Tight Bounds for Online Weighted Tree Augmentation
加权树扩充问题（WTAP）是网络设计中的一个基本问题。在本文中，我们考虑这个问题的在线设置。我们给出了一个$n$ -顶点生成树$T$和一个附加的边集$L$（称为链路）的成本。然后，终端对一个接一个地到达，我们的任务是维护链路$F$的低成本子集，使得到目前为止到达的每个终端对在$T \cup F$中是$2$ -边缘连接的。这个在线问题首先由Gupta，Krishnaswamy和Ravi（SICOMP 2012）研究，他们将其用作在线可生存网络设计问题的子例程。他们给出了一个确定性的$O(\log^2 n)$ -竞争算法，并给出了随机算法竞争比的$Ω(\log n)$下界。当$T$是一条路径时的情况也很有趣：这正是在线区间集覆盖问题，这也是Meyerson研究的停车许可问题的一个特例（FOCS 2005）。本文的贡献是给紧的结果在线加权树和路径扩充问题。这项工作的主要结果是一个确定性的$O(\log n)$竞争算法在线WTAP，这是紧到常数的因素。
2019-04-26 cs.DS
Node Connectivity Augmentation via Iterative Randomized Rounding
许多网络设计问题都涉及到低成本网络的设计，这些网络对节点或链路等元件的故障具有弹性。一个这样的问题是连通性增强，其目标是将网络的连通性从值k增加到k+1。研究最多的设置集中在边连通性上，它减少到k=2，称为仙人掌增强。从近似的角度来看，Byrka，Grandoni和Jabal Ameli（2020）是第一个打破这个问题的2-近似障碍的人，通过利用与Steiner树问题的联系，并通过对Steiner树的迭代随机舍入技术的分析进行定制，以适应这种联系产生的特定情况。最近，Nutov（2020）观察到，对于称为块树增强的节点连接问题，与Steiner树类似的简化也成立，其中目标是向给定的生成树添加边，以便生成的图2-节点连接。将Nutov的结果与Byrka、Grandoni和Jabal Ameli的算法相结合，得到块树扩充的1.91近似值，这是迄今为止已知的最佳界。本文给出了一个1.892-近似算法，用于将任意图的节点连通度从1扩充到2。作为推论，我们改进了最先进的块树增强的近似因子。我们的结果是通过开发一个不同的和更简单的分析迭代随机舍入技术。我们的结果也暗示了一个1.892-近似算法的仙人掌增强。虽然这并没有击败Cecchetto，Traub和Zenklusen（2021）在这个问题上的最佳近似，但与文献中以前的结果相比，我们的分析非常简单。此外，我们的工作提供了新的见解迭代随机舍入…
2021-08-04 cs.DS
Approximating (Unweighted) Tree Augmentation via Lift-and-Project, Part II
在第二部分中，我们研究了基于Lasserre（Sum~of~Squares）系统的无权树扩充问题（TAP）。我们证明了一个SDP松弛（LP松弛的Lasserre收紧）的完整性比是$\leq \frac{3}{2}+ε$，其中$ε>0$可以是任何小常数。我们通过设计一个多项式时间的TAP算法，实现了（$\frac32+ε$）相对于SDP松弛的近似保证，从而获得这一结果。该算法是组合的，不解决SDP松弛，但我们的分析依赖于SDP松弛。我们通过Karlin，Mathieu和Nguyen（IPCO 2011）的分解结果确定了Lasserre系统的分数阶解的一些性质，从而将以往文献中积分解的组合分析推广到分数阶解.
2015-08-29 cs.DS
A Strong Linear Programming Relaxation for Weighted Tree Augmentation
Google Research（谷歌研究院）；EPFL, Switzerland（洛桑联邦理工学院）；Boston University（波士顿大学）
本文提出了一种随机近似算法，用于加权树增强问题，其近似比低于1.49，通过设计并舍入一个强线性规划松弛来实现，该松弛引入了表示边子集和覆盖它们的链接的变量。
2026-03-31 cs.DS
Improved Approximation for Weighted Tree Augmentation with Bounded Costs
加权树扩充问题（WTAP）是网络设计领域中一个基本的研究问题。给定一个无向树$G=(V,E)$，一个与$E$不相交的边集$L \subseteq V\times V$，称为\textit{links}，以及一个代价向量$c\in \mathbb{R}_{\geq 0}^L$，WTAP要求找到一个最小代价集$F\subseteq L$，其性质是$(V,E\cup F)$是$2$ -边连通的。对于所有$\ell\in L$的$c_\ell = 1$的特殊情况称为树扩充问题（TAP）。这两个问题都是NP难的。对于一类有界代价向量，我们提出了三十多年来第一个改进的近似算法WTAP。具体地说，对于任何$M\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$和$ε> 0,$，我们提出了一个基于LP的$(δ+ε)$ -近似的WTAP限制到成本向量$c$在$[1,M]^L$为$δ\approx 1.96417$。对于TAP的特殊情况，我们将该因子改进为$\frac{5}{3}+ε$。我们的研究结果依赖于一个新的LP，显着不同于现有的LP实现改进的TAP边界。我们将分数阶解分两个阶段舍入。第一阶段使用分数解将树及其分数解分解为所谓的$β$ -简单对，在目标函数中仅丢失一个$ε$ -因子。然后，我们将展示如何使用我们的LP中的附加约束与$β$ -简单结构相结合，在分解的每个部分中舍入分数解。
2016-09-15 cs.DS
A Better-Than-2 Approximation for the Directed Tree Augmentation Problem
本文研究带权有向树增广问题，针对链接代价有界情形提出(1.75+ε)-近似算法，通过识别可精确求解的willows实例和visibly k-wide实例并结合结构分析改进近似比。
2025-11-08 cs.DS
Local Search for Weighted Tree Augmentation and Steiner Tree
我们提出了一种技术，允许改善一些相对贪婪的程序精心挑选（非遗忘）的局部搜索算法。相对贪婪过程是一种特殊类型的贪心算法，它从一个简单但较弱的解开始，并迭代地用较强的分量替换该初始解的一部分。相对贪心算法的一些著名应用包括Steiner树的近似算法，以及最近的连通性增强问题。我们的技术的主要应用导致$(1.5+ε)$ -近似加权树增强，改进最近的相对贪婪的方法与近似因子$1+\ln 2 + ε\approx 1.69$。此外，我们展示了如何我们的本地搜索技术可以应用到斯坦纳树，导致另一种方法来获得目前最知名的近似因子的$\ln 4 + ε$。与以前的方法相反，我们的方法是纯粹的组合，而不需要解决LP。尽管如此，解决方案的价值仍然可以在著名的hypergraphic LP方面的限制，导致一个替代的，可以说是更简单的，技术来限制其完整性差距的$\ln 4$。
2021-07-15 cs.DS math.OC
Breaching the 2-Approximation Barrier for Connectivity Augmentation: a Reduction to Steiner Tree
可生存网络设计的基本目标是建立一个廉价的网络，即使一些边缘/节点发生故障，也能保持给定节点集之间的连通性。连通性增强问题（CAP）可以说是这一领域中最基本的问题之一：给定一个$k$（-edge）-连通图$G$和一组额外的边（链路），选择链路的最小基数子集$A$，使得将$A$添加到$G$将其边连通性增加到$k+1$。直觉上，人们希望通过增加额外的边缘来使现有网络更加可靠。这个NP难题的最著名的近似因子是$2$，这可以通过多种方法来实现（第一个这样的结果是在[Frederickson和Jájá'81]中）。已知[Dinitz et al. 76] CAP可以简化为$k=1$的情况，也称为树扩充问题（TAP），对于奇数$k$，以及对于情况$k=2$，a.k.a.仙人掌扩增问题（CacAP），甚至$k$。已知有几种比$2$更好的近似算法用于TAP，最后是最近的$1.458$近似[Grandoni et al. '18]。然而，对于CacAP，最知名的近似是$2$。在本文中，我们突破了$2$近似障碍CacAP，因此CAP，提出了多项式时间$2\ln(4)-\frac{967}{1120}+ε<1.91$近似。以前的方法利用TAP的属性，这些属性似乎不能推广到CacAP。相反，我们使用减少施泰纳树的问题，这是以前使用的参数化算法[Basavaraju等人。'14]。这种减少不是近似保持，并且使…
2019-11-07 cs.DS
On the Tree Augmentation Problem
在树扩充问题中，我们给出一棵树$T=(V,F)$和一组具有正整数代价$\{c_e:e \in E\}$的边$E \subseteq V \times V$。目标是通过最小成本边集$J \subseteq E$来扩充$T$，使得$T \cup J$是$2$ -边连接的。我们得到以下结果。最近，Adjiashvili [SODA 17]为该问题引入了一种新的LP，并使用它来打破$2$ -近似障碍，例如当$E$中边缘的最大成本$M$由常数限制时;他的算法计算时间上的$1.96418+ε$近似解$n^{{(M/ε^2)}^{O(1)}}$。使用一个更简单的LP，我们实现了$\frac{12}{7}+ε$在时间上的比率$2^{O(M/ε^2)} poly(n)$。这给出了比$2$更好的对数成本的比率，而不仅仅是常数成本。对于这个问题，最古老的开放问题之一是对于单位成本（当$M=1$时），标准LP松弛（所谓的Cut-LP）是否具有小于$2$的完整性间隙。我们解决了这个悬而未决的问题，证明了单位成本的完整性缺口的切割LP是最多$28/15=2-2/15$。此外，我们将证明另一个自然LP松弛，这是比以前的工作简单得多，有完整性差距最多$7/4$。
2018-12-22 cs.DS
Approximating (Unweighted) Tree Augmentation via Lift-and-Project, Part I: Stemless TAP
在第一部分中，我们研究了一个特殊的情况下，未加权树扩充问题（TAP）通过Lasserre（平方和）系统。在特殊情况下，我们禁止所谓的主干;这是一种特殊类型的子树配置。对于无柄TAP，我们证明了SDP松弛（LP松弛的Lasserre收紧）的完整性比是$\leq \frac{3}{2}+ε$，其中$ε>0$可以是任何小常数。我们得到这个结果，通过设计一个多项式时间算法无茎TAP实现近似保证（$\frac32+ε$）相对于SDP松弛。该算法是组合的，不解决SDP松弛，但我们的分析依赖于SDP松弛。我们通过Karlin，Mathieu和Nguyen（IPCO 2011）的分解结果确定了Lasserre系统的分数阶解的一些性质，从而将以往文献中积分解的组合分析推广到分数阶解.此外，我们提出了一个无茎TAP的例子，这样的近似保证$\frac32$是紧的算法。在本文的第二部分中，我们扩展了第一部分的方法，以证明相对于TAP的相同SDP松弛的相同结果。
2015-08-29 cs.DS
Coloring Down: $3/2$-approximation for special cases of the weighted tree augmentation problem
在本文中，我们研究的加权树扩充问题（TAP），其目标是增加一棵树的最小成本集的边缘，使图成为两个边缘连接。首先，我们表明，在加权TAP，我们可以限制我们的注意力，这是二进制的树和所有的非树边缘之间的两个树叶。然后，我们给出了两个不同的自顶向下着色算法。这两种算法都不同于用于未加权TAP中的3/2近似的已知技术和当前试图达到加权TAP的3/2近似的技术。我们描述的第一个算法总是给出一个2-近似的任何可行的分数的解决方案的自然边缘覆盖LP。当分数阶解使得所有非零权值的边至少为$α$时，该算法实现了$2/(1+α)$ -近似。我们提出了一个新的猜想的极端点的LP松弛的问题，如果是真的，将导致建设性的证明的完整性差距最多3/2加权TAP。在第二个算法中，我们引入简单的有效约束的边缘覆盖LP。在该算法中，我们专注于缺陷边缘，边缘覆盖的程度小于4/3的分数的解决方案。我们表明，分数可行的解决方案，缺乏边缘发生在节点不相交路径的树。当这类路的个数至多为2时，我们给出了一个自顶向下的着色算法，该算法将3/2倍的分数阶解分解为整数阶解的凸组合。我们相信，我们的算法将是有用的，最终解决的完整性差距的线性规划制定TAP。我们还调查了TAP的一个变种，在解决方案中的每个边缘必须由一个周期的长度为3。在加权情形下给出了该问题的一个$Θ(\log n)$ -近似算法，在非加权情形下给出了一个4-近似算法.
2017-07-17 cs.DS
Approximation Algorithms for Vertex-Connectivity Augmentation on the Cycle
给定一个$k$ -顶点连通图$G$和一个额外边（链接）的集合$S$，$k$ -顶点连通性扩充问题的目标是找到一个最小大小的集合$S' \subseteq S$，使得将$S'$添加到$G$使其$(k+1)$ -顶点连通。与边连通性增强问题不同，对顶点连通性版本的研究很少。在这项工作中，我们提出了第一个多项式时间近似算法，提高了已知的比率为2 $2$顶点连接增强，在这种情况下，$G$是一个周期。这是攻击扩充$2$ -连通图的更一般问题的第一步。我们的算法是基于局部搜索，并达到了$1.8704$的近似比。为了得到它，我们证明了新的结果的最小解的结构。
2021-11-03 cs.DS
3/2-Approximation for the Forest Augmentation Problem
本文提出了一种针对森林增强问题的 3/2 近似算法，改进了现有算法的性能界限，并推动了加权 2-边连通生成子图问题的近似算法研究。
2026-07-21 cs.DS
Better-Than-$\frac{4}{3}$-Approximations for Leaf-to-Leaf Tree and Connectivity Augmentation
连通性增强问题（CAP）连同其被称为树增强问题（TAP）的众所周知的特殊情况是最基本的网络设计问题之一。最近有一个激增的兴趣，找到近似算法，保证$2$以下的TAP和CAP，最终在目前最好的近似因子为这两个问题的$1.393$通过相当复杂的技术。我们提出了一个新的，可以说是简单的匹配为基础的方法，众所周知的特殊情况下，叶到叶的实例。结合我们的工作与以前的技术，我们很容易得到一个$(\frac{4}{3}+ε)$近似叶到叶帽返回更好的我们的解决方案和现有的方法之一。在我们的工作之前，$\frac{4}{3}$ -保证仅适用于高度为$2$的树上的叶到叶TAP实例。此外，当结合我们的技术与最近推出的堆栈分析方法，这是上述$1.393$ -近似的一部分，我们可以进一步提高$1.29$的近似因子，第一次获得一个因子低于$\frac{4}{3}$的非平凡类TAP/CAP实例。
2022-04-14 cs.DS math.OC
The Matching Augmentation Problem: A $\frac74$-Approximation Algorithm
针对匹配扩充问题（MAP）提出了一种$\frac74$近似算法：给定一个代价为0或1的多重图，使得代价为0的边构成一个匹配，求出代价最小的2-边连通生成子图（2-ECSS）.首先，我们提出了一个减少任何给定的MAP实例的集合结构良好的MAP实例，这样的近似保证被保留。然后，我们提出了一个$\frac74$近似算法的结构良好的MAP实例。该算法从最小成本2-边缘覆盖开始，然后应用耳朵增强步骤。我们使用类似于Vempala和Vetta针对（未加权的）最小尺寸2-ECSS问题提出的方法（“最小2连通子图的因子4/3近似”，APPROX 2000，LNCS 1913，pp.262-273）来分析耳朵增强的成本。
2018-12-04 cs.DS
Approximation algorithms for connectivity augmentation problems
在连通性增强问题中，我们给出了一个图$H=(V,E_H)$和$V$上的边集$E$，并寻找一个最小边集$J \subseteq E$，使得$H \cup J$具有比$H$更大的边/节点连通性。在边连通性增强问题中，我们需要通过$1$来增加边连通性。在块树扩充问题中，$H$是连通的，$H \cup S$应该是$2$ -连通的。在叶到叶连通性增强问题中，$E$中的每条边都连接最小亏集。对于这个版本，我们给出了一个简单的组合近似算法的比例$5/3$，改善以前的$1.91$近似适用于一般情况。我们还表明，一个简单的证明，如果斯坦纳树问题承认逼近比$α$然后一般版本承认逼近比$1+\ln(4-x)+ε$，其中$x$是解决方案的方程$1+\ln(4-x)=α+(α-1)x$。对于$α=\ln 4+ε$的当前最佳值，这给出了比率$1.942$。这比最佳比率$1.91$稍差，但具有使用斯坦纳树近似作为“黑盒”的优点，如果比率$α\leq 1.35$可以实现，则给出比率$< 1.9$。在元素连通性增强问题中，我们给出了图$G=(V,E)$、$S \subseteq V$和连通性要求$\{r(u,v):u,v \in S\}$。目标是在$uv$ J上找到新边的最小大小集合$J$，使得对于所有$u,v \in S$，图$G \cup J$包含$r(u,v)$ $uv$ -路径，使得它们中没有两个具有共同的…
2020-11-13 cs.DS
Improving Robustness of Next-Hop Routing
下一跳路由的一个弱点是，在链路或路由器故障之后，某些源-目的地对之间可能没有路由，或者当协议运行以建立新路由时，数据包可能会卡在路由环路中。在本文中，我们通过描述选择备用下一跳的机制来解决这些弱点。我们的第一个贡献是将场景建模为以下{ \sc树增强}问题。考虑一个混合图，其中一些边是有向的，一些是无向的。有向边形成指向公共目的节点的生成树。每个有向边表示路由协议中唯一的下一跳。我们的目标是直接的无向边，使所得到的图保持无环和出度为2或以上的节点的数量最大化。这些节点表示在其路由路径中具有替代下一跳的那些节点。我们证明了{ \sc树扩充}在一般情况下是NP难的，并给出了一个简单的$\frac{1}{2}$ -近似算法。我们还研究了三种特殊情况。当输入生成树由2条有向路径组成或输入图有界树宽时，我们给出了多项式时间的精确算法。对于平面图，当输入树是宽度优先搜索树时，我们提出了一个多项式时间近似方案。据我们所知，{ \sc树增强}以前没有研究过。
2014-11-11 cs.DS
Concurrent Balanced Augmented Trees
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；ICS-FORTH（基础与研究学院-福斯研究所）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of Crete（克里特大学）；Dartmouth College（达特茅斯学院）；York University（约克大学）
本文提出一种无锁增强平衡搜索树，通过委托技术提升性能，实现比传统树快数倍的更新效率。
2026-01-26 cs.DS
Learning Tree-Structured Composition of Data Augmentation
Northeastern University（东北大学）
提出一种二叉树结构的数据增强组合搜索算法，将复杂度从$O(k^d)$降至$O(2^d k)$，在图和图像数据集上计算成本降低43%且性能提升4.3%，并能解释变换的相对重要性。
2024-08-26 cs.CV cs.DS cs.LG
A $(1.5+ε)$-Approximation Algorithm for Weighted Connectivity Augmentation
连通性增强问题是网络设计中最基本的问题之一。许多这些问题承认自然的$2$ -近似算法，往往通过各种经典的技术，而它仍然是开放的近似系数低于$2$可以实现。其最基本的示例之一是加权连接增强问题（WCAP）。在WCAP中，给定一个无向图以及一组附加的加权候选边，任务是找到一组最便宜的候选边，其添加到图中会增加其边连通性。我们提出了一个$(1.5+\varepsilon)$的近似算法WCAP，第一次表明，低于$2$的因素是可以实现的。在高层次上，我们设计了一个精心挑选的局部搜索算法，启发加权树增强的最新进展。为了衡量进展，我们考虑了WCAP的定向弱化，并表明它具有高度结构化的平面解。将原始问题的解解释为这种定向弱化之一，使我们能够以一种干净且符合算法的方式描述局部交换步骤。利用这些见解，我们表明，我们可以有效地搜索良好的交换步骤内的组件类的链接集，是密切相关的有界树宽子图的圆图。此外，我们证明了最优解可以分解成更小的组件，其中至少有一个导致一个良好的局部搜索步骤，只要我们还没有达到要求的近似保证。
2022-09-16 cs.DS
Improved Approximation Algorithms for Path and Forest Augmentation via a Novel Relaxation
针对路径增广问题(PAP)和森林增广问题(FAP)，提出近似保持归约与新型松弛方法，将PAP近似比提升至1.9412，FAP近似比提升至1.9955，相关框架或可用于连通增广领域后续研究。
2025-05-21 cs.DS
Approximation Algorithms for Steiner Connectivity Augmentation
本文研究 Steiner 场景下的连通性增广问题，为 Steiner 环增广问题提出 (1+ln2+ε)-近似算法，并由此得到 2-SCAP 的同比例近似及任意 k 下 k-SAG 的 (1.5+ε)-近似。
2024-08-09 cs.DS
An Improved Approximation Algorithm for the Matching Augmentation Problem
本文提出了一种求解匹配扩充问题（MAP）的$\frac53$ -近似算法：给定一个代价为0或1的多重图，使得代价为0的边构成一个匹配，求出一个代价最小的2-边连通生成子图（2-ECSS）.最近提出了用于相同问题的$\frac74$ -近似算法，参见Cheriyan等人，“匹配增强问题：一个$\frac{7}{4}$ -近似算法”，{ \em Math. Program.}，182（1）：315- 354，2020; arXiv：1810.07816。我们的改进是基于新的算法技术，其中一些可能会导致相关问题的进展。
2020-12-11 cs.DM cs.DS
Finding Almost Tight Witness Trees
本文研究Witness Tree图优化问题，通过更优的见证树选择，改进了Node-Tree Augmentation及特殊图类中Steiner Tree问题的近似算法效果。
2023-05-05 cs.DS math.CO
Matching Augmentation via Simultaneous Contractions
本文研究匹配增广问题，提出近似比为13/8的多项式时间算法，通过近似保持归约和重复同时收缩技术改进此前结果。
2023-05-26 cs.DS
Relay Augmentation for Lifetime Extension of Wireless Sensor Networks
我们提出了一种新的中继增强策略，以延长某类无线传感器网络的生命周期。在这类传感器位于固定和预定的位置和所有的通信发生在一个固定的路由树植根于基站通过多跳路径。假设沿着通信路径不发生数据累积，并且对附加中继器可以位于何处没有限制。在这些假设下，网络生命周期的最佳延长建模为欧几里德$k$瓶颈Steiner树问题。只有两个近似算法，这个NP难问题存在于文献中：最小生成树启发式（MSTH）的性能比2，和概率3-正则超图启发式（3RHH）的性能比$\sqrt{3}+ε$。我们提出了一个新的迭代启发式，结合MSTH和模拟表明，我们的算法比MSTH在延长生命周期，并优于3RHH的效率。
2013-01-21 cs.DS math.OC
Approximation of trees by self-nested trees
自嵌套树类由于子树结构的系统性重复而具有显著的压缩特性。在本文中，我们提供了一个更好的组合表征这个特定的家庭的树木。特别是，我们表明，从理论和实践的角度来看，复杂的查询可以快速回答自嵌套树相比，一般的树。本文还提出了一种自嵌套树的近似算法，可用于快速预测两棵树之间的编辑距离。
2018-10-25 cs.DS
Node Connectivity Augmentation of Highly Connected Graphs
本文完整刻画了节点连通性增强问题的计算复杂性，并针对 NP-困难的最大情形 k=n-4，分别提出加权3/2近似算法和无权4/3近似算法，改进了已知近似界。
2023-11-28 cs.DS
Augmentation based Approximation Algorithms for Flexible Network Design
Adjiashvili在非均匀故障模型中引入了网络设计：给定图的边集被划分为安全边和不安全边。即使在删除任何$q$不安全边之后，如果$s$和$t$具有$p$边连接性，则顶点对$(s,t)$也是$(p,q)$ -柔性连接的。给定图$G$，目标是选择$G$的最小成本子图$H$，该子图对于给定的顶点对集合具有期望的柔性连通性。该模型推广了基于边连通性的网络设计，然而，即使是特殊情况也很难近似。该模型中的网络设计的近似性主要研究了两个感兴趣的设置：（i）单对设置下的名称FTP和FTF（容错路径和容错流），（ii）跨越设置下的名称FGC（灵活的图形连接）。这些文件取得了一些积极成果。然而，尽管相似的著名的网络设计问题，这个新的模型一直具有挑战性的设计近似算法，特别是当$p,q \ge 2$。我们得到两个结果，推进我们的理解，在这个模型中的算法设计。1.我们得到了单对$(s,t)$的$(2,2)$ -flex-connectivity的$5$ -近似。以前没有非平凡的近似是已知的这种设置。2.我们得到了$(p,2)$的$O(p)$近似和对任何$p \ge 1$的$(p,3)$近似，以及对任何偶数$p$的$(p,4)$-FGC近似.对任何$q \ge 1$，我们得到了$(2,q)$-FGC的$O(q)$ -近似.以前只有$O(q \log n)$ -近似是已知的这些设置。我们的结果是通过增强框架…
2022-09-25 cs.DS
Bridging the Gap Between Tree and Connectivity Augmentation: Unified and Stronger Approaches
我们考虑的连通性增强问题（CAP），在生存性网络设计领域的一个经典问题。它是关于以最便宜的方式将图的边连通性增加一个单位。更准确地说，给定一个$k$ -边连通图$G=(V,E)$和一组额外的边，任务是找到一个额外的边的最小基数子集，其添加到$G$使图$(k+1)$ -边连通。如果$k$是奇数，则已知该问题简化为树扩充问题（TAP）--即，$G$是一种生成树--最近在这方面取得了重大进展，导致逼近因子低于$1.5$（目前最好的因子是$1.458$）。然而，技术咨询方案的进展迄今没有结转到联合呼吁程序。事实上，直到最近，Byrka，Grandoni和Ameli（STOC 2020）通过提出一种基于与TAP最新进展不相交的方法的$1.91$ -近似算法，设法获得了CAP的$2$以下的第一近似因子。我们首先弥合TAP和CAP之间的差距，通过提出技术，允许利用TAP的见解和方法来接近CAP。然后，我们介绍了一种新的方法来获得逼近因子低于$1.5$，基于一种新的分析技术。通过这些成分，我们得到了一个$1.393$ -近似算法的CAP，因此也TAP。这导致了目前两个问题的最佳近似结果以统一的方式，通过显着改进上述CAP的$1.91$近似以及Grandoni，Kalaitzis和Zenklusen（STOC 2018）之前TAP的最佳近似因子$1.458$。此外，我们从最近的TAP进展继承的一个功…
2022-11-23 cs.DS math.OC
A simple approximation algorithm for the internal Steiner minimum tree
对于度量图$G=(V,E)$和$R\subset V$，内部Steiner最小树问题要求生成一棵最小权Steiner树，使得$R$中的每个顶点都不是叶子。本文给出了一个简单的多项式时间$2ρ$ -近似算法，其中$ρ$是Steiner最小树问题的近似比。结果改进了以前的最佳逼近比$2ρ+1$的问题。该比率目前不是最好的，但算法非常简单。
2013-07-17 cs.DS
An Efficient Approximation Algorithm for the Steiner Tree Problem
Steiner树问题是一个经典的和最基本的$\mathcal{NP}$ -难问题：给定一个任意的加权图，寻找一个最小成本的树，覆盖给定的顶点（终端）的子集。Byrka \emph{et al}。提出了一种$1.3863+ε$ -近似算法，该算法在每次迭代中收缩一个分量后求解线性规划。Goemans \emph{et al}。结果表明，它是可以实现相同的近似保证，而只解决一次超图LP松弛。然而，优化超图LP松弛精确是强NP-难的。本文提出了一种有效的两阶段启发式贪婪策略，实现了$1.4295$的近似比。
2018-11-01 cs.DS
A Simple LP-Based Approximation Algorithm for the Matching Augmentation Problem
匹配增广问题（MAP）作为寻找廉价$2$ -边连通子图的近似算法的重要一步，最近受到了广泛的关注。这最终导致了$\frac{5}{3}$ -近似算法。然而，该算法及其分析相当复杂，不能与该问题的著名LP松弛（称为切割LP）进行比较。在本文中，我们提出了一个简单的算法，引导下的最佳解决方案，以削减LP，首先选择一个DFS树，然后找到一个解决方案，MAP通过计算最佳增强这棵树。使用极值点解的性质，我们表明，我们的算法总是返回（在多项式时间）比$2$ -近似相比，削减LP。因此，我们也得到一个改进的上界的完整性差距，这种自然松弛。
2022-08-24 cs.DS math.CO math.OC
Approximation algorithms for node-weighted prize-collecting Steiner tree problems on planar graphs
我们研究的获奖版本的节点加权Steiner树问题（NWPCST）限制到平面图。给出了一种新的平面NWPCST的原-对偶保拉格朗日乘子（LMP）3-近似算法。然后，我们展示了（$2.88 + ε$）近似建立一个新的最佳近似保证平面NWPCST。这是通过将我们的LMP算法与阈值舍入技术相结合，并利用Berman和Yaroslavtsev的2.4近似来实现的。我们还给出了一个原始-对偶4-近似算法的更一般的森林版本，使用Hajiaghay和Jain介绍的技术。
2016-01-11 cs.DS
Optimized 2-Approximation of Treewidth
本文提出了一种线性FPT算法，将树宽2-近似的指数依赖从Korhonen的$O(1782^k n)$优化至$O(81^k n)$，显著降低了计算复杂度。
2025-07-05 cs.DS
Approximation Algorithms for Vehicle Routing Problems with Stochastic Demands on Trees
本文研究了具有单一停车场的树形网络上的随机需求车辆路径问题。本文所研究的问题是寻找一组具有最小期望长度的车辆的路线。每个巡回都从仓库开始，访问一部分客户，然后返回仓库，而不会违反容量限制。随机近似算法实现近似保证2的分裂交付VRPSD，和3的非分裂交付VRPSD。
2013-04-22 cs.DS
A Tight $(1.5+ε)$-Approximation for Unsplittable Capacitated Vehicle Routing on Trees
在树上的不可拆分容量限制车辆路径问题中，我们给出了一个带边权的根树和树的顶点子集（称为终端）。每个终端与0和1之间的正需求相关联。目标是找到在树的根处开始和结束的旅程的最小长度集合，使得每个终端的需求被单个旅程覆盖（即，不能拆分），且每一个行程的码头总需求量不超过1。对于所有终端具有相等需求的特殊情况，长时间的研究最终产生了准多项式时间近似方案[Jayaprakash和Salavatipour，SODA 2022]和多项式时间近似方案[Mathieu和Zhou，ICALP 2022]。在这项工作中，我们研究的一般情况下，终端有任意的需求。我们的主要贡献是一个多项式时间的$(1.5+ε)$ -近似算法的UCVRP树。这是对30多年前的2-近似算法的首次改进[Labbé、Laporte和Mercure，运筹学，1991]。我们的近似比基本上是最好的可能，因为它是NP-难的近似UCVRP的树木，以优于1.5的因素。
2022-11-08 cs.DS
A $\frac{5}{2}$-Approximation Algorithm for Coloring Rooted Subtrees of a Degree $3$ Tree
如果通过用无向边替换$\vec{R}$的有向边而获得的树是$T$的子树，则有根树$\vec{R}$是树$T$的有根子树。我们研究的问题，分配最小数量的颜色给一个给定的一组有根的子树$\mathcal{R}$的一个给定的树$T$，这样，如果任何两个有根的子树共享一个有向边，那么它们被分配不同的颜色。即使在将$T$的度限制为$3$的情况下，该问题也是NP难的。我们提出了一个$\frac{5}{2}$ -近似算法。研究这个问题的动机源于在全光WDM树型网络中为组播业务请求分配波长的问题。
2018-05-21 cs.DS
A Simple 4-Approximation Algorithm for Maximum Agreement Forests on Multiple Unrooted Binary Trees
本研究提出一种计算多棵无根二叉树最大一致森林的简单4-近似算法，基于Van Wersch等人的ILP扩展做LP舍入，在保持与Chen等人算法相同近似比的同时更简洁，并证明该ILP框架下近似比无法突破4。
2024-09-13 cs.DS
A Constant-Factor Approximation for Quasi-bipartite Directed Steiner Tree on Minor-Free Graphs
给出了不含固定子式的图上有向Steiner树的拟二部实例的第一个常数因子近似算法。特别是，对于$K_r$ -小自由图，我们的近似保证是$O(r\cdot\sqrt{\log r})$，并且进一步地，对于平面图，我们的近似保证是20。我们的算法使用原始对偶方案。我们采用了一个更复杂的方法来确定何时购买边，同时提高对偶变量，因为，正如我们所示，自然的原始对偶方案未能提高足够的对偶值来支付购买的解决方案。因此，我们也证明了完整性差距上界的标准切割为基础的线性规划放松有向斯坦纳树的情况下，我们认为。
2022-11-05 cs.DS
Minimum-weight double-tree shortcutting for Metric TSP: Bounding the approximation ratio
度量旅行商问题（TSP）是一个经典的NP-难优化问题。度量TSP的双树捷径方法产生了一个指数大小的TSP旅游空间，每个旅游都近似于最多2倍的最优解。我们考虑的问题是在这些旅行中找到一个最接近的近似，即。\emph{minimum-weight double-tree shortcutting}。在此之前，我们给出了一个有效的算法，并进行了实验分析。本文讨论了最小权双树捷径法的最坏逼近比问题。特别地，我们给出了一些特定度量空间中近似比的下界：在离散最短路度量中2的比，在平面欧氏度量中1.622，在平面Minkowski度量中1.666。第一个这些下界是紧的，我们猜想，其他两个边界也紧，特别是最小重量的双树方法提供了一个1.622近似平面欧几里德TSP。
2008-12-28 cs.DS
Improved Approximation Algorithm for Graph Burning on Trees
给定一个图$G=(V,E)$，\gb{}的问题是从图$V$中找出一个节点序列，称为烧序列，以烧完整个图.这是一个离散步骤的过程，在每一步中，一个未燃烧的顶点被选为代理，通过将其标记为燃烧节点来将火传播到其邻居。被烧毁的节点在下一个连续步骤中将火传播到其邻居。目标是找到最小长度的燃烧序列。\gb{}问题对于一般图甚至二叉树都是NP难的。一些近似结果是已知的，包括一般图的$3$ -近似算法和树的$2$ -近似算法。在本文中，我们提出了一个近似算法的树木，产生的燃烧序列的长度最多为$\lfloor 1.75b(T) \rfloor + 1$，其中$b(T)$是最佳燃烧序列的长度，也称为燃烧数的树$T$。换句话说，我们实现了$(\lfloor 1.75b(T) \rfloor + 1)/b(T)$的近似因子。
2022-09-15 cs.DS
Strong Steiner Tree Approximations in Practice
在这个实验研究中，我们考虑Steiner树近似，保证比小于$2$的常数近似。所考虑的基于线性规划的贪心算法和方法涉及对某些$k \geq 3$的$k$限制的全分量的合并。对于大多数的算法，其最强的理论近似界只达到$k \to \infty$。然而，运行时间也与$k$成指数关系，因此实际上只有小的$k$是可处理的。我们调查不同的实施方面和参数的选择，最终使我们能够构建算法（有点）可行的实际使用。我们相互比较的算法，一个精确的LP为基础的算法，快速和简单的$2$近似。
2015-12-09 cs.DS
Prize-Collecting Steiner Tree: A 1.79 Approximation
本文针对奖品收集斯坦纳树问题提出一种新颖的迭代方法，将近似因子从长期停滞的1.9672大幅降低至1.7994。
2024-05-06 cs.DS
A 4/3-approximation algorithm for finding a spanning tree to maximize its internal vertices
本文主要研究如何找到一棵图的生成树，使其内部顶点数最大化。我们提出了一个近似算法，该算法在无向简单图上可以达到性能比$\frac{4}{3}$。这改进了之前最著名的具有性能比$\frac{5}{3}$的近似算法。我们的算法受益于一个新的观察边界的内部顶点的数量的生成树，这表明，一个无向简单图的生成树有较少的内部顶点比边缘的最大路径循环覆盖的图形。我们也可以给出一个例子来说明性能比$\frac{4}{3}$实际上是紧的，对于这个算法。要决定它是多么困难，这个问题是近似的，我们发现，找到一个无向简单图的生成树，以最大限度地提高其内部顶点是最大SNP困难。
2014-09-12 cs.DS
Computing a tree having a small vertex cover
我们考虑一个新的Steiner树问题，称为顶点覆盖加权Steiner树问题。该问题定义Steiner树的权为树中顶点覆盖的最小权，并在给定的顶点加权无向图中寻找最小权Steiner树。由于它包含在Steiner树激活问题中，因此在一般的n阶图中，该问题的近似算法为O（log n）-近似算法.这个近似因子是紧到一个常数，因为它是NP-困难的实现一个o（log n）-近似的顶点覆盖加权Steiner树问题的一般图，即使给定的顶点权重是均匀的，需要一个生成树，而不是一个Steiner树。在本文中，我们提出了常数因子的近似算法的问题与单位圆盘图和图不包括一个固定的子。对于后一类图，我们的算法也可以应用于Steiner树激活问题。
2018-08-07 cs.DS
A Tight 4/3 Approximation for Capacitated Vehicle Routing in Trees
给定一组有需求的客户，容量限制的车辆路径问题是找到一组行程，这些行程共同覆盖所有客户的需求，使得每个车辆的容量不被超过，并且使得行程长度之和最小化。在本文中，我们提供了一个4/3近似算法的能力约束车辆路径的树，改进了以前最著名的近似比$(\sqrt{41}-1)/4$的Asano等。同时使用相同的下限。Asano等人证明了存在最优成本是这个下限的4/3倍的实例。值得注意的是，我们的4/3近似比因此对于这个下限是紧的，实现了最佳性能。
2018-04-24 cs.DS
A Single-Exponential Time 2-Approximation Algorithm for Treewidth
本研究提出一种单指数时间的树宽2-近似算法，在2^{O(k)}n时间内输出宽度至多2k+1的树分解或判定树宽大于k，改进了此前5倍近似比的最优结果，思路源自相关证明的启发。
2023-08-23 cs.DS
Approximation algorithms for the maximum weight internal spanning tree problem
给定一个点权连通图$G = (V, E)$，最大权内部生成树（Maximum Weight Internal Spanning Tree，简称MwIST）问题要求$G = (V, E)$的一棵生成树$T$使得$T$的内部顶点的总权最大.未加权的变体，表示为MIST，是NP-难和APX-难的，并且当前最佳近似算法具有经证明的性能比$13/17$。对于任何$ε> 0$，MwIST的当前最佳近似算法仅具有性能比$1/3 - ε$。在本文中，我们提出了一个简单的算法的基础上的一种新的关系MwIST和最大权重匹配，并表明它实现了更好的近似比的$1/2$。当限制为无爪图时，我们设计了一个$7/12$ -近似算法。
2017-05-26 cs.DS
An Approximation Algorithm for Distance-Constrained Vehicle Routing on Trees
在距离约束车辆路径问题（DVRP）中，给定一个具有整数边权值的图、一个仓库、一组$n$终端和一个距离约束$D$。目标是找到最少数量的在停车场开始和结束的旅程，使得这些旅程一起覆盖所有终端，并且每个旅程的长度最多为$D$。树上的DVRP是独立的兴趣，因为它等价于Sindelar等人研究的树上的虚拟机包装问题。[SPAA'11]。我们设计了一个简单而自然的近似算法的树DVRP，参数$\varepsilon >0$。我们证明了它的近似比是$α+ \varepsilon$，其中$α\approx 1.691$，此外，我们的分析是本质上紧。运行时间在$n$和$D$中是多项式。由于Nagarajan和Ravi [Networks'12]，近似比在2的基础上有所提高。本文的主要创新之处在于对算法的分析。它依赖于减少从树DVRP有界空间在线装箱问题通过一个新的概念减少长度。
2022-10-07 cs.DS
A Constant Factor Approximation for Capacitated Min-Max Tree Cover
给定一个图$G=(V,E)$，它具有非负的实边长度和一个整数参数$k$，Min-Max k-树覆盖问题试图找到$G$的一组至多$k$的子树，使得这些树的并集是顶点集$V$。目标是最小化所有树的最大长度。我们给出了这个问题的硬统一的capacitated版本，其中，输入参数$λ$上限的顶点数，可以覆盖的任何树的第一个常数因子近似。我们的结果扩展到有根版本的问题，在这里我们给出了一组$k$根顶点，$R$和每个覆盖树需要包括一个不同的顶点在$R$作为根。在我们的工作之前，已知的唯一结果是当图中的顶点总数为$kλ$时的特殊情况的$(2k-1)$ -近似算法[Guttmann-Beck和Hassin，J. of Algorithms，1997]。我们的技术规避了使用图的最小生成树作为下限的困难，这对于问题的无容量限制版本是标准的[Even et al.，OR Letters 2004] [Khani等人，2010年]。相反，我们使用覆盖$λ$顶点的Steiner树以及迭代细化过程，以确保输出树具有低成本并且顶点在树之间分布良好。
2019-12-12 cs.DS
Kruskal-based approximation algorithm for the multi-level Steiner tree problem
我们研究多层次的斯坦纳树问题：一个泛化的斯坦纳树问题的图形终端$T$需要不同的优先级，水平，或服务质量。在这个问题中，我们试图找到一个最小成本树，包含边的变化率，使任何两个终端$u$，$v$与优先级$P(u)$，$P(v)$连接使用边率$\min\{P(u),P(v)\}$或更好。边缘成本与它们的速率成比例的情况近似于最优解的恒定因子内。对于非比例成本的更一般情况，这个问题很难用比率$c \log \log n$近似，其中$n$是图中的顶点数。Charikar等人提出的一种简单的贪婪算法，然而，在此设置中提供了$\min\{2(\ln |T|+1), \ell ρ\}$近似，其中$ρ$是Steiner树问题的启发式求解器的近似比率，$\ell$是优先级或级别的数量（例如，Byrka等人给出了具有$ρ\approx 1.39$的Steiner树算法）。在本文中，我们描述了一个自然的推广到多层次的情况下的经典（单级）Steiner树近似算法的基础上Kruskal的最小生成树算法。我们证明，该算法实现的近似比至少一样好Charikar等人。并且实验上相对于最优解表现得更好。我们开发了一个整数线性规划公式来计算非比例边成本的多级Steiner树问题的精确解，并使用它来评估我们的算法在来自SteinLib的随机图和多级实例上的性能。
2020-05-15 cs.DS
From Directed Steiner Tree to Directed Polymatroid Steiner Tree in Planar Graphs
在有向斯坦纳树（DST）问题中，输入是有向边加权图$G=(V,E)$、根顶点$r$和$k$终端的集合$S \subseteq V$。我们的目标是找到一个最小成本的子图，连接$r$到每个终端。DST允许准多项式时间的$O(\log^2 k/\log \log k)$ -近似，以及多项式时间的任何固定$ε> 0$的$O(k^ε)$ -近似。解决多项式时间多对数逼近的存在性问题是逼近算法中的一个主要问题。在最近的工作中，Friggstad和Mousavi [ICALP 2023]通过Thorup的最短路径分离定理获得了平面有向图中DST的简单而优雅的多项式时间$O(\log k)$ -近似。我们建立在他们的工作，并取得了一些新的成果DST和相关问题。- 我们通过对Friggstad和Mousavi [ICALP 2023]中递归的解释，开发了一种用于平面有向图中有根问题的树嵌入技术。利用这一点，我们得到多项式时间的多对数近似的群Steiner树，覆盖Steiner树，和多拟阵Steiner树问题的平面有向图。所有这些问题即使在树中也很难近似到$Ω(\log^2 n/\log \log n)$的因子内。- 我们证明了DST的自然割LP松弛在平面图中具有$O(\log^2 k)$的完整性间隙。这与一般图形成对比，其中已知该LP的完整性间隙为$Ω(k)$，并且对于某些固定的$δ> 0$为$Ω(…
2024-07-02 cs.DS
Kd-tree Based Wasserstein Distance Approximation for High-Dimensional Data
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）；Indeed Recruit Technologies Co., Ltd.（Indeed Recruit科技有限公司）
本文提出kd-Flowtree，一种基于Kd树的Wasserstein距离近似方法，适用于高维数据检索，具有更高的精度和更快的计算速度。
2026-01-19 cs.DS
