Coresets for Clustering in Excluded-minor Graphs and Beyond
核心集是现代数据简化工具，广泛用于数据分析，以提高运行时间，空间和通信复杂性方面的效率。我们的主要结果是一个快速算法来构建一个小coreset的k-中位数（最短路径度量）的排除子图。具体来说，我们给出了第一个coreset的大小，只依赖于$k$，$ε$和排除的次要大小，我们的运行时间是准线性的（在输入图的大小）。我们的新算法的主要创新之处在于它是迭代的;它首先将$n$输入点简化为大致$O(\log n)$重新加权的点，然后简化为$O(\log\log n)$，依此类推，直到大小与$n$无关。这种迭代大小缩减中的每一步都基于Feldman和Langberg（STOC 2011）的重要性采样框架，通过采用终端嵌入（其中仅对从每个终端到所有其他点的距离保证低失真）来减少\emph{distinct points}的数量。我们的终端嵌入技术上涉及，并依赖于最短路径分隔符，一个标准的工具，在平面和排除未成年人的图形。此外，我们的新算法也适用于欧几里得度量，只需使用Narayanan和Nelson最近的终端嵌入结果（STOC 2019），它扩展了Johnson-Lindenstrauss引理。因此，我们在高维欧几里得空间中获得了一个有效的coreset构造，从而匹配和简化了最先进的结果（Sohler和Woodruff，FOCS 2018; Huang和Vishnoi，STOC 2020）。此外…
2020-07-15 cs.DS
Kernels for (connected) Dominating Set on graphs with Excluded Topological subgraphs
给出了H-拓扑子自由图的（连通）支配集问题的第一线性核。本文证明了对给定的H-拓扑无子图G和一个正整数k，存在一个多项式时间算法，即在O（k）个顶点上输出一个H-拓扑无子图G'，使得G有一个大小为k的（连通）支配集当且仅当G'有一个.我们的结果推广了已知的图类上的支配集和连通支配集问题允许线性核。在此之前，我们的工作，它是已知的，这些问题承认线性核的图形不包括一个固定的顶点图H作为一个未成年人。此外，对于支配集，一个核的大小kc（H），其中c（H）是一个常数取决于H的大小，从一个更一般的结果，支配集的有界退化图的核化。Alon和Gutner明确地提出了一个问题，即在无H-子图上是否可以得到支配集的线性核。我们对这个问题的回答是肯定的，事实上证明了一个更一般的结果。对于连通支配集，在我们的工作之前，甚至在无H-子图上也没有多项式核。在否定的一面，已知2-退化图上的连通支配集不允许多项式核，除非coNP $\subseteq$ NP/poly.我们的核化算法基于以下成分的非平凡组合：Grohe和Marx的结构定理[STOC 2012]，用于排除固定图H作为拓扑子图的图;与[FOCS 2009]中定义的概念不同的突出的新概念;我们的结果是基于一个通用的减少规则，产生一个等效的实例（在输入图是H-未成年人自由）的问题，树宽$O(\sqrt{k})$。以分而治之的方式应用这一规则，再加上新的…
2017-10-25 cs.DM cs.DS
Linear-Space Approximate Distance Oracles for Planar, Bounded-Genus, and Minor-Free Graphs
图的（1 + eps）-近似距离预言机是支持近似点到点最短路径距离查询的数据结构。距离预言机构造的最相关的度量是：空间、查询时间和预处理时间。平面图（Thorup，JACM'04）和随后的小排除图（Abraham和Gavoille，PODC'06）都有强距离预言结构。然而，对于n节点图，这些需要Omega（eps^{-1} n lg n）空间。我们认为，一个非常低的空间要求是必不可少的。由于现代计算机体系结构涉及分级存储器（高速缓存、主存储器、辅助存储器），因此高存储器需求实际上可能大大增加实际运行时间。此外，我们希望数据结构可以部署在小型移动设备上，例如手持设备，其具有相对较小的主存储器。在本文中，对于平面图，有界亏格图，和小排除图，我们给出的距离预言的结构，只需要O（n）空间。大O只隐藏一个固定常数，与ε无关，也与亏格或被排除子式的大小无关。我们的距离预言机的预处理时间也比以前已知的构造更快。对于平面图，预处理时间为O（nlg^2n）。然而，我们的构造具有较慢的查询时间。对于平面图，查询时间为O（eps^{-2} lg^2 n）。对于我们的线性空间结果，我们实际上可以确保，对于任何delta > 0，所需的空间仅为表示图本身所需空间的1 + delta倍。
2011-04-27 cs.DM cs.DS
Improved bounds for the excluded-minor approximation of treedepth
树深是一个比树宽和路宽更严格的图宽参数，在稀疏图类理论中起着重要作用。我们证明了存在一个常数$C$使得对于每个正整数$a,b$和一个图$G$，如果$G$的树深至少为$Cab$，则$G$的树宽至少为$a$或$G$包含一个次立方（即，树深度至少为$b$的树作为子图。作为一个直接推论，我们得到每个树深为$Ω(k^3)$的图要么树宽至少为$k$，要么包含一个深度为$k$的满二叉树的剖分，要么包含一条长度为$2^k$的路.这提高了Kawarabayashi和Rossman的$Ω(k^5 \log^2 k)$的界限[SODA 2018]。我们还展示了我们的技术的树深度的近似算法的应用：给定一个图$G$的树深度$k$和树宽度$t$，可以在多项式时间计算的树深度分解$G$的宽度$\mathcal{O}(kt \log^{3/2} t)$。这改进了源于已知结果之间的折衷的$\mathcal{O}(kt^2 \log t)$的界限。在我们的结果中的主要技术成分是一个证明，树深度$d$的每棵树包含一个子立方体树的树深度至少$d \cdot \log_3 ((1+\sqrt{5})/2)$。
2019-09-18 cs.DM cs.DS math.CO
A $2^{O(k)}n$ algorithm for $k$-cycle in minor-closed graph families
设${\mathcal C}$是一个真次闭图族。给出了一个随机算法，给定一个具有$n$顶点的图$G \in {\mathcal C}$，在$2^{O(k)}n$时间内在$G$（如果存在）中找到一个大小为$k$的简单圈.该算法适用于有向图和无向图。在以前的线性时间算法中，运行时间对$k$的依赖性是超指数的。该算法可以被去随机化，从而产生$2^{O(k)}n\log n$时间算法。
2020-08-07 cs.DS
Almost Optimal Constant-Round Approximation of Dominating Set in Graph Classes with Excluded Minors
University of Bremen（不来梅大学）
针对排除小图类，提出确定性常数轮 LOCAL 算法，实现支配集近似比接近最优，并解决平面图下确界为 7 的开放问题。
2026-10-09 cs.DC cs.DM cs.DS
Structure Theorem and Isomorphism Test for Graphs with Excluded Topological Subgraphs
本文将Robertson和Seymour关于不包含固定图$H$作为子图的图的结构定理推广到不包含$H$作为拓扑子图的图.我们证明了，对于一个固定的$H$，每个图排除$H$作为一个拓扑子图有树分解，其中每个部分是“几乎嵌入”到一个固定的表面或有界的程度，除了一个有限的顶点数。此外，我们证明了这样的分解是可计算的算法，是固定参数易处理的参数$|H|$。我们提出了我们的结构定理的两个算法应用。为了说明一个“典型”的应用结构定理的力学，我们表明，在图不包括$H$作为一个拓扑子图，部分支配集（找到$k$顶点的封闭邻域具有最大的大小）可以解决时间$f(H,k)\cdot n^{O(1)}$时间。更重要的是，我们表明，在图不包括$H$作为拓扑子图，图同构可以解决的时间$n^{f(H)}$。这一结果统一和推广了两个已知的重要的多项式时间可解的图同构的情况：有界度图和$H$ -小自由图。这个结果的证明需要我们的结构定理的一个推广到不变的树状分解的上下文中。
2014-11-13 cs.DM cs.DS math.CO
Polynomial Bounds for the Grid-Minor Theorem
Robertson和Seymour关于图子式的开创性工作中的一个关键结果是网格子式定理（也称为排除网格定理）。该定理指出，对于每个网格$H$，每个树宽相对于$|V(H)|$足够大的图包含$H$作为子图。这个定理在图论和算法中有许多应用。令$f(k)$表示最大值，使得每个树宽$k$的图包含大小为$(f(k)\times f(k))$的网格子。由于Kawarabayashi和Kobayashi以及Leaf和Seymour最近的工作，以前的最佳定量界限表明$f(k)=Ω(\sqrt{\log k/\log \log k})$。相反，最著名的上限意味着$f(k) = O(\sqrt{k/\log k})$。本文通过证明$f(k)=Ω(k^δ)$对某个固定常数$δ> 0$，得到了树宽与网格子模型大小之间的第一多项式关系，并描述了一个随机算法，其运行时间在$|V(G)|$和$k$中是多项式，该算法以高概率在$G$中找到这样一个网格子模型.
2016-08-09 cs.DM cs.DS
Bidimensionality, Map Graphs, and Grid Minors
在本文中，我们扩展的二维性理论的两个家庭的图，不排除固定的未成年人：地图图和功率图。在这两种情况下，我们证明了一个多项式之间的关系，在家庭中的图的树宽和最大的网格子的大小。这些界限提高了一个广泛的固定参数算法的运行时间。我们的新技术，使用近似的最大-最小关系的树宽和大小的网格未成年人是强大的，我们展示了它如何也可以使用，例如，证明了有界亏格图的树宽与其对偶图的树宽之间的线性关系。
2005-02-16 cs.DM cs.DS
Node-Weighted Network Design in Planar and Minor-Closed Families of Graphs
我们考虑节点加权生存网络设计（SNDP）在平面图和少数封闭的家庭图。输入由节点加权无向图$G=(V,E)$和每个无序节点对$uv$的整数连通性要求$r(uv)$组成。目标是找到$G$的最小加权子图$H$，使得对于每个节点对$uv$，$H$包含$u$和$v$之间的$r(uv)$不相交路径。根据路径要求分别为边不相交、元素不相交和顶点不相交，将问题分为边连通SNDP（EC-SNDP）、元素连通SNDP（Elem-SNDP）和顶点连通SNDP（VC-SNDP）三个版本。我们的主要结果是一个$O(k)$ -近似算法EC-SNDP和元素SNDP的输入图是平面的或更一般地说，如果它属于一个适当的小封闭的图形族，这里$k=\max_{uv} r(uv)$是最大的连通性要求。这改进了一般图中节点加权EC-SNDP和Elem-SNDP的$O(k \log n)$近似[Nutov，TALG'12]。我们还获得了一个$O(1)$近似节点加权VC-SNDP的连接要求时，在$\{0,1,2\}$ ;对于更高的连接，我们的结果为元素SNDP可以使用在一个黑盒的方式，以获得一个对数因子的改善，目前已知的一般图形的结果。我们的结果受到了[Demaine，Hajiaghayi和Klein，TALG'14]的启发，并推广了他们的工作，他们通过原始对偶算法获得了平面图和适当的小闭图族中节点加权Steiner树和Stei…
2019-10-16 cs.DS
Random walks and forbidden minors III: poly(d/ε)-time partition oracles for minor-free graph classes
考虑任何次闭图族（如平面图）中的有界度图族。设d是度界，n是这样一个图的顶点数。这些类中的图具有超有限分解，其中，对于足够小的\e > 0，移除\edn边以得到大小独立于n的连通分量。次线性算法和此类类的属性测试的一个重要工具是划分预言机，由Hassidim-Kelner-Nguyen-Onak（FOCS 2009）的开创性工作引入。分区预言机是一个局部过程，它提供了对超有限分解的一致访问，而无需任何预处理。给定一个查询顶点v，分区oracle输出包含v的分量，其时间与n无关。所有的答案都符合一个超有限分解。Hassidim等人的分区oracle在每个查询的时间上运行d^poly（d/ \e）。他们提出了一个公开的问题，即poly（d/ \e）-时间分割预言机是否存在。Levi-Ron（ICALP 2013）给出了先前方法的改进，以获得在时间d^{ \log（d/ \e）-per query中运行的分区oracle。本文解决了这一问题，并给出了任意次闭族中有界度图的\poly（d/ \e）-时间划分预言.与以前的工作线的基础上组合的方法，我们采用的技术，从谱图理论。我们建立在最近的谱图理论工具包的小封闭图的家庭，作者介绍了开发高效的属性测试。我们的结果的一个后果是一个多（d/ \e）查询测试的任何单调性和添加剂性质的小封闭的家庭（如二分平面图）。我们的结果也给出了聚（d/ \e）-…
2021-05-02 cs.DS
Cops, Robbers, and Threatening Skeletons: Padded Decomposition for Minor-Free Graphs
我们证明，任何图不包括$K_r$作为一个未成年人可以被划分成集群的直径在最$Δ$，而删除最多$O(r/Δ)$分数的边缘。这改善了Fakcharoenphol和Talwar的结果，他们在Klein，Plotkin和Rao的工作基础上给出了一个分区，需要删除边缘的$O(r^2/Δ)$部分。我们的结果是通过一种新的方法来获得的拓扑性质（不包括一个小的），它的几何性质（诱导最短路度量）的图。具体而言，我们表明，在他的调查中使用的技术Andrant的警察和强盗的游戏排除未成年人的图可以用来构建填充分解的度量引起这样的图。特别地，对于无$K_r$的图，我们得到了带有填充参数$O(r)$的概率划分和带有填充参数$O(r^2)$的强直径划分;对于树宽为$k$的图，我们得到了填充$O(k)$;对于亏格为$g$的图，我们得到了填充$O(\log g)$.
2021-01-10 cs.DS
A Local Algorithm for Constructing Spanners in Minor-Free Graphs
构造图的生成树是图论中最基本的任务之一。我们认为这个问题的设置中的本地算法：一个想要快速确定是否一个给定的边缘$e$是在一个特定的生成树，而不计算整个生成树，而是通过检查本地邻域的$e$。挑战在于保持一致性。也就是说，根据相同的生成树回答关于不同边的查询。由于它是已知的，这个问题不能解决，而基本上没有查看所有的图，我们认为宽松的版本找到一个生成子图与$(1+ε)n$边缘（其中$n$是顶点的数量和$ε$是一个给定的稀疏参数）。众所周知，这个放松的问题需要检查一般图中的$Ω(\sqrt{n})$边，这激发了对自然受限图族的研究。一个这样的家庭是家庭的图与排除的少数人。对于这个族，有一种算法可以实现恒定的成功概率，并检查$(d/ε)^{poly(h)\log(1/ε)}$边（对于每个边，它被查询），其中$d$是图中的最大度，$h$是排除的子图的大小。生成子图$G'$中的顶点对之间的距离最多是$G$中的$poly(d, 1/ε, h)$的一个因子。在这项工作中，我们表明，对于一个输入图是$H$ -未成年人自由的任何$H$的大小$h$，这项任务可以通过检查只有$poly(d, 1/ε, h)$边缘。生成子图$G'$中的顶点对之间的距离至多是$G$中的$\tilde{O}(h\log(d)/ε)$的一个因子。此外，新算法的错误概率显着提高到$Θ(1/n)$。该算法也可以很容易地适应，以产生一个…
2016-04-24 cs.DS
Low-Congestion Shortcuts for Graphs Excluding Dense Minors
本文证明了任何直径为$D$的$n$ -节点图$G$都允许具有拥塞$O(δD \log n)$和膨胀$O(δD)$的捷径，其中$δ$是$G$的任何子图的最大边密度.我们的证明是简单的，基本的，建设性的-具有$\tildeΘ(δD)$轮分布式构造算法。我们的结果与$\tilde{O}(1)$因子紧密相关，推广、简化、统一和加强了已有的结果.例如，对于不包括固定子图的图，即，对于具有常数$δ$的图，基于依赖于Robertson-Seymour图结构定理的非常技术性的证明，仅知道$\tilde{O}(D^2)$界。我们的研究结果的一个直接后果是，许多图形的家庭，包括任何未成年人排除的，有接近最佳的$\tildeΘ(D)$轮分布式算法的许多基本的通信原语和优化问题，包括最小生成树，最小切割，最短路径近似。
2020-08-07 cs.DC cs.DS math.CO
All Maximal Independent Sets and Dynamic Dominance for Sparse Graphs
我们描述的算法，阿维斯和福田的逆向搜萦范式的基础上，列出所有的最大独立集在一个稀疏的图形在多项式时间和延迟每输出。对于有界度图，我们的算法需要恒定的时间，每个集生成;对于小闭图族，时间是O（n）每个集，对于更一般的稀疏图族，我们实现了次二次时间每个集。我们还描述了新的数据结构，用于维护一个动态的顶点集S在一个稀疏或小封闭的图形家庭，并查询不占主导地位的顶点的数量S;对于小封闭的图形家庭的每次更新的时间是恒定的，而它是次线性的任何稀疏图形家庭。我们也可以保持一个动态的顶点集在一个任意的m-边图和测试的独立性的时间O（sqrt m）每次更新。我们使用支配数据结构作为我们的枚举算法的一部分。
2004-07-15 cs.DS
Excluding a Forest Induced Minor
本文提出了诱导极小定理的诱导版本，研究了K_{t,t}-子图自由的H-诱导极小无向图的路径宽度有界条件，揭示了H属于特定森林类的特征。
2025-12-01 cs.DM cs.DS math.CO
NC Algorithms for Computing a Perfect Matching and a Maximum Flow in One-Crossing-Minor-Free Graphs
1988年，Vazirani在Kasteleyn的平面图方案的基础上给出了一个计算$K_{3,3}$ -minor-free图中完美匹配数的NC算法，并指出这“打开了获得一个在$K_{3,3}$ -free图中找到完美匹配的NC算法的可能性。“在本文中，我们终于解决了这个30年的开放问题。最近的NC算法的平面和有界属的完美匹配的Anari和Vazirani和后来的Sankowski的基础上，我们得到NC算法完美匹配的任何小封闭图族，禁止一个交叉图。这个族包括几个研究得很好的图族，包括$K_{3,3}$ -minor-free graphs和$K_5$ -minor-free graphs。这类图不仅具有无界亏格，而且亏格可以高达$O(n)$。我们的方法也适用于与完美匹配相关的其他几个问题。特别是，我们获得NC算法的以下问题，在任何家庭的图（或网络）与一个交叉禁止未成年人：$\bullet$确定是否一个给定的图有一个完美的匹配，如果是这样，找到一个。$\bullet$在图中寻找最小权完美匹配，假设边权是多项式有界的。$\bullet$寻找网络中具有任意容量的最大$st$流。主要的新思想，使我们的结果是匹配模仿网络的定义和使用，小的替代网络的行为相同，相对于匹配问题，涉及一组固定的终端，作为更大的网络，他们取代。
2020-05-05 cs.DS
Stack and Queue Layouts via Layered Separators
已知图的每一个真次闭类都有有界栈数（又称栈数）。书的厚度和页码）。虽然这包括著名的图族，如平面图和有界亏格的图，但许多其他图族在取子式下并不封闭。对于固定的$g$和$k$，我们表明，每一个$n$顶点图，可以嵌入在表面上的属$g$与最多$k$交叉每边有堆叠数$\mathcal{O}(\log n)$，这包括$k$ -平面图。除了$1$ -平面图的情况外，这些族的栈数的以前最著名的界是$\mathcal{O}(\sqrt{n})$。对于可嵌入到固定亏格曲面上的映射图，证明了类似的结果。这些家庭没有一个因收养未成年人而被关闭。在证明这些结果的主要成分是一个构造证明$n$ -顶点图，允许常数分层分离符有$\mathcal{O}(\log n)$栈数。
2016-08-23 cs.CG cs.DS math.CO
Near-Optimal Algorithms for Maximal Clique Enumeration in Structurally Sparse Graphs
Center for Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, Fuzhou University（离散数学与理论计算机科学研究中心，福州大学）
针对排除团子式和排除团浸入的图，提出两种最大团枚举算法，分别将时间复杂度优化为n·4^(2t/5+o(t))和n·3^(t/3+o(t))，并证明其指数基为渐近最优。
2026-08-05 cs.DS math.CO
Local search yields approximation schemes for k-means and k-median in Euclidean and minor-free metrics
本文对以下问题给出了第一多项式时间近似方案（PTAS）：（1）边权平面图中的一致设施定位问题;（2）边权平面图中的$k$ -中值和$k$ -均值问题;（3）有界维数欧氏空间中的$k$ -均值问题.我们的第一个和第二个结果扩展到小闭图族。我们所有的结果扩展到成本函数是最短路径距离的$p$次幂。该算法是局部搜索，其中解$S$的局部邻域由通过去除和添加$1/ε^{O(1)}$中心从$S$获得的所有解组成。
2016-04-07 cs.CG cs.DS
A PTAS for subset TSP in minor-free graphs
本文给出了$H$ -无子图中子集旅行商问题的第一个PTAS。这解决了一个长期存在的开放问题，在一个长期的工作线上设计PTASes TSP在小封闭的家庭发起的Grigni，Koutsoupias和Papadimitriou在FOCS'95。在我们的PTAS的主要技术成分是一个几乎轻的子集$(1+ε)$ -图的任何给定的边加权$H$ -minor-free图的建设。这种构造是基于\emph{sparse spanner oracles}给出的一个充分必要条件：稀疏子集存在当且仅当稀疏子集存在.这个关系使我们得到两个新的结果：对于任何常维数的加倍度量$d$，一个具有亮度$O(ε^{-d+2})$的$(1+ε)$ -矩阵.这改进了由Borradaile、Le和Wulff-Nilsen获得的较早的亮度约束$ε^{-O(d)}$。_一个$(1+ε)$ -对于任何恒定关联维数的度量具有次线性亮度的矩阵。在此之前，没有已知的具有非平凡亮度的发光体。
2019-10-30 cs.DS
