Hitting minors on bounded treewidth graphs. III. Lower bounds
对于图${\cal F}$的有限集合，${\cal F}$-M-删除问题在于，给定图$G$和整数$k$，决定是否存在具有$|S| \leq k$的$S \subseteq V(G)$，使得$G \setminus S$不包含${\cal F}$中的任何图作为子图。当参数为$G$的树宽时，我们对${\cal F}$ -M-DELETION的参数化复杂性感兴趣，用$tw$表示。我们的目标是确定，对于一个固定的${\cal F}$，最小的功能$f_{\cal F}$，使${\cal F}$-M-删除可以解决的时间$f_{\cal F}(tw) \cdot n^{O(1)}$上的$n$ -顶点图。我们为几个集合${\cal F}$提供了$f_{\cal F}$上ETH的下限。我们首先证明，对于任何${\cal F}$包含连通图的大小至少为2，$f_{\cal F}(tw)= 2^{Ω(tw)}$，即使输入图$G$是平面的。我们的主要贡献包括一些集合${\cal F}$的超指数下界，灵感来自Bonnet等人的减少。[IPEC，2017]。特别是，我们证明了，当${\cal F}$包含一个单一的连接图$H$，要么是$P_5$或不是一个小的旗帜（即，图形组成的$C_4$加上一个悬垂边），然后$f_{\cal F}(tw)= 2^{Ω(tw \cdot \log tw)}$。这是有关该主题的系列文…
2021-03-11 cs.CG cs.DM cs.DS
Light spanners for bounded treewidth graphs imply light spanners for $H$-minor-free graphs
Grigni和Hung~ \cite{GH12}证明了无H-子图的$(1+ε)$ -空间是轻的，也就是说，对于某个函数$g$，它的权是最小生成树权的$g(|H|,ε)$倍.这个猜想暗示了$H$ -小自由图中旅行售货员问题的{ \em有效}多项式时间近似方案（PTAS），即对于某个函数$f$，PTAS的运行时间是$2^{f(ε)}n^{O(1)}$的形式.在H-小自由图中的TSP的最新PTAS具有运行时间$n^{1/ε^c}$。我们进一步证明了这个猜想，证明了如果有界树宽图有轻贪婪空间，那么这个猜想是真的。我们还证明了有界路宽图的贪婪图是轻的，并讨论了将我们的证明扩展到有界树宽图的可能性。
2017-03-30 cs.DM cs.DS
Treewidth is Polynomial in Maximum Degree on Weakly Sparse Graphs Excluding a Planar Induced Minor
本文证明排除平面导出子式和$K_{t,t}$子图的图，其树宽以最大度的多项式为界，并确认了特定条件下的多对数树宽，部分回答了Chudnovsky的问题。
2024-07-22 cs.DM cs.DS math.CO
Bidimensionality, Map Graphs, and Grid Minors
在本文中，我们扩展的二维性理论的两个家庭的图，不排除固定的未成年人：地图图和功率图。在这两种情况下，我们证明了一个多项式之间的关系，在家庭中的图的树宽和最大的网格子的大小。这些界限提高了一个广泛的固定参数算法的运行时间。我们的新技术，使用近似的最大-最小关系的树宽和大小的网格未成年人是强大的，我们展示了它如何也可以使用，例如，证明了有界亏格图的树宽与其对偶图的树宽之间的线性关系。
2005-02-16 cs.DM cs.DS
LP-Based Robust Algorithms for Noisy Minor-Free and Bounded Treewidth Graphs
我们给出了一个一般的方法来解决优化问题的噪音小自由图，其中的一个δ-分数的边和顶点是不利损坏。Magen和Moharrami首先考虑了噪声环境，并给出了独立集问题的（1 + δ）-估计算法。后来，Chan和Har-Peled设计了一个局部搜索算法，可以找到一个（1 + O（δ））近似的独立集。然而，在嘈杂环境中的其他问题却一无所知。我们的主要贡献是一个一般的LP为基础的框架，产生一个（1 + O（δlog m log log m））-近似算法噪声MAX-k-CSP上的m条款。
2017-02-02 cs.DS
Protrusion Decompositions Revisited: Uniform Lossy Kernels for Reducing Treewidth and Linear Kernels for Hitting Disconnected Minors
Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究所）；University of Warsaw（华沙大学）
本文提出了一种新的核化算法，通过小损失实现Treewidth-d-删除问题的均匀核，同时在稀疏图类上获得线性核。
2026-01-18 cs.DS
Low Treewidth Embeddings of Planar and Minor-Free Metrics
Cohen-Addad，Filtser，Klein和Le [FOCS'20]构造了一个将直径为$D$的无minor图随机嵌入到树宽为$O_ε(\log n)$的图中，并带有期望的加性失真$+εD$ . Cohen-Addad等人随后使用嵌入设计了容量受限车辆路径问题的第一个准多项式时间近似方案（QPTAS）。Filtser和Le [STOC'21]使用嵌入（以不同的方式）设计了一个QPTAS，用于度量Baker的问题，在小的自由图。在这项工作中，我们设计了一个新的嵌入技术，以提高Cohen-Addad等人的树宽界指数$O_ε(\log\log n)^2$。作为推论，我们获得了第一个有效的PTAS的能力限制的车辆路径问题的小自由图。我们还显着提高了运行时间的QPTAS的度量贝克的问题，从$n^{O_ε(\log(n))}$到$n^{O_ε(\log\log(n))^3}$的图。将我们的嵌入技术应用于平面图，我们得到了一个确定性嵌入的平面图的直径$D$到图的树宽$O((\log\log n)^2)/ε)$和添加剂失真$+εD$，可以在近线性时间内构造。重要的推论，我们的结果包括双准则PTAS度量贝克的问题和PTAS的车辆路径问题的能力有界的平面图，都运行在几乎线性的时间。我们的算法的运行时间是显着优于以前的算法，需要二次时间。在我们的嵌入的一个关键思想是一个（精确的）仿真器的树度量与树…
2022-03-29 cs.DS
Hitting Topological Minor Models in Planar Graphs is Fixed Parameter Tractable
对于图${\cal F}$的有限集合，\textsc{${\cal F}$-TM-Deletion}问题将$n$ -顶点图$G$和整数$k$作为输入，并询问是否存在具有$|S| \leq k$的集合$S \subseteq V(G)$，使得$G \setminus S$不包含${\cal F}$中的任何图作为拓扑子式。我们证明了对于每一个这样的${\cal F}$，\textsc{${\cal F}$-TM-Deletion}是平面图上可处理的固定参数。我们的算法运行在一个$2^{\mathcal{O}(k^2)}\cdot n^{2}$的时间，或者在$2^{\mathcal{O}(k)}\cdot n^{4}$的时间。我们的技术可以很容易地扩展到图，是嵌入在任何固定的表面。
2022-10-31 cs.DS math.CO
Treewidth versus clique number. I. Graph classes with a forbidden structure
树宽是一个重要的图不变量，与结构和算法原因有关。图类具有有界树宽的一个必要条件是不存在大的团。我们研究了图类在导出子图下的闭性，在导出子图下的闭性条件也是充分的，我们称之为$(tw,ω)$ -有界的。已知这样的图类具有与团和$k$着色问题的变体相关的有用的算法应用。我们考虑六个著名的图包含关系：子图，拓扑子图，子图，诱导子图，诱导拓扑子图，和诱导子图关系。对于它们中的每一个，我们给出了图$H$的一个完全特征，使得除$H$之外的图类是$(tw,ω)$ -有界的。我们的结果得到了一个无限族的$χ$ -有界诱导子闭图类，并暗示了这类$1$ -完全可定向图是$(tw,ω)$ -有界的，从而对每个固定的~ $k$给出了$k$ $k$ -着色$1$ -完全可定向图的线性时间算法.这分别回答了2018年Bre \v sar、Hartinger、Kos和Milani{ \v c}的问题以及2019年Beisegel、Chudnovsky、Gurvich、Milani{ \v c}和Servatius的问题。我们还揭示了一些进一步的算法的影响$(tw,ω)$ -有界列表$k$ -着色和集团问题。此外，我们提出了一个问题的复杂性的最大重量独立集问题的$(tw,ω)$ -有界图类，并证明了这个问题是多项式时间可解的，除了一个固定的明星作为一个诱导子图的每一类图。
2021-10-24 cs.DM cs.DS math.CO
On Light Spanners, Low-treewidth Embeddings and Efficient Traversing in Minor-free Graphs
自Robertson和Seymour的基本工作以来，了解无子图度量的结构，即在不包括固定子图的加权图上获得的最短路径度量，一直是一个重要的研究方向。一个基本的想法，既有助于理解这些指标的结构特性，并导致强大的算法结果是构建一个“小复杂度”的图，近似保持度量的点对之间的距离。我们显示了以下两个结构性结果的次要的自由度量：1。构造一个光子集。给定一个子集的顶点称为终端，和$ε$，在多项式时间，我们构造一个子图，保留所有成对的终端之间的距离，直到一个乘法$1+ε$因子，总重量最多$O_ε(1)$倍的重量的最小斯坦纳树跨越终端。2.构造嵌入到具有期望加性失真的低树宽图中的随机度量$εD$。即，给定一个直径为$D$的次自由图$G=(V,E,w)$，参数为$ε$，构造了一个分布$\mathcal{D}$，使得在树宽- $O_ε(\log n)$图中的支配度量嵌入使得加性失真至多为$εD$ .我们的一个重要的技术贡献是一个新的框架，使我们能够减少\emph{both problems}的问题，更简单的图形有界直径。我们的结果具有以下算法的结果：（1）子集TSP的第一有效的近似方案在minor-free度量;（2）第一有效的近似方案在minor-free度量的车辆路径有界的能力;（3）第一有效的近似方案在有界亏格度量的车辆路径有界的能力。
2020-09-10 cs.DS
Kernelization for Treewidth-2 Vertex Deletion
树宽2顶点删除问题询问是否可以从图中删除至多$t$顶点的集合，使得所得图的树宽至多为2。一个图的树宽最多为2当且仅当它不包含$K_4$子图。因此，该问题对应于使用$\mathcal{F} = \{K_4\}$的NP难$\mathcal{F}$ -次覆盖问题。对于$\mathcal{F}$ -次覆盖问题的任何变体，其中$\mathcal{F}$包含平面图，已知存在多项式核。也就是说，在多项式时间内输出大小为$t^{O(1)}$的等价实例的一种预处理例行程序。然而，这个证明是非构造性的，这意味着这个证明没有给出内核大小的显式界限。$\{K_4\}$ -Minor Cover问题是$\mathcal{F}$ -Minor Cover问题的最简单的变种，具有未知的内核大小。为了开发一个建设性的核化算法，我们提出了一种新的方法来分解图到近突起，这样，在这个新的分解近突起可以减少使用基本的减少规则。我们的方法扩展了van Bevern等人的“近似和整理”框架。[Amicica 2012]提供比该框架和常规突出分解更强的保证。此外，我们提供了Donkers等人[IPEC 2021]引入的$\{K_4, K_{2,3}\}$ -Minor Cover核化算法所使用的基本归约规则的扩展。利用新的分解方法和约简规则，我们得到了一个由$O(t^{41})$顶点组成的核，这是第一个构造性核。这个内核是一个…
2022-03-18 cs.DS
A single-exponential FPT algorithm for the $K_4$-minor cover problem
给定一个输入图G和一个整数k，参数化的K_4-子覆盖问题问是否存在一个至多k个顶点的集合S，其删除导致一个无K_4-子图，或等价地导致一个树宽至多为2的图。这个问题的灵感来自于两个研究得很好的参数化顶点删除问题，顶点覆盖和反馈顶点集，它们也可以表示为Treewidth-t顶点删除问题：对于顶点覆盖，t=0;对于反馈顶点集，t=1。虽然对于\textsc{Vertex Cover}，单指数FPT算法已经已知很长时间，但是对于反馈顶点集的这种算法是相对最近设计的。虽然已知树宽t顶点删除不太可能在时间c^{o（k）}.n^{O（1）}内解决，但K_4-子覆盖问题是否可以在单指数FPT时间内解决，即在c^k.n^{O（1）}时间内解决仍是未知的。本文对这一问题作了肯定的回答。
2012-04-06 cs.CC cs.DM cs.DS
Heuristic computation of exact treewidth
我们感兴趣的是计算给定图$G$的树宽$\tw(G)$。我们的方法是设计启发式算法来计算一个序列的改进上界和一个序列的改进下界，这将有望收敛到$\tw(G)$从两侧。上限算法扩展和简化玉木的未发表的工作启发式使用的动态规划算法决定树宽由于Bouchitté和Todinca。下界算法基于众所周知的事实，即对于$G$的每个次$H$，我们都有$\tw(H) \leq \tw(G)$。该算法从$G$的粗计算的次$H_0$开始，尝试构造次$H_0$、$H_1$、\ldots、$H_k$的序列，其中$\tw(H_i) < \tw(H_{i + 1})$用于$0 \leq i < k$，并且希望用于$\tw(H_k) = \tw(G)$。我们已经基于这种方法实现了一个树宽求解器，并在PACE 2017算法实现挑战的精确树宽跟踪的奖金实例上对其进行了评估。结果表明，我们的方法是非常有效的处理情况下，很难为传统的求解器。我们的求解器比传统的求解器有一个额外的优势，因为它将一个紧凑的证书附加到它计算的下限。
2022-02-15 cs.DS
Polynomial Kernels for Hitting Forbidden Minors under Structural Parameterizations
我们研究多项式时间预处理的问题，击中禁止未成年人在图中，使用核化的框架。对于一个固定的有限连通图集F，F-删除问题如下：给定一个图G和整数k，是否有可能从G中删除k个顶点，以确保所得图不包含任何来自F的图作为子图？Fomin、Lokshtanov、Misra和Saurabh [FOCS'12]的早期工作表明，当F包含平面图时，实例（G，k）可以在多项式时间内约简为大小为$k^{O(1)}$的等价实例。在这项工作中，我们专注于结构措施的复杂性的一个实例，目的是给非平凡的预处理保证的解决方案是大的实例。出于几个不可能的结果，我们parameterized的F-删除问题的顶点调制器的大小，其删除结果在一个图的恒定树深度$η$。我们证明了，对于每一个连接图和常数$η$，F-删除问题的树深度- $η$调制器的大小参数化有一个多项式核。我们的内核化是完全明确的，不依赖于突出减少或良好的准排序，这是在早期的作品F-删除算法的非构造性的来源。我们的主要技术贡献是分析如何在一个图G与调制器X的禁用子模型，与G-X的各种连通组件的相互作用。通过限制|X|中多项式可能发生的不同类型行为的数量，我们使用递归预处理策略获得多项式核。我们的研究结果扩展了早期的工作，如顶点覆盖和反馈顶点集的特定实例的F-删除。它还概括了较早的预处理结果的F-删除参数化的顶点覆盖，这是一个treedepth-one调制器。
2018-04-24 cs.CC cs.DS
Kernelization dichotomies for hitting minors under structural parameterizations
LIRMM, Université de Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学 LIRMM 实验室）；Departamento de Computación, FCEyN, Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学 FCEyN 计算机系）
研究在结构参数化下，针对命中子图问题的多项式核存在性，给出了精确和近似多项式核的存在条件，并得到了一系列二分法结果。
2026-06-23 cs.CC cs.DS math.CO
Lower Bounds for Embedding into Distributions over Excluded Minor Graph Families
最近Fakcharoenphol等人证明了任意有限度量可以嵌入到失真为O（log n）的树度量上的分布中。它也是已知的，这个界是紧的，因为有扩展图，不能嵌入到分布在树比欧米茄（log n）失真。我们表明，这同样的下限持有嵌入到分布在任何未成年人排除家庭。给定一个图族F，F不包含子图M，其中|M| =k，我们明确地构造了一个树宽为-（k+1）的图族，它不能嵌入到F上的一个失真优于Omega（log n）的分布中.因此，虽然这些未成年人排除家庭的图比树更有表现力，他们不提供渐近更好的近似一般。一个重要的推论是，树宽k的图不能嵌入到树宽k-3的图上的分布中，失真小于Omega（log n）。我们还扩展了阿隆等人的结果表明，对于任何k，平面图不能嵌入到分布在树宽-k图比欧米茄（log n）失真。
2008-07-29 cs.DM cs.DS
Parameterizing the quantification of CMSO: model checking on minor-closed graph classes
本文提出逻辑 CMSO/tw，通过限制集合量化为有界标注树宽的集合，证明在非平凡次闭图类上模型检测可在二次时间内完成，扩展了 Courcelle 定理。
2024-06-26 cs.DS cs.LO
Subexponential parameterized algorithms for planar and apex-minor-free graphs via low treewidth pattern covering
我们证明了下面的定理。给定平面图$G$和整数$k$，可以在多项式时间内随机采样具有以下性质的$G$的顶点的子集$A$：（i）$A$导出树宽为$\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)$的$G$的一个子图，（ii）对于$G$在至多$k$顶点上的每个连通子图$H$，$A$覆盖$H$的整个顶点集的概率至少为$(2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log^2 k)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)})^{-1}$，其中$n$是$G$的顶点数。再加上标准的动态规划技术的图形有界树宽，这一结果给出了一个通用的技术，获得（随机）次指数参数化算法的问题，平面图，通常与运行时间界$2^{\mathcal{O}(\sqrt{k} \log^2 k)} n^{\mathcal{O}(1)}$。该技术可以应用于可表达为在大型宿主图中搜索具有规定属性的小的连通模式的问题，这样的问题的示例包括定向$k$ -路径、加权$k$ -路径、顶点覆盖局部搜索和子图同构等。到目前为止，这些问题是否可以在平面图上的次指数参数化时间内解决仍然是开放的，因为它们不适合经典的二维技术。此外，我们所有的结果，事实上，任何一类的图，不包括一个固定的顶点图作为一个未成年人，特别是在图嵌入在任何固定的表面。
2016-04-20 cs.DS
Planar and Minor-Free Metrics Embed into Metrics of Polylogarithmic Treewidth with Expected Multiplicative Distortion Arbitrarily Close to 1
本文提出一种随机多项式时间嵌入算法，将无固定子式图度量嵌入到多对数树宽的宿主图中，实现任意接近1的期望乘法失真，并统一解决无子式度量下网络设计、聚类与路由等问题的拟多项式时间近似方案。
2023-04-14 cs.DM cs.DS
Hitting forbidden minors: Approximation and Kernelization
我们研究一类一般的问题，称为F-删除问题。在一个F-删除问题中，我们被问到是否可以从图$G$中删除至多$k$顶点的子集，使得所得到的图不包含来自禁止子族F的任何图作为子族。当F包含平面图时，我们得到了F-删除问题的一些算法结果。本文给出了（1）不含具有$t$级的星形图$t$ -claw $K_{1,t}$的图的线性点核作为导出子图，其中$t$为固定整数. (2)一种近似算法，其近似比为$O(\log^{3/2} OPT)$，其中$OPT$是一般无向图上的最优解的大小。最后，我们得到多项式核的情况下，F包含图$θ_c$作为一个固定的整数$c$的子。图$θ_c$由两个顶点通过$c$平行边连接而成。尽管这可能看起来是一类非常有限的问题，但它已经包含了研究得很好的问题，如{ \sc顶点覆盖}、{ \sc反馈顶点集}和菱形命中集。通用核化算法是基于一个非平凡的应用程序的突出技术，以前只用于拓扑图类的问题。
2010-10-07 cs.DM cs.DS
On Brambles, Grid-Like Minors, and Parameterized Intractability of Monadic Second-Order Logic
荆棘是作为树宽的对偶概念引入的，树宽是罗伯逊和西摩的图子式理论中最核心的概念之一。最近，Grohe和Marx证明了在|G|中存在图G，其中每一个阶大于树宽平方根的荆棘都是指数大小的.在积极的一面，他们表明存在的多项式大小的荆棘的平方根的树宽的顺序，日志因素。我们提供了第一个多项式时间算法来构建一个荆棘一般的图形，并实现这个界限，对数因子。我们用这个算法来构建网格状的未成年人，最近由里德和伍德介绍的网格未成年人的替代结构，在多项式时间。使用网格状的未成年人，我们介绍了一个完美的荆棘的概念和算法，找到一个在多项式时间。完美的荆棘是荆棘与一个特别简单的结构，他们也为我们提供了一个子图，有界的程度和仍然大的树宽，我们使用它们来获得一个元定理，决定某些参数化的子图闭问题的一般图在时间单指数的参数。我们的工作的第二部分涉及提供一个下界Courcelle的著名定理，指出，每一个图形属性，可以表示一个句子在一元二阶逻辑（MSO），可以决定由一个线性时间算法类图的有界树宽。利用我们的结果，从我们的工作的第一部分，我们建立了一个强下界的易处理的MSO类的着色图。
2009-07-17 cs.DM cs.DS cs.LO
Grid Induced Minor Theorem for Graphs of Small Degree
一个图$H$是图$G$的导出子图，如果$H$可以由图$G$通过顶点删除和边收缩得到.我们证明了存在一个函数$f(k, d) = O(k^{10} + 2^{d^5})$，使得如果一个图的树宽至少为$f(k, d)$，最大度至多为$d$，则它包含一个$k \times k$ -网格作为诱导子图.这证明了Aboulker，Adler，Kim，Sintiari和Trotignon的猜想[Eur。J. Comb.，98，2021]证明了任意树宽大且最大度有界的图都含有一个大墙或大墙的线图作为诱导子图.这也意味着，对于任何固定的可平面图$H$，存在一个次指数时间算法的最大重量独立集的$H$ -诱导子-自由图。
2023-01-12 cs.DM cs.DS math.CO
Hitting Topological Minors is FPT
在拓扑次要删除（TM-删除）问题中，输入由无向图$G$、一族无向图${\cal F}$和整数$k$组成。任务是确定$G$是否包含一组大小至多为$k$的顶点$S$，使得通过移除$S$的顶点从$G$获得的图$G\setminus S$不包含来自${\cal F}$的图作为拓扑子图。我们给出了一个带运行时间的TM删除算法$f(h^\star,k)\cdot |V(G)|^{4}$。这里$h^\star$是在${\cal F}$中的图的最大大小，并且$f$是$h^\star$和$k$的可计算函数。这是第一个固定参数的易处理算法（FPT）的问题。事实上，即使对于平面输入的受限情况，Golovach等人也只是最近才发现了第一个FPT算法[SODA 2020]。在这种情况下，我们通过设计一种明确依赖于$k$和$h^\star$的FPT算法，改进了Golovach等人[SODA 2020]的算法。
2020-01-07 cs.DM cs.DS
Improved bounds for the excluded-minor approximation of treedepth
树深是一个比树宽和路宽更严格的图宽参数，在稀疏图类理论中起着重要作用。我们证明了存在一个常数$C$使得对于每个正整数$a,b$和一个图$G$，如果$G$的树深至少为$Cab$，则$G$的树宽至少为$a$或$G$包含一个次立方（即，树深度至少为$b$的树作为子图。作为一个直接推论，我们得到每个树深为$Ω(k^3)$的图要么树宽至少为$k$，要么包含一个深度为$k$的满二叉树的剖分，要么包含一条长度为$2^k$的路.这提高了Kawarabayashi和Rossman的$Ω(k^5 \log^2 k)$的界限[SODA 2018]。我们还展示了我们的技术的树深度的近似算法的应用：给定一个图$G$的树深度$k$和树宽度$t$，可以在多项式时间计算的树深度分解$G$的宽度$\mathcal{O}(kt \log^{3/2} t)$。这改进了源于已知结果之间的折衷的$\mathcal{O}(kt^2 \log t)$的界限。在我们的结果中的主要技术成分是一个证明，树深度$d$的每棵树包含一个子立方体树的树深度至少$d \cdot \log_3 ((1+\sqrt{5})/2)$。
2019-09-18 cs.DM cs.DS math.CO
A Complete Anytime Algorithm for Treewidth
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
在本文中，我们提出了一个分支定界算法称为QuickBB计算无向图的树宽。该算法在图的顶点的完全消去序空间中进行搜索。该算法采用了新的修剪和传播技术，这是来自图的子和图同构理论。我们提出了一个新的算法，称为小的最小宽度计算树宽的下限，用于分支定界算法，并提高了较早的可用下限。QuickBB在随机生成的图和图着色和贝叶斯网络中的基准测试上的经验评估表明，在CPU时间方面，它始终优于QuickTree [Shoikhet和Geiger，1997]等完整算法。QuickBB也有很好的随时性能，能够产生一个更好的上限树宽度的一些图，其最佳树宽度无法计算到现在。
2012-07-11 cs.AI cs.DM cs.DS
Excluding a Forest Induced Minor
CNRS, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, LIP（法国国家科学研究中心、里昂高等师范学校、克洛德·贝尔纳里昂大学）；Département d’Informatique, Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学信息学系）
本文提出了诱导极小定理的诱导版本，研究了K_{t,t}-子图自由的H-诱导极小无向图的路径宽度有界条件，揭示了H属于特定森林类的特征。
2025-12-01 cs.DM cs.DS math.CO
Polynomial Bounds for the Grid-Minor Theorem
Robertson和Seymour关于图子式的开创性工作中的一个关键结果是网格子式定理（也称为排除网格定理）。该定理指出，对于每个网格$H$，每个树宽相对于$|V(H)|$足够大的图包含$H$作为子图。这个定理在图论和算法中有许多应用。令$f(k)$表示最大值，使得每个树宽$k$的图包含大小为$(f(k)\times f(k))$的网格子。由于Kawarabayashi和Kobayashi以及Leaf和Seymour最近的工作，以前的最佳定量界限表明$f(k)=Ω(\sqrt{\log k/\log \log k})$。相反，最著名的上限意味着$f(k) = O(\sqrt{k/\log k})$。本文通过证明$f(k)=Ω(k^δ)$对某个固定常数$δ> 0$，得到了树宽与网格子模型大小之间的第一多项式关系，并描述了一个随机算法，其运行时间在$|V(G)|$和$k$中是多项式，该算法以高概率在$G$中找到这样一个网格子模型.
2016-08-09 cs.DM cs.DS
Hitting Meets Packing: How Hard Can it Be?
本文研究命中问题与打包问题的统一框架 X-HitPack，通过环和固定图副本两个案例揭示其复杂性可显著高于基础问题，并为若干情形给出了参数化算法。
2024-02-22 cs.DS
Uniform Kernelization Complexity of Hitting Forbidden Minors
F-Minor-Free Deletion问题要求，对于固定集合F和由图G和整数k组成的输入，是否可以从G中移除k个顶点，使得所得图不包含F的任何成员作为子图。本文分析了在何种程度上可证明有效和高效的预处理是可能的F-小自由删除。Fomin等人（FOCS 2012）证明了特殊情况平面F-删除（当F包含至少一个平面图时）对于某些函数f和g具有大小为f（F）* k^{g（F）}的核。多项式的次数g增长得非常快;它甚至不知道是可计算的。Fomin等人对平面F-删除是否具有大小均匀多项式的核，即，形式为f（F）* k^c，对于某个不依赖于F的普适常数c。我们在本文中的结果是双重的。(1)我们证明了一些平面F-删除问题没有一致的多项式内核（除非NP是在coNP/poly）。特别地，我们证明了Treewidth-Eta Deletion对于任何eps > 0都不具有O（k^{eta/4} - eps）顶点的核，除非NP在coNP/poly中。事实上，我们甚至证明了较大参数顶点覆盖数的核化下界。这解决了Cygan等人的一个未决问题（IPEC，2011年）。这是一个自然的问题是否进一步限制F导致一致多项式核。然而，我们证明了，即使当F包含一个路径，多项式的程度必须，在一般情况下，取决于集合F。(2)当F包含路径时，一个规范的F-Minor-Free Deletion问题是Treedepth-eta…
2015-02-13 cs.CC cs.DS
Approximating acyclicity parameters of sparse hypergraphs
超树宽度和广义超树宽度的概念是由Gottlob、Leone和Scarcello为了推广超图无环性的概念而引入的。这些概念被Grohe和Marx进一步推广，他们引入了超图的分数超树宽度。超图的宽度参数对数据库理论和人工智能中的许多问题的扩展处理都是有用的。本文研究了稀疏超图的（广义、分数）超树宽的可逼近性，其中稀疏性判据反映了它们关联图的稀疏性。我们的第一步是证明一个超图H的（广义的，分数）超树宽度夹在它的关联图的树宽度的常数因子，当关联图属于一些顶点-子-自由图类。这决定了组合边界，在该边界之上，（广义的，分数的）超树宽度的概念变得比树宽度更普遍，证明了它作为超图非循环性度量的功能。虽然对于更一般的稀疏超图族，关联图的树宽和所有超树宽度参数可以任意不同，但是存在其中常数因子近似算法是可能的稀疏族。特别地，我们给出了关联图属于某个无H-子图类的超图的（广义，分数）超树宽度的常数因子近似多项式时间算法。
2008-09-22 cs.CC cs.DS
Faster Algorithms for Quantitative Analysis of Markov Chains and Markov Decision Processes with Small Treewidth
离散时间马尔可夫链（MC）和马尔可夫决策过程（MDP）是系统分析中的两种标准形式。他们的主要相关的定量目标是命中概率，贴现和平均收益。虽然有许多技术用于计算这些目标在一般MC/MDPs，他们还没有被彻底研究的参数化算法，特别是当树宽被用作参数。这与MC，MDP和图形游戏的定性目标形成鲜明对比，其中基于树宽的算法产生显着的复杂性改进。在这项工作中，我们表明，树宽也可以用来获得更快的算法的定量问题。对于一个MC与$n$状态和$m$过渡，我们表明，每个经典的定量目标可以计算在$O((n+m)\cdot t^2)$时间，给定树分解的MC，具有宽度$t$。我们的研究结果还意味着一个界的$O(κ\cdot (n+m)\cdot t^2)$为每个目标的MDPs，其中$κ$是策略迭代所需的输入和目标的数量。最后，我们对我们的新算法在低树宽MC和MDPs上进行了实验评估，这些MC和MDPs是从DaCapo基准套件中获得的。我们的实验结果表明，在MC和MDP与小树宽，我们的算法优于现有的行之有效的方法的一个或多个数量级。
2020-04-19 cs.DM cs.DS
A Turing Kernelization Dichotomy for Structural Parameterizations of $\mathcal{F}$-Minor-Free Deletion
对于一个固定的有限图族$\mathcal{F}$，$\mathcal{F}$ -Minor-Free删除问题以一个图$G$和一个整数$\ell$作为输入，并询问是否存在一个大小至多为$\ell$的集合$X \subseteq V(G)$，使得$G-X$是$\mathcal{F}$ -minor-free的。对于$\mathcal{F}=\{K_2\}$和$\mathcal{F}=\{K_3\}$，这分别编码顶点覆盖和反馈顶点集。当参数化的反馈顶点数$G$这两个问题是已知的承认多项式核化。对于任何包含平面图但不包含森林的$\mathcal{F}$，也存在这样的多项式核化。本文证明了以反馈顶点数为参数的$\mathcal{F}$ -Minor-Free Deletion对于$\mathcal{F} = \{P_3\}$是MK[2]-难的.这排除了假设$NP \subseteq coNP/poly$的多项式核的存在，并且也给出了该问题不允许多项式图灵核的证据。我们的硬度结果推广到任何$\mathcal{F}$不包含一个$P_3$ -subgraph-free图，作为参数的顶点删除距离树宽$mintw(\mathcal{F})$，其中$mintw(\mathcal{F})$表示的最小树宽的图在$\mathcal{F}$。对于另一种情况，其中$\mathcal{F}$包含一个$P_3$ -子…
2019-07-16 cs.CC cs.DS
Parameterized complexity of computing maximum minimal blocking and hitting sets
图$G$中的阻塞集是与$G$的每个最大独立集相交的顶点子集。令${\sf mmbs}(G)$是$G$的最大（包含方式）最小阻塞集的大小。这个参数最近在顶点覆盖的核化中起了重要作用，顶点覆盖由到图类${\cal F}$的距离参数化。事实上，事实证明，这个问题的多项式核的存在是密切相关的属性，${\sf mmbs}({\cal F})=\sup_{G \in {\cal F}}{\sf mmbs}(G)$是有界的常数，因此最近的几个结果集中在确定${\sf mmbs}({\cal F})$为不同的类${\cal F}$。我们考虑了在各种参数化下计算${\sf mmbs}$的参数化复杂性，例如输入图和自然参数的最大独立集的大小。我们提供了一个全景的复杂性计算${\sf mmbs}$和${\sf mmhs}$，这是一个超图的最大最小命中集的大小，一个密切相关的参数。最后，我们考虑的问题，计算${\sf mmbs}$参数化的树宽，特别是相关的核化的上下文中。鉴于${\sf mmbs}$的“计数”性质，它似乎不能用一元二阶逻辑来表达，因此它的易处理性并不遵循Courcelle定理。我们的主要技术贡献是这个问题的固定参数易处理的算法。
2021-02-05 cs.CC cs.DS
Sparse Induced Subgraphs of Large Treewidth
本文证明大树宽且无 $K_{t,t}$ 子图的图必含稀疏诱导子图（细分墙、其线图或细分双团的生成超图），保持树宽且边数近线性，推广了 Weissauer 的结果。
2024-05-22 cs.DM cs.DS math.CO
Linear kernels and single-exponential algorithms via protrusion decompositions
图$G$的\emph{$t$-treewidth-modulator}是一个集合$X \subseteq V(G)$，使得$G-X$的树宽至多是某个常数$t-1$。在本文中，我们提出了一种新的算法来计算一个分解方案的图$G$，配备了一个$t$树宽调制器。这种分解称为\emph{protrusion decomposition}，是获得以下两个主要结果的基础。我们首先证明了任何具有\emph{finite integer index}且是\emph{treewidth-bounding}的参数化图问题（带参数$k$）都在$H$-topological-minor-free图上有一个线性核，其中$H$是任意的但固定的图。一个参数化的图问题被称为树宽边界，如果所有的正实例都有一个$t$-树宽调制器的大小为$O(k)$，对于一些常数$t$。这一结果部分地扩展了以前关于有界亏格图上线性核的存在性的元定理[Bodlaender等人，FOCS 2009]和$H$-无次要图[Fomin等人，SODA 2010]。我们的第二个应用程序涉及平面$\mathcal{F}$删除问题。设$\mathcal{F}$是一个至少包含一个平面图的固定有限图族。给定一个$n$顶点图$G$和一个非负整数$k$，Planar-$\mathcal{F}$-Deletion询问$G$是否有一个集合$X\subseteq V(…
2012-07-31 cs.DM cs.DS math.CO
Finding Hamiltonian Cycle in Graphs of Bounded Treewidth: Experimental Evaluation
树宽的概念是由Robertson和Seymour在他们开创性的Graph Minors系列中引入的，结果对图算法产生了巨大的影响。图上的许多困难的计算问题在有界树宽的图中是有效可解的：可以用有界大小的分隔符进行扫描的图。这些有效的算法通常遵循动态规划范例。近年来，我们已经看到了一个快速和相当意想不到的发展，涉及的技术解决各种计算问题的图有界树宽。最令人惊讶的方向之一是开发仅具有单指数依赖性的连通性问题的算法（即，$2^{O(t)}$），而不是稍微超指数（即，$2^{O(t \log t)}$）源自更幼稚的方法。在这项工作中，我们进行了彻底的实验评估这些方法的背景下，最经典的连接性问题之一，即哈密顿循环。
2019-09-23 cs.DS
Kernelization Dichotomies for Hitting Subgraphs under Structural Parameterizations
本文研究了$H$-SUBGRAPH HITTING问题在结构参数化下的多项式核存在性，提出了新图参数并证明了当$H$双连通时该问题存在多项式核当且仅当$H$是团的严格二分法。
2024-04-25 cs.CC cs.DS math.CO
Large-Treewidth Graph Decompositions and Applications
树宽是一个图形参数，在一些结构和算法结果中起着重要作用。研究了将给定的图$G$分解为节点不相交的子图的问题，其中每个子图都有足够大的树宽。证明了两个关于期望子图个数$h$与期望子图树宽下界$r$之间的折衷定理。定理断言，给定一个树宽为$k$的图$G$，当$hr^2 \le k/\polylog(k)$或$h^3r \le k/\polylog(k)$成立时，以$h,r$为参数的分解是可行的.然后，我们展示了一个框架，使用这些定理绕过著名的网格小定理的罗伯逊和西摩在某些应用程序。特别是，这将导致大大改善参数在一些Erdos-Posa型的结果，一类固定参数易处理的问题和更快的算法。
2013-04-04 cs.DM cs.DS
Snakes and Ladders: a Treewidth Story
本研究证明无向图中所有长梯子缩减至长度4时树宽不变且界是紧的，该结果可简化图的树宽计算，还解决了算法系统发育学中公共链约简规则的树宽保持性问题。
2024-01-30 cs.DS math.CO q-bio.PE
Compound Logics for Modification Problems
我们引入了一个新的模型理论框架的启发图修改和模型理论和算法图未成年人之间的相互作用的基础上。我们的框架的核心是一个新的复合逻辑操作与两种类型的句子，表示图形修改：调制器的句子，定义一些属性的修改部分的图，和目标句子，定义一些属性的结果图。在我们的框架中，调节语句是在计数一元二阶逻辑（CMSOL），并有界树宽的模型，而目标语句表达一阶逻辑（FOL）的属性以及小排除。我们的逻辑捕获的问题是不可定义的一阶逻辑，而且，可能有无限树宽的情况下。此外，它允许广泛的问题，涉及顶点/边删除，替代调制器的措施（如消除距离或$\mathcal{G}$树宽），多级修改，和各种切割问题的建模。我们的主要结果是，对于这种复合逻辑，模型检测可以在二次时间内完成。所有衍生算法是建设性的，这作为一个副产品，扩展了罗伯逊和西摩的图未成年人定理的算法应用的可构造性范围。所提出的逻辑可以被看作是一个通用的框架，利用潜力的不相关顶点技术。它给出了一种方法来处理问题的情况下，无界树宽，其中Courcelle的定理不适用。我们的元定理的证明结合了新的组合有关的平壁定理的结果，以及Courcelle定理和Gaifman定理的证明元素。最后，我们证明了扩展的目标属性是在FOL+DP，即，使用不相交路径谓词增强FOL。
2022-11-04 cs.DS cs.LO math.CO
Linear Kernels on Graphs Excluding Topological Minors
证明了对于任意的固定图$H$，具有有限整数指数且满足树宽约束的问题在$H$ -拓扑子自由图类上可得到线性核.这建立在Fomin等人的早期结果之上。关于$H$ -minor-free图的线性核的研究，以及Bodlaender等人的研究。关于有界亏格的图我们的框架包括几个问题，突出的是弦顶点删除，反馈顶点集和边支配集。
2012-07-13 cs.CC cs.DM cs.DS
Hitting Minors: Stronger Lower Bounds
School of Computing, KAIST（KAIST计算机学院）；Institute for Basic Science（基础科学研究院）
本文针对$\boldsymbol{\textit{F}}$-无子式删除问题，在指数时间假设下强化了其以反馈顶点集数加树深度为参数的超指数下界，同时证明以顶点覆盖数为参数时可实现单指数时间算法，明确了该问题的复杂度边界。
2026-10-14 cs.CC cs.DS
Induced packing treewidth
IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）；Warsaw University of Technology（华沙理工大学）
研究引入诱导\(\mathcal{H}\) - 填充树宽框架，统一不同定义的图类，该参数推广了先前参数，证明有界此参数对特定\(\mathcal{H}\)选择有新算法结果，部分回答并扩展了关于最大权独立集可处理性问题。
2026-08-03 cs.DM cs.DS math.CO
Subexponential Parameterized Algorithms for Cut and Cycle Hitting Problems on H-Minor-Free Graphs
我们设计了第一个次指数时间（参数化）算法的几个切割和循环击中问题的$H$ -小自由图。特别是，我们得到了以下结果（其中$k$是解决方案的大小参数）。1.边二分化和奇循环变换的$2^{O(\sqrt{k}\log k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法; 2.用于边缘多路切割的$2^{O(\sqrt{k}\log^4 k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法和用于顶点多路切割的$2^{O(r \sqrt{k} \log k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法，其中$r$是要分离的端子的数量; 3.用于边缘多切的$2^{O((r+\sqrt{k})\log^4 (rk))} \cdot n^{O(1)}$时间算法和用于顶点多切的$2^{O((\sqrt{rk}+r) \log (rk))} \cdot n^{O(1)}$时间算法，其中$r$是要分离的端子对的数量; 4.用于组反馈边集的$2^{O(\sqrt{k} \log g \log^4 k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法和用于组反馈顶点集的$2^{O(g \sqrt{k}\log(gk))} \cdot n^{O(1)}$时间算法，其中$g$是组的大小。5.此外，我们的方法也给出了$n^{O(\sqrt{k})}$时间算法的所有上述问题，除了$n^{O(r+\sqrt{k})}$时间的边缘/顶点多…
2022-07-04 cs.DM cs.DS
Minors in graphs of large $θ_r$-girth
对于每一个$r \in \mathbb{N}$，令$θ_r$表示具有两个顶点和$r$平行边的图。图$G$的$θ_r$ -围长是$G$的一个子图能收缩为$θ_r$的最小边数。这个概念推广了通常的周长概念，它对应于$r=2$的情况。在[Minors in graphs of large girth，Random Structures & Algorithms，22（2）：213--225，2003]中，Kühn和Osthus证明了最小度足够大的图中含有阶是其围长的指数函数的c-minor.我们将这一结果推广到$θ_{r}$ -围长的情形，并证明了最小度可以用一些连通性度量来代替。作为我们结果的应用，我们证明了对于每个固定的$r$，排除$k$ $θ_{r}$的不交并作为子图的图具有树宽$O(k\cdot \log k)$ .
2017-01-17 cs.DS math.CO
An Efficient Partitioning Oracle for Bounded-Treewidth Graphs
划分预言机是由Hassidim等人（FOCS 2009）引入的，作为常数时间算法的通用工具。对于任何n> 0，分区预言机提供对输入有界度无子图的固定分区的查询访问，其中每个组件具有大小poly（1/n），并且移除的边的数量至多为n *n，其中n是图中的顶点数量。然而，Hassidimet等人的预言机对输入图进行了指数数量的查询，以回答关于分区的每个查询。在本文中，我们构造了一个有效的划分预言图具有常数树宽。Oracle只对输入图进行O（poly（1/n））查询，以回答关于分区的每个查询。有界树宽图类的例子包括固定k的k-外平面图、串并行图、仙人掌图和伪森林。我们的甲骨文产生聚（1/1）-时间属性测试算法的成员在这些类的图。预言机的另一个应用是一个poly（1/n）-time算法，该算法近似具有有界树宽的图中的最大匹配大小、最小顶点覆盖大小和最小支配集大小，直到加性n *n。最后，预言机可以用来在poly（1/n）时间内测试输入的有界树宽图是否是k-可着色的或完美的。
2011-06-22 cs.DS
Treewidth distance on phylogenetic trees
在这篇文章中，我们研究了\emph{display graph}的树宽，\emph{display graph}是一种辅助图结构，它是从系统发育融合中获得的（即，进化）树在他们的叶子。早期的工作表明，树的显示图的树宽是有界的，如果树在某种形式意义上拓扑相似。在这里，我们进一步扩展这种关系。我们分析了一些减少的规则，这是常用的遗传学文献中获得固定参数易处理的算法。在某些情况下（\emph{subtree}约简），约简规则在树宽方面的行为类似，而其他情况下（\emph{cluster}约简）的行为则非常不同，而\emph{chain reduction}的行为特别有趣，因为它与图分隔符和禁止子式有关。我们还表明，树宽和树二分和重构（TBR）的距离之间的差距可以是无限大的，并且不像，例如，平面图的显示图的树宽可以尽可能多的线性的顶点数。在一个稍微不同的注意，我们表明，如果一个显示图是由一个系统发育网络和一棵树的融合，而不是从两棵树，显示图的树宽是有界的，只要树可以拓扑嵌入（“显示”）在网络内。这为一元二阶逻辑（MSOL）中的显示问题的公式化打开了大门。一些其他的辅助结果。最后，我们进行了讨论，并列出了一些悬而未决的问题。
2017-03-31 cs.DM cs.DS q-bio.PE
Dynamic programming on bipartite tree decompositions
University of Bergen（卑尔根大学）；University of Montpellier（蒙彼利埃大学）
该研究提出双分树宽参数，并展示其在解决小btw图上的动态规划方法，包括K_t子图覆盖等问题的FPT算法，以及非双分图的XP时间解法。
2025-11-28 cs.DS
Highly unbreakable graph with a fixed excluded minor are almost rigid
一个图$G$中的集合$X \subseteq V(G)$是$(q,k)$ -不可破的，如果$G$中的每个阶至多为$k$的分离$(A,B)$满足$|A \cap X| \leq q$或$|B \cap X| \leq q$ .本文证明了如下结果：如果一个图$G$不包含一个固定的完全图$K_h$作为子图，并且满足一定的不可破性保证，那么$G$在以下意义下是几乎刚性的：$G$的顶点可以同构不变的方式划分为一个导致有界树宽图的部分和一个允许同构不变标号族的部分.这一结果是关键成分的固定参数算法的图同构参数化的Hadwiger数的图，这是在一个配套文件。
2022-10-26 cs.DM cs.DS math.CO
Finding irrelevant vertices in linear time on bounded-genus graphs
University of Bergen（卑尔根大学）；National and Kapodistrian University of Athens（雅典国立卡波迪斯特里阿斯大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（IRIF实验室）；Institute of Informatics, University of Warsaw（华沙大学信息学研究所）；LIRMM, Univ Montpellier（蒙彼利埃大学LIRMM实验室）；Department of Informatics and Telecommunications, National and Kapodistrian University of Athens（雅典国立卡波迪斯特里阿斯大学信息与电信系）
本文提出了一种通用框架，可在有限亏格图上以线性时间找到一组无关顶点，使其移除后得到有限树宽图。方法通过将表面嵌入图分解为树结构的有限树宽子图，实现全局无关顶点的局部独立检测。
2026-04-30 cs.DS math.CO
Clan Embeddings into Trees, and Low Treewidth Graphs
在低失真度量嵌入中，目标是将主机“硬”度量空间嵌入到“简单”目标空间中，同时近似保持成对距离。一个非常理想的目标空间是树度量的目标空间。不幸的是，这样的嵌入将导致巨大的失真。一个著名的旁路这个问题是随机嵌入对数预期失真。另一种绕过方法是Ramsey类型的嵌入，其中失真保证仅适用于点的子集。然而，这两种解决方案都未能提供嵌入到单个树中，并在所有对上保证最坏情况下的失真。在本文中，我们提出了一种新的第三旁路称为\emph{clan embedding}。这里，每个点$x$被映射到点$f(x)$的子集，称为\emph{clan}，具有特殊的\emph{chief}点$χ(x)\in f(x)$。如果对于每一对$(x,y)$，$y$族中的某个拷贝$y'\in f(y)$接近$x$族的主族：$\min_{y'\in f(y)}d(y',χ(x))\le t\cdot d(x,y)$，则族嵌入具有乘性失真$t$。我们的第一个结果是一个家族嵌入到一棵树与乘法失真$O(\frac{\log n}ε)$，使每个点有$1+ε$副本（在预期）。此外，我们提供了一个“跨越”的版本，这个定理的图形，并使用它来设计第一个紧凑的路由方案与恒定大小的路由表。然后，我们专注于小的自由图的直径prameterized $D$，这是已知的随机嵌入到有界树宽图与预期的附加失真$εD$。我们设计了随机嵌入的Ramsey型嵌…
2021-04-15 cs.CG cs.DS
Preserving Terminal Distances using Minors
我们引入了以下压缩具有边长和终端顶点$R\subseteq V(G)$的无向图G的概念。距离保持子式是具有可能不同的边长的（G的）子式G'，使得$R\subseteq V(G')$和每对终端之间的最短路径距离在G和G'中完全相同。使得每个具有k= |R|终端的图G允许至多有f*（k）个顶点的保距离子图G'的最小f *（k）是多少？简单分析表明，$f*(k)\leq O(k^4)$ .我们的主要结果证明，$f*(k)\geq Ω(k^2)$，显着改善了平凡的$f*(k)\geq k$。我们的下界甚至对平面图G也成立，与常树宽的图G相反，我们证明了O（k）个顶点就足够了。
2012-08-20 cs.DS math.MG
Polynomial-Time Approximation Schemes for Independent Packing Problems on Fractionally Tree-Independence-Number-Fragile Graphs
本文提出分数树独立数脆弱图类上独立打包问题的多项式时间近似方案，统一并扩展了多个已知结果，并研究了分层树独立数这一概念。
2023-03-13 cs.CG cs.DS math.CO
Subexponential Parameterized Algorithms for Hitting Subgraphs
本文提出通用框架，在具有次线性平衡分隔器的图类上将 $\mathcal{F}$-Hitting 归约为低树宽 hitting-set 实例，获得 $2^{O(k^c)}n+O(m)$ 次指数参数算法并支持加权情形。
2025-02-18 cs.DS
