Steepest ascent can be exponential in bounded treewidth problems
我们研究了基于最陡上升的局部搜索的复杂性。我们表明，即使所有变量的域的大小为2和变量的相互作用的基本约束图有界树宽（在我们的建设，树宽7），有健身景观可能需要指数数量的步骤，以达到局部最优。这是一个改进前递归建设的最陡的上坡，我们证明了需要约束图的无界树宽。
2019-12-02 cs.DM cs.DS cs.NE
Sparsest Cut on Bounded Treewidth Graphs: Algorithms and Hardness Results
本文给出了非均匀稀疏割的一个2-近似算法，该算法在时间上运行$n^{O(k)}$，其中$k$是图的树宽.这改善了以前的$2^{2^k}$ -近似的时间$\poly(n) 2^{O(k)}$由于Chlamtá等人。为了补充这个算法，我们显示了以下硬度的结果：如果非均匀稀疏割问题有一个$ρ$ -近似串并行图（其中$ρ\geq 1$），那么最大割问题有一个算法的近似因子任意接近$1/ρ$。因此，即使对于这样的受限图（树宽为2），稀疏割问题也是NP-难的，比$ε> 0$的$17/16 - ε$更好地近似;假设唯一博弈猜想，硬度变成$1/α_{GW} - ε$。对于图与大（但恒定）树宽，我们显示了硬度结果$2 - ε$假设唯一的游戏猜想。我们的算法轮的线性规划的基础上（的一个子集）的Sherali-Adams升降机的标准Sparling-Cut LP。我们证明，即使对于树宽为2的图，即使经过多项式多轮Sherali-Adams，LP也具有接近2的完整性差距。因此，我们的方法不能得到改善，即使在这样的限制图，而不使用更强的放松。
2013-05-06 cs.DS
Solving connectivity problems parameterized by treewidth in single exponential time
对于绝大多数的局部图问题，标准的动态规划技术给出了c^tw V^O（1）算法，其中tw是输入图的树宽。另一方面，对于具有全局要求（通常是连通性）的问题，最著名的算法是运行时间为tw^O（tw）V^O（1）的朴素动态规划方案。我们通过引入一种称为Cut&Count的技术来突破这一差距，该技术允许为大多数连通性类型的问题产生c^tw V^O（1）Monte Carlo算法，包括Hamilton路径，反馈顶点集和连通支配集，从而以令人惊讶的方式回答了Lokshtanov，Marx和Saurabh [SODA'11]提出的问题。我们还表明，（在合理的复杂性假设下）的差距不能被突破的一些问题，削减和计数不工作，如循环包装。我们得到的常数c在所有情况下都很小（无向问题最多为4，有向问题最多为6），在一些情况下，我们能够证明，提高这些常数会导致强指数时间假设失败。我们的结果有许多后果在各个领域，如FPT算法，精确和近似算法的平面和H-minor-free图和算法的图的有界度。在所有这些领域中，我们能够改善一些问题的最知名的结果。
2011-03-02 cs.DS
Approximating Sparsest Cut in Graphs of Bounded Treewidth
给出了有界树宽图中具有一般要求的稀疏割的第一常数因子近似算法。与以前的算法，依赖于流切间隙和/或度量嵌入，我们的方法利用了Sherali-Adams层次的线性规划松弛。
2010-06-23 cs.DS
Losing Treewidth by Separating Subsets
本文研究了删除最小顶点集$S$的问题（分别为：边），使得导出的子图（分别子图）$G \setminus S$属于某个类$\mathcal{H}$。我们考虑的情况下，图在$\mathcal{H}$有树宽有界的$t$，并给出了一个通用的框架，以获得近似算法的顶点和边缘删除设置从近似算法的某些自然图划分问题称为$k$ -子集顶点分离和$k$ -子集边缘分离，分别。对于顶点删除设置，我们的框架结合当前最好的结果$k$ -子集顶点分隔符，产生一个显着的改善，在近似比的基本问题，如$k$ -树宽顶点删除和平面- $F$顶点删除。我们的算法比以前的工作更简单，并给出了自然参数化下的第一个一致近似算法。对于边缘删除设置，我们给出了改进的近似算法$k$ -子集边缘分离器结合LP松弛和重要的分离器的想法。我们给出了它们在有界度图中的应用，并给出了边删除问题的APX-硬度结果。
2018-10-23 cs.DS
A O(c^k n) 5-Approximation Algorithm for Treewidth
本文给出了一个算法，对一个输入n-顶点图G和整数k>0，在时间2^[O（k）]n上要么输出G的树宽大于k，要么给出G的树分解，树宽至多为5 k +4.这是第一个提供树宽的常数因子近似的算法，它在时间上运行，在k中是单指数的，在n中是线性的。基于树宽的计算是许多算法的子程序。我们的算法可以用来加快许多这样的算法的工作时间，这是单指数的树宽和线性的输入大小。
2013-04-23 cs.DM cs.DS
Tight Algorithms for Connectivity Problems Parameterized by Modular-Treewidth
我们从细粒度参数化的角度研究连通性问题。Cygan等人（TALG 2022）通过引入切割和计数技术，将连通性问题简化为局部可检查计数问题，获得了树宽参数化连通性问题（$tw$）的单指数运行时间$α^{tw} n^{O(1)}$算法。此外，在强指数时间假设（SETH）下，证明了基$α$是最优的。由于只有稀疏图才允许小树宽，所以这些结果不适用于具有稠密结构的图。一个众所周知的捕捉密集结构的工具是模块分解，它递归地将图划分为模块，模块的成员在模块外部具有相同的邻域。收缩模块产生描述模块之间的邻接的商图。测量商图的树宽得到参数modular-treewide，这是树宽和candle-width之间的一个自然的中间步骤。我们获得了第一个紧运行时间的连接问题参数化的模树宽度。对于某些问题，得到的边界是相同的相对于树宽，表明我们可以处理更大的一般性输入结构，而不以复杂性为代价。给出了模树宽$k$图的随机算法：Steiner树可在时间上求解$3^k n^{O(1)}$，连通支配集可在时间上求解$4^k n^{O(1)}$，连通顶点覆盖可在时间上求解$5^k n^{O(1)}$，反馈顶点集可在时间上求解$5^k n^{O(1)}$ .前两个算法是紧的，由于已知的结果和最后两个算法的补充下SETH新的紧下界。
2023-02-27 cs.DS
Close relatives of Feedback Vertex Set without single-exponential algorithms parameterized by treewidth
割计数技术和基于秩的方法导致了单指数FPT算法的树宽参数化，即运行在时间$2^{O(tw)}n^{O(1)}$，反馈顶点集和连接版本的经典图问题（如顶点覆盖和支配集）。我们表明，子集反馈顶点集，子集奇循环transmittance，限制边子集反馈边集，节点多路切割，和多路切割不太可能有这样的运行时间。更准确地说，我们在指数时间假设（ETH）下将时间上运行的算法$2^{O(tw \log tw)}n^{O(1)}$与严格的下限相匹配，排除了$2^{o(tw \log tw)}n^{O(1)}$，其中$n$是顶点数，$tw$是输入图的树宽。我们的算法扩展到加权的情况下，而我们的下界也保持较大的参数路径宽度，不需要权重。我们还表明，与奇数周期transmitting相比，在ETH下，偶数周期transmitting没有$2^{o(tw \log tw)}n^{O(1)}$时间算法。
2020-07-28 cs.CC cs.DS
Polynomial-time Approximation of Independent Set Parameterized by Treewidth
本文证明任意以顶点数为参数的图最大独立集近似算法都可转化为以树宽为参数且近似比几乎相同的算法，并结合 Feige 的算法得到改进的树宽参数化近似比。
2023-07-03 cs.DS
Approximation schemes for bounded distance problems on fractionally treewidth-fragile graphs
我们给出了多项式时间的近似方案的单调最大化问题表达的距离（到一个固定的上限），并有效地解决有界树宽的图形。这些计划适用于所有分数树宽脆弱的图形类，属性是真实的许多自然图类与次线性分离器。我们还为所有具有次线性分离器的类中的这些问题提供了准多项式时间逼近方案。
2021-05-04 cs.DM cs.DS math.CO
Efficient Approximation for Triangulation of Minimum Treewidth
Stanford University（斯坦福大学）
提出了四种新的求最小树宽三角剖分的近似算法。两个算法的运行时间的罗伯逊和西摩，贝克尔和盖格，近似的最佳因素4和3 2/3，分别提高。第三种算法比这些算法快，但近似因子为4 1/2。最后一个算法更快，在多项式时间内产生因子O（lg/k）近似。寻找图的最小树宽三角剖分是计算机科学中许多问题的核心。人工智能、超大规模集成电路设计和数据库中的实际问题，如果我们有一个有效的近似算法，就可以有效地解决。我们报告的实验结果证实了我们的算法与现实世界中的问题相关的大型图形的有效性。
2013-01-10 cs.AI cs.DS
FPT Approximation using Treewidth: Capacitated Vertex Cover, Target Set Selection and Vector Dominating Set
针对以树宽参数化仍为 W[1]-难的三个顶点选择问题，提出两类 FPT 近似方法，获得近优近似及运行时间与近似比的折衷算法。
2024-01-19 cs.CC cs.DS
A (probably) optimal algorithm for Bisection on bounded-treewidth graphs
最大/最小二分问题是在给定一个边权图的情况下，求一个顶点集的二分点集，使两个顶点集之间的边的总权最大/最小，且两个顶点集的大小相差不超过1。虽然这两个问题都是NP难的，但有界树宽图有一个有效的算法。特别地，Jansen等人（SIAM J. Comput. 2005）给出了给定输入图的宽度$t$的树分解时的$O(2^tn^3)$ -时间算法，其中$n$是输入图的顶点数. Eiben等人（ESA 2019）通过给出$O(8^tt^5n^2\log n)$ -时间算法改进了$n$在运行时间中的依赖性。此外，他们表明，没有$O(n^{2-\varepsilon})$时间算法的树下一些合理的复杂性假设。在本文中，我们显示了一个$O(2^t(tn)^2)$时间算法的两个问题，这是渐近紧到他们的条件下界。我们还证明了在强指数时间假设下，树宽的指数依赖性是渐近最优的。最后，我们讨论了这两个问题的（不）tractability关于特殊的图类。
2020-09-16 cs.DS
An Improvement of Reed's Treewidth Approximation
我们提出了一个新的近似算法的树宽问题，找到了上界的树宽，并构造了相应的树分解。我们的算法是一个更快的变化里德的经典算法。为了读者的利益，并能够比较这两个算法，我们开始与里德算法的详细时间分析。我们填补了里德论文中遗漏的许多细节。由树宽$k$参数化的计算树分解是固定参数可处理的（FPT），这意味着存在在时间上运行的算法$\mathcal{O}(f(k) g(n))$，其中$f$是可计算函数，并且$g(n)$是$n$中的多项式，其中$n$是顶点的数目。里德算法的分析表明，$f(k) = 2^{\mathcal{O}(k \log k)}$和$g(n) = n \log n$的5-近似。Reed在他的常数因子近似算法中简单地要求有界$k$的时间$\mathcal{O}(n \log n)$，但是$2^{Ω(k \log k)} n \log n$的界是众所周知的。从实际的角度来看，我们注意到里德算法的时间也包含一个$\mathcal{O}(k^2 2^{24k} n \log n)$项，这对于小$k$是远远不如渐近领先的$2^{\mathcal{O}(k \log k)} n \log n$。我们更精确地分析$f(k)$，因为本文的目的是改善所有合理的小$k$值的运行时间。我们的算法也在$\mathcal{O}(f(k)n\log{n})$中运行，但对$k$的依赖要小得多。在我们的例子中…
2022-06-23 cs.DS
Finding Hamiltonian Cycle in Graphs of Bounded Treewidth: Experimental Evaluation
树宽的概念是由Robertson和Seymour在他们开创性的Graph Minors系列中引入的，结果对图算法产生了巨大的影响。图上的许多困难的计算问题在有界树宽的图中是有效可解的：可以用有界大小的分隔符进行扫描的图。这些有效的算法通常遵循动态规划范例。近年来，我们已经看到了一个快速和相当意想不到的发展，涉及的技术解决各种计算问题的图有界树宽。最令人惊讶的方向之一是开发仅具有单指数依赖性的连通性问题的算法（即，$2^{O(t)}$），而不是稍微超指数（即，$2^{O(t \log t)}$）源自更幼稚的方法。在这项工作中，我们进行了彻底的实验评估这些方法的背景下，最经典的连接性问题之一，即哈密顿循环。
2019-09-23 cs.DS
Approximation Schemes for Capacitated Vehicle Routing on Graphs of Bounded Treewidth, Bounded Doubling, or Highway Dimension
在本文中，我们提出了几类图上的容量限制车辆路径问题（CVRP）的近似方案。在由Dantzig和Ramser（1959）引入的CVRP中，我们给出了一个具有度量边费用的图$G=(V,E)$、一个仓库$r\in V$和一个容量有界的车辆$Q$。我们的目标是找到最小成本的收集旅游的车辆返回到仓库，每个访问最$Q$节点，使他们覆盖所有的节点。这推广了经典的TSP，并已被广泛研究。在更一般的设置中，每个节点$v$都有一个需求$d_v$，并且每个巡回的总需求不得超过$Q$。每个节点的需求必须由一个tour（不可拆分）或可以由多个tour（可拆分）提供服务。一般图的最好的近似算法有比率$α+2(1-ε)$（对于不可分裂的）和$α+1-ε$（对于可分裂的），对于某些固定的$ε>\frac{1}{3000}$，其中$α$是TSP的最佳近似。即使对于树的情况，最佳近似比也是Becker（2018）的$4/3$，并且对于这类简单的图是否存在近似方案一直是一个悬而未决的问题。Das和Mathieu（2015）提出了一种用于欧几里得平面$\mathbb{R}^2$的时间近似方案$n^{\log^{O(1/ε)}n}$。没有其他近似方案已知的任何其他类的度量（没有进一步的限制$Q$）。在本文中，我们取得了重大进展，这一经典问题提出了拟多项式时间近似计划（QPTAS）的图有界树宽，图有界公路尺寸，和图有界倍维。…
2021-06-29 cs.DS
Space-Efficient Vertex Separators for Treewidth
对于树宽为$k = O(n^{1/2-ε})$和任意$ε>0$的$n$ -顶点图，我们提出了一个只使用工作内存中的$O(n)$位来计算顶点分隔符的字RAM算法.作为算法的应用，我们给出了树分解的一个$O(1)$ -近似算法.我们的算法计算一个树分解在$c^k n (\log \log n) \log^* n$时间使用$O(n)$位为一些常数$c > 0$。最后，我们使用由我们的算法得到的树分解来解决顶点覆盖，独立集，支配集，最大割和$q$ -着色，只要图的树宽度小于$c' \log n$，对于一些问题相关的常数$0 < c' < 1$，使用$O(n)$位。
2020-09-30 cs.DS
5-Approximation for $\mathcal{H}$-Treewidth Essentially as Fast as $\mathcal{H}$-Deletion Parameterized by Solution Size
$\mathcal{H}$ -树宽的概念最近被引入作为无向图树宽的推广，其中$\mathcal{H}$是一个遗传图类。粗略地说，一个$\mathcal{H}$ -树宽至多为$k$的图可以被分解成（任意大的）$\mathcal{H}$ -子图，这些子图仅通过大小为$O(k)$的顶点集进行交互，这些顶点集可以以树状方式组织。$\mathcal{H}$ -treewidth可以作为一个混合参数化来开发$\mathcal{H}$ -删除问题的固定参数易处理算法，该算法要求找到一个最小顶点集，该顶点集从给定的图$G$中删除后将其变为$\mathcal{H}$的成员。当前参数化算法的瓶颈在于计算合适的树$\mathcal{H}$ -分解。我们提出FPT近似算法来计算树$\mathcal{H}$ -分解的遗传和联合封闭图类$\mathcal{H}$。给定一个$\mathcal{H}$ -树宽$k$的图，对于某个函数$f(k) \geq 2^k$，只要由解大小参数化的$\mathcal{H}$ -删除可以在时间上求解$f(k) \cdot n^{O(1)}$，我们就可以计算出一个5-近似树$\mathcal{H}$-时间分解$f(O(k)) \cdot n^{O(1)}$.当前最好的算法要么实现$k^{O(1)}$的近似因子，要么构造最优分解，同时遭受未知参数依赖的非均匀性。使用这些分解，我们得到…
2023-06-29 cs.CC cs.DS
Lower Bounds for QBFs of Bounded Treewidth
TU Dresden（德累斯顿工业大学）；TU Wien（维也纳工业大学）；University of Potsdam（波茨坦大学）
量化布尔公式的有效性判定问题是一个理论和实践上都很活跃的研究领域。在参数化算法领域，研究得很好的图测度树宽被证明是一个成功的参数。Chen在参数化复杂性中的一个著名结果是，当输入公式的原始图的树宽与公式的量词深度一起参数化时，QSAT是固定参数易处理的。更准确地说，这种算法的运行时间在公式大小上是多项式的，在树宽上是指数的，其中树宽上的指数函数是一个塔，其高度是量词深度。一个自然的问题是，在假设指数时间假设（ETH）的情况下，是否可以显着改善这些结果并减少塔。在过去的几年里，人们对在ETH下建立下界的兴趣越来越大，大多数情况下都是特定于问题的下界，直到多项式层次的第三层。尽管如此，一个重要的问题是尽可能地解决这个问题，并覆盖整个多项式层次。在这项工作中，我们展示了基于ETH的由树宽（和量词深度）参数化的任意QBF的下限。更正式地说，我们建立了QSAT和树宽的下限，即在ETH下，不可能有一个算法在运行时解决量化器深度i的QSAT明显优于树宽的i倍指数和输入大小的多项式。在这样做时，我们提供了一个通用的减少技术来压缩树宽编码的本质上的任意树分解的动态规划。此外，我们描述了一个更细粒度的分析问题的一般方法，树宽参数化的多项式层次结构的更高级别。
2020-07-02 cs.AI cs.CC cs.DM
Waypoint Routing on Bounded Treewidth Graphs
在\textsc{Waypoint Routing Problem}中，给出了一个无向容量和加权图$G$、一个源-目的地对$s,t\in V(G)$和一个\emph{waypoints}的集合$W\subseteq V(G)$。该任务是找到一个行走开始于源顶点$s$，访问，以任何顺序，所有的路点，结束于目的地顶点$t$，尊重边缘的能力，也就是说，遍历每个边缘的次数最多是它的能力，并最小化的成本计算为成本的总和遍历边的多重性。我们研究了有界树宽的图的问题，并提出了一个新的算法的问题工作在$2^{O(\mathrm{tw})}\cdot n$时间，显着改善以前已知的算法。我们还表明，这个运行时间是最佳的指数时间假设下的问题。
2021-09-24 cs.DS
A 2-Approximation for the Bounded Treewidth Sparsest Cut Problem in FPT Time
在非均匀稀疏割问题中，我们给出一个供应图G和一个需求图D，两者都具有相同的节点集V。目标是找到V的一个割，该割使G的边上的总容量与D的交叉边的总需求之比最小化。本文研究了树宽有界的供给图的非均匀稀疏割问题。对于这种情况，Gupta、Talwar和Witmer [STOC 2013]获得了固定k的多项式运行时间的2-近似，并且是否存在与k无关的常数c的c-近似算法（在FPT时间内运行）的问题仍然悬而未决。我们对这个问题的回答是肯定的。我们设计了一个2-近似算法的非均匀稀疏割与有界树宽供应图，运行在FPT时间，当参数的树宽。我们的算法是基于四舍五入的线性规划放松的启发Sherali-Adams层次结构的最优解。与经典的Sherali-Adams方法相比，我们构建了一个松弛驱动的树分解的供应图，包括一组精心选择的提升变量和约束，以编码信息的子集的节点具有超恒定的大小，并在同一时间，我们有一个足够小的线性规划，可以解决FPT时间。
2021-11-11 cs.DM cs.DS
Treewidth computation and extremal combinatorics
对给定的图G和整数b，f >= 0，设S是G的一个顶点子集，其大小为b+1，使得由S诱导的G的子图连通，且通过去掉f个顶点，S可与G的其它顶点分离.我们证明了每一个n个顶点的图最多包含n个\binom{b+f}{b}这样的顶点子集。这个结果从极值组合似乎是非常有用的几个枚举和精确算法的设计。特别地，我们使用它来提供算法，对于给定的n-顶点图G -计算G在时间O的树宽（1.7549^n），利用指数空间和时间O（2.6151^n）和多项式空间; -在时间O（（{ \frac{2n+k+1}{3}）^{k+1} \cdot kn^6}）如果G的树宽至多为k;- 列出G在时间O（1.6181^n）的所有最小分离子和G在时间O（1.7549^n）的所有潜在最大团。这大大改善了以前的算法，这些问题。
2008-05-05 cs.DS
An Efficient Partitioning Oracle for Bounded-Treewidth Graphs
划分预言机是由Hassidim等人（FOCS 2009）引入的，作为常数时间算法的通用工具。对于任何n> 0，分区预言机提供对输入有界度无子图的固定分区的查询访问，其中每个组件具有大小poly（1/n），并且移除的边的数量至多为n *n，其中n是图中的顶点数量。然而，Hassidimet等人的预言机对输入图进行了指数数量的查询，以回答关于分区的每个查询。在本文中，我们构造了一个有效的划分预言图具有常数树宽。Oracle只对输入图进行O（poly（1/n））查询，以回答关于分区的每个查询。有界树宽图类的例子包括固定k的k-外平面图、串并行图、仙人掌图和伪森林。我们的甲骨文产生聚（1/1）-时间属性测试算法的成员在这些类的图。预言机的另一个应用是一个poly（1/n）-time算法，该算法近似具有有界树宽的图中的最大匹配大小、最小顶点覆盖大小和最小支配集大小，直到加性n *n。最后，预言机可以用来在poly（1/n）时间内测试输入的有界树宽图是否是k-可着色的或完美的。
2011-06-22 cs.DS
Generalized feedback vertex set problems on bounded-treewidth graphs: chordality is the key to single-exponential parameterized algorithms
人们早就知道，反馈顶点集可以在树宽$w$的$n$ -顶点图上在时间上求解$2^{\mathcal{O}(w\log w)}n^{\mathcal{O}(1)}$，但直到最近，这种运行时间才被改进为$2^{\mathcal{O}(w)}n^{\mathcal{O}(1)}$，即由树宽参数化的单指数。我们调查的反馈顶点集的推广，可以解决在类似的运行时间。形式上，对于一类图$\mathcal{P}$，有界$\mathcal{P}$ -块顶点删除问题询问，给定一个图~ $G$在$n$个顶点上，且给定正整数~ $k$和~ $d$，$G$是否包含至多$k$个顶点的集合~ $S$，使得$G-S$的每个块至多有$d$个顶点并且在$\mathcal{P}$中。假设$\mathcal{P}$在多项式时间内是可识别的，并且满足一定的自然遗传条件，我们给出了一个尖锐的特征，当单指数参数化算法是可能的固定值的$d$：如果$\mathcal{P}$仅由弦图组成，则该问题可以在时间$2^{\mathcal{O}(wd^2)} n^{\mathcal{O}(1)}$中解决，并且如果$\mathcal{P}$包含具有长度为$\ell\ge 4$的诱导环的图，则即使对于固定的$d=\ell$，问题也不能在时间$2^{o(w\log w)} n^{\mathcal{O}(1)}$中解决，除非ETH失败。我们还研究了一个…
2019-01-21 cs.DM cs.DS
On Directed Feedback Vertex Set parameterized by treewidth
研究了以输入图的树宽为参数的定向反馈顶点集问题。我们证明了，除非指数时间假设失败，问题不能解决的时间$2^{o(t\log t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$一般有向图，其中$t$是树的底层无向图的宽度。这与运行时间为$2^{\mathcal{O}(t\log t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$的动态规划算法相匹配。另一方面，我们表明，如果输入的有向图是平面的，那么运行时间可以提高到$2^{\mathcal{O}(t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$。
2017-09-13 cs.CC cs.DS
A Parameterized Algorithm for Flat Folding
本文提出一种参数化算法，证明折纸折痕图案的平面可折叠性测试在层数和树宽参数下是固定参数可处理的，且算法在树宽上为单指数复杂度。
2023-06-20 cs.CG cs.DS
LP-Based Robust Algorithms for Noisy Minor-Free and Bounded Treewidth Graphs
我们给出了一个一般的方法来解决优化问题的噪音小自由图，其中的一个δ-分数的边和顶点是不利损坏。Magen和Moharrami首先考虑了噪声环境，并给出了独立集问题的（1 + δ）-估计算法。后来，Chan和Har-Peled设计了一个局部搜索算法，可以找到一个（1 + O（δ））近似的独立集。然而，在嘈杂环境中的其他问题却一无所知。我们的主要贡献是一个一般的LP为基础的框架，产生一个（1 + O（δlog m log log m））-近似算法噪声MAX-k-CSP上的m条款。
2017-02-02 cs.DS
Hitting minors on bounded treewidth graphs. II. Single-exponential algorithms
对于图的有限集合${\cal F}$，${\cal F}$ -M-DELETION（resp. ${\cal F}$-TM-DELETION）问题在于，给定图$G$和整数$k$，判定是否存在具有$|S| \leq k$的$S \subseteq V(G)$，使得$G \setminus S$不包含${\cal F}$中的任何图作为子图（分别为${\cal F}$和$k$）。拓扑子式）。我们感兴趣的参数化的复杂性，这两个问题时，参数是$G$的树宽，表示为$tw$，特别是在${\cal F}$包含一个单连通平面图$H$的情况下。我们提出了在时间上运行的算法$2^{O(tw)} \cdot n^{O(1)}$，称为单指数，当$H$是$P_3$，$P_4$，$C_4$，爪子，椅子，和旗帜的$\{H\}$ -M-删除和$\{H\}$ -TM-删除，当$H=K_{1,i}$，与$i \geq 1$，为$\{H\}$ -TM-删除。其中一些算法使用Bodlaender等人[Inform Comput，2015]引入的基于秩的方法。这是关于这个主题的一系列文章中的第二篇，这里给出的结果与其他结果一起使我们能够，特别是，在$H$方面，对$\{H\}$ -M-删除的复杂性提供一个严格的二分法。
2021-03-11 cs.CC cs.DM cs.DS
Fast Evaluation of Interlace Polynomials on Graphs of Bounded Treewidth
我们考虑由Courcelle（2008）引入的多元交错多项式，其推广了由Arratia，Bollobas和Sorkin（2004）以及Aigner和van der Holst（2004）定义的几个交错多项式。本文给出了一个算法，在给定宽度为k的图的树分解的情况下，计算n个顶点的图的多元交错多项式。先前已知的最佳结果（Courcelle 2008）采用了一般的逻辑框架，并导致了运行时间为f（k）*n的算法，其中f（k）在k中是双指数的。在树分解的背景下，分析邻接矩阵的GF（2）-秩，给出了一个更快更直接的算法。我们的算法使用2^{3k^2+O（k）}*n个算术运算，可以有效地并行实现。
2010-07-21 cs.DS
Losing Treewidth In The Presence Of Weights
针对加权树宽-η删除问题，提出基于突起随机采样的随机多项式时间常数因子近似算法，适用于更一般的加权平面F-M-删除问题，拓展了无权图相关结果并解答了已有公开问题。
2024-10-08 cs.DS
Treewidth Inapproximability and Tight ETH Lower Bound
本文通过从3-SAT到树宽的线性归约，证明了树宽的1.00005-近似是NP难的，并给出精确求解及近似求解的紧指数时间下界。
2025-06-23 cs.CC cs.DM cs.DS
Treewidth Parameterized by Feedback Vertex Number
Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
本文提出了一种在反馈顶点数参数下以单指数时间计算最优树分解的算法，改进了之前基于顶点覆盖数的算法，并在树宽参数下展示了更优的时间复杂度。
2026-05-18 cs.DM cs.DS
Finding All Leftmost Separators of Size $\leq k$
我们定义了一个概念，称为最左分隔符的大小最多$k$。大小为$k$的最左侧分隔符是最小分隔符$S$，其分隔两个给定的顶点集合$X$和$Y$，使得我们“不能将$S$更朝向$X$移动“，使得$|S|$保持小于阈值。其中一个动机是，通过使用最左边的分隔符，我们可以改善树宽近似的时间复杂度。树宽近似是一个已知在输入大小方面具有线性时间FPT算法的问题，并且在参数树宽方面仅具有单指数。目前尚不清楚这一结果是否可以在理论上得到改善。然而，指数中的参数$k$（树宽）的系数大。因此，我们的目标是降低$k$的指数系数，以实现更实用的算法。因此，我们用线性时间算法交换$\mathcal{O}(n \log n)$时间算法。先前已知的$\mathcal{O}(f(k) n \log n)$ -时间算法具有$2^{24k}k!$、$2^{8.766k}k^2$（更好的分析表明它是$2^{7.671k}k^2$）和更高的依赖性。本文提出了一种在时间上运行的树宽近似算法$\mathcal{O}(2^{6.755k}\ n \log n)$，并计算了最左分隔符的个数，给出了最左分隔符的一个严格上界。我们证明了$\leq k$大小的最左边的分隔符的数目至多是$C_{k-1}$（加泰罗尼亚数）。然后，我们提出了一个算法，输出所有最左边的分隔符在时间$\mathcal{O}(\frac{4^k}{\sqrt{k}}n)…
2021-11-04 cs.DS
Low Treewidth Embeddings of Planar and Minor-Free Metrics
Cohen-Addad，Filtser，Klein和Le [FOCS'20]构造了一个将直径为$D$的无minor图随机嵌入到树宽为$O_ε(\log n)$的图中，并带有期望的加性失真$+εD$ . Cohen-Addad等人随后使用嵌入设计了容量受限车辆路径问题的第一个准多项式时间近似方案（QPTAS）。Filtser和Le [STOC'21]使用嵌入（以不同的方式）设计了一个QPTAS，用于度量Baker的问题，在小的自由图。在这项工作中，我们设计了一个新的嵌入技术，以提高Cohen-Addad等人的树宽界指数$O_ε(\log\log n)^2$。作为推论，我们获得了第一个有效的PTAS的能力限制的车辆路径问题的小自由图。我们还显着提高了运行时间的QPTAS的度量贝克的问题，从$n^{O_ε(\log(n))}$到$n^{O_ε(\log\log(n))^3}$的图。将我们的嵌入技术应用于平面图，我们得到了一个确定性嵌入的平面图的直径$D$到图的树宽$O((\log\log n)^2)/ε)$和添加剂失真$+εD$，可以在近线性时间内构造。重要的推论，我们的结果包括双准则PTAS度量贝克的问题和PTAS的车辆路径问题的能力有界的平面图，都运行在几乎线性的时间。我们的算法的运行时间是显着优于以前的算法，需要二次时间。在我们的嵌入的一个关键思想是一个（精确的）仿真器的树度量与树…
2022-03-29 cs.DS
Approximating Sparsest Cut in Low-Treewidth Graphs via Combinatorial Diameter
针对低树宽图的稀疏割问题，提出基于组合直径的算法，实现因子O(k^2)近似且运行时间2^{O(k)}poly(n)，并推广至常数因子近似，显著改进了现有结果。
2021-11-11 cs.DS
A single-exponential FPT algorithm for the $K_4$-minor cover problem
给定一个输入图G和一个整数k，参数化的K_4-子覆盖问题问是否存在一个至多k个顶点的集合S，其删除导致一个无K_4-子图，或等价地导致一个树宽至多为2的图。这个问题的灵感来自于两个研究得很好的参数化顶点删除问题，顶点覆盖和反馈顶点集，它们也可以表示为Treewidth-t顶点删除问题：对于顶点覆盖，t=0;对于反馈顶点集，t=1。虽然对于\textsc{Vertex Cover}，单指数FPT算法已经已知很长时间，但是对于反馈顶点集的这种算法是相对最近设计的。虽然已知树宽t顶点删除不太可能在时间c^{o（k）}.n^{O（1）}内解决，但K_4-子覆盖问题是否可以在单指数FPT时间内解决，即在c^k.n^{O（1）}时间内解决仍是未知的。本文对这一问题作了肯定的回答。
2012-04-06 cs.CC cs.DM cs.DS
Finding Induced Subgraphs via Minimal Triangulations
潜在的最大团和最小分离子是在最小三角剖分问题（包括最小填充和树宽）中引入和研究的组合对象。我们发现意想不到的应用程序，这些概念领域的中度指数算法。特别地，我们证明了给定一个n-顶点图G及其潜在极大团集Pi_G和一个整数t，在时间|Pi_G| * n^（O（t））上有可能在G中找到树宽为t的最大导出子图;对于给定的树宽为t的图F，有可能判定G是否包含同构于F的导出子图.结合一个改进的算法，在时间O（1.734601^n）内枚举所有潜在的最大团，这产生了两个问题在时间1.734601^n * n^（O（t））内可解。
2009-12-22 cs.DS
Current Algorithms for Detecting Subgraphs of Bounded Treewidth are Probably Optimal
子图同构问题是计算机科学中一个非常重要的问题。我们研究的问题时，模式图H是有界树宽，发生在各种应用程序。这个问题有一个通过颜色编码的公知算法，该算法在时间上运行$O(n^{tw(H)+1})$ [Alon，Yuster，Zwick'95]，其中$n$是主图$G$的顶点数。虽然存在已知的模式图，其中子图同构可以在$O(n^{tw(H)+1-\varepsilon})$的改进的运行时间中或者甚至更快地（例如，对于$k$ -团）被求解，但是不知道这样的改进是否对于所有模式都是可能的。唯一已知的下界排除了时间$n^{o(tw(H) / \log(tw(H)))}$的任何类模式的无限树宽度假设指数时间假说[马克思'07]。本文证明了需要时间$n^{tw(H)+1-o(1)}$的极大硬模式图$H$的存在性。具体来说，在强指数时间假设（SETH），一个标准的假设，从细粒度复杂性理论，我们证明了以下渐近声明的大树宽$t$：对于任何$\varepsilon > 0$存在$t \ge 3$和模式图$H$的树宽$t$，使模式$H$上的子图同构没有算法运行的时间$O(n^{t+1-\varepsilon})$。在最近的3-均匀Hyperlique假设下，我们甚至得到了每个特定树宽$t \ge 3$的紧下界：对于任何$t \ge 3$，存在树宽$t$的模式图$H$，使得对于任何$\varepsilon>0$…
2021-05-11 cs.CC cs.DS
Solving connectivity problems parameterized by treedepth in single-exponential time and polynomial space
Cygan等人（FOCS 2011）的突破性结果表明，树宽参数化的连通性问题可以比以前最好的已知时间$\mathcal{O}^*(2^{\mathcal{O}(tw \log(tw))})$更快地解决。使用他们的启发切割\计数技术，他们获得了许多这样的问题的$\mathcal{O}^*(α^{tw})$时间算法。此外，他们证明了这些运行时间是假设强指数时间假设的最佳时间。不幸的是，像其他关于树分解的动态规划算法一样，这些算法也需要指数空间，这被广泛认为是不可避免的。相比之下，对于稍大的参数treedepth，已经有几个算法的例子匹配的时间边界获得的树宽，但只使用多项式空间。然而，这仍然是开放的连接问题。在目前的工作中，我们关闭这一知识差距，应用割\计数技术的小树深度的图形。虽然一般的想法是不变的，我们必须设计新的程序来计算一致的削减解决方案的候选人只使用多项式空间。具体地，我们得到了树深为$d$的图上的连通顶点覆盖、反馈顶点集和Steiner树的时间$\mathcal{O}^*(3^d)$和多项式空间。同样地，我们得到了连通支配集和连通奇圈transmitting的时间$\mathcal{O}^*(4^d)$和多项式空间。
2021-06-25 cs.DS
The role of planarity in connectivity problems parameterized by treewidth
For some years it was believed that for "connectivity" problems such as Hamiltonian Cycle, algorithms running in time 2^{O(tw)}n^{O(1)} -called single-exponential- existed only on planar and other sparse graph classes, where tw stands for the treewidth of the n-vertex input graph. This was recently disproved by Cygan et al. [FOCS 2011], Bodlaender et al. [ICALP 2013], and Fomin et al. [SODA 2014], who provided single-exponential algorithms on general graphs for essentially all connectivity problems that were known to be solvable in single-exponential time on sparse graphs. In this article we f…
2013-12-10 cs.DM cs.DS math.CO
Tight Bounds for Chordal/Interval Vertex Deletion Parameterized by Treewidth
本文研究了树宽参数化的弦图/区间图顶点删除问题，利用弦图与图拟阵的联系及代表族框架，将弦图删除算法运行时间改进至2^{O(tw)}·|V(G)|，并在ETH假设下证明了区间图删除的2^{O(tw log tw)}算法下界紧致。
2023-05-05 cs.DS
Linear kernels and single-exponential algorithms via protrusion decompositions
图$G$的\emph{$t$-treewidth-modulator}是一个集合$X \subseteq V(G)$，使得$G-X$的树宽至多是某个常数$t-1$。在本文中，我们提出了一种新的算法来计算一个分解方案的图$G$，配备了一个$t$树宽调制器。这种分解称为\emph{protrusion decomposition}，是获得以下两个主要结果的基础。我们首先证明了任何具有\emph{finite integer index}且是\emph{treewidth-bounding}的参数化图问题（带参数$k$）都在$H$-topological-minor-free图上有一个线性核，其中$H$是任意的但固定的图。一个参数化的图问题被称为树宽边界，如果所有的正实例都有一个$t$-树宽调制器的大小为$O(k)$，对于一些常数$t$。这一结果部分地扩展了以前关于有界亏格图上线性核的存在性的元定理[Bodlaender等人，FOCS 2009]和$H$-无次要图[Fomin等人，SODA 2010]。我们的第二个应用程序涉及平面$\mathcal{F}$删除问题。设$\mathcal{F}$是一个至少包含一个平面图的固定有限图族。给定一个$n$顶点图$G$和一个非负整数$k$，Planar-$\mathcal{F}$-Deletion询问$G$是否有一个集合$X\subseteq V(…
2012-07-31 cs.DM cs.DS math.CO
Efficient Computation of Representative Sets with Applications in Parameterized and Exact Algorithms
我们给出了两个算法计算代表家庭的线性和均匀拟阵，并演示了如何使用代表家庭设计单指数参数化和精确的指数时间算法。我们的方法的应用程序包括-最长有向循环-最小等价图（MEG）-有界树宽-k-路径，k-树，更一般地说，k-子图同构，其中的k-顶点模式图是恒定的树宽的图上的算法。
2016-02-22 cs.DM cs.DS math.CO
Approximate Max-Flow Min-Multicut Theorem for Graphs of Bounded Treewidth
证明了有界树宽图的一个近似的最大多流最小多割定理。特别是，我们证明了以下几点：给定一个树宽$r$图，存在一个（分数）多商品流的价值$f$，和一个多割的能力$c$，使$ f \leq c \leq \mathcal{O}(\ln (r+1)) \cdot f$。众所周知，$r$ -顶点（常度）扩张图上的多流-多割间隙可以是$Ω(\ln r)$，因此我们的结果紧到常数因子。我们的证明是建设性的，我们也得到了一个多项式时间的$\mathcal{O}(\ln (r+1))$ -近似算法的树宽- $r$图的最小多割问题。我们的算法收益四舍五入的最佳分数的解决方案，自然的线性规划松弛的多割问题。我们引入新的修改著名的区域生长算法，以方便舍入，同时保证在树宽的对数因子损失。
2022-11-11 cs.DM cs.DS
Approximating pathwidth for graphs of small treewidth
我们描述了一个多项式时间的算法，给定一个图$G$与树宽$t$，近似$G$的路径宽度内的比率$O(t\sqrt{\log t})$。这是第一个算法，以实现一个$f(t)$ -近似的一些功能$f$。我们的方法建立在以下关键的见解：每个图具有大的路径宽度有大的树宽或包含一个大的完全二叉树的细分。具体来说，我们证明了每个图的路径宽度至少$th+2$有树宽度至少$t$或包含一个细分的高度$h+1$的完全二叉树。结合的$th+2$是最好的可能的乘法常数。这个结果是由Kawarabayashi和Rossman（SODA'18）的以下猜想激发的，并且暗示了（与$c=2$一起）：存在普适常数$c$，使得每个具有路径宽度$Ω(k^c)$的图具有至少$k$的树宽或包含高度为$k$的完全二叉树的细分。我们的主要技术算法需要一个图$G$和一些（不一定是最佳的）树分解的$G$的宽度$t'$在输入中，它计算在多项式时间内一个整数$h$，一个证书，$G$具有路径宽度至少$h$，和路径分解的$G$的宽度最多$(t'+1)h+1$。该证书是密切相关的（并暗示）存在一个细分的一个完整的二叉树的高度$h$。将该算法与Feige，Hajiaghayi，and Lee（STOC'05）的树宽近似算法相结合，得到了路径宽度的近似算法。
2022-12-08 cs.DM cs.DS math.CO
Optimal dynamic program for r-domination problems over tree decompositions
在强指数时间假设（SETH）下，求解NP难问题的动态规划算法对树宽的指数依赖性是最优的。我们将这项工作扩展到$r$ -支配问题。在$r$ -支配集，人们希望找到一个顶点的最小子集$S$，使得$G$的每个顶点都在$S$中某个顶点的$r$跳数内.在连通$r$ -支配集中，还要求该集导出$G$的连通子图.给出了树宽$\mathrm{tw}$的$n$ -顶点图中$r$ -支配集的$O((2r+1)^{\mathrm{tw}} n)$时间算法和连通$r$ -支配集的$O((2r+2)^{\mathrm{tw}} n^{O(1)})$时间算法.我们表明，$r$和$\mathrm{tw}$的运行时间依赖性是最好的SETH下。这增加了先前的观察结果，即连接性约束需要分母中的“+1”。
2015-02-03 cs.DS
Hitting minors on bounded treewidth graphs. IV. An optimal algorithm
对于图${\cal F}$的固定有限集合，${\cal F}$ -M-DELETION问题要求，给定$n$ -顶点输入图$G,$，求与${\cal F}$中的图的$G$中的所有次模型相交的顶点的最小数目。对于依赖于${\cal F}$的某些函数$f_{\cal F}$，通过Courcelle定理，这个问题可以在时间$f_{\cal F}(tw)\cdot n^{O(1)},$中求解，其中$tw$是$G$的树宽。在最近的一系列文章中，我们已经开始了渐近优化函数$f_{\cal F}$的程序。在这里，我们提供了一个算法，显示$f_{\cal F}(tw) = 2^{O(tw\cdot \log tw)}$为每个集合${\cal F}$。在这项工作之前，最著名的函数$f_{\cal F}$是$tw$中的双指数函数。特别是，我们的算法极大地扩展了Jansen等人的结果。[SODA 2014]对于特定情况${\cal F}=\{K_5,K_{3,3}\}$和Kociumaka和Pilipczuk [Komica 2019]对于有界亏格的图，并回答了Cygan等人提出的一个开放问题。[Inf Comput 2017]。我们结合了几个成分，如机械的boundaried图在动态规划通过代表，平壁定理，二维性，无关顶点技术，树宽调制器，和突出更换。结合我们之前的结果，为特定集合${\cal F}$ …
2021-03-11 cs.CC cs.DS math.CO
Hitting forbidden subgraphs in graphs of bounded treewidth
本文研究了一般的H-Subgraph Hitting问题的复杂性，其中给定一个固定模式图$H$和一个输入图$G$，任务是找到一个最小尺寸的集合$X \subseteq V(G)$，它能命中$G$中与$H$同构的所有子图.在问题的彩色变体中，$G$的每个顶点都用$V(H)$中的一些颜色预先着色，并且我们只需要命中具有匹配颜色的$H$ -子图。标准技术表明，对于每个固定的$H$，问题是固定参数易处理的，由$G$的树宽参数化;然而，不清楚运行时间到底应该如何依赖于树宽。对于彩色的变体，我们证明了匹配的上限和下限显示$G$的树宽上的运行时间的依赖性是严格由$μ(H)$，最小顶点分隔符在$H$的最大尺寸。也就是说，我们表明，对于每一个固定的$H$，在树宽$t$的图，彩色的问题可以解决的时间$2^{\mathcal{O}(t^{μ(H)})}\cdot|V(G)|$，但不能解决的时间$2^{o(t^{μ(H)})}\cdot |V(G)|^{O(1)}$，假设指数时间假设（ETH）。此外，我们给出了一些初步的结果表明，在没有颜色的情况下，参数化的复杂性景观的H-子图击中更丰富。
2014-11-15 cs.CC cs.DS
Kernelization for Treewidth-2 Vertex Deletion
树宽2顶点删除问题询问是否可以从图中删除至多$t$顶点的集合，使得所得图的树宽至多为2。一个图的树宽最多为2当且仅当它不包含$K_4$子图。因此，该问题对应于使用$\mathcal{F} = \{K_4\}$的NP难$\mathcal{F}$ -次覆盖问题。对于$\mathcal{F}$ -次覆盖问题的任何变体，其中$\mathcal{F}$包含平面图，已知存在多项式核。也就是说，在多项式时间内输出大小为$t^{O(1)}$的等价实例的一种预处理例行程序。然而，这个证明是非构造性的，这意味着这个证明没有给出内核大小的显式界限。$\{K_4\}$ -Minor Cover问题是$\mathcal{F}$ -Minor Cover问题的最简单的变种，具有未知的内核大小。为了开发一个建设性的核化算法，我们提出了一种新的方法来分解图到近突起，这样，在这个新的分解近突起可以减少使用基本的减少规则。我们的方法扩展了van Bevern等人的“近似和整理”框架。[Amicica 2012]提供比该框架和常规突出分解更强的保证。此外，我们提供了Donkers等人[IPEC 2021]引入的$\{K_4, K_{2,3}\}$ -Minor Cover核化算法所使用的基本归约规则的扩展。利用新的分解方法和约简规则，我们得到了一个由$O(t^{41})$顶点组成的核，这是第一个构造性核。这个内核是一个…
2022-03-18 cs.DS
Light spanners for bounded treewidth graphs imply light spanners for $H$-minor-free graphs
Grigni和Hung~ \cite{GH12}证明了无H-子图的$(1+ε)$ -空间是轻的，也就是说，对于某个函数$g$，它的权是最小生成树权的$g(|H|,ε)$倍.这个猜想暗示了$H$ -小自由图中旅行售货员问题的{ \em有效}多项式时间近似方案（PTAS），即对于某个函数$f$，PTAS的运行时间是$2^{f(ε)}n^{O(1)}$的形式.在H-小自由图中的TSP的最新PTAS具有运行时间$n^{1/ε^c}$。我们进一步证明了这个猜想，证明了如果有界树宽图有轻贪婪空间，那么这个猜想是真的。我们还证明了有界路宽图的贪婪图是轻的，并讨论了将我们的证明扩展到有界树宽图的可能性。
2017-03-30 cs.DM cs.DS
$K$-Best Solutions of MSO Problems on Tree-Decomposable Graphs
我们表明，对于任何图形优化问题，其中的可行的解决方案可以表示为一元二阶逻辑描述的顶点或边缘集的公式，在其中的目标是最小化的权重之和在选定的集合中，我们可以找到$k$最佳解决方案的$n$ -顶点图的有界树宽度的时间$\mathcal O(n+k\log n)$。特别是，这适用于在有界树宽的有向图中找到给定顶点之间的$k$最短简单路径的问题，给出了比以前算法的每条路径成本的指数加速。
2017-03-08 cs.DS
Distributed Treewidth Computation and Courcelle's Theorem in the CONGEST Model
本文在CONGEST模型中提出了Courcelle定理的分布式版本，利用低拥塞捷径框架设计了在树宽有界图中高效判定MSO性质、解决优化计数问题及近似计算树宽的算法。
2025-07-14 cs.DS
An Improved Parameterized Algorithm for Treewidth
本文提出树宽精确算法，将 k 依赖从 2^{O(k^3)} 改进至 2^{O(k^2)}，并给出近似比小于 2 的多项式空间近似算法。
2023-08-17 cs.DM cs.DS
Solving weighted and counting variants of connectivity problems parameterized by treewidth deterministically in single exponential time
众所周知，对于图G=（V，E），给定树分解宽度为tw，许多局部图问题，如顶点覆盖和支配集，都可以在2^{O（tw）} |V| ^{O（1）}时间内得到解决.然而，对于非局部问题，比如连通性问题的基本类，很长一段时间我们不知道如何比tw^{O（tw）} |V| ^{O（1）}更快地完成这一过程。最近，Cygan等人（FOCS 2011）提出了一种用于在时间$c^{tw} |V| ^{O（1）}中运行的各种连通性问题的Monte Carlo算法，其中c是一个小常数，例如，哈密尔顿圈和斯坦纳树。当然，这就提出了一个问题，随机化是否是实现这个运行时所必需的;此外，还需要解决计数和加权版本（后者不会在权重方面产生伪多项式成本）。我们提出了两个新的方法植根于线性代数，矩阵秩和行列式的基础上，提供确定性c^{tw} |V| ^{O（1）}时间算法，也为加权和计数版本。例如，在这段时间里，我们可以解决旅行推销员问题或计算哈密尔顿圈的数量。基于秩的思想提供了一个相当普遍的方法，通过确定“小”集的代表性部分解决方案，以加快甚至直接的动态规划配方，我们专注于通过分区集表示连接的情况下，但基本的想法应该有进一步的应用。基于行列式的方法使用矩阵树定理推导出封闭的公式计算版本的连通性问题，我们展示了如何通过动态规划来评估这些公式。
2012-11-07 cs.CC cs.DM cs.DS
