On the integrality gap of the maximum-cut semidefinite programming relaxation in fixed dimension
我们描述了一个最大割半定规划松弛的完整性间隙的因子揭示凸优化问题：对于每个$n \geq 2$，我们提出了一个凸优化问题，其最优值是最大可能的最佳秩- $n$解决方案的松弛和最佳割的值之间的比率。这个问题，然后用来计算完整性差距的下界。
2020-08-05 cs.DS math.OC
A $(\log n)^{Ω(1)}$ integrality gap for the Sparsest Cut SDP
我们证明了具有一般要求的稀疏割问题的Goemans-Linial半定松弛存在积分间隙$(\log n)^{Ω(1)}$ .这是通过展示$n$ -点度量空间的负型，其$L_1$失真是$(\log n)^{Ω(1)}$。我们的结果是基于从海森堡群到$L_1$的Lipschitz映射的退化率的定量界限制时，陪集的中心。
2009-11-18 cs.DS math.FA
A Logarithmic Integrality Gap Bound for Directed Steiner Tree in Quasi-bipartite Graphs
我们证明了在具有$k$终端的准二部图中，基于自然割的LP松弛的有向Steiner树问题的完整性间隙是$O(\log k)$。这样的例子可以被看作是广义的集合覆盖，所以完整性缺口分析是紧到一个常数因子。我们的方法的一个新的方面是，我们使用的原始-对偶方法，很少使用的技术，在有向图的网络设计问题的近似算法的设计。
2016-04-27 cs.DS
The Unique Games Conjecture, Integrality Gap for Cut Problems and Embeddability of Negative Type Metrics into $\ell_1$
本文证明了Goemans和Linial的一个猜想，即每一个负型度量嵌入到$\ell_1$中，且具有常数的畸变.我们发现，对于一个任意小的常数$δ> 0$，对于所有足够大的$n$，有一个$n$点负型度量，需要失真至少$(\log\log n)^{1/6-δ}$嵌入到$\ell_1.$令人惊讶的是，我们的建设是受独特的游戏猜想（UGC）的霍特，建立一个以前未被怀疑的连接之间的概率检验证明系统（PCP）和度量嵌入的理论。我们首先证明，UGC意味着一个超常数硬度的结果（非均匀）Sparcident切割问题。虽然这个硬度的结果依赖于UGC，我们证明，然而，相应的PCP减少可以用来构建一个“完整性差距实例”的Sparcadium切。为此，我们首先构建了一个完整性差距的唯一游戏的自然SDP放松的例子。然后，我们“模拟”的PCP减少和“翻译”的完整性差距的独特的游戏实例的完整性差距的Spartament切割的实例。这使我们能够证明一个$(\log \log n)^{1/6-δ}$完整性间隙的Sparling-Cut，这是已知的是等价的度量嵌入下界。
2013-05-20 cs.CC cs.DS math.MG
Improved integrality gap upper bounds for TSP with distances one and two
我们研究了旅行商问题（TSP）的线性规划公式的解决方案的结构。我们进行了详细的分析，支持的subtour消除线性规划松弛，这导致算法，找到2-匹配的几个组件在多项式时间。组件的数量直接导致的完整性差距上界的TSP的距离为1和2，无向和有向图。我们的主要结果涉及subtour消除松弛与一个额外的切割平面不等式：-对于无向的情况下，我们得到的完整性差距上限为5/4，没有任何进一步的限制，7/6，如果最佳的LP解决方案是半积分。- 对于n阶的情况下，分数LP值的成本为n，我们得到一个紧的完整性差距上限为10/9，如果有一个最优解与次立方支持图。如果解是分数2-匹配多面体中的基本解，则隐含了图是次立方的后一性质。- 对于定向的情况下，我们得到的完整性差距上限为3/2，4/3，如果给定一个最佳的1/2-积分的解决方案。在无向图的情况下，如果我们接受稍微增加的值，我们可以避免添加割平面不等式。对于紧密的结果，不需要切割平面。此外，我们表明，依赖于支持的结构不是我们算法的人工制品，但在标准复杂性理论假设下是必要的：我们表明，即使对于距离为1和2的TSP，通过局部搜索找到改进的解决方案对于k边变化邻域也是W[1]困难的，这加强了Dániel Marx的结果。
2015-03-26 cs.DS
The Bidirected Cut Relaxation for Steiner Tree has Integrality Gap Smaller than 2
针对Steiner树问题，本文证明双向切割松弛（BCR）的整性间隙上界为1.9988，首次严格表明其优于恰好为2的自然无向松弛。
2024-08-08 cs.DM cs.DS
Improving the Integrality Gap for Multiway Cut
在多路切割问题中，我们给出了一个无向图，它的边权值为非负，且图中有一组$k$终端节点，目标是将图中的节点集划分为$k$非空部分，每个非空部分只包含一个终端，使得穿过划分的边的总权值最小. $k\ge 3$的多路切割问题是APX困难的。对于任意$k$，最知名的近似因子是$1.2965$，源于[Sharma and Vondrák，2014]，而最知名的不可近似因子是$1.2$，源于[Angelidakis，Makarychev and Manurangsi，2017]。在这项工作中，我们通过构造CKR松弛的完整性间隙实例来改进$1.20016$的下限。在改善差距的技术挑战是缺乏几何工具来理解高维单纯形。我们的实例是一个非平凡的$3$维实例，它克服了这个技术挑战。我们分析的差距的情况下，将其视为一个凸组合的$2$维的实例和一个统一的3维实例。我们相信，这种技术可以进一步利用，以构建更大的完整性差距的实例。我们的证明技术的一个组成部分是对[Mirzakhani and Vondrák，2015]中关于\emph{Sperner admissible labelings}的结果的推广，该结果可能具有独立的组合兴趣。
2018-11-21 cs.DS math.OC
Maximum Entropy is a 10/7-Approximation Algorithm for the TSP on Half-Integral Cycle Cut Instances
Purdue University（普渡大学）；Boston University（波士顿大学）；Cornell University（康奈尔大学）
针对TSP的半整数环割实例，证明最大熵算法达到10/7近似比，该类实例包含Subtour LP积分间隙为4/3的案例，且算法性能不低于11/8。
2026-07-03 cs.DS
An Improved Integrality Gap for Asymmetric TSP Paths
非对称旅行商路径问题（ATSPP）是一个给定具有指定顶点s和t的非对称度量空间$(V,d)$，目标是找到通过V中所有顶点的最小长度的s-t路径的问题。（而不是$s-t$路径）访问所有节点：对于ATSP，$ρ$近似保证意味着ATSPP的$O(ρ)$近似。然而，对于这些问题的线性规划松弛的完整性间隙，没有这样的连接是已知的：ATSPP的当前最佳近似算法是$O(\log n/\log\log n)$，而ATSPP的自然LP松弛（子图消除LP）的完整性间隙的最佳界限是$O(\log n)$。在本文中，我们关闭这个差距，并改善目前的最佳界的完整性差距从$O(\log n)$到$O(\log n/\log\log n)$。所得到的算法使用LP解中的窄$s$ - $t$切割的结构来构造（随机）树生成树，该树生成树可以被廉价地扩充以包含欧拉$s$ - $t$行走。我们还建立在Oveis Gharan和Saberi的结果，并显示了强形式的Goddyn的猜想薄生成树意味着完整性差距的subtour消除LP松弛ATSPP是有界的一个常数。最后，我们给出了一个更简单的家庭的情况下，这个LP的完整性差距至少是2。
2015-01-06 cs.DS
Simplex based Steiner tree instances yield large integrality gaps for the bidirected cut relaxation
双向割松弛是双向松弛（$\mathrm{\mathcal{BCR}}$）的特征代表，双向松弛是NP-难Steiner树问题（STP）的一类著名的等价LP-松弛.虽然没有基于$\mathrm{\mathcal{BCR}}$的通用近似算法，其近似比STP的$2$更好，但在整数规划中，它作为STP的实现是最优选的，因为存在紧凑大小的公式，其在实践中证明是非常有效的。已知$\mathrm{\mathcal{BCR}}$的完整性间隙至多为$2$，并且长期存在的未决问题是完整性间隙是否小于$2$。迄今为止，最佳下限是Byrka等人证明的$\frac{36}{31} \approx 1.161$ [BGRS 13]。基于Chakrabarty等人的工作。[CDV 11]通过考虑适当的对偶公式将STP实例嵌入到单纯形中，我们通过构造一类新的实例并证明其完整性间隙至少倾向于$\frac{6}{5} = 1.2$来改进这一结果。更确切地说，我们认为类的等价LP-松弛$\mathrm{\mathcal{BCR}}^{+}$，可以通过加强$\mathrm{\mathcal{BCR}}$已知的直接施泰纳顶点度约束，并表明，最坏情况下的比例关于$\mathrm{\mathcal{BCR}}$和$\mathrm{\mathcal{BCR}}^{+}$之间的最佳值至少是$\frac{6}{5}$。由于$\math…
2020-02-18 cs.DM cs.DS math.CO
LP Relaxation and Tree Packing for Minimum $k$-cuts
Karger使用生成树填充来推导出全局最小割问题的近线性时间随机算法以及近似最小割数的界。这是一种不同于他著名的随机收缩算法的方法。Thorup通过贪婪递归树填充为最小$k$-割问题提出了一种快速确定性算法。在本文中，我们重新讨论的性质的LP松弛$k$-削减提出的Naor和Rabani，并分析了Chekuri，Guha和Naor。我们发现，双LP产生一个树包装，当结合上界的完整性差距的LP，容易和透明的扩展Karger的分析mincut的$k$切割问题。除了简单的算法及其分析，这使我们能够提高运行时间的Thorup的算法的一个因素的$n$。我们还改进了$α$-近似$k$-割的个数的界.其次，给出了线性规划的完整性缺口为$2(1-1/n)$的简单证明。第三，我们表明，LP松弛的最佳解决方案，对于所有值的$k$，是完全由主序列的输入图的分区。这使我们能够与LP松弛的拉格朗日松弛的方法Barahona和拉维和辛哈，它也表明，理想化的递归树包装考虑Thorup给出了一个最佳的对偶解决方案的LP。这项工作产生于努力理解和简化的结果Thorup。
2018-08-17 cs.DS
On the Tree Augmentation Problem
在树扩充问题中，我们给出一棵树$T=(V,F)$和一组具有正整数代价$\{c_e:e \in E\}$的边$E \subseteq V \times V$。目标是通过最小成本边集$J \subseteq E$来扩充$T$，使得$T \cup J$是$2$ -边连接的。我们得到以下结果。最近，Adjiashvili [SODA 17]为该问题引入了一种新的LP，并使用它来打破$2$ -近似障碍，例如当$E$中边缘的最大成本$M$由常数限制时;他的算法计算时间上的$1.96418+ε$近似解$n^{{(M/ε^2)}^{O(1)}}$。使用一个更简单的LP，我们实现了$\frac{12}{7}+ε$在时间上的比率$2^{O(M/ε^2)} poly(n)$。这给出了比$2$更好的对数成本的比率，而不仅仅是常数成本。对于这个问题，最古老的开放问题之一是对于单位成本（当$M=1$时），标准LP松弛（所谓的Cut-LP）是否具有小于$2$的完整性间隙。我们解决了这个悬而未决的问题，证明了单位成本的完整性缺口的切割LP是最多$28/15=2-2/15$。此外，我们将证明另一个自然LP松弛，这是比以前的工作简单得多，有完整性差距最多$7/4$。
2018-12-22 cs.DS
Approximating Sparsest Cut in Low Rank Graphs via Embeddings from Approximately Low-Dimensional Spaces
研究了满足$\ell_2^2$三角不等式的有限点集$\{x_1, \ldots, x_n\} \in \mathbb{R}^d$在近似低维的情况下嵌入到$\ell_1$中的问题. Goemans（未发表，出现在[Magen和Moharammi，2008]的工作中）表明，驻留在\emph{exactly} $d$维中的这些点可以嵌入到$\ell_1$中，最多失真$\sqrt{d}$。我们证明了下面的强大的类似的这一说法：如果存在一个$r$维子空间$Π$，使到这个子空间上的投影满足$\sum_{i,j \in [n]}\Vert Πx_i - Πx_j \Vert _2^2 \geq Ω(1) \sum_{i,j \in [n]}\Vert x_i - x_j \Vert _2^2$，然后有一个嵌入的点到$\ell_1$与$O(\sqrt{r})$平均失真。这个结果的一个后果是，著名的Goemans-Linial SDP松弛的均匀稀疏割问题的完整性差距是$O(\sqrt{r})$上的图$G$，其$r$的拉普拉斯算子的最小归一化本征值满足$λ_r(G)/n \geq Ω(1)Φ_{SDP} (G)$。我们的结果改进了先前已知的$O(r)$对平均失真的界，以及在相同前提下Goemans-Linial SDP的完整性间隙，在[Deshpande和Venkat，2014]和[Deshpande…
2017-06-21 cs.DS
Integer Plane Multiflow Maximisation : Flow-Cut Gap and One-Quarter-Approximation
本文给出了最大平面多流问题的积分间隙和逼近比的界，并导出了流切间隙的界。平面性在这里意味着供给图和需求图的并集是平面的。我们首先证明存在一个多值流的容量至少是最小多割容量的一半。然后，我们将展示如何将任何多流转换为半整数值至少有一半的原始多流。最后，我们将任意半整数多流四舍五入为整数多流，在多项式时间内再次丢失最多一半的值，实现了平面上最大整数多流的$1/4$近似算法，以及整数流切割间隙$8$。
2020-03-18 cs.DS
Half-integrality, LP-branching and FPT Algorithms
参数化算法的最近趋势是将多面体工具（具体地，LP分支）应用于FPT算法（例如，Cygan等人，2011; Narayanaswamy等人，2012年）。然而，尽管已经实现了有趣的结果，但是这些方法要求底层多面体具有非常严格的性质（半完整性和持久性），这些性质仅对于少数问题是已知的（基本上是顶点覆盖（Nemhauser和Trotter，1975）和节点多路切割（Garg等人，1994年））。采用稍微不同的方法，我们将半完整性视为问题的\emph{discrete}松弛，例如，从$\{0,1\}^V$到$\{0,1/2,1\}^V$的搜索空间的松弛，使得新问题允许多项式时间精确解。使用CSP的工具（特别是Thapper和Jumeivnovich，2012）来研究这种松弛的存在性，我们提供了一个更广泛的具有所需性质的半整数多面体，统一和扩展了以前已知的情况。除了深入了解问题的半积分松弛，我们的研究结果产生了一系列新的和改进的FPT算法，包括$O^*(|Σ|^{2k})$时间算法节点删除唯一标签覆盖标签集$Σ$和$O^*(4^k)$时间算法组反馈顶点集，包括设置组仅由Oracle访问。所有这些都大大改善了以前的结果。后一个结果也意味着子集反馈顶点集的第一个单指数时间FPT算法，回答了Cygan等人（2012）的一个公开问题。此外，我们提出了一个基于网络流的方法来解决某些情况下的松弛问题。这…
2014-06-11 cs.DS
A 4/3-Approximation Algorithm for Half-Integral Cycle Cut Instances of the TSP
本文针对TSP半整数实例中所有临界紧集均为环割的情形，构造了期望成本至多为LP解值4/3倍的巡回分布，从而给出紧的随机化4/3近似算法，部分证实了长期存在的4/3完整性间隙猜想。
2023-07-09 cs.DS math.OC
TSP integrality gap via 2-edge-connected multisubgraph problem under coincident IP optima
本文通过2-edge-connected multisubgraph问题的唯一整数最优解和半整数LP解，证明TSP的积分间隙不超过4/3。
2025-12-05 cs.DS math.OC
$\ell_p$-norm Multiway Cut
我们介绍和研究$\ell_p$ -norm-multiway-cut：这里的输入是一个无向图，非负边权重以及$k$终端，目标是找到一个分区的顶点集$k$部分，每个部分包含恰好一个终端，以最小化的$\ell_p$ -范数的切割值的部分。这是最小和多路割（当$p=1$）和最小最大多路割（当$p=\infty$）的统一推广，这两个问题都是图划分文献中研究得很好的经典问题。我们证明了$\ell_p$ -norm-multiway-cut在终端数为常数时是NP-难的，在平面图中也是NP-难的。在算法方面，我们设计了一个$O(\log^2 n)$ -近似的所有$p\ge 1$。我们还证明了自然凸规划的$Ω(k^{1-1/p})$的完整性缺口和对任意常数$ε>0$的$O(k^{1-1/p-ε})$ -不可逼近性假设的小集合扩张假设。
2021-06-28 cs.DS
Vertex Sparsifiers and Abstract Rounding Algorithms
在\cite{M}中引入了顶点稀疏化的概念，其中示出了对于任何图$G = (V, E)$和$k$终端$K \subset V$的子集，存在多项式时间算法来仅在终端集上构造图$H = (K, E_H)$，使得同时对于所有切割$(A, K-A)$，将$A$与$K -A$分开的$G$中的最小切割值与$H$中的相应切割值大致相同。我们给出了第一个超常数下界如何以及切割稀疏$H$可以同时近似所有最小切割$G$。我们证明了一个下界的$Ω(\log^{1/4} k)$ -这是多项式相关的$O(\log k/\log \log k)$已知的上界。这是对\cite{LM}中给出的$Ω(\log \log k)$界的指数级改进，该界实际上是为了更强的顶点稀疏化保证，并且不适用于切割稀疏器。尽管有这个负面的结果，我们表明，对于许多自然问题，我们不需要招致我们的减少乘法处罚。得到了最优的$O(\log k)$竞争Steiner不经意路由方案，推广了\cite{R}中的结果.我们还表明，对于广泛的图包装问题（其中包括最大并发流，最大多流和组播路由，除其他外，作为一个特殊情况），线性规划的完整性差距总是在最多$O(\log k)$倍的完整性差距限制树。这一结果有助于解释$O(\log k)$对此类问题的保证的普遍性。最后，我们使用我们的想法，给出一个有效的顶点稀疏匹配当前最好的存在结果的构造-这是以前开放的。…
2010-06-23 cs.DS
Lower Bounds on $0$-Extension with Steiner Nodes
本文研究允许 Steiner 节点的 $0$-Extension 变体，证明同一半度量 LP 松弛即便使用超线性数量 Steiner 节点，整性隙仍有 $\Omega(\log\log |T|)$ 下界。
2024-01-17 cs.DS
Augmentation based Approximation Algorithms for Flexible Network Design
Adjiashvili在非均匀故障模型中引入了网络设计：给定图的边集被划分为安全边和不安全边。即使在删除任何$q$不安全边之后，如果$s$和$t$具有$p$边连接性，则顶点对$(s,t)$也是$(p,q)$ -柔性连接的。给定图$G$，目标是选择$G$的最小成本子图$H$，该子图对于给定的顶点对集合具有期望的柔性连通性。该模型推广了基于边连通性的网络设计，然而，即使是特殊情况也很难近似。该模型中的网络设计的近似性主要研究了两个感兴趣的设置：（i）单对设置下的名称FTP和FTF（容错路径和容错流），（ii）跨越设置下的名称FGC（灵活的图形连接）。这些文件取得了一些积极成果。然而，尽管相似的著名的网络设计问题，这个新的模型一直具有挑战性的设计近似算法，特别是当$p,q \ge 2$。我们得到两个结果，推进我们的理解，在这个模型中的算法设计。1.我们得到了单对$(s,t)$的$(2,2)$ -flex-connectivity的$5$ -近似。以前没有非平凡的近似是已知的这种设置。2.我们得到了$(p,2)$的$O(p)$近似和对任何$p \ge 1$的$(p,3)$近似，以及对任何偶数$p$的$(p,4)$-FGC近似.对任何$q \ge 1$，我们得到了$(2,q)$-FGC的$O(q)$ -近似.以前只有$O(q \log n)$ -近似是已知的这些设置。我们的结果是通过增强框架…
2022-09-25 cs.DS
Matroids and Integrality Gaps for Hypergraphic Steiner Tree Relaxations
直到最近，LP松弛在Steiner树问题的近似算法的设计中发挥了有限的作用。在2010年，Byrka等人提出了一个基于超图LP松弛的ln（4）+ ε近似，但令人惊讶的是，他们的分析没有提供完整性间隙的匹配边界。我们重新审视超图LP松弛的施泰纳树问题-一个严重利用的方法和结果，从理论的拟阵和次模函数-这导致更强的完整性差距，更快的算法，和各种结构的见解独立的利益。更准确地说，我们提出了一个确定性的ln（4）+numb近似，与LP值进行比较，因此证明了完整性差距的匹配ln（4）上界。与Byrka等人类似，我们迭代地固定一个分量并更新LP解。然而，虽然他们解决了LP在每一次迭代后，合同的一个组成部分，我们展示了如何可行性可以保持一个贪婪的程序上精心挑选的拟阵。除了避免在每次迭代时求解超图LP的昂贵步骤之外，我们的算法可以使用简单的势函数进行分析。这给出了一个简单的方法来确定更强的近似保证和完整性差距时，考虑限制图拓扑。特别是，这很容易导致一个73/60的准二部图的完整性差距的界限。对于拟二部图的情况下，我们提出了一个简单的算法转换的最佳解决方案的双向切割松弛的超图松弛的最佳解决方案，导致一个快速的73/60近似的拟二部图。此外，我们展示了如何通过计算最大流来解决超图松弛的分离问题，为我们的拟阵提供了一个快速的独立预言。
2011-12-13 cs.DM cs.DS
Sparsest Cut on Bounded Treewidth Graphs: Algorithms and Hardness Results
本文给出了非均匀稀疏割的一个2-近似算法，该算法在时间上运行$n^{O(k)}$，其中$k$是图的树宽.这改善了以前的$2^{2^k}$ -近似的时间$\poly(n) 2^{O(k)}$由于Chlamtá等人。为了补充这个算法，我们显示了以下硬度的结果：如果非均匀稀疏割问题有一个$ρ$ -近似串并行图（其中$ρ\geq 1$），那么最大割问题有一个算法的近似因子任意接近$1/ρ$。因此，即使对于这样的受限图（树宽为2），稀疏割问题也是NP-难的，比$ε> 0$的$17/16 - ε$更好地近似;假设唯一博弈猜想，硬度变成$1/α_{GW} - ε$。对于图与大（但恒定）树宽，我们显示了硬度结果$2 - ε$假设唯一的游戏猜想。我们的算法轮的线性规划的基础上（的一个子集）的Sherali-Adams升降机的标准Sparling-Cut LP。我们证明，即使对于树宽为2的图，即使经过多项式多轮Sherali-Adams，LP也具有接近2的完整性差距。因此，我们的方法不能得到改善，即使在这样的限制图，而不使用更强的放松。
2013-05-06 cs.DS
Integrality Gap Bounds for the Goemans-Linial SDP on Finite Abelian Cayley Graphs
Maastricht University（马斯特里赫特大学）
本文研究有限阿贝尔凯莱图上Goemans-Linial半定规划的整性间隙，证明指数不超过4时该松弛精确，给出生成元阶不超过R时的R/2近似，还构造了整性间隙为16/15的无限族图。
2026-09-07 cs.DM cs.DS math.CO
Near-optimal approximation algorithm for simultaneous Max-Cut
在同时最大割问题中，我们给出了在同一组$k$顶点上的$k$加权图，目标是找到顶点集的一个割，使得在$k$图上，割值的最小值尽可能大。以前的工作[BKS 15]给出了一个多项式时间算法，该算法实现了该问题的$1/2 - o(1)$近似因子（以及在未加权情况下的$1/2 + ε_k$近似因子，其中$ε_k \rightarrow 0$为$k \rightarrow \infty$）。在这项工作中，我们给出了一个多项式时间的近似算法的同时最大切割的近似因子为$0.8780$（所有常数$k$）。在[BKS 15]中，同时最大切割的天然SDP制剂显示具有$1/2+ε_k$的完整性间隙。为了实现更好的近似保证，我们使用了更强的平方和层次SDP松弛和基于Raghavendra-Tan的舍入算法[RT 12]，以及[BKS 15]中的技术。
2018-01-14 cs.CC cs.DS
An Approximation Algorithm for Fully Planar Edge-Disjoint Paths
对于边不相交路径问题的最大化问题，如果供给图和需求边构成一个平面图，我们设计了一个常数因子的近似算法。通过平面对偶，这等价于平面图中的包装切割，使得每个切割仅包含一个需求边。我们还表明，自然的线性规划松弛有恒定的完整性差距，产生一个近似的最大多流最小多割定理。
2020-01-06 cs.DM cs.DS math.CO
A Constant-Factor Approximation for Quasi-bipartite Directed Steiner Tree on Minor-Free Graphs
给出了不含固定子式的图上有向Steiner树的拟二部实例的第一个常数因子近似算法。特别是，对于$K_r$ -小自由图，我们的近似保证是$O(r\cdot\sqrt{\log r})$，并且进一步地，对于平面图，我们的近似保证是20。我们的算法使用原始对偶方案。我们采用了一个更复杂的方法来确定何时购买边，同时提高对偶变量，因为，正如我们所示，自然的原始对偶方案未能提高足够的对偶值来支付购买的解决方案。因此，我们也证明了完整性差距上界的标准切割为基础的线性规划放松有向斯坦纳树的情况下，我们认为。
2022-11-05 cs.DS
Local Distribution and the Symmetry Gap: Approximability of Multiway Partitioning Problems
我们研究了多路划分问题的可逼近性，其中的例子包括多路割，节点加权多路割和超图多路割。我们调查这些问题的角度来看，两种可能的概括：作为最小的CSP，和子模块化多路划分问题。这两个推广导致两个自然松弛，基本LP和Lovasz松弛。我们证明了Lovasz松弛给出了具有$k$终端的次模多路划分的（2-2/k）-近似，改进了最近的一个2-近似.我们证明了这个因子在两个意义上是最优的：（1）k个终端的次模多路划分的（2-2/k-ε）-近似需要指数级的多个值查询。(2)对于超图多路割和有k个终端的结点加权多路割，这两种子模多路划分的特殊情况，我们证明了（2-2/k-ε）-近似是NP-难的，假设唯一对策猜想.我们的硬度结果是更一般的：（1）我们表明，对称间隙的概念，以前用于次模最大化问题，也意味着硬度结果的次模最小化问题。(2)假设唯一的游戏猜想，我们表明，基本的LP给出了一个最佳的近似为每一个最小的CSP，包括不相等的谓词。最后，我们通过证明基本LP的完整性间隙与多线性松弛的对称间隙（对于相关实例）来连接这两种硬度技术。这表明Min-CSP和相关的子模最小化问题出现相同的硬度阈值不是巧合。
2015-03-12 cs.DS
Rounding Algorithms for a Geometric Embedding of Minimum Multiway Cut
多路切割问题是，给定一个加权图和k >= 2个终端节点，找到一个最小权的边集，去除这些边可以分离所有终端。这个问题是NP难的，甚至对于一些小的delta > 0，在1+delta内近似也是NP难的。Calinescu，Karloff，and Rabani（1998）给出了一个性能保证为3/2-1/k的算法，该算法基于问题的几何松弛。本文给出了一种改进的随机化舍入方案，并给出了一个k=3的12/11-近似算法和一个一般的1.3438-近似算法.我们的方法取决于观察，设计一个随机舍入方案的几何松弛的问题本身是一个线性规划问题。本文探讨了这个问题的计算解决方案，并给出了一个证明，对于一般类的几何松弛，总是有随机舍入方案，匹配的完整性差距。
2003-09-15 cs.DM cs.DS
Global and fixed-terminal cuts in digraphs
多路切换类问题的计算复杂性可能会根据终端是否固定而显著变化。在这项工作中，我们提出了一个全面的研究这一现象在两种类型的切割问题的有向图：双割和bicut。1.已知固定终端边加权双重割是有效可解的。我们证明了一个紧的逼近因子$2$的固定终端节点加权双重切割。我们表明，全球节点加权双割不能近似为一个因子小于$3/2$下的唯一游戏猜想（UGC）。2.已知固定终端边加权双割具有紧逼近因子$2$。我们表明，全球边缘加权bicut是近似的一个因素严格优于$2$，全球节点加权bicut不能近似的一个因素小于$3/2$下UGC。3.在这些调查中，我们还证明了两个结果的无向图是独立的利益。首先，我们证明了节点加权$3$ -割问题的NP-完全性和$4/3$的一个紧不可逼近界。其次，我们证明了对于常数$k$，存在一个有效的算法来解决最小$\{s,t\}$分离$k$ -割问题。我们的算法的技术是组合的，基于LP和基于枚举的近似最小割。我们的硬度结果是基于组合减少和完整性差距的情况下。
2017-07-06 cs.DS math.OC
Simple and Fast Rounding Algorithms for Directed and Node-weighted Multiway Cut
在有向多路割（Dir-MC）中，输入是一个边加权有向图$G=(V,E)$和一组$k$终端节点$\{s_1,s_2,\ldots,s_k\} \subseteq V$ ;目标是找到一个边的最小权重子集，删除它可以确保任何$i \neq j$都没有从$s_i$到$s_j$的路径。在节点加权多路割（Node-weighted Multiway Cut，Node-MC）中，输入是一个节点加权无向图$G$和一组$k$终端节点$\{s_1,s_2,\ldots,s_k\} \subseteq V$ ;目标是删除最小权重的节点子集，以断开每对终端。Dir-MC承认$2$ -近似[Naor，Zosin '97]，Node-MC承认$2(1-\frac{1}{k})$ -近似[Garg，Vazirani，Yannakakis '94]，两者都通过LP松弛的舍入。以前的舍入算法，这些问题，从近二十年前，是基于仔细舍入的“最佳”解决方案的LP松弛。这对于Dir-MC尤其如此，其中舍入依赖于定制LP公式而不是基于自然距离的LP松弛[Naor，Zosin '97]。在本文中，我们描述了非常简单的和近线性时间舍入算法的Dir-MC和Node-MC通过自然的距离为基础的LP松弛。这种松弛的对偶是最大多商品流问题的一个特例。我们的算法实现了与以前相同的界限，但具有显着的优势，因为它们可以与“任何可行的”解决方案的…
2015-07-16 cs.DS
Improved Hardness for Cut, Interdiction, and Firefighter Problems
我们研究了经典的$s$ - $t$切割问题的变体，并证明了以下改进的硬度结果假设唯一游戏猜想（UGC）。- 对于任何常数$k \geq 2$和$ε> 0$，我们表明，定向多切与$k$源-汇对是很难近似的一个因素$k - ε$。这与普通的$k$近似算法相匹配。通过简单的简化，我们对$k = 2$的结果意味着具有两个终端的定向多路切割（也称为$s$ - $t$ Bicut）难以在因子$2 - ε$内近似，从而匹配平凡的$2$ -近似算法。以前，这些问题的最佳硬度因子（对于恒定的$k$）是UGC下的$1.5 - ε$。- 对于长度有界切割和最短路径阻断，我们表明，这两个问题是很难近似在任何恒定的因素，即使我们允许双准则近似。如果我们想切割顶点或图是有向的，我们的长度有界切割的硬度因子匹配最佳近似比直到一个常数。以前，最佳硬度因子是长度限制切割的$1.1377$和最短路径阻断的$2$。- 假设一个变种的UGC（暗示的另一个变种的Bansal和Khot），我们证明，这是很难近似资源最小化火灾遏制在任何恒定的因素。以前，最好的硬度因子是$2$。我们的研究结果是基于一个通用的方法转换的完整性差距的实例，长度控制独裁测试的变种的$s$ - $t$切问题，这可能是有用的其他问题。
2016-07-18 cs.CC cs.DS
A $59/33$ Cut-LP Guarantee for Matching Augmentation
Institute of Computer Science, University of Augsburg（奥格斯堡大学计算机科学研究所）
本文通过新的结构分析，证明匹配增强问题的LP引导DFS算法达到59/33的积分间隙，无需新算法步骤，并推广到森林增强问题。
2026-09-23 cs.DS
Tight analysis of the primal-dual method for edge-covering pliable set families
本文对原始-对偶算法覆盖$γ$-可塑性集族进行紧致分析，将近似比改进至$7$，对割族特例改进至$6$，并给出紧性示例。
2025-05-24 cs.DS
A Simple LP-Based Approximation Algorithm for the Matching Augmentation Problem
匹配增广问题（MAP）作为寻找廉价$2$ -边连通子图的近似算法的重要一步，最近受到了广泛的关注。这最终导致了$\frac{5}{3}$ -近似算法。然而，该算法及其分析相当复杂，不能与该问题的著名LP松弛（称为切割LP）进行比较。在本文中，我们提出了一个简单的算法，引导下的最佳解决方案，以削减LP，首先选择一个DFS树，然后找到一个解决方案，MAP通过计算最佳增强这棵树。使用极值点解的性质，我们表明，我们的算法总是返回（在多项式时间）比$2$ -近似相比，削减LP。因此，我们也得到一个改进的上界的完整性差距，这种自然松弛。
2022-08-24 cs.DS math.CO math.OC
Greedy Region Growing: Improved Approximations for Cutwidth, Pathwidth, Flow-Expander Decomposition, and More
Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克计算机科学研究所）
该研究提出贪心区域增长技术，为割宽、路宽等多个图论问题提供改进近似算法，解答了相关开放问题，还解决了Seymour递归适配最小-最大目标的概念性问题。
2026-10-14 cs.DS
Dual-Based Approximation Algorithms for Cut-Based Network Connectivity Problems
我们考虑了各种NP完全网络连通性问题。我们引入了一种新的基于对偶的方法来近似网络设计问题与切割为基础的线性规划松弛。这种方法给出了最小2-边连通生成子图的一个$3/2$ -近似，它等价于以前提出的算法。网络设计的一个研究得很好的分支是对ad hoc网络进行建模，其中每个节点可以在高功率或低功率下工作。如果我们允许单向链路，我们可以将其形式化为双功率分配（DPA）问题。我们的双为基础的方法给出了一个$3/2$近似DPA，提高了以前的最佳近似已知的$11/7\approx 1.57$。另一个标准的网络设计问题是最小强连通生成子图（MSCS）。我们提出了一个新的问题，推广MSCS和DPA称为星强连接（SSC）。然后，我们表明，我们的双重为基础的方法实现了1.6的近似比SSC。作为我们的双重基础的近似的结果，我们证明了这些问题的完整性差距的新的上界。
2017-07-20 cs.DM cs.DS math.OC
Improved Approximation Algorithms for Multiway Cut by Large Mixtures of New and Old Rounding Schemes
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；University of Michigan（密歇根大学）；University of Chicago（芝加哥大学）；Blavatnik School of Computer Science, Tel Aviv University（特拉维夫大学布拉特尼克计算机科学学院）
本文提出了一种改进的多方式割问题近似算法，通过混合新旧舍入方案，将近似比从1.2965降低到1.2787，并在k≥4时取得了25年来最佳结果。
2026-03-30 cs.DS
Effective-Resistance-Reducing Flows, Spectrally Thin Trees, and Asymmetric TSP
我们证明了非对称旅行商问题的自然LP松弛的完整性间隙是$\text{polyloglog}(n)$。换句话说，存在一种多项式时间算法，其在因子$\text{polyloglog}(n)$内近似最优行程的值，其中$\text{polyloglog}(n)$是$\log\log(n)$的有界次数多项式。我们证明了这一点，表明任何$k$ -边连接的赋权图有一个$\text{polyloglog}(n)/k$ -薄生成树。我们的主要新成分是一个程序，虽然是一个指数大小的凸计划，“变换”的图形，不承认任何频谱薄树到那些证明有频谱薄树。更确切地说，给定一个$k$ -边连通图$G=(V,E)$，其中$k\geq 7\log(n)$，我们表明，有一个矩阵$D$，“保留”的结构的所有切割的$G$，使一组$F\subseteq E$，诱导一个$Ω(k)$ -边连通图，有效电阻$F$ w.r.t. $D$至多为$\text{polylog}(k)/k$。然后，我们使用Marcus，Spielman和Srivastava [MSS 13]的开创性工作的最近扩展[AO 14]来证明关于$D$的$\text{polylog}(k)/k$ -谱瘦树的存在性。这样的树是$\text{polylog}(k)/k$ -相对于$G$组合地薄的，因为$D$保留了$G$的切割的结构。
2015-09-01 cs.DS
From Directed Steiner Tree to Directed Polymatroid Steiner Tree in Planar Graphs
在有向斯坦纳树（DST）问题中，输入是有向边加权图$G=(V,E)$、根顶点$r$和$k$终端的集合$S \subseteq V$。我们的目标是找到一个最小成本的子图，连接$r$到每个终端。DST允许准多项式时间的$O(\log^2 k/\log \log k)$ -近似，以及多项式时间的任何固定$ε> 0$的$O(k^ε)$ -近似。解决多项式时间多对数逼近的存在性问题是逼近算法中的一个主要问题。在最近的工作中，Friggstad和Mousavi [ICALP 2023]通过Thorup的最短路径分离定理获得了平面有向图中DST的简单而优雅的多项式时间$O(\log k)$ -近似。我们建立在他们的工作，并取得了一些新的成果DST和相关问题。- 我们通过对Friggstad和Mousavi [ICALP 2023]中递归的解释，开发了一种用于平面有向图中有根问题的树嵌入技术。利用这一点，我们得到多项式时间的多对数近似的群Steiner树，覆盖Steiner树，和多拟阵Steiner树问题的平面有向图。所有这些问题即使在树中也很难近似到$Ω(\log^2 n/\log \log n)$的因子内。- 我们证明了DST的自然割LP松弛在平面图中具有$O(\log^2 k)$的完整性间隙。这与一般图形成对比，其中已知该LP的完整性间隙为$Ω(k)$，并且对于某些固定的$δ> 0$为$Ω(…
2024-07-02 cs.DS
Approximating Minimum Cost Connectivity Orientation and Augmentation
我们调查的问题，解决组合连接增强和方向设置。我们给出了一个多项式时间的6-近似算法，找到一个最小成本的子图的无向图$G$，承认一个方向覆盖一个非负交叉$G$ -超模需求函数，由弗兰克定义。一个重要的例子是$(k,\ell)$ -边连通性，它是全局边连通性和根边连通性的一个常见推广。我们的算法是基于一个非标准的应用程序的迭代舍入方法。我们观察到，标准的线性规划与切割约束是不适合的，并使用替代的线性规划与分区和共分区的约束。该证明需要一种新型的分区和共分区不交叉技术。我们还考虑了问题设置时，成本的边缘可以是不同的两个可能的方向。对于$k$边缘连接性的更简单要求，问题已经变得更加困难。Khanna，Naor和Shepherd证明了当$k=1$为整数时，自然线性规划的完整性缺口至多为$4$，并证明了对于所有固定的$k$，它是常数。我们通过证明一个$Ω(|V|)$完整性缺口来反驳这个猜想，即使当$k=2$。
2017-11-16 cs.DM cs.DS math.CO
A Strong Linear Programming Relaxation for Weighted Tree Augmentation
Google Research（谷歌研究院）；EPFL, Switzerland（洛桑联邦理工学院）；Boston University（波士顿大学）
本文提出了一种随机近似算法，用于加权树增强问题，其近似比低于1.49，通过设计并舍入一个强线性规划松弛来实现，该松弛引入了表示边子集和覆盖它们的链接的变量。
2026-03-31 cs.DS
Approximation Algorithms for Network Design in Non-Uniform Fault Models
研究非均匀故障模型下的网络设计近似算法，在灵活图连接等模型中，通过增强框架和割族分解，获得了常数因子及多对数近似算法。
2024-03-22 cs.DS
An 8/5 Rounding for Half-Integral Forest-BCR via Root Supports and Circuit Rank
University of Augsburg（奥格斯堡大学）
该研究针对Steiner森林的半整Forest-BCR，优化递归取整框架，将近似比从16/9降至8/5，且证明了该框架的投影密度界渐近紧。
2026-08-25 cs.DS
0/1/all CSPs, Half-Integral $A$-path Packing, and Linear-Time FPT Algorithms
FPT算法设计的一个新趋势是利用LP松弛的半完整性。换句话说，从LP松弛的半积分最优解开始，我们通过分支和界限逐个将积分值分配给变量。该技术是通用的，并且所得到的时间复杂度对参数具有低依赖性。然而，时间复杂度往往成为一个大的多项式的输入大小，因为我们需要计算半整数最优LP解决方案。在本文中，我们解决这个问题，通过提供一个$O(km)$时间算法来解决各种FPT问题所产生的LP，其中$k$是最优值和$m$是边缘/约束的数量。我们的算法是基于0/1/all约束之间的有趣的联系，这已经在约束满足领域，$A$ -路径包装，这已经在组合优化领域，和FPT算法中使用的LP研究。在此基础上，我们得到了群反馈顶点集、子集反馈顶点集、节点多路割、节点唯一标号覆盖、非单色循环变换等问题的FPT改进算法。这些问题中的每一个获得的运行时间在输入大小上是线性的，并且对参数的依赖性最小。特别是，这些算法是第一个线性时间FPT算法的问题，包括组反馈顶点集和非单色循环transmittance。
2017-11-07 cs.DS
Lasserre Hierarchy, Higher Eigenvalues, and Approximation Schemes for Quadratic Integer Programming with PSD Objectives
本文提出了一种求解具有半正定目标函数和全局线性约束的二次规划问题的近似算法。这个框架包括著名的图问题，如最小图二等分，边扩展，均匀稀疏割，小集扩展，以及唯一游戏问题。这些问题是臭名昭著的存在巨大的差距之间的已知算法的结果和NP-难的结果。我们的算法是基于四舍五入半定程序从拉塞尔层次，和分析使用的边界低秩近似的矩阵Frobenius范数使用列的矩阵。对于上述所有图问题，我们给出了一个具有逼近比$\frac{1+ε}{\min\{1,λ_r\}}$的在时间上运行的算法$n^{O(r/ε^2)}$，其中$λ_r$是规范化图Laplacian $\mathcal{L}$的第$r$个最小特征值.在图的二分和小集扩张的情况下，割中的顶点数在规定界限的低阶项内。我们的结果意味着$(1+O(ε))$因子在时间上的近似$n^{O(r^\ast/ε^2)}$其中$r^\ast$是小于$1-ε$的$\mathcal{L}$的特征值的数目。对于唯一对策，我们给出了一个因子$(1+\frac{2+ε}{λ_r})$近似，用于最小化$n^{O(r/ε)}$时间内未满足约束的数量。这改进了在扩展器上求解唯一博弈的早期边界，也表明Lasserre SDP足够强大，可以解决基本SDP的著名完整性缺口实例。我们也给出了一个算法的独立集的图，表现良好的拉普拉斯算子没有太多的特征值大于$1+o(1)$。
2011-05-18 cs.CC cs.DS
A $1.75$ LP approximation for the Tree Augmentation Problem
在树扩充问题（TAP）中，目标是通过来自给定边集$E$的最小尺寸边集$F$来扩充树$T$，使得$T \cup F$是$2$边连通的。已知TAP的最佳近似比是$1.5$。在更一般的加权TAP问题中，$F$应该具有最小权重。加权TAP允许几个$2$ -近似算法w.r.t.标准切割LP松弛，但对于所有这些性能比的$2$是紧的，即使对于TAP。这个问题等价于覆盖一个层集族的问题。在连通网络设计问题的近似算法设计中，层状集族起着重要的作用。事实上，加权TAP是最简单的连接网络设计问题，其比$2$更好的比率是未知的。提高这个“自然”比率是一个主要的开放问题，这可能对许多其他网络设计问题产生影响。似乎实现这一目标需要找到具有比$2$更好的完整性间隙的LP松弛，这即使对于TAP也是一个长期开放的问题。在本文中，我们引入了这样的LP松弛，并给出了一种算法，该算法计算大小最多为$1.75$乘以最佳LP值的TAP的可行解。这为打破加权情况下的比率$2$带来了一些希望。我们的算法计算一些初始的边集，通过解决一个部分系统的约束，形成完整的边覆盖多面体，然后应用本地搜索$3$ -叶子子树交换的一些边缘，并添加额外的边缘。因此，我们不需要求解LP，并且该算法的运行时间大致上是在一般图中找到最小权重边覆盖所需的时间。
2015-07-10 cs.DS
Bilu-Linial stability, certified algorithms and the Independent Set problem
我们在Bilu和Linial（2010）引入的稳定性概念下研究了最大独立集（MIS）问题：MIS的加权实例是$γ$ -稳定的，如果它有一个唯一的最优解，并且在权重的乘法扰动下保持唯一的最优解至多为$γ\geq 1$。然后，目标是有效地恢复唯一的最优解。在这项工作中，我们解决了稳定的MIS的几个图类的情况下：我们解决了$\widetilde{O}(Δ/\sqrt{\log Δ})$ -稳定的情况下，最大程度的$Δ$图，$(k - 1)$ -稳定的情况下，$k$ -着色图和$(1 + \varepsilon)$ -稳定的情况下，平面图。对于一般的图形，我们提出了一个强有力的下界表明，有没有有效的算法$O(n^{\frac{1}{2} - \varepsilon})$ -稳定的MIS的情况下，假设种植集团猜想。我们还给出了一个$(\varepsilon n)$ -稳定实例的算法。作为我们的技术的一个副产品，我们给出了算法和下界的节点多路切割的稳定实例。此外，我们证明了一个一般性的结果表明，凸松弛的几个最大化问题的完整性差距显着减少稳定的情况下。此外，我们开始了对认证算法的研究，这是Makarychev和Makarychev（2018）最近引入的一个概念，它是一类满足一个关键属性的$γ$近似算法：返回的解对于原始实例的扰动是最优的。我们得到了最大度图上MIS的$Δ$ -证明算法$Δ$，以及…
2021-11-29 cs.DS
Streaming Algorithms for Network Design
本文在单次插入流模型中研究SNDP，提出基于容错生成树的通用框架改进EC-SNDP近似与空间复杂度，为顶点连通增强（$k=1,2$）获近线性空间$O(1)$近似，$k=2$结果创新应用SPQR树。
2025-04-15 cs.DS
