：（1）我们表明，对称间隙的概念，以前用于次模最大化问题，也意味着硬度结果的次模最小化问题。(2)假设唯一的游戏猜想，我们表明，基本的LP给出了一个最佳的近似为每一个最小的CSP，包括不相等的谓词。最后，我们通过证明基本LP的完整性间隙与多线性松弛的对称间隙（对于相关实例）来连接这两种硬度技术。这表明Min-CSP和相关的子模最小化问题出现相同的硬度阈值不是巧合。
2015-03-12 cs.DS
Packing multiway cuts in capacitated graphs
我们考虑无向图中的“多路切割包装”问题：给定图G=（V，E）和k个商品，每个商品对应于图中不同顶点上的一组终端;我们的目标是产生一个切割集合{E_1，...，E_k}，使得E_i是商品i的多路切割，并且使任何边缘上的最大负载最小化。边上的载荷被定义为解中穿过边的切口数。在该问题的容量限制版本中，目标是最小化任何边缘上的最大相对负载--边缘负载与其容量的比率。多路切割包装出现在图标记问题的上下文中，其中我们给出了一组项目的部分标记和它们的邻域结构，并且，非正式地，目标是以最一致的方式完成标记。这个问题是由Rabani，Schulman和Swamy（SODA'08）提出的，他们在一般图中提出了一个O（log n/log log n）的近似，在树中也提出了一个改进的O（log^2 k）近似。这里n是图中的节点数。我们提出了这个问题的第一个常数因子近似任意无向图。我们的方法是基于这样的观察，即问题的每一个实例都有一个接近最优的层流解（也就是说，没有一对切口相互交叉）。
2008-10-03 cs.DS
Nearly Tight Bounds For Differentially Private Min $s$-$t$ and Multiway Cut
本文研究最小s-t割与多路k割问题的差分隐私，提出近乎紧的上下界及高效隐私算法，隐私损失指数级降低，且实验显示近似质量接近非私有算法。
2023-12-27 cs.DS
Approximation Algorithms for Multi-Multiway Cut and Multicut Problems on Directed Graphs
本文给出了有向多路割和有向多路割问题的两个近似算法。对区域生长范式\cite{1}进行了改进，并将其用于有向图上的这两个割问题。通过使用这种模式，我们给每个问题的近似算法，使这两种算法的近似因子$O(k)$相同的这些问题上所做的以前的工作。然而，以前的工作需要解决$k$线性规划，而我们的算法只需要一个线性规划。因此，我们的算法提高了以前的算法的运行时间。
2019-03-30 cs.CC cs.DS
Approximation Algorithms for Norm Multiway Cut
本文研究 $\ell_p$ 范数及一般范数下的 Multiway Cut，改进已有近似比，并在 oracle 模型下给出算法及无 oracle 时的难度结果。
2023-08-16 cs.DS
Planar Multiway Cut with Terminals on Few Faces
本文研究平面图上的Edge Multiway cut问题，提出基于同伦和球面切割分解并结合全局树宽与Dreyfus-Wagner动态规划的$n^{O(\sqrt{k})}$时间算法，以面数$k$为参数优化了求解复杂度。
2025-06-29 cs.DS
Multiway Cut, Pairwise Realizable Distributions, and Descending Thresholds
我们为多路切割问题设计了新的近似算法，改进了先前已知的因子1.32388 [Buchbinder等人，2013年]。我们分三步进行。首先，我们分析了Buchbinder等人的舍入方案，2013年，并设计了一种改进，将近似值提高到（3+sqrt（5））/4（约为1.309017）。我们还提出了一个严格的例子，表明这是最好的近似可以实现与类型的削减考虑布赫宾德等人，2013年：（1）按指数时钟划分，（2）具有相等阈值的单坐标切割。然后，我们证明了这个因素可以通过引入一个新的舍入方案：（3）单坐标削减与下降的阈值。通过结合这三个方案，我们设计了一个算法，实现了（10 + 4 sqrt（3））/13（约1.30217）的一个因素。这是我们能够手动验证的最佳近似因子。最后，我们表明，通过将这三个舍入方案与Karger等人的独立阈值方案相结合，2004年，近似因子可以进一步提高到1.2965。该近似因子仅经计算机验证。
2014-05-12 cs.DS
Algorithms for Cut Problems on Trees
本文研究了{ \sc树上多割}和{ \sc树上广义多路割}问题。对于{ \sc多割树}问题，我们提出了一个在时间上运行的参数化算法$O^{*}(ρ^k)$，其中$ρ= \sqrt{\sqrt{2} + 1} \approx 1.555$是多项式$x^4-2x^2-1$的正根.这改进了Chen等人在时间上运行的当前最佳算法$O^{*}(1.619^k)$。对于{ \sc generalized multiway cut on trees}问题，我们证明了如果终端集的数目是固定的，这个问题在多项式时间内是可解的，这回答了刘和张在最近的一篇论文中提出的一个公开问题.通过将{ \sc树上的广义多路割}问题化为{ \sc树上的多路割}问题，我们的结果给出了在时间$O^{*}(ρ^k)$上求解{ \sc树上的广义多路割}问题的参数化算法，其中$ρ= \sqrt{\sqrt{2} + 1} \approx 1.555$时间.
2013-04-12 cs.DS
The integrality gap of the Goemans--Linial SDP relaxation for Sparsest Cut is at least a constant multiple of $\sqrt{\log n}$
本文证明了稀疏割问题的Goemans-线性半定规划松弛的完整性间隙为$Ω(\sqrt{\log n})$，输入为$n$.
2017-04-04 cs.DS
On Happy Colorings, Cuts, and Structural Parameterizations
我们研究了最大快乐顶点和最大快乐边问题。前一个问题是集群化的一个变体，其中一些顶点已经被分配到集群。第二个问题给出了多路未切割的自然推广，这是经典多路切割问题的补充。由于聚类和切割问题在理论和实践中的基础性作用，它们一直受到人们的广泛关注。我们建立了一个新的这两类问题之间的连接，通过提供最大幸福顶点和节点多路切割之间的减少。此外，我们还研究了最大快乐点和最大快乐边的结构和距离平凡参数化。在这些方向上获得的结果回答了四个作品中明确提出的问题：Agrawal '17，Aravind等人'16，Choudhari和Reddy '18，Misra和Reddy '17。
2019-07-14 cs.DS
Bilu-Linial Stable Instances of Max Cut and Minimum Multiway Cut
我们研究了Bilu和Linial提出的稳定性概念。我们得到了一个精确的多项式时间算法的$γ$稳定的最大割实例与$γ\geq c\sqrt{\log n}\log\log n$的一些绝对常数$c > 0$。我们的算法是鲁棒的：它永远不会返回错误的答案;如果实例是$γ$ -稳定的，它会找到最大切割，否则，它要么找到最大切割，要么证明实例不是$γ$ -稳定的。我们证明了，没有强大的多项式时间算法的$γ$稳定的情况下，最大切割时，$γ< α_{SC}(n/2)$，其中$α_{SC}$是最佳逼近因子的非均匀需求的稀疏切割。我们的算法是基于半定规划。我们证明了最大割的标准SDP松弛（具有$\ell_2^2$三角不等式）是积分的，如果$γ\geq D_{\ell_2^2\to \ell_1}(n)$，其中$D_{\ell_2^2\to \ell_1}(n)$是每个负型$n$点度量空间嵌入到$\ell_1$中的最小失真.在消极的一面，我们表明，SDP弛豫是不完整的，当$γ< D_{\ell_2^2\to \ell_1}(n/2)$。此外，当$γ< α_{SC}(n/2)$时，对于最大割的$γ$稳定实例，不存在易处理的凸松弛。这表明用$γ=o(\sqrt{\log n})$解决$γ$稳定实例可能很困难或不可能。我们的结果显着改善以前已知的结果。最大切割的$γ$稳定实例的最佳已知算法要求$γ\geq …
2013-11-11 cs.DS
Multiway Cuts with a Choice of Representatives
本文研究终端可从候选集中选择代表的多路割推广，扩展 CKR 松弛以匹配固定 q 下的最佳近似，并给出一般 q 的不可近似性结果及单代表情形的 2-近似算法。
2024-07-04 cs.DS
Rounding Algorithms for a Geometric Embedding of Minimum Multiway Cut
多路切割问题是，给定一个加权图和k >= 2个终端节点，找到一个最小权的边集，去除这些边可以分离所有终端。这个问题是NP难的，甚至对于一些小的delta > 0，在1+delta内近似也是NP难的。Calinescu，Karloff，and Rabani（1998）给出了一个性能保证为3/2-1/k的算法，该算法基于问题的几何松弛。本文给出了一种改进的随机化舍入方案，并给出了一个k=3的12/11-近似算法和一个一般的1.3438-近似算法.我们的方法取决于观察，设计一个随机舍入方案的几何松弛的问题本身是一个线性规划问题。本文探讨了这个问题的计算解决方案，并给出了一个证明，对于一般类的几何松弛，总是有随机舍入方案，匹配的完整性差距。
2003-09-15 cs.DM cs.DS
A $(\log n)^{Ω(1)}$ integrality gap for the Sparsest Cut SDP
我们证明了具有一般要求的稀疏割问题的Goemans-Linial半定松弛存在积分间隙$(\log n)^{Ω(1)}$ .这是通过展示$n$ -点度量空间的负型，其$L_1$失真是$(\log n)^{Ω(1)}$。我们的结果是基于从海森堡群到$L_1$的Lipschitz映射的退化率的定量界限制时，陪集的中心。
2009-11-18 cs.DS math.FA
Node Multiway Cut and Subset Feedback Vertex Set on Graphs of Bounded Mim-width
节点多路割（NMC）和子集反馈点集（SFVS）两个赋权图问题都要求一个总权最小的点集，对于NMC，它不连通给定的端点集，而对于SFVS，它相交于包含给定顶点集的所有圈.我们设计了一个元算法，允许解决这两个问题的时间$2^{O(rw^3)}\cdot n^{4}$，$2^{O(q^2\log(q))}\cdot n^{4}$，和$n^{O(k^2)}$其中$rw$是秩宽度，$q$的$\mathbb{Q}$秩宽度，和$k$的最小宽度的一个给定的分解。这肯定地回答了Jaffke等人提出的一个悬而未决的问题。（Jummica，2019）关于通过最小宽度参数化的SFVS的XP算法。通过一个统一的算法，在多项式时间内解决了以下图类的两个问题：区间图、置换图和双区间图，圆弧图和圆置换图，凸图，固定$k$的$k$ -多边形，Dilworth- $k$和Co- $k$ -退化图;并且如果叶根被给定为输入，则也在叶功率图上，如果$H$表示被给定为输入，则在固定$H$的$H$ -图上，和任意权力的图在所有上述类别。在此之前，我们的结果，只有SFVS被称为是易于处理的限制只在区间和排列图，而所有其他的结果是新的。
2022-01-17 cs.DS
Parameterized Algorithms for Min-Max Multiway Cut and List Digraph Homomorphism
本文设计了求解两个参数化问题的{ \sf FPT}-算法。第一个是\textsc{List Digraph Homomorphism}：给定两个有向图$G$和$H$以及对于$G$的每个顶点的$H$的允许顶点列表，问题是是否存在关于列表约束的从$G$到$H$的同态。第二个问题是\textsc{Multiway Cut}的一个变体，即\textsc{Min-Max Multiway Cut}：给定一个图$G$，一个非负整数$\ell$，和一个$r$终端的集合$T$，问题是我们是否可以将$G$的顶点划分成$r$部分，使得（a）每个部分包含一个终端，并且（b）在该部分中最多有只有一个端点的$\ell$边。我们用$G$中映射到$H$的非循环边的边的个数$w$来表示\textsc{List Digraph Homomorphism}，并给出了一个时间$2^{O(\ell\cdot\log h+\ell^2\cdot \log \ell)}\cdot n^{4}\cdot \log n$算法，其中$h$是宿主图$H$的阶数.我们还证明了\textsc{Min-Max Multiway Cut}可以在时间$2^{O((\ell r)^2\log \ell r)}\cdot n^{4}\cdot \log n$中求解。我们的方法引入了一个一般问题，称为{ \sc列表分配}，其表达能力允许设计上述两个…
2015-09-24 cs.DS math.CO
The Bidirected Cut Relaxation for Steiner Tree: Better Integrality Gap Bounds and the Limits of Moat Growing
Department of Computer Science, ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院计算机系）
该研究改进了Steiner树问题中双向割松弛的整数规划间隙上界，证明其至多为1.898，并探讨了moat生长算法的极限。
2026-02-23 cs.DS
Dual Half-integrality for Uncrossable Cut Cover and its Application to Maximum Half-Integral Flow
给定一个边权图和一个森林$F$，$\textit{2-edge connectivity augmentation problem}$的任务是选取一个最小权边集$E'$，使得$E'\cup F$的每个连通分支都是2-边连通的. Williamson等人利用原始-对偶模式给出了该问题的2-近似算法（WGMV）。我们表明，当边缘权重是积分，WGMV程序可以修改，以获得一个半积分对偶。2-边连通性扩充问题与图中的路由流有一个有趣的联系，其中供应和需求的联合是平面的。对偶的半整性导致一个紧的2-近似最大半积分流最小多割定理。
2020-07-28 cs.DS
Simple and Fast Rounding Algorithms for Directed and Node-weighted Multiway Cut
在有向多路割（Dir-MC）中，输入是一个边加权有向图$G=(V,E)$和一组$k$终端节点$\{s_1,s_2,\ldots,s_k\} \subseteq V$ ;目标是找到一个边的最小权重子集，删除它可以确保任何$i \neq j$都没有从$s_i$到$s_j$的路径。在节点加权多路割（Node-weighted Multiway Cut，Node-MC）中，输入是一个节点加权无向图$G$和一组$k$终端节点$\{s_1,s_2,\ldots,s_k\} \subseteq V$ ;目标是删除最小权重的节点子集，以断开每对终端。Dir-MC承认$2$ -近似[Naor，Zosin '97]，Node-MC承认$2(1-\frac{1}{k})$ -近似[Garg，Vazirani，Yannakakis '94]，两者都通过LP松弛的舍入。以前的舍入算法，这些问题，从近二十年前，是基于仔细舍入的“最佳”解决方案的LP松弛。这对于Dir-MC尤其如此，其中舍入依赖于定制LP公式而不是基于自然距离的LP松弛[Naor，Zosin '97]。在本文中，我们描述了非常简单的和近线性时间舍入算法的Dir-MC和Node-MC通过自然的距离为基础的LP松弛。这种松弛的对偶是最大多商品流问题的一个特例。我们的算法实现了与以前相同的界限，但具有显着的优势，因为它们可以与“任何可行的”解决方案的…
2015-07-16 cs.DS
Submodular Cost Allocation Problem and Applications
研究了最小子模块费用分配问题（MSCA）。在这个问题中我们给出了有限基集$V$和$V$上的$k$非负次模集函数$f_1 ,..., f_k$.目标是将$V$划分为$k$（可能为空）集合$A_1 ,..., A_k$，使得总和$\sum_{i=1}^k f_i(A_i)$最小化。几个研究得很好的问题，如非度量设施选址问题，多路切割图和超图，统一度量标记及其推广可以被证明是特殊情况下的MSCA。在本文中，我们考虑了凸规划松弛通过次模函数的Lovász扩张。这使我们能够理解以前的几个松弛和舍入程序在一个统一的方式，也开发新的配方和近似算法的几个问题。特别地，我们给出了超图多路划分问题的一个$(1.5 - 1/k)$ -近似。当$Δ$是最大超边长度时，我们给出了超图多路割问题的一个$\min\{2(1-1/k), H_Δ\}$ -近似.这两个问题推广了图的多路割问题，并且超图割问题与图的结点加权多路割问题是等价的。
2011-05-10 cs.DM cs.DS
Steiner Tree Parameterized by Multiway Cut and Even Less
本文针对斯坦纳树问题提出两种更小结构参数化的固定参数可解算法：以最小多路割为参数并借助二分匹配求解，以及引入K-自由树宽混合参数化并扩展基于秩的方法，分别获得相应时间复杂度的求解算法。
2024-06-28 cs.DS
Minimum Label s-t Cut has Large Integrality Gaps
给定图G=（V，E），其标号集L = {l_1，l_2，.，l_q}，其中每个边具有来自L的标签、V中的源s和V中的宿t，最小标签s-t切割问题要求挑选具有最小基数的标签的集合L'子集L，使得具有来自G的L'中的标签的所有边的移除断开s和t。这个问题来自于现实世界中的许多应用，例如信息安全和计算机网络。本文研究了最小标号s-t割的两个线性规划，证明了这两个线性规划都有大的积分间隙，即Omega（m）和Omega（m^{1/3-n}），其中m是图的边数，n> 0是任意小的常数.由于最小标号s-t割是NP-难问题，而线性规划技术是设计近似算法的主要途径，因此我们的结果对单纯依靠线性规划设计更好的最小标号s-t割近似算法的希望给出了否定的回答.
2019-08-30 cs.DS
The Unique Games Conjecture, Integrality Gap for Cut Problems and Embeddability of Negative Type Metrics into $\ell_1$
本文证明了Goemans和Linial的一个猜想，即每一个负型度量嵌入到$\ell_1$中，且具有常数的畸变.我们发现，对于一个任意小的常数$δ> 0$，对于所有足够大的$n$，有一个$n$点负型度量，需要失真至少$(\log\log n)^{1/6-δ}$嵌入到$\ell_1.$令人惊讶的是，我们的建设是受独特的游戏猜想（UGC）的霍特，建立一个以前未被怀疑的连接之间的概率检验证明系统（PCP）和度量嵌入的理论。我们首先证明，UGC意味着一个超常数硬度的结果（非均匀）Sparcident切割问题。虽然这个硬度的结果依赖于UGC，我们证明，然而，相应的PCP减少可以用来构建一个“完整性差距实例”的Sparcadium切。为此，我们首先构建了一个完整性差距的唯一游戏的自然SDP放松的例子。然后，我们“模拟”的PCP减少和“翻译”的完整性差距的独特的游戏实例的完整性差距的Spartament切割的实例。这使我们能够证明一个$(\log \log n)^{1/6-δ}$完整性间隙的Sparling-Cut，这是已知的是等价的度量嵌入下界。
2013-05-20 cs.CC cs.DS math.MG
Improved Approximation Algorithms for Multiway Cut by Large Mixtures of New and Old Rounding Schemes
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；University of Michigan（密歇根大学）；University of Chicago（芝加哥大学）；Blavatnik School of Computer Science, Tel Aviv University（特拉维夫大学布拉特尼克计算机科学学院）
本文提出了一种改进的多方式割问题近似算法，通过混合新旧舍入方案，将近似比从1.2965降低到1.2787，并在k≥4时取得了25年来最佳结果。
2026-03-30 cs.DS
First-principles multiway spectral partitioning of graphs
本文研究了用谱方法将一个图划分为两个以上部分的最小割问题。虽然存在完善的频谱算法，这个问题，给出了良好的结果，他们传统上没有得到很好的动机。它们不是通过最小化图切割从第一原理导出的，而是通常在没有直接推导的情况下提出，然后在事实证明有效。在本文中，我们采取了一种对比的方法，我们从一个矩阵制定的最小割问题，然后显示，通过一个放松的优化，它如何可以映射到一个谱嵌入定义的领导特征向量的图形拉普拉斯算子。最终的结果是一个算法，是类似的精神，但不同的细节，以前的频谱分割方法。在测试中的算法，我们发现，它优于以前的方法在某些特别困难的分区问题。
2013-07-19 cs.DS cs.SI
The Bidirected Cut Relaxation for Steiner Tree has Integrality Gap Smaller than 2
针对Steiner树问题，本文证明双向切割松弛（BCR）的整性间隙上界为1.9988，首次严格表明其优于恰好为2的自然无向松弛。
2024-08-08 cs.DM cs.DS
Approximation Algorithms for Submodular Multiway Partition
本文研究子模多路划分问题（SubMP）的算法。SubMP的一个实例由一个有限基集$V$、一个称为终端的$k$元素的子集$S = \{s_1,s_2,...,s_k\}$和一个作为值oracle提供的$V$上的非负子模集函数$f:2^V\rightarrow \mathbb{R}_+$组成。目标是将$V$划分为$k$集合$A_1,...,A_k$，使得对于$1 \le i \le k$、$s_i \in A_i$和$\sum_{i=1}^k f(A_i)$最小化。SubMP推广了一些著名的问题，如图和超图中的多路割问题，以及图中的节点加权多路割问题。Zhao，Nagamochi和Ibaraki \cite{ZhaoNI05}考虑了任意次模函数（而不仅仅是对称函数）的SubMP。以前的算法是基于贪婪的分裂和分而治之的策略。在最近的工作\cite{ChekuriE11}，我们提出了一个凸规划松弛SubMP的基础上的子模函数的Lovász-扩展，并显示其适用于某些特殊情况。在本文中，我们得到了以下结果任意次模函数通过这种松弛。(i)SubMP的2-近似。这改进了来自\cite{ZhaoNI05}的$(k-1)$ -近似和（ii）当$f$是对称的时用于SubMP的$(1.5-1/k)$ -近似。这改进了来自\cite{Queyranne99,ZhaoNI05}的$2(1-1/k)$近似。
2011-05-10 cs.DM cs.DS
A 4/3-Approximation Algorithm for Half-Integral Cycle Cut Instances of the TSP
本文针对TSP半整数实例中所有临界紧集均为环割的情形，构造了期望成本至多为LP解值4/3倍的巡回分布，从而给出紧的随机化4/3近似算法，部分证实了长期存在的4/3完整性间隙猜想。
2023-07-09 cs.DS math.OC
TSP integrality gap via 2-edge-connected multisubgraph problem under coincident IP optima
Whiting School of Engineering, Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学惠廷工程学院）
本文通过2-edge-connected multisubgraph问题的唯一整数最优解和半整数LP解，证明TSP的积分间隙不超过4/3。
2025-12-05 cs.DS math.OC
Half-integrality, LP-branching and FPT Algorithms
参数化算法的最近趋势是将多面体工具（具体地，LP分支）应用于FPT算法（例如，Cygan等人，2011; Narayanaswamy等人，2012年）。然而，尽管已经实现了有趣的结果，但是这些方法要求底层多面体具有非常严格的性质（半完整性和持久性），这些性质仅对于少数问题是已知的（基本上是顶点覆盖（Nemhauser和Trotter，1975）和节点多路切割（Garg等人，1994年））。采用稍微不同的方法，我们将半完整性视为问题的\emph{discrete}松弛，例如，从$\{0,1\}^V$到$\{0,1/2,1\}^V$的搜索空间的松弛，使得新问题允许多项式时间精确解。使用CSP的工具（特别是Thapper和Jumeivnovich，2012）来研究这种松弛的存在性，我们提供了一个更广泛的具有所需性质的半整数多面体，统一和扩展了以前已知的情况。除了深入了解问题的半积分松弛，我们的研究结果产生了一系列新的和改进的FPT算法，包括$O^*(|Σ|^{2k})$时间算法节点删除唯一标签覆盖标签集$Σ$和$O^*(4^k)$时间算法组反馈顶点集，包括设置组仅由Oracle访问。所有这些都大大改善了以前的结果。后一个结果也意味着子集反馈顶点集的第一个单指数时间FPT算法，回答了Cygan等人（2012）的一个公开问题。此外，我们提出了一个基于网络流的方法来解决某些情况下的松弛问题。这…
2014-06-11 cs.DS
A Logarithmic Integrality Gap Bound for Directed Steiner Tree in Quasi-bipartite Graphs
我们证明了在具有$k$终端的准二部图中，基于自然割的LP松弛的有向Steiner树问题的完整性间隙是$O(\log k)$。这样的例子可以被看作是广义的集合覆盖，所以完整性缺口分析是紧到一个常数因子。我们的方法的一个新的方面是，我们使用的原始-对偶方法，很少使用的技术，在有向图的网络设计问题的近似算法的设计。
2016-04-27 cs.DS
Improved integrality gap upper bounds for TSP with distances one and two
我们研究了旅行商问题（TSP）的线性规划公式的解决方案的结构。我们进行了详细的分析，支持的subtour消除线性规划松弛，这导致算法，找到2-匹配的几个组件在多项式时间。组件的数量直接导致的完整性差距上界的TSP的距离为1和2，无向和有向图。我们的主要结果涉及subtour消除松弛与一个额外的切割平面不等式：-对于无向的情况下，我们得到的完整性差距上限为5/4，没有任何进一步的限制，7/6，如果最佳的LP解决方案是半积分。- 对于n阶的情况下，分数LP值的成本为n，我们得到一个紧的完整性差距上限为10/9，如果有一个最优解与次立方支持图。如果解是分数2-匹配多面体中的基本解，则隐含了图是次立方的后一性质。- 对于定向的情况下，我们得到的完整性差距上限为3/2，4/3，如果给定一个最佳的1/2-积分的解决方案。在无向图的情况下，如果我们接受稍微增加的值，我们可以避免添加割平面不等式。对于紧密的结果，不需要切割平面。此外，我们表明，依赖于支持的结构不是我们算法的人工制品，但在标准复杂性理论假设下是必要的：我们表明，即使对于距离为1和2的TSP，通过局部搜索找到改进的解决方案对于k边变化邻域也是W[1]困难的，这加强了Dániel Marx的结果。
2015-03-26 cs.DS
Simplex based Steiner tree instances yield large integrality gaps for the bidirected cut relaxation
双向割松弛是双向松弛（$\mathrm{\mathcal{BCR}}$）的特征代表，双向松弛是NP-难Steiner树问题（STP）的一类著名的等价LP-松弛.虽然没有基于$\mathrm{\mathcal{BCR}}$的通用近似算法，其近似比STP的$2$更好，但在整数规划中，它作为STP的实现是最优选的，因为存在紧凑大小的公式，其在实践中证明是非常有效的。已知$\mathrm{\mathcal{BCR}}$的完整性间隙至多为$2$，并且长期存在的未决问题是完整性间隙是否小于$2$。迄今为止，最佳下限是Byrka等人证明的$\frac{36}{31} \approx 1.161$ [BGRS 13]。基于Chakrabarty等人的工作。[CDV 11]通过考虑适当的对偶公式将STP实例嵌入到单纯形中，我们通过构造一类新的实例并证明其完整性间隙至少倾向于$\frac{6}{5} = 1.2$来改进这一结果。更确切地说，我们认为类的等价LP-松弛$\mathrm{\mathcal{BCR}}^{+}$，可以通过加强$\mathrm{\mathcal{BCR}}$已知的直接施泰纳顶点度约束，并表明，最坏情况下的比例关于$\mathrm{\mathcal{BCR}}$和$\mathrm{\mathcal{BCR}}^{+}$之间的最佳值至少是$\frac{6}{5}$。由于$\math…
2020-02-18 cs.DM cs.DS math.CO
Domination and Cut Problems on Chordal Graphs with Bounded Leafage
弦图G的叶数是使G可实现为具有l个叶的树的子树的交图的最小整数l。我们考虑弦图的经典控制和切割问题的叶数结构参数化。Fomin，Golovach和Raymond [ESA 2018，Monumica 2020]证明了弦图上的支配集允许在时间上运行的算法$2^{O(l^2)} n^{O(1)}$。我们提出了一个概念上更简单的算法，运行在时间$2^{O(l)} n^{O(1)}$。我们扩展我们的方法，得到类似的结果连接支配集和Steiner树。然后，我们考虑两个经典的切割问题与不可删除的终端多路切割和不可删除的终端。我们证明了前者是W[1]-硬时，参数的叶龄和补充这一结果，提出了一个简单的$n^{O(l)}$ -时间算法。令我们惊讶的是，我们发现，多路切割与不可删除的终端弦图可以解决，相反，在$n^{O(1)}$时间。
2022-08-04 cs.CC cs.DS
An Improved Integrality Gap for Steiner Tree
本文提出了一种基于对偶-原算法的组合算法，将Steiner树问题的双向割松弛的积分间隙从2改进到1/2。
2026-07-21 cs.DS
Representative sets and irrelevant vertices: New tools for kernelization
奇圈变换多项式核的存在性是参数复杂性中一个著名的公开问题。最近，这是由本作者（Kratsch和Wahlström，SODA 2012）解决的，该问题具有随机多项式内核，使用拟阵理论对终端数量的大小多项式中的一组终端上的流问题进行编码。在目前的工作中，我们进一步建立了拟阵理论的核化的有用性，通过展示Lovász（Combinatorial Surveys 1977）和Marx（TCS 2009）的代表集的结果的应用。我们展示了如何代表集可以用来给一个难以捉摸的几乎2-SAT问题的多项式内核。我们进一步将代表集工具应用于图割问题中寻找不相关顶点的问题，即，可以使其不可删除而不影响问题状态的顶点。这给出了Multiway Cut问题的多项式核的第一个重要进展;特别地，我们得到了至多s个终端的Multiway Cut实例的O（k^{s+1}）个顶点的核。这两个核化结果都有显著的副产品效应，为一系列相关问题产生了第一个多项式核。更一般地说，不相关顶点的结果有覆盖图中的最小割的影响。对于有向图G=（V，E）且集合S，T \subseteq V，设r是最小（S，T）-点割（它可能与S和T相交）的大小.我们可以找到一个大小为O（|S| * |T| *r）的集合Z \subseteq V，它包含每个A \subseteq S，B \subseteq T的最小（A，B）-顶点割。类似地，对于一个无向图…
2012-06-26 cs.DS
On the Parameterized Complexity of Multiway Near-Separator
本文研究了推广自顶点多路割的新型图分离问题Multiway Near-Separator，基于重要分离器推送引理及两个专属技术，提出了运行时间为$2^{O(k \log k)} * n^{O(1)}$的固定参数可处理算法。
2023-10-06 cs.DS
Maximum Entropy is a 10/7-Approximation Algorithm for the TSP on Half-Integral Cycle Cut Instances
Purdue University（普渡大学）；Boston University（波士顿大学）；Cornell University（康奈尔大学）
针对TSP的半整数环割实例，证明最大熵算法达到10/7近似比，该类实例包含Subtour LP积分间隙为4/3的案例，且算法性能不低于11/8。
2026-07-03 cs.DS
Almost Tight Lower Bounds for Hard Cutting Problems in Embedded Graphs
我们证明本质上紧的下界，有条件的指数时间假设，两个基本的，但似乎非常不同的切割问题的表面嵌入图：最短的切割图问题和多路切割问题。图$G$嵌入在表面$S$上的割图是$G$的子图，其从$S$移除留下圆盘。研究了嵌入亏格$g$曲面上的无权图是否有长度至多为给定值的割图的问题。证明了$n^{Ω(g/\log g)}$问题在ETH条件下的时间下界。换句话说，Erickson和Har-Peled的第一个$n^{O(g)}$时间算法[SoCG 2002，Discr.\计算。\ Geom.\ #20004;是最佳的。我们还证明了问题是W[1]-困难时，参数的亏格，回答了17岁的问题，这些作者。一个无向图$G$的多路割图，它有$t$可区分的顶点（称为终端），是一组边，去除这些边会断开所有终端对。本文研究了一个无权图$G$的权值至多为给定值的多路割问题。我们证明了这个问题的$n^{Ω(\sqrt{gt + g^2+t}/\log(g+t))}$的时间下界，有条件的ETH，为任何选择的属$g\ge0$的图和终端数$t\ge4$。换句话说，第二作者的算法[Mimica 2017]（对于更一般的多割问题）本质上是最优的;这扩展了第三作者[ICALP 2012]的下限（对于平面情况）。平面问题的简化通常涉及网格状结构。我们的结果的主要新颖的想法是了解什么结构，而不是网格是必要的，如果我们要利用最佳的某个值$g…
2021-02-17 cs.CC cs.CG cs.DS
Improved Region-Growing and Combinatorial Algorithms for $k$-Route Cut Problems
我们研究了各种切割问题的{ \em $k$ -route}推广，其中最一般的是\emph{$k$-route multicut}（$k$ -MC）问题，其中我们有$r$源-汇对，目标是删除一个最小成本的边缘集，以减少每个源-汇对的边缘连接到$k$以下。多路切割的$k$ -路由扩展（$k$-MWC）和最小$s$切割问题（$k$ - $(s,t)$ -cut）被类似地定义。我们提出了各种近似和硬度的结果，这些$k$路线切割的问题，提高了国家的最先进的这些问题在几种情况下。(i)对于{ \em $k$ -路由多路切割}，我们设计简单，但令人惊讶的有效，组合算法，产生双准则近似保证，显着提高了以前的最佳保证。(ii)对于{ \em $k$ -route multicut}，我们设计了算法，该算法通过粗略的$O(\sqrt{\log r})$ -因子来改进先前的最佳近似因子，当$k=2$时，并且对于一般的$k$和单位成本以及连接阈值$k$的任何固定违反。主要的技术创新是一个新的，强大的\emph{region growing}引理的定义，使我们能够执行区域增长的递归方式，即使LP解决方案产生一个{ \em不同的度量}为每个源-汇对。(iii)我们补充这些结果表明，{ \em $k$ -路由$s$ - $t$切}问题至少是很难近似的一致超图上的{ \em denigration- $k$ -s…
2014-10-19 cs.DM cs.DS
An Improved Integrality Gap for Asymmetric TSP Paths
非对称旅行商路径问题（ATSPP）是一个给定具有指定顶点s和t的非对称度量空间$(V,d)$，目标是找到通过V中所有顶点的最小长度的s-t路径的问题。（而不是$s-t$路径）访问所有节点：对于ATSP，$ρ$近似保证意味着ATSPP的$O(ρ)$近似。然而，对于这些问题的线性规划松弛的完整性间隙，没有这样的连接是已知的：ATSPP的当前最佳近似算法是$O(\log n/\log\log n)$，而ATSPP的自然LP松弛（子图消除LP）的完整性间隙的最佳界限是$O(\log n)$。在本文中，我们关闭这个差距，并改善目前的最佳界的完整性差距从$O(\log n)$到$O(\log n/\log\log n)$。所得到的算法使用LP解中的窄$s$ - $t$切割的结构来构造（随机）树生成树，该树生成树可以被廉价地扩充以包含欧拉$s$ - $t$行走。我们还建立在Oveis Gharan和Saberi的结果，并显示了强形式的Goddyn的猜想薄生成树意味着完整性差距的subtour消除LP松弛ATSPP是有界的一个常数。最后，我们给出了一个更简单的家庭的情况下，这个LP的完整性差距至少是2。
2015-01-06 cs.DS
A Parameterized Algorithm for Mixed Cut
经典门格尔定理指出，在任何无向（或有向）图$G$中，给定一对顶点$s$和$t$，顶点（边）不相交路径的最大数目等于从$s$和$t$断开所需的顶点（边）的最小数目。该最小-最大结果可以转化为多项式时间算法，以找到顶点（边）不相交路径的最大数量以及将$s$从$t$断开所需的顶点（边）的最小数量。在本文中，我们研究了这个问题的混合版本，称为混合切割，其中我们给定一个无向图$G$，顶点$s$和$t$，正整数$k$和$l$，目的是检验是否存在$k$大小的顶点集$S \subseteq V(G)$和$l$大小的边集$F \subseteq E(G)$，使得从$G$与$s$和$F$断开连接。我们从一个小的观察开始，这个问题是NP完全的，然后研究这个问题，实际上是一个更强的泛化，在参数化复杂性领域。特别是我们研究的混合多路切割未切割的问题，随着一组终端$T$，我们也给出了一个等价关系$\mathcal{R}$上$T$，问题是我们是否可以删除最多$k$顶点和最多$l$边缘，使终端的连通性在所得到的图方面$\mathcal{R}$。我们的主要结果是使用Chitnis等人（FOCS 2012）引入的递归理解方法的混合多路切割-未切割的固定参数算法。
2015-09-18 cs.DS
Designing FPT algorithms for cut problems using randomized contractions
我们介绍了一种设计切割问题固定参数算法的新技术，即随机收缩。我们应用我们的框架，以获得第一FPT算法的唯一标签覆盖问题和新的FPT算法与指数速度的施泰纳切割和节点多路切割未切割问题。更确切地说，我们证明了：-我们证明了唯一标签覆盖问题的参数化版本，这是唯一游戏猜想的基础，可以在2^{k ^2 \log}中求解|Σ|）}n^4 \log n确定性时间（即使在更强的顶点删除变体中），其中k是未满足边的数量，|Σ|就是字母表的大小因此，我们可以在多项式时间内解决唯一游戏的情况下，允许不被满足的边的数量是O（\sqrt{\log n}）的上限到最优性，这提高了平凡的O（1）上限。- 我们证明了Steiner割问题在2^{O（k^2 \log k）}n^4 \log n确定时间和\tilde{O}（2^{O（k^2 \log k）}n^2）随机时间内都能解，其中k是割集的大小.这一结果改进了Kawarabayashi和Thorup最近的工作（FOCS'11）的双指数运行时间。- 我们将展示如何结合考虑'削减'和'未削减'的约束在同一时间。更确切地说，我们定义了一个强大的问题节点多路切割，未切割，可以作为一个抽象的引入未切割的约束，并表明它允许算法运行在2^{O（k^2 \log k）}n^4 \log n确定性时间，其中k是割集的大小。据我们所知，处理未切割约束的唯一已知方法是通过Marx，…
2016-07-19 cs.DS
Hypergraph Cuts with General Splitting Functions
图中的最小$s$ - $t$割问题是组合优化中最基本的问题之一，并且图割是贯穿离散数学、理论计算机科学、运筹学和数据科学的算法的基础。虽然图是成对关系的标准模型，但超图提供了建模多路关系的灵活性，现在是复杂数据和系统的标准模型。然而，当从图推广到超图时，“切割超边”的概念不太清楚，因为超边的节点可以以多种方式分裂。在这里，我们通过考虑以最小化分裂超边处的惩罚之和的方式分离超图中的两个终端节点的问题，开发了超图切割的框架。在我们的设置中，不同的方法分裂相同的超边有不同的惩罚，惩罚是由我们所谓的分裂函数编码的。我们的框架在超图切割的基础上打开了一个丰富的空间。我们首先确定一个自然类的基数为基础的超边缘分裂功能，只依赖于分裂的每一侧的节点数。在这种情况下，我们表明，一般超图$s$ - $t$切割问题可以减少到一个易处理的图$s$ - $t$切割问题当且仅当分裂功能是子模。我们还确定了一个广泛的制度，非次模分裂函数的问题是NP-困难的。我们还分析了扩展到多路切割至少有三个终端节点，并确定一个自然类的分裂功能，该问题可以减少在一个近似保持的方式在图中的节点加权多路切割问题，再次受到子模块属性。最后，我们概述了一般超图割问题的几个开放性问题。
2020-01-09 cs.CC cs.DM cs.DS
LP Relaxation and Tree Packing for Minimum $k$-cuts
Karger使用生成树填充来推导出全局最小割问题的近线性时间随机算法以及近似最小割数的界。这是一种不同于他著名的随机收缩算法的方法。Thorup通过贪婪递归树填充为最小$k$-割问题提出了一种快速确定性算法。在本文中，我们重新讨论的性质的LP松弛$k$-削减提出的Naor和Rabani，并分析了Chekuri，Guha和Naor。我们发现，双LP产生一个树包装，当结合上界的完整性差距的LP，容易和透明的扩展Karger的分析mincut的$k$切割问题。除了简单的算法及其分析，这使我们能够提高运行时间的Thorup的算法的一个因素的$n$。我们还改进了$α$-近似$k$-割的个数的界.其次，给出了线性规划的完整性缺口为$2(1-1/n)$的简单证明。第三，我们表明，LP松弛的最佳解决方案，对于所有值的$k$，是完全由主序列的输入图的分区。这使我们能够与LP松弛的拉格朗日松弛的方法Barahona和拉维和辛哈，它也表明，理想化的递归树包装考虑Thorup给出了一个最佳的对偶解决方案的LP。这项工作产生于努力理解和简化的结果Thorup。
2018-08-17 cs.DS
Differentially Private Algorithms for Graph Cuts: A Shifting Mechanism Approach and More
本文研究图割的边差分隐私，提出通用移位机制并结合指数机制，为多路割、最小 k-割等给出近似最优或误差最优的私有算法及匹配下界。
2024-12-03 cs.CR cs.DS
Global and fixed-terminal cuts in digraphs
多路切换类问题的计算复杂性可能会根据终端是否固定而显著变化。在这项工作中，我们提出了一个全面的研究这一现象在两种类型的切割问题的有向图：双割和bicut。1.已知固定终端边加权双重割是有效可解的。我们证明了一个紧的逼近因子$2$的固定终端节点加权双重切割。我们表明，全球节点加权双割不能近似为一个因子小于$3/2$下的唯一游戏猜想（UGC）。2.已知固定终端边加权双割具有紧逼近因子$2$。我们表明，全球边缘加权bicut是近似的一个因素严格优于$2$，全球节点加权bicut不能近似的一个因素小于$3/2$下UGC。3.在这些调查中，我们还证明了两个结果的无向图是独立的利益。首先，我们证明了节点加权$3$ -割问题的NP-完全性和$4/3$的一个紧不可逼近界。其次，我们证明了对于常数$k$，存在一个有效的算法来解决最小$\{s,t\}$分离$k$ -割问题。我们的算法的技术是组合的，基于LP和基于枚举的近似最小割。我们的硬度结果是基于组合减少和完整性差距的情况下。
2017-07-06 cs.DS math.OC
On the Tree Augmentation Problem
在树扩充问题中，我们给出一棵树$T=(V,F)$和一组具有正整数代价$\{c_e:e \in E\}$的边$E \subseteq V \times V$。目标是通过最小成本边集$J \subseteq E$来扩充$T$，使得$T \cup J$是$2$ -边连接的。我们得到以下结果。最近，Adjiashvili [SODA 17]为该问题引入了一种新的LP，并使用它来打破$2$ -近似障碍，例如当$E$中边缘的最大成本$M$由常数限制时;他的算法计算时间上的$1.96418+ε$近似解$n^{{(M/ε^2)}^{O(1)}}$。使用一个更简单的LP，我们实现了$\frac{12}{7}+ε$在时间上的比率$2^{O(M/ε^2)} poly(n)$。这给出了比$2$更好的对数成本的比率，而不仅仅是常数成本。对于这个问题，最古老的开放问题之一是对于单位成本（当$M=1$时），标准LP松弛（所谓的Cut-LP）是否具有小于$2$的完整性间隙。我们解决了这个悬而未决的问题，证明了单位成本的完整性缺口的切割LP是最多$28/15=2-2/15$。此外，我们将证明另一个自然LP松弛，这是比以前的工作简单得多，有完整性差距最多$7/4$。
2018-12-22 cs.DS
Approximating Sparsest Cut in Low Rank Graphs via Embeddings from Approximately Low-Dimensional Spaces
研究了满足$\ell_2^2$三角不等式的有限点集$\{x_1, \ldots, x_n\} \in \mathbb{R}^d$在近似低维的情况下嵌入到$\ell_1$中的问题. Goemans（未发表，出现在[Magen和Moharammi，2008]的工作中）表明，驻留在\emph{exactly} $d$维中的这些点可以嵌入到$\ell_1$中，最多失真$\sqrt{d}$。我们证明了下面的强大的类似的这一说法：如果存在一个$r$维子空间$Π$，使到这个子空间上的投影满足$\sum_{i,j \in [n]}\Vert Πx_i - Πx_j \Vert _2^2 \geq Ω(1) \sum_{i,j \in [n]}\Vert x_i - x_j \Vert _2^2$，然后有一个嵌入的点到$\ell_1$与$O(\sqrt{r})$平均失真。这个结果的一个后果是，著名的Goemans-Linial SDP松弛的均匀稀疏割问题的完整性差距是$O(\sqrt{r})$上的图$G$，其$r$的拉普拉斯算子的最小归一化本征值满足$λ_r(G)/n \geq Ω(1)Φ_{SDP} (G)$。我们的结果改进了先前已知的$O(r)$对平均失真的界，以及在相同前提下Goemans-Linial SDP的完整性间隙，在[Deshpande和Venkat，2014]和[Deshpande…
2017-06-21 cs.DS
