Better-Than-$\frac{4}{3}$-Approximations for Leaf-to-Leaf Tree and Connectivity Augmentation
连通性增强问题（CAP）连同其被称为树增强问题（TAP）的众所周知的特殊情况是最基本的网络设计问题之一。最近有一个激增的兴趣，找到近似算法，保证$2$以下的TAP和CAP，最终在目前最好的近似因子为这两个问题的$1.393$通过相当复杂的技术。我们提出了一个新的，可以说是简单的匹配为基础的方法，众所周知的特殊情况下，叶到叶的实例。结合我们的工作与以前的技术，我们很容易得到一个$(\frac{4}{3}+ε)$近似叶到叶帽返回更好的我们的解决方案和现有的方法之一。在我们的工作之前，$\frac{4}{3}$ -保证仅适用于高度为$2$的树上的叶到叶TAP实例。此外，当结合我们的技术与最近推出的堆栈分析方法，这是上述$1.393$ -近似的一部分，我们可以进一步提高$1.29$的近似因子，第一次获得一个因子低于$\frac{4}{3}$的非平凡类TAP/CAP实例。
2022-04-14 cs.DS math.OC
Weighted Matchings via Unweighted Augmentations
我们设计了一个通用的方法，找到加权匹配的任务，找到短增广路径在未加权图。这种方法使我们能够提供有效的实现近似加权匹配的流模型和大规模并行计算（MPC）模型。在流的背景下，随机边缘到达，我们的技术产生一个$(1/2+c)$近似算法，从而打破了$1/2$的天然屏障。对于多通道流和MPC模型，我们表明，任何算法计算$(1-δ)$ -近似不加权匹配的二分图可以被翻译成一个算法，计算一个$(1-\varepsilon(δ))$ -近似最大加权匹配。此外，这种转换在复杂度中仅引起恒定因子（其取决于$\varepsilon> 0$）开销。使用当前最佳的多通道流和MPC算法对未加权匹配进行实例化，对于最大加权匹配产生以下结果：* 使用$O_\varepsilon(1)$通道和$O_\varepsilon(n\, \text{poly} (\log n))$存储器的$(1-\varepsilon)$ -近似流算法。这是第一个用于加权匹配的$(1-\varepsilon)$近似流算法，它使用恒定的传递次数（仅取决于$\varepsilon$）。* MPC模型中的一种$(1 - \varepsilon)$近似算法，使用$O_\varepsilon(\log \log n)$轮、每轮$O(m/n)$机器和每机器$O_\varepsilon(n\, \text{poly}(\log n))$内存。这改进了以…
2018-11-07 cs.DC cs.DS
On Small-Depth Tree Augmentations
本文研究了一般链路费用的加权树扩充问题。我们表明，$k$级树实例的（加权）树扩充问题的ODD-LP松弛的完整性间隙至多为$2 - \frac{1}{2^{k-1}}$。对于2层和3层树，这些比率分别是$\frac32$和$\frac74$。我们的证明是建设性的，并产生多项式时间的近似算法与匹配的保证。
2021-10-30 cs.DS
Approximation Algorithms for Vertex-Connectivity Augmentation on the Cycle
给定一个$k$ -顶点连通图$G$和一个额外边（链接）的集合$S$，$k$ -顶点连通性扩充问题的目标是找到一个最小大小的集合$S' \subseteq S$，使得将$S'$添加到$G$使其$(k+1)$ -顶点连通。与边连通性增强问题不同，对顶点连通性版本的研究很少。在这项工作中，我们提出了第一个多项式时间近似算法，提高了已知的比率为2 $2$顶点连接增强，在这种情况下，$G$是一个周期。这是攻击扩充$2$ -连通图的更一般问题的第一步。我们的算法是基于局部搜索，并达到了$1.8704$的近似比。为了得到它，我们证明了新的结果的最小解的结构。
2021-11-03 cs.DS
3/2-Approximation for the Forest Augmentation Problem
本文提出了一种针对森林增强问题的 3/2 近似算法，改进了现有算法的性能界限，并推动了加权 2-边连通生成子图问题的近似算法研究。
2026-07-21 cs.DS
Local Search for Weighted Tree Augmentation and Steiner Tree
我们提出了一种技术，允许改善一些相对贪婪的程序精心挑选（非遗忘）的局部搜索算法。相对贪婪过程是一种特殊类型的贪心算法，它从一个简单但较弱的解开始，并迭代地用较强的分量替换该初始解的一部分。相对贪心算法的一些著名应用包括Steiner树的近似算法，以及最近的连通性增强问题。我们的技术的主要应用导致$(1.5+ε)$ -近似加权树增强，改进最近的相对贪婪的方法与近似因子$1+\ln 2 + ε\approx 1.69$。此外，我们展示了如何我们的本地搜索技术可以应用到斯坦纳树，导致另一种方法来获得目前最知名的近似因子的$\ln 4 + ε$。与以前的方法相反，我们的方法是纯粹的组合，而不需要解决LP。尽管如此，解决方案的价值仍然可以在著名的hypergraphic LP方面的限制，导致一个替代的，可以说是更简单的，技术来限制其完整性差距的$\ln 4$。
2021-07-15 cs.DS math.OC
Improved Approximation for Tree Augmentation: Saving by Rewiring
树扩充问题（TAP）是一个基本的网络设计问题，在这个问题中，我们给定一棵树和一组附加边，也称为\emph{links}。我们的任务是找到一组链接，最小的大小，其除了树导致一个$2$ -边连接图。关于TAP的一长串结果最终导致了之前最著名的$1.5$近似保证，该近似保证是由Kortsarz和Nutov [ACM Transactions on Algorithms 2016]通过组合方法实现的，也是由Cheriyan和Gao [Matmica 2017]通过基于SDP的方法实现的。此外，最近Fiorini、Groovy、Könemann和Sanitá也发现了一种优雅的基于LP的$(1.5+ε)$近似[SODA 2018]。在本文中，我们表明，$1.5$以下的近似因子可以实现，通过提出一个$1.458$近似，是基于几种新的技术。
2018-04-06 cs.DS
A $59/33$ Cut-LP Guarantee for Matching Augmentation
Institute of Computer Science, University of Augsburg（奥格斯堡大学计算机科学研究所）
本文通过新的结构分析，证明匹配增强问题的LP引导DFS算法达到59/33的积分间隙，无需新算法步骤，并推广到森林增强问题。
2026-09-23 cs.DS
Approximation algorithms for connectivity augmentation problems
在连通性增强问题中，我们给出了一个图$H=(V,E_H)$和$V$上的边集$E$，并寻找一个最小边集$J \subseteq E$，使得$H \cup J$具有比$H$更大的边/节点连通性。在边连通性增强问题中，我们需要通过$1$来增加边连通性。在块树扩充问题中，$H$是连通的，$H \cup S$应该是$2$ -连通的。在叶到叶连通性增强问题中，$E$中的每条边都连接最小亏集。对于这个版本，我们给出了一个简单的组合近似算法的比例$5/3$，改善以前的$1.91$近似适用于一般情况。我们还表明，一个简单的证明，如果斯坦纳树问题承认逼近比$α$然后一般版本承认逼近比$1+\ln(4-x)+ε$，其中$x$是解决方案的方程$1+\ln(4-x)=α+(α-1)x$。对于$α=\ln 4+ε$的当前最佳值，这给出了比率$1.942$。这比最佳比率$1.91$稍差，但具有使用斯坦纳树近似作为“黑盒”的优点，如果比率$α\leq 1.35$可以实现，则给出比率$< 1.9$。在元素连通性增强问题中，我们给出了图$G=(V,E)$、$S \subseteq V$和连通性要求$\{r(u,v):u,v \in S\}$。目标是在$uv$ J上找到新边的最小大小集合$J$，使得对于所有$u,v \in S$，图$G \cup J$包含$r(u,v)$ $uv$ -路径，使得它们中没有两个具有共同的…
2020-11-13 cs.DS
Approximating (Unweighted) Tree Augmentation via Lift-and-Project (Part 0: $1.8+ε$ approximation for (Unweighted) TAP)
本文利用Lasserre（Sum of Squares）系统研究了无权树扩充问题（TAP）。我们证明了（$1.8+ε$）相对于SDP松弛的近似保证，这与ACM TALG（2009）中Even，Feldman，Kortsarz和Nutov的组合近似保证相匹配，其中$ε>0$是常数。我们推广了Even等人的积分解的组合分析，通过Rothvovich（arXiv：1111.5473，2011）和Karlin，Mathieu和Nguyen（IPCO 2011）的分解结果，确定了Lasserre系统分数阶解的一些性质。
2016-04-04 cs.DS
Bridging the Gap Between Tree and Connectivity Augmentation: Unified and Stronger Approaches
我们考虑的连通性增强问题（CAP），在生存性网络设计领域的一个经典问题。它是关于以最便宜的方式将图的边连通性增加一个单位。更准确地说，给定一个$k$ -边连通图$G=(V,E)$和一组额外的边，任务是找到一个额外的边的最小基数子集，其添加到$G$使图$(k+1)$ -边连通。如果$k$是奇数，则已知该问题简化为树扩充问题（TAP）--即，$G$是一种生成树--最近在这方面取得了重大进展，导致逼近因子低于$1.5$（目前最好的因子是$1.458$）。然而，技术咨询方案的进展迄今没有结转到联合呼吁程序。事实上，直到最近，Byrka，Grandoni和Ameli（STOC 2020）通过提出一种基于与TAP最新进展不相交的方法的$1.91$ -近似算法，设法获得了CAP的$2$以下的第一近似因子。我们首先弥合TAP和CAP之间的差距，通过提出技术，允许利用TAP的见解和方法来接近CAP。然后，我们介绍了一种新的方法来获得逼近因子低于$1.5$，基于一种新的分析技术。通过这些成分，我们得到了一个$1.393$ -近似算法的CAP，因此也TAP。这导致了目前两个问题的最佳近似结果以统一的方式，通过显着改进上述CAP的$1.91$近似以及Grandoni，Kalaitzis和Zenklusen（STOC 2018）之前TAP的最佳近似因子$1.458$。此外，我们从最近的TAP进展继承的一个功…
2022-11-23 cs.DS math.OC
Forgetting Alternation and Blossoms: A New Framework for Fast Matching Augmentation and Its Applications to Sequential/Distributed/Streaming Computation
Osaka University（大阪大学）
针对图最大基数匹配问题，提出一种基于遗忘交替性的新结构定理（不依赖花结构），改进交替基树性质并给出新算法，还在分布式/流计算中提出高效近似算法，基于独立价值的近似因子放大框架。
2025-11-11 cs.DC cs.DS math.CO
Approximation algorithms for Steiner Tree Augmentation Problems
在Steiner树扩充问题（STAP）中，给出了一个图$G = (V,E)$，一组终端$R \subseteq V$，以及一个生成$R$的Steiner树$T$.边$L := E \setminus E(T)$称为链路，具有非负成本。我们的目标是通过增加一个最小成本的链接集来增强$T$，使得$R$中的每对顶点之间有2条边不相交的路径。这个问题是可生存网络设计问题的一个特例，可以使用迭代舍入~ \cite{J2001}将其近似为2倍。我们给出了第一个多项式时间的STAP算法，近似比优于2。特别地，我们实现了$(1.5 + \varepsilon)$的近似比。为了做到这一点，我们采用局部搜索方法的~ \cite{TZ2022}的树扩充问题，并推广他们的主要分解定理从链接（大小为2）的超链接。我们还考虑了节点加权Steiner树增强问题（NW-STAP），其中非终端节点具有非负成本。我们寻找一个最便宜的子集$S \subseteq V \setminus R$，使$G[R \cup S]$是2-边连接的。利用Nutov~ \cite{N2010}的一个结果，证明了该问题存在一个$O(\log |R|)$ -近似.我们提供了一个$O(\log^2 (|R|))$ -近似算法NW-STAP使用贪婪算法利用蜘蛛分解的最优解。
2022-11-12 cs.DS
A $(1.5+ε)$-Approximation Algorithm for Weighted Connectivity Augmentation
连通性增强问题是网络设计中最基本的问题之一。许多这些问题承认自然的$2$ -近似算法，往往通过各种经典的技术，而它仍然是开放的近似系数低于$2$可以实现。其最基本的示例之一是加权连接增强问题（WCAP）。在WCAP中，给定一个无向图以及一组附加的加权候选边，任务是找到一组最便宜的候选边，其添加到图中会增加其边连通性。我们提出了一个$(1.5+\varepsilon)$的近似算法WCAP，第一次表明，低于$2$的因素是可以实现的。在高层次上，我们设计了一个精心挑选的局部搜索算法，启发加权树增强的最新进展。为了衡量进展，我们考虑了WCAP的定向弱化，并表明它具有高度结构化的平面解。将原始问题的解解释为这种定向弱化之一，使我们能够以一种干净且符合算法的方式描述局部交换步骤。利用这些见解，我们表明，我们可以有效地搜索良好的交换步骤内的组件类的链接集，是密切相关的有界树宽子图的圆图。此外，我们证明了最优解可以分解成更小的组件，其中至少有一个导致一个良好的局部搜索步骤，只要我们还没有达到要求的近似保证。
2022-09-16 cs.DS
Improved Approximation Algorithms for Path and Forest Augmentation via a Novel Relaxation
针对路径增广问题(PAP)和森林增广问题(FAP)，提出近似保持归约与新型松弛方法，将PAP近似比提升至1.9412，FAP近似比提升至1.9955，相关框架或可用于连通增广领域后续研究。
2025-05-21 cs.DS
Approximation Algorithms for Steiner Connectivity Augmentation
本文研究 Steiner 场景下的连通性增广问题，为 Steiner 环增广问题提出 (1+ln2+ε)-近似算法，并由此得到 2-SCAP 的同比例近似及任意 k 下 k-SAG 的 (1.5+ε)-近似。
2024-08-09 cs.DS
Node Connectivity Augmentation via Iterative Randomized Rounding
许多网络设计问题都涉及到低成本网络的设计，这些网络对节点或链路等元件的故障具有弹性。一个这样的问题是连通性增强，其目标是将网络的连通性从值k增加到k+1。研究最多的设置集中在边连通性上，它减少到k=2，称为仙人掌增强。从近似的角度来看，Byrka，Grandoni和Jabal Ameli（2020）是第一个打破这个问题的2-近似障碍的人，通过利用与Steiner树问题的联系，并通过对Steiner树的迭代随机舍入技术的分析进行定制，以适应这种联系产生的特定情况。最近，Nutov（2020）观察到，对于称为块树增强的节点连接问题，与Steiner树类似的简化也成立，其中目标是向给定的生成树添加边，以便生成的图2-节点连接。将Nutov的结果与Byrka、Grandoni和Jabal Ameli的算法相结合，得到块树扩充的1.91近似值，这是迄今为止已知的最佳界。本文给出了一个1.892-近似算法，用于将任意图的节点连通度从1扩充到2。作为推论，我们改进了最先进的块树增强的近似因子。我们的结果是通过开发一个不同的和更简单的分析迭代随机舍入技术。我们的结果也暗示了一个1.892-近似算法的仙人掌增强。虽然这并没有击败Cecchetto，Traub和Zenklusen（2021）在这个问题上的最佳近似，但与文献中以前的结果相比，我们的分析非常简单。此外，我们的工作提供了新的见解迭代随机舍入…
2021-08-04 cs.DS
Breaching the 2-Approximation Barrier for Connectivity Augmentation: a Reduction to Steiner Tree
可生存网络设计的基本目标是建立一个廉价的网络，即使一些边缘/节点发生故障，也能保持给定节点集之间的连通性。连通性增强问题（CAP）可以说是这一领域中最基本的问题之一：给定一个$k$（-edge）-连通图$G$和一组额外的边（链路），选择链路的最小基数子集$A$，使得将$A$添加到$G$将其边连通性增加到$k+1$。直觉上，人们希望通过增加额外的边缘来使现有网络更加可靠。这个NP难题的最著名的近似因子是$2$，这可以通过多种方法来实现（第一个这样的结果是在[Frederickson和Jájá'81]中）。已知[Dinitz et al. 76] CAP可以简化为$k=1$的情况，也称为树扩充问题（TAP），对于奇数$k$，以及对于情况$k=2$，a.k.a.仙人掌扩增问题（CacAP），甚至$k$。已知有几种比$2$更好的近似算法用于TAP，最后是最近的$1.458$近似[Grandoni et al. '18]。然而，对于CacAP，最知名的近似是$2$。在本文中，我们突破了$2$近似障碍CacAP，因此CAP，提出了多项式时间$2\ln(4)-\frac{967}{1120}+ε<1.91$近似。以前的方法利用TAP的属性，这些属性似乎不能推广到CacAP。相反，我们使用减少施泰纳树的问题，这是以前使用的参数化算法[Basavaraju等人。'14]。这种减少不是近似保持，并且使…
2019-11-07 cs.DS
A Local Computation Approximation Scheme to Maximum Matching
我们提出了一个多对数局部计算匹配算法，它保证了$(1-\eps)$ -近似的最大匹配图的有界度。
2013-06-20 cs.DS
Efficient Algorithms for Geometric Partial Matching
令$A$和$B$分别是尺寸为$r$和$n$的平面中的两个点集（假设$r \leq n$），并且令$k$是参数。$A$和$B$之间的匹配是$A \times B$中的一个对族，使得$A \cup B$的任何点最多出现在一个对中。给定两个正整数$p$和$q$，我们将匹配$M$的代价定义为$c(M) = \sum_{(a, b) \in M}\|{a-b}\|_p^q$，其中$\|{\cdot}\|_p$是$L_p$ -范数。几何部分匹配问题要求在$A$和$B$之间找到最小代价尺寸- $k$匹配。我们提出了有效的算法的几何部分匹配问题，工作的任何权力的$L_p$ -范数匹配目标：一个精确的算法，运行在$O((n + k^2) {\mathop{\mathrm{polylog}}} n)$时间，和$(1 + \varepsilon)$ -近似算法，运行在$O((n + k\sqrt{k}) {\mathop{\mathrm{polylog}}} n \cdot \log\varepsilon^{-1})$时间。这两种算法的基础上的原始-对偶流增强计划，主要的改进涉及使用动态数据结构，以实现高效的流量增强。利用类似的技巧，我们给出了平面运输问题在$O(\min\{n^2, rn^{3/2}\} {\mathop{\mathrm{polylog}}} n)$时间内的精确算法。
2019-03-22 cs.CG cs.DS
Improved Approximation for Weighted Tree Augmentation with Bounded Costs
加权树扩充问题（WTAP）是网络设计领域中一个基本的研究问题。给定一个无向树$G=(V,E)$，一个与$E$不相交的边集$L \subseteq V\times V$，称为\textit{links}，以及一个代价向量$c\in \mathbb{R}_{\geq 0}^L$，WTAP要求找到一个最小代价集$F\subseteq L$，其性质是$(V,E\cup F)$是$2$ -边连通的。对于所有$\ell\in L$的$c_\ell = 1$的特殊情况称为树扩充问题（TAP）。这两个问题都是NP难的。对于一类有界代价向量，我们提出了三十多年来第一个改进的近似算法WTAP。具体地说，对于任何$M\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$和$ε> 0,$，我们提出了一个基于LP的$(δ+ε)$ -近似的WTAP限制到成本向量$c$在$[1,M]^L$为$δ\approx 1.96417$。对于TAP的特殊情况，我们将该因子改进为$\frac{5}{3}+ε$。我们的研究结果依赖于一个新的LP，显着不同于现有的LP实现改进的TAP边界。我们将分数阶解分两个阶段舍入。第一阶段使用分数解将树及其分数解分解为所谓的$β$ -简单对，在目标函数中仅丢失一个$ε$ -因子。然后，我们将展示如何使用我们的LP中的附加约束与$β$ -简单结构相结合，在分解的每个部分中舍入分数解。
2016-09-15 cs.DS
A Strong Linear Programming Relaxation for Weighted Tree Augmentation
Google Research（谷歌研究院）；EPFL, Switzerland（洛桑联邦理工学院）；Boston University（波士顿大学）
本文提出了一种随机近似算法，用于加权树增强问题，其近似比低于1.49，通过设计并舍入一个强线性规划松弛来实现，该松弛引入了表示边子集和覆盖它们的链接的变量。
2026-03-31 cs.DS
Greedy algorithm for stochastic matching is a 2-approximation
受在线约会和肾脏交换应用的启发，Chen，Immorlica，Karlin，Mahdian和Rudra（2009）引入了随机匹配问题。他们已经证明了一个简单贪婪策略的4-近似，但强调它实际上是一个2-近似。在本文中，我们证实了这一假设。
2013-11-05 cs.DS
Fast Approximation Algorithms for Euclidean Minimum Weight Perfect Matching
Research Institute for Discrete Mathematics and Hausdorff Center for Mathematics, University of Bonn（波恩大学离散数学研究所与豪斯多夫数学中心）；Hamburg University of Technology, Institute for Algorithms and Complexity（汉堡工业大学算法与复杂性研究所）
本文提出了一种在$O(n \log n)$时间内求解欧几里得最小权重完美匹配问题的算法，其近似比为$O(n^{0.206})$，并扩展到高维空间，近似比为$O(n^{0.412})$。
2026-01-08 cs.CG cs.DS math.CO
Node Connectivity Augmentation of Highly Connected Graphs
本文完整刻画了节点连通性增强问题的计算复杂性，并针对 NP-困难的最大情形 k=n-4，分别提出加权3/2近似算法和无权4/3近似算法，改进了已知近似界。
2023-11-28 cs.DS
Augmentation based Approximation Algorithms for Flexible Network Design
Adjiashvili在非均匀故障模型中引入了网络设计：给定图的边集被划分为安全边和不安全边。即使在删除任何$q$不安全边之后，如果$s$和$t$具有$p$边连接性，则顶点对$(s,t)$也是$(p,q)$ -柔性连接的。给定图$G$，目标是选择$G$的最小成本子图$H$，该子图对于给定的顶点对集合具有期望的柔性连通性。该模型推广了基于边连通性的网络设计，然而，即使是特殊情况也很难近似。该模型中的网络设计的近似性主要研究了两个感兴趣的设置：（i）单对设置下的名称FTP和FTF（容错路径和容错流），（ii）跨越设置下的名称FGC（灵活的图形连接）。这些文件取得了一些积极成果。然而，尽管相似的著名的网络设计问题，这个新的模型一直具有挑战性的设计近似算法，特别是当$p,q \ge 2$。我们得到两个结果，推进我们的理解，在这个模型中的算法设计。1.我们得到了单对$(s,t)$的$(2,2)$ -flex-connectivity的$5$ -近似。以前没有非平凡的近似是已知的这种设置。2.我们得到了$(p,2)$的$O(p)$近似和对任何$p \ge 1$的$(p,3)$近似，以及对任何偶数$p$的$(p,4)$-FGC近似.对任何$q \ge 1$，我们得到了$(2,q)$-FGC的$O(q)$ -近似.以前只有$O(q \log n)$ -近似是已知的这些设置。我们的结果是通过增强框架…
2022-09-25 cs.DS
A Better-Than-2 Approximation for the Directed Tree Augmentation Problem
Department of Mathematics, London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院数学系）；Department of Mathematics, Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学数学系）；Department of Computer Science, Pomona College（波莫纳学院计算机科学系）
本文研究带权有向树增广问题，针对链接代价有界情形提出(1.75+ε)-近似算法，通过识别可精确求解的willows实例和visibly k-wide实例并结合结构分析改进近似比。
2025-11-08 cs.DS
Coloring Down: $3/2$-approximation for special cases of the weighted tree augmentation problem
在本文中，我们研究的加权树扩充问题（TAP），其目标是增加一棵树的最小成本集的边缘，使图成为两个边缘连接。首先，我们表明，在加权TAP，我们可以限制我们的注意力，这是二进制的树和所有的非树边缘之间的两个树叶。然后，我们给出了两个不同的自顶向下着色算法。这两种算法都不同于用于未加权TAP中的3/2近似的已知技术和当前试图达到加权TAP的3/2近似的技术。我们描述的第一个算法总是给出一个2-近似的任何可行的分数的解决方案的自然边缘覆盖LP。当分数阶解使得所有非零权值的边至少为$α$时，该算法实现了$2/(1+α)$ -近似。我们提出了一个新的猜想的极端点的LP松弛的问题，如果是真的，将导致建设性的证明的完整性差距最多3/2加权TAP。在第二个算法中，我们引入简单的有效约束的边缘覆盖LP。在该算法中，我们专注于缺陷边缘，边缘覆盖的程度小于4/3的分数的解决方案。我们表明，分数可行的解决方案，缺乏边缘发生在节点不相交路径的树。当这类路的个数至多为2时，我们给出了一个自顶向下的着色算法，该算法将3/2倍的分数阶解分解为整数阶解的凸组合。我们相信，我们的算法将是有用的，最终解决的完整性差距的线性规划制定TAP。我们还调查了TAP的一个变种，在解决方案中的每个边缘必须由一个周期的长度为3。在加权情形下给出了该问题的一个$Θ(\log n)$ -近似算法，在非加权情形下给出了一个4-近似算法.
2017-07-17 cs.DS
A $(2+ε)$-Approximation for Maximum Weight Matching in the Semi-Streaming Model
我们提出了一个简单的确定性单程$(2+ε)$ -近似算法的最大重量匹配问题的半流模型。这改进了当前已知的$(4+ε)$的近似比。我们的算法使用$O(n\log^2 n)$位空间作为$ε$的常数值。它依赖于局部比率定理的变化，这也可能用于半流模型中的其他算法。
2018-11-05 cs.DS
On the Approximation Performance of Degree Heuristics for Matching
在最大基数匹配问题的贪心算法设计中，在选择下一条边时利用度信息是一种行之有效的方法。我们定义了一类“度敏感”的贪婪匹配算法，这使我们能够分析许多著名的算法，并在最坏情况下提供紧近似保证。我们展示算法在这一类的最佳近似保证二分图。特别是Karp-Sipser算法，如果可能的话，它选择与度1节点关联的边，否则选择任意边，结果证明是最佳的，近似保证D/（2D-2），其中D是最大度。
2016-12-20 cs.DS
Bicriteria Approximation Algorithms for Demand Matching
MIT（麻省理工学院）
该研究针对需求匹配问题及k-超图需求匹配问题，提出多种双准则近似算法，并给出对应下界，刻画了权重近似与加性容量违规的权衡关系。
2026-08-06 cs.DM cs.DS math.CO
A $1.75$ LP approximation for the Tree Augmentation Problem
在树扩充问题（TAP）中，目标是通过来自给定边集$E$的最小尺寸边集$F$来扩充树$T$，使得$T \cup F$是$2$边连通的。已知TAP的最佳近似比是$1.5$。在更一般的加权TAP问题中，$F$应该具有最小权重。加权TAP允许几个$2$ -近似算法w.r.t.标准切割LP松弛，但对于所有这些性能比的$2$是紧的，即使对于TAP。这个问题等价于覆盖一个层集族的问题。在连通网络设计问题的近似算法设计中，层状集族起着重要的作用。事实上，加权TAP是最简单的连接网络设计问题，其比$2$更好的比率是未知的。提高这个“自然”比率是一个主要的开放问题，这可能对许多其他网络设计问题产生影响。似乎实现这一目标需要找到具有比$2$更好的完整性间隙的LP松弛，这即使对于TAP也是一个长期开放的问题。在本文中，我们引入了这样的LP松弛，并给出了一种算法，该算法计算大小最多为$1.75$乘以最佳LP值的TAP的可行解。这为打破加权情况下的比率$2$带来了一些希望。我们的算法计算一些初始的边集，通过解决一个部分系统的约束，形成完整的边覆盖多面体，然后应用本地搜索$3$ -叶子子树交换的一些边缘，并添加额外的边缘。因此，我们不需要求解LP，并且该算法的运行时间大致上是在一般图中找到最小权重边覆盖所需的时间。
2015-07-10 cs.DS
A Simple 1-1/e Approximation for Oblivious Bipartite Matching
研究了不经意匹配问题，即在一个边集未知的图上寻找一个最大匹配。这个问题的任何算法都指定了顶点对的排序。然后通过探测遵循排序的对来产生匹配，并且如果它们两者都不匹配并且它们之间存在边缘，则包括一对。该问题的未加权（Chan等人（SICOMP 2018））和顶点加权（Chan等人（TALG 2018））版本得到了很好的研究。本文研究了二部图上的边加权不经意匹配问题，它推广了随机二部匹配问题。最近，Gamlath等人（SODA 2019）研究了随机二分匹配问题，并提出了一种（1-1/e）近似算法。我们从Karp等人的Ranking算法（STOC 1990）出发，给出了一个非常简单的算法，并证明了该算法对于二分图上的不经意匹配问题也能达到相同的（1-1/e）近似比。
2020-02-14 cs.DS
Approximation Bounds For Minimum Degree Matching
我们考虑最大基数匹配的MINGREEDY策略。MINGREEDY重复选择具有最小度的节点的边事件。对于度最多$Δ$的图，我们表明，MINGREEDY在最坏的情况下至少达到了$ \frac{Δ-1}{2Δ-3} $的近似比，并且这种性能在顶点模型中的自适应优先级算法中是最优的，其中包括许多突出的贪婪匹配算法。即使在考虑随机贪婪策略的预期近似比时，对于小度数的图，也没有更好的最坏情况界限。
2015-10-31 cs.DS
Beating Greedy Matching in Sublinear Time
我们研究了估计图中最大匹配大小的次线性时间算法。我们的主要结果是一个$(\frac{1}{2}+Ω(1))$ -近似算法，它可以在$O(n^{1+ε})$时间，其中$n$是顶点的数量和常数$ε> 0$可以任意小。该问题最著名的下限是$Ω(n)$，它适用于任何常数近似。现有算法要么获得$\frac{1}{2}$ -近似的贪婪界[Behnezhad FOCS'21]，要么需要对在$o(n^2)$ -时间中运行的最大程度进行一些假设[Yoshida，Yamamoto，and Ito STOC'09]。我们通过设计一个不那么“自适应”的增强算法来改进这些算法，以实现可能具有独立兴趣的最大匹配。
2022-06-27 cs.DS
Communication Efficient Coresets for Maximum Matching
在本文中，我们重新审视的问题，构造随机可组合的二部匹配的核心集。在这个问题中，输入图被随机划分到$k$参与者之间，每个参与者向协调器发送一条消息，协调器然后必须输出一个与输入图中的最大匹配的良好近似。Assadi和Khanna给出了第一个这样的核心集，通过让每个玩家发送最大匹配，即每个玩家最多发送$n/2$单词，实现了$1/9$ -近似。近似因子被改进为$1/3$的伯恩斯坦等人。在本文中，我们表明，Goel，Kapralov和Khanna，这是一个精心挑选的（分数）匹配的匹配骨架建设，是一个随机组合coreset，实现了$1/2-o(1)$近似使用最多$n-1$字的通信每个球员。我们还显示了一个上限的$2/3+o(1)$上的近似比实现这个coreset。
2020-11-12 cs.DS
A 2/3-Approximation Algorithm for Vertex-weighted Matching in Bipartite Graphs
考虑最大顶点加权匹配问题（Maximum Vertex-Weighted Matching Problem，MVM），其中图的顶点被赋予非负的权重，匹配的权重是匹配顶点的权重之和，并且我们需要计算最大权重的匹配。首先给出了一个具有$O(|V|\, |E|)$时间复杂度的MVM精确算法，然后通过限制扩充路径的长度不超过3条，设计了二部图上MVM的$2/3$ -近似算法.后一种算法的时间复杂度为$O(|E| + |V| \log |V|)$。近似算法解决了二分图上的两个MVM问题，每个问题的权重仅在一个顶点部分上，然后使用Mendelsohn-Dulmage定理从这两个匹配中找到匹配。该算法的近似比是通过考虑失效顶点来获得的，即，近似算法无法匹配但精确算法可以匹配的顶点。我们表明，在算法的每一步都有两个不同的重顶点，我们可以收取每个失败的顶点。我们已经实现了MVM的$2/3$ -近似算法，并将其与其他四种算法进行了比较：一个精确的MEM算法，精确的MVM算法，MVM的$1/2$ -近似算法，和一个基于缩放的MEM的$(1-ε)$ -近似算法。我们还表明，MVM问题不应该首先转化为MEM问题，并使用精确算法解决后者，因为这种转换可以将运行时间增加几个数量级。
2018-10-11 cs.DS
Faster and simpler approximation of stable matchings
我们给出了一个3/2近似算法的稳定匹配，运行在$O(m)$时间。McDermid以前最著名的算法具有相同的近似比，但在$O(n^{3/2}m)$时间内运行，其中$n$表示人数，$m$是给定实例中偏好列表的总长度。算法和分析也简单得多。我们还给出了多对多设置的算法的扩展。(This是2011年3月的版本）
2014-04-04 cs.DM cs.DS
Near approximation of maximum weight matching through efficient weight reduction
Let G be an edge-weighted hypergraph on n vertices, m edges of size \le s, where the edges have real weights in an interval [1,W]. We show that if we can approximate a maximum weight matching in G within factor alpha in time T(n,m,W) then we can find a matching of weight at least (alpha-epsilon) times the maximum weight of a matching in G in time (epsilon^{-1})^{O(1)}max_{1 \le q \le O(epsilon \frac {log { \frac n {epsilon}}} {log epsilon^{-1}})} max_{m_1+...m_q=m} sum_1^qT(min{n,sm_j}, m_{j} ,(epsilon^{-1})^{O(epsilon^{-1})}). In particular, if we combine our result with the recent (1-ε)- app…
2011-01-11 cs.DS
Beating $(1-1/e)$-Approximation for Weighted Stochastic Matching
在随机加权匹配问题中，目标是在不确定图的边是否存在的情况下，找到图的大权匹配。具体地，每个边$e$具有已知的权重$w_e$，但是以某种概率$p_e$独立地实现。该算法可以查询边以查看它是否被实现。我们认为，充分研究的查询提交版本的问题，其中任何查询的边缘，碰巧实现必须包括在解决方案中。Gamlath，Kale和Svensson证明了当输入图是二分图时，这个问题允许一个$(1-1/e)$ -近似。在本文中，我们给出了一个算法，对于一个绝对常数$δ> 0.0014$获得一个$(1-1/e+δ)$ -近似，从而打破了这个普遍的界限。
2022-10-31 cs.DS
New Deterministic Approximation Algorithms for Fully Dynamic Matching
我们提出了两个确定性的动态算法的最大匹配问题。(1)一种算法，在一般图中保持具有$O(\text{poly}(\log n, 1/ε))$更新时间的$(2+ε)$ -近似最大匹配。(2)一种算法，对于每一个足够大的常数正整数$K$，保持二分图中最大匹配的{ \em值}与$O(n^{2/K})$更新时间的$α_K$近似。这里，$1\leq α_K < 2$是由$K$的值确定的常数。结果（1）是第一个确定性算法，它可以在多对数更新时间内保持$o(\log n)$近似最大匹配，改进了Onak等人的开创性结果[STOC 2010]。其近似保证几乎与最佳{ \em randomized}多对数更新时间算法的保证相匹配[Baswana et al. FOCS 2011]。结果（2）在二部图上实现了更新时间为{ \em任意小多项式}的优于2的近似。以前这个问题的最佳更新时间是$O(m^{1/4})$ [Bernstein et al. ICALP 2015]，其中$m$是图中的当前边数。
2016-04-19 cs.DS
Fully Dynamic Matching: Beating 2-Approximation in $Δ^ε$ Update Time
在完全动态图中，我们知道如何保持最大匹配的2-近似非常快，也就是说，在多对数更新时间或更好。与此形成鲜明对比的是，尽管进行了广泛的研究，但所有保持$2-Ω(1)$近似匹配的已知算法都要慢得多。理解这一差距，特别是，确定最好的更新时间的算法提供了一个优于2近似匹配是一个主要的开放问题。在本文中，我们表明，对于任何常数$ε> 0$，有一个随机算法，以高概率保持一个$2-Ω(1)$近似最大匹配的全动态一般图在最坏情况下的更新时间$O(Δ^ε+\text{polylog } n)$，其中$Δ$是最大程度。以前，提供优于2近似值的最快全动态匹配算法具有$O(m^{1/4})$更新时间[Bernstein and Stein，SODA 2016]。已知具有更新时间$O(n^ε)$的更快算法，但仅用于维持二分图中匹配的大小（而不是边）[Bhattacharya，Henzinger和Nanongkai，STOC 2016]。
2019-11-05 cs.DS
Dynamic Balanced Graph Partitioning
本文从在线的角度研究经典的平衡图划分问题：给定$n$节点之间的成对通信请求的任意序列，其模式可能会随着时间的推移而变化，目标是通过将节点划分为$\ell$簇来有效地服务这些请求，每个簇的大小为$k$，使得频繁通信的节点位于同一簇中。分区可以通过在集群之间迁移节点来动态更新。我们的目标是设计在线算法，共同最大限度地减少集群间的通信量和迁移成本。这个问题与其他著名的在线问题有着有趣的联系。例如，使用$\ell=2$的场景推广了在线分页，而使用$k=2$的场景构成了最大匹配的一种新的在线变体。我们提出了几个下限和算法的设置和没有集群大小扩增。特别是，我们证明了任何确定性的在线算法具有至少$k$的竞争比，即使有显着的增强。我们的主要算法的贡献是一个$O(k \log{k})$ -竞争的确定性算法的一般设置与不断增强，和一个恒定的竞争算法的最大匹配变量。
2020-05-13 cs.DS
Fully-dynamic Weighted Matching Approximation in Practice
寻找图中的大匹配或重匹配是一个普遍存在的组合优化问题。在本文中，我们工程师的第一个非平凡的实现近似的动态加权匹配问题。我们的第一个算法是基于随机游动/路径结合动态规划。第二个算法是由Stubbs和Williams提出的，但没有实现。粗略地说，他们的算法使用动态未加权匹配算法作为子程序（在多级方法中）;这允许我们使用以前的动态未加权匹配算法作为黑盒，以获得全动态加权匹配算法。我们实证研究的算法上的一组广泛的动态实例，并比较它们与最佳加权匹配。我们的实验表明，随机游走算法通常比Stubbs/Williams（关于时间/质量权衡）更好，其结果往往离最优值不远。
2021-04-27 cs.DS
Improved Approximations for Coflow Scheduling via Iterated Rounding and Stable Matchings
针对Coflow调度问题，提出结合迭代舍入与Gale-Shapley稳定匹配的确定性多项式时间算法，将无释放日期和整数释放日期下的近似比分别提升至2.77和3.17，优于现有结果。
2026-10-14 cs.DS
A 0.51-Approximation of Maximum Matching in Sublinear $n^{1.5}$ Time
研究次线性时间内估计最大匹配大小的问题，提出运行时间为 $\tilde{O}(n\sqrt{n})$ 的 $0.5109$-近似算法，在保证效率的同时显著提升了近似比且方法更简单。
2025-06-02 cs.DS
Fully Dynamic Almost-Maximal Matching: Breaking the Polynomial Barrier for Worst-Case Time Bounds
尽管重大的研究工作，国家的最先进的算法，用于保持近似匹配的全动态图具有多项式{最坏情况}的更新时间，即使是非常差的近似保证。在最近的一项突破中，Bhattacharya，Henzinger和Nanongkai展示了如何保持对最小顶点覆盖的恒定近似，从而也保持对最大匹配大小的恒定因子估计，并具有多对数最坏情况更新时间。后来（在SODA'17 Proc.）他们将近似因子一直改进到$2+ε$。然而，长期存在的基本问题{保持}近似匹配与子多项式最坏情况的时间界限仍然开放。我们提出了一个随机算法，以保持一个{几乎最大}匹配的全动态图与多对数最坏情况的更新时间。对于任何$ε> 0$，这种匹配为最大匹配和最小顶点覆盖提供了$(2+ε)$近似。我们的结果独立于Bhattacharya等人的$(2+ε)$近似结果，因此它提供了最小顶点覆盖的第一个$(2+ε)$近似（连同Bhattacharya et al.的结果）和用于最大（积分）匹配的第一$(2+ε)$近似。我们的算法的多对数最坏情况下的更新时间保持确定性，而几乎最大化保证保持高概率。这一结果不仅解决了上述动态匹配问题，而且为动态顶点覆盖（假设唯一对策猜想）提供了本质上最好的近似保证。
2018-03-15 cs.DS
Towards a Unified Theory of Sparsification for Matching Problems
在本文中，我们提出了一个建设的“匹配稀疏”，也就是说，一个稀疏的子图的给定的图，保持大的匹配近似，是强大的修改的图形。我们使用这个匹配稀疏器来获得最大匹配问题的几个新的算法结果：* 一个几乎$(3/2)$ -近似的单向通信协议的最大匹配问题，显着简化$(3/2)$ -近似协议Goel，Kapralov和Khanna（SODA 2012），并将其从二分图扩展到一般图。* 一种用于随机匹配问题的近似$(3/2)$ -近似算法，改进并显著简化了Assadi、Khanna和Li（EC 2017）之前的$1.999$ -近似算法。* 容错匹配问题的一个几乎$(3/2)$ -近似算法，据我们所知，这是该问题的第一个非平凡算法。我们的匹配稀疏器是通过证明Bernstein和Stein（ICALP 2015; SODA 2016）的边度约束子图（EDCS）的新性质获得的-在动态图中保持匹配的背景下设计-将EDCS确定为匹配稀疏器的绝佳选择。这导致了上述结果以统一的方式令人惊讶的简单和非技术性的证明。在此过程中，我们还提供了一个简单得多的证明，证明EDCS保证包含一个大的匹配，这可能是独立的利益。
2018-11-07 cs.DS
When LP is the Cure for Your Matching Woes: Improved Bounds for Stochastic Matchings
考虑一个随机图模型，其中每个可能的边$e$以一定概率$p_e$独立存在。给定这些概率，我们希望在随机生成的图中构建一个大/重匹配。然而，我们发现边是否存在的唯一方法是查询它，如果边确实存在于图中，我们被迫将其添加到匹配中。此外，允许查询每个顶点$i$最多$t_i$次。我们应该如何自适应地查询边以最大化匹配的期望权重？我们认为，在这个一般的框架匹配问题（其中一些出现在肾脏交换和网上约会，和其他出现在建模的在线广告），我们给LP舍入为基础的常数因子近似算法这些问题。我们的主要结果如下：我们给出了一般图的加权随机匹配的4近似，和二部图的3近似。这回答了[Chen et al ICALP 09]的一个开放性问题。结合LP舍入算法和自然贪心算法，我们给出了一般图上无权随机匹配的改进的3.46近似。我们介绍了一个泛化的随机在线匹配问题[Feldman等人FOCS 09]，也模型的偏好不确定性和超时的买家，并给出了一个常数因子近似算法。
2010-08-31 cs.DS
Improved Approximation Algorithms for Stochastic-Matching Problems
我们考虑随机匹配问题，这是出于肾脏交换和在线约会的应用程序。在这个问题中，我们给出了一个无向图。每个边被分配一个已知的、独立的存在概率和一个正权重（或利润）。我们必须探测一个边缘，以发现它是否存在。每个节点都被分配一个正整数，称为超时（或耐心）。在这个随机图上，我们正在执行一个过程，该过程逐个探测边并逐渐构建匹配。这一进程受到两方面的限制。首先，如果存在探测的边，则必须将其可扩展地添加到匹配中（查询提交模型）。第二，节点$v$的超时使可以探测的与$v$关联的边的数量上界。目标是最大化构造的匹配的期望权重。对于这个问题，Bansal等人（Micromica 2012）提供了二分图的$0.33$ -近似算法和一般图的$0.25$ -近似算法。我们改进的逼近因子$0.39$和$0.269$，分别。在我们的研究结果的主要技术成分是一种新的方式探测边缘根据一个不均匀的随机排列。用一种最适合大概率边缘的算法（加上额外的想法）修补这种方法，可以改进近似因子。
2020-10-14 cs.DS
An Approximation Algorithm for Maximum Stable Matching with Ties and Constraints
本文提出了一种多项式时间的$\frac{3}{2}$ -近似算法，用于求解在多对多匹配模型中，在双方都有约束和层约束的情况下，寻找最大基数稳定匹配的问题。我们制定我们的问题使用二分多重图的顶点被称为工人和公司，边被称为合同。我们的算法被描述为计算一个稳定的匹配在一个辅助的实例，其中每个合同被替换为三个副本，所有代理人有严格的偏好复制的合同。这个辅助实例的构造对于两侧是对称的，这有助于简单的对称分析。我们使用的概念，拟阵核的计算在辅助的情况下，并利用层拟阵的基序性，以显示的逼近比。在一个特殊的情况下，每个工人被分配在最多一个合同，每个公司有一个严格的偏好，我们的算法定义了一个$\frac{3}{2}$近似机制，是战略的工人。
2021-10-05 cs.DS cs.GT
Improved Approximation Algorithms for Stochastic Matching
在本文中，我们考虑随机匹配问题，这是出于肾脏交换和在线约会的应用。我们给出一个无向图，其中每个边都被分配了存在概率和正利润，每个节点都被分配了一个称为超时的正整数。只有在探测到边之后，我们才知道边是否存在。在这个随机图上，我们正在执行一个过程，一个接一个地探测边，并逐渐构建匹配。该过程以两种方式受到约束：一旦获取了边，就不能将其从匹配中移除，并且节点$v$的超时上限了可以探测的与$v$关联的边的数量。我们的目标是最大化所构造的匹配的期望利润。对于这个问题，Bansal等人（Micromica 2012）提供了二分图的$3$ -近似算法，以及一般图的$4$ -近似算法。在这项工作中，我们改进的逼近因子$2.845$和$3.709$，分别。我们还考虑了一个在线版本的二分的情况下，其中一方的分区到达节点的节点，每一次节点$b$到达，我们必须决定哪些边缘事件到$b$，我们要探测，并以何种顺序。在这里，我们提出了一个$4.07$ -近似，改进的$7.92$ -近似Bansal等人。在我们的结果中的主要技术成分是一种新的方式探测边缘根据一个随机的，但不均匀的排列。用一个最适合大概率边缘的算法（加上一些额外的想法）修补这个方法，可以得到我们改进的近似因子。
2015-05-06 cs.DS
Approximation Algorithms for the Maximum Carpool Matching Problem
最大拼车匹配问题是有向图中的星型装箱问题。形式上，给定有向图$G = (V, A)$、容量函数$ c: V \to N $和权重函数$w : A \to R $，可行的\emph{carpool matching}是三重$(P, D, M)$，其中$P$（乘客）和$D$（驾驶员）形成$V$的划分，并且$M$是$A \cap (P \times D)$的子集，在约束下，对于每个顶点$d \in D$，$din(d) \leq c(d)$，并且对于每个顶点$p \in P$，$dout(p) \leq 1$。在最大拼车匹配问题中，我们寻求一个匹配的$(P, D, M)$，最大化$M$的总重量。当设计在线拼车服务时出现了问题，例如Zimride~ \cite{zimride}，它试图基于（任意）相似性函数在乘客和司机之间建立联系。该问题是NP难的，即使是均匀的权重和没有容量限制。我们提出了该问题的$3$ -近似算法和该问题的未加权变体的$2$ -近似算法。
2016-12-05 cs.DM cs.DS
Improved approximation guarantees for weighted matching in the semi-streaming model
我们研究了半流模型中的最大权重匹配问题，并通过设计一种性能保证为4.91+ k的确定性方法来改进Zelke（Proc. of STACS 2008，第669-680页）提出的当前最佳单遍算法。此外，我们研究抢占式在线算法，一个子类的一遍算法，我们只允许在内存中保持一个可行的匹配在任何时间点。所有已知的结果之前，泽尔克的属于这个子类。我们提供了一个下界4.967的竞争比任何这样的确定性算法，因此表明，未来的改进将不得不存储在内存中的一组边缘，这不一定是一个可行的匹配。
2009-07-02 cs.DS
