Lower Bounds for Embedding into Distributions over Excluded Minor Graph Families
最近Fakcharoenphol等人证明了任意有限度量可以嵌入到失真为O（log n）的树度量上的分布中。它也是已知的，这个界是紧的，因为有扩展图，不能嵌入到分布在树比欧米茄（log n）失真。我们表明，这同样的下限持有嵌入到分布在任何未成年人排除家庭。给定一个图族F，F不包含子图M，其中|M| =k，我们明确地构造了一个树宽为-（k+1）的图族，它不能嵌入到F上的一个失真优于Omega（log n）的分布中.因此，虽然这些未成年人排除家庭的图比树更有表现力，他们不提供渐近更好的近似一般。一个重要的推论是，树宽k的图不能嵌入到树宽k-3的图上的分布中，失真小于Omega（log n）。我们还扩展了阿隆等人的结果表明，对于任何k，平面图不能嵌入到分布在树宽-k图比欧米茄（log n）失真。
2008-07-29 cs.DM cs.DS
Minor Excluded Network Families Admit Fast Distributed Algorithms
最小生成树、最小割、最短路径等分布式网络优化算法是分布式计算中的一个研究热点。本文提出了一种快速分布式算法，这样的问题，在CONGEST模型，网络上，排除一个固定的未成年人。在一般图上，许多优化问题，包括上面提到的问题，需要在CONGEST模型中进行$\tildeΩ(\sqrt n)$轮通信，即使网络图的直径小得多。自然地，算法设计的下一步是设计有效的算法，绕过这一限制类图的下限。目前，唯一已知的方法是使用Ghaffari和Haeupler的低拥塞捷径框架[SODA'16]。在他们工作的基础上，本文证明了排除子图允许高质量的捷径，从而为上述问题提供了一个$\tilde O(D^2)$轮算法，其中$D$是网络图的直径。为了处理排除的子图族，我们利用Robertson和Seymour的图结构定理。据我们所知，这是第一次图结构定理已被用于分布式设置中的算法结果。即使涉及到证明，仅仅证明存在好的捷径就足以获得简单，有效的分布式算法。特别是，捷径框架可以有效地构造近似最优捷径，然后使用它们来解决优化问题。这一点，结合非常普遍的家庭排除未成年人的图，其中包括大多数其他重要的图形类，使这一结果的重大利益。
2018-01-18 cs.DC cs.DS
Exploration of graphs with excluded minors
本文研究无子式图上的在线图探索问题，通过建立 Blocking 算法性能与轻量稀疏子图之间的联系，证明了常数竞争比，并改进有界亏格图的轻量性上界。
2023-08-13 cs.DM cs.DS
Highly unbreakable graph with a fixed excluded minor are almost rigid
一个图$G$中的集合$X \subseteq V(G)$是$(q,k)$ -不可破的，如果$G$中的每个阶至多为$k$的分离$(A,B)$满足$|A \cap X| \leq q$或$|B \cap X| \leq q$ .本文证明了如下结果：如果一个图$G$不包含一个固定的完全图$K_h$作为子图，并且满足一定的不可破性保证，那么$G$在以下意义下是几乎刚性的：$G$的顶点可以同构不变的方式划分为一个导致有界树宽图的部分和一个允许同构不变标号族的部分.这一结果是关键成分的固定参数算法的图同构参数化的Hadwiger数的图，这是在一个配套文件。
2022-10-26 cs.DM cs.DS math.CO
Kernels for (connected) Dominating Set on graphs with Excluded Topological subgraphs
给出了H-拓扑子自由图的（连通）支配集问题的第一线性核。本文证明了对给定的H-拓扑无子图G和一个正整数k，存在一个多项式时间算法，即在O（k）个顶点上输出一个H-拓扑无子图G'，使得G有一个大小为k的（连通）支配集当且仅当G'有一个.我们的结果推广了已知的图类上的支配集和连通支配集问题允许线性核。在此之前，我们的工作，它是已知的，这些问题承认线性核的图形不包括一个固定的顶点图H作为一个未成年人。此外，对于支配集，一个核的大小kc（H），其中c（H）是一个常数取决于H的大小，从一个更一般的结果，支配集的有界退化图的核化。Alon和Gutner明确地提出了一个问题，即在无H-子图上是否可以得到支配集的线性核。我们对这个问题的回答是肯定的，事实上证明了一个更一般的结果。对于连通支配集，在我们的工作之前，甚至在无H-子图上也没有多项式核。在否定的一面，已知2-退化图上的连通支配集不允许多项式核，除非coNP $\subseteq$ NP/poly.我们的核化算法基于以下成分的非平凡组合：Grohe和Marx的结构定理[STOC 2012]，用于排除固定图H作为拓扑子图的图;与[FOCS 2009]中定义的概念不同的突出的新概念;我们的结果是基于一个通用的减少规则，产生一个等效的实例（在输入图是H-未成年人自由）的问题，树宽$O(\sqrt{k})$。以分而治之的方式应用这一规则，再加上新的…
2017-10-25 cs.DM cs.DS
Linear-Space Approximate Distance Oracles for Planar, Bounded-Genus, and Minor-Free Graphs
图的（1 + eps）-近似距离预言机是支持近似点到点最短路径距离查询的数据结构。距离预言机构造的最相关的度量是：空间、查询时间和预处理时间。平面图（Thorup，JACM'04）和随后的小排除图（Abraham和Gavoille，PODC'06）都有强距离预言结构。然而，对于n节点图，这些需要Omega（eps^{-1} n lg n）空间。我们认为，一个非常低的空间要求是必不可少的。由于现代计算机体系结构涉及分级存储器（高速缓存、主存储器、辅助存储器），因此高存储器需求实际上可能大大增加实际运行时间。此外，我们希望数据结构可以部署在小型移动设备上，例如手持设备，其具有相对较小的主存储器。在本文中，对于平面图，有界亏格图，和小排除图，我们给出的距离预言的结构，只需要O（n）空间。大O只隐藏一个固定常数，与ε无关，也与亏格或被排除子式的大小无关。我们的距离预言机的预处理时间也比以前已知的构造更快。对于平面图，预处理时间为O（nlg^2n）。然而，我们的构造具有较慢的查询时间。对于平面图，查询时间为O（eps^{-2} lg^2 n）。对于我们的线性空间结果，我们实际上可以确保，对于任何delta > 0，所需的空间仅为表示图本身所需空间的1 + delta倍。
2011-04-27 cs.DM cs.DS
Improved bounds for the excluded-minor approximation of treedepth
树深是一个比树宽和路宽更严格的图宽参数，在稀疏图类理论中起着重要作用。我们证明了存在一个常数$C$使得对于每个正整数$a,b$和一个图$G$，如果$G$的树深至少为$Cab$，则$G$的树宽至少为$a$或$G$包含一个次立方（即，树深度至少为$b$的树作为子图。作为一个直接推论，我们得到每个树深为$Ω(k^3)$的图要么树宽至少为$k$，要么包含一个深度为$k$的满二叉树的剖分，要么包含一条长度为$2^k$的路.这提高了Kawarabayashi和Rossman的$Ω(k^5 \log^2 k)$的界限[SODA 2018]。我们还展示了我们的技术的树深度的近似算法的应用：给定一个图$G$的树深度$k$和树宽度$t$，可以在多项式时间计算的树深度分解$G$的宽度$\mathcal{O}(kt \log^{3/2} t)$。这改进了源于已知结果之间的折衷的$\mathcal{O}(kt^2 \log t)$的界限。在我们的结果中的主要技术成分是一个证明，树深度$d$的每棵树包含一个子立方体树的树深度至少$d \cdot \log_3 ((1+\sqrt{5})/2)$。
2019-09-18 cs.DM cs.DS math.CO
Cops, Robbers, and Threatening Skeletons: Padded Decomposition for Minor-Free Graphs
我们证明，任何图不包括$K_r$作为一个未成年人可以被划分成集群的直径在最$Δ$，而删除最多$O(r/Δ)$分数的边缘。这改善了Fakcharoenphol和Talwar的结果，他们在Klein，Plotkin和Rao的工作基础上给出了一个分区，需要删除边缘的$O(r^2/Δ)$部分。我们的结果是通过一种新的方法来获得的拓扑性质（不包括一个小的），它的几何性质（诱导最短路度量）的图。具体而言，我们表明，在他的调查中使用的技术Andrant的警察和强盗的游戏排除未成年人的图可以用来构建填充分解的度量引起这样的图。特别地，对于无$K_r$的图，我们得到了带有填充参数$O(r)$的概率划分和带有填充参数$O(r^2)$的强直径划分;对于树宽为$k$的图，我们得到了填充$O(k)$;对于亏格为$g$的图，我们得到了填充$O(\log g)$.
2021-01-10 cs.DS
A Local Algorithm for Constructing Spanners in Minor-Free Graphs
构造图的生成树是图论中最基本的任务之一。我们认为这个问题的设置中的本地算法：一个想要快速确定是否一个给定的边缘$e$是在一个特定的生成树，而不计算整个生成树，而是通过检查本地邻域的$e$。挑战在于保持一致性。也就是说，根据相同的生成树回答关于不同边的查询。由于它是已知的，这个问题不能解决，而基本上没有查看所有的图，我们认为宽松的版本找到一个生成子图与$(1+ε)n$边缘（其中$n$是顶点的数量和$ε$是一个给定的稀疏参数）。众所周知，这个放松的问题需要检查一般图中的$Ω(\sqrt{n})$边，这激发了对自然受限图族的研究。一个这样的家庭是家庭的图与排除的少数人。对于这个族，有一种算法可以实现恒定的成功概率，并检查$(d/ε)^{poly(h)\log(1/ε)}$边（对于每个边，它被查询），其中$d$是图中的最大度，$h$是排除的子图的大小。生成子图$G'$中的顶点对之间的距离最多是$G$中的$poly(d, 1/ε, h)$的一个因子。在这项工作中，我们表明，对于一个输入图是$H$ -未成年人自由的任何$H$的大小$h$，这项任务可以通过检查只有$poly(d, 1/ε, h)$边缘。生成子图$G'$中的顶点对之间的距离至多是$G$中的$\tilde{O}(h\log(d)/ε)$的一个因子。此外，新算法的错误概率显着提高到$Θ(1/n)$。该算法也可以很容易地适应，以产生一个…
2016-04-24 cs.DS
Universally-Optimal Distributed Exact Min-Cut
我们提出了一个通用的最优分布式算法的精确加权最小割。该算法在每个图上都能保证在$\widetilde{O}(D + \sqrt{n})$轮内完成，恢复了Dory，Efron，Mukhopadhyay和Nanongkai~[STOC'21]的最新结果，但在结构图上运行速度要快得多。具体来说，该算法在（加权）平面图或更一般地，任何（加权）排除子族上的$\widetilde{O}(D)$轮中完成。我们通过设计一个基于聚合的算法来获得这个结果：每个节点只接收发送给它的消息的聚合。虽然有些限制，但最近的工作表明，任何这样的黑盒算法都可以在通信网络的任何子网络上模拟。此外，我们观察到这也允许向网络添加（少量）任意连接的虚拟节点。我们利用这些功能来设计一个最小切割算法，这是显着简单的相比，以前的分布式工作。我们希望本文展示如何在这种范式下工作产生简单的设计和超高效的分布式算法的全局问题。我们的主要技术贡献是一个分布式算法，给定任何树$T$，计算$2$ -尊重$T$的最小割（即，在$T$的大多数$2$边缘处切割）。此外，我们的算法给出了一个\emph{deterministic} $\widetilde{O}(D)$ -round 2-respecting cut solution（排除子族）和一个\emph{deterministic} $\widetilde{O}(D + \sqrt{n})$…
2022-05-31 cs.DS
Almost Optimal Constant-Round Approximation of Dominating Set in Graph Classes with Excluded Minors
University of Bremen（不来梅大学）
针对排除小图类，提出确定性常数轮 LOCAL 算法，实现支配集近似比接近最优，并解决平面图下确界为 7 的开放问题。
2026-10-09 cs.DC cs.DM cs.DS
Structure Theorem and Isomorphism Test for Graphs with Excluded Topological Subgraphs
本文将Robertson和Seymour关于不包含固定图$H$作为子图的图的结构定理推广到不包含$H$作为拓扑子图的图.我们证明了，对于一个固定的$H$，每个图排除$H$作为一个拓扑子图有树分解，其中每个部分是“几乎嵌入”到一个固定的表面或有界的程度，除了一个有限的顶点数。此外，我们证明了这样的分解是可计算的算法，是固定参数易处理的参数$|H|$。我们提出了我们的结构定理的两个算法应用。为了说明一个“典型”的应用结构定理的力学，我们表明，在图不包括$H$作为一个拓扑子图，部分支配集（找到$k$顶点的封闭邻域具有最大的大小）可以解决时间$f(H,k)\cdot n^{O(1)}$时间。更重要的是，我们表明，在图不包括$H$作为拓扑子图，图同构可以解决的时间$n^{f(H)}$。这一结果统一和推广了两个已知的重要的多项式时间可解的图同构的情况：有界度图和$H$ -小自由图。这个结果的证明需要我们的结构定理的一个推广到不变的树状分解的上下文中。
2014-11-13 cs.DM cs.DS math.CO
Low-Congestion Shortcuts for Graphs Excluding Dense Minors
本文证明了任何直径为$D$的$n$ -节点图$G$都允许具有拥塞$O(δD \log n)$和膨胀$O(δD)$的捷径，其中$δ$是$G$的任何子图的最大边密度.我们的证明是简单的，基本的，建设性的-具有$\tildeΘ(δD)$轮分布式构造算法。我们的结果与$\tilde{O}(1)$因子紧密相关，推广、简化、统一和加强了已有的结果.例如，对于不包括固定子图的图，即，对于具有常数$δ$的图，基于依赖于Robertson-Seymour图结构定理的非常技术性的证明，仅知道$\tilde{O}(D^2)$界。我们的研究结果的一个直接后果是，许多图形的家庭，包括任何未成年人排除的，有接近最佳的$\tildeΘ(D)$轮分布式算法的许多基本的通信原语和优化问题，包括最小生成树，最小切割，最短路径近似。
2020-08-07 cs.DC cs.DS math.CO
Polynomial Bounds for the Grid-Minor Theorem
Robertson和Seymour关于图子式的开创性工作中的一个关键结果是网格子式定理（也称为排除网格定理）。该定理指出，对于每个网格$H$，每个树宽相对于$|V(H)|$足够大的图包含$H$作为子图。这个定理在图论和算法中有许多应用。令$f(k)$表示最大值，使得每个树宽$k$的图包含大小为$(f(k)\times f(k))$的网格子。由于Kawarabayashi和Kobayashi以及Leaf和Seymour最近的工作，以前的最佳定量界限表明$f(k)=Ω(\sqrt{\log k/\log \log k})$。相反，最著名的上限意味着$f(k) = O(\sqrt{k/\log k})$。本文通过证明$f(k)=Ω(k^δ)$对某个固定常数$δ> 0$，得到了树宽与网格子模型大小之间的第一多项式关系，并描述了一个随机算法，其运行时间在$|V(G)|$和$k$中是多项式，该算法以高概率在$G$中找到这样一个网格子模型.
2016-08-09 cs.DM cs.DS
Near-Optimal Algorithms for Maximal Clique Enumeration in Structurally Sparse Graphs
Center for Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, Fuzhou University（离散数学与理论计算机科学研究中心，福州大学）
针对排除团子式和排除团浸入的图，提出两种最大团枚举算法，分别将时间复杂度优化为n·4^(2t/5+o(t))和n·3^(t/3+o(t))，并证明其指数基为渐近最优。
2026-08-05 cs.DS math.CO
Bounding $\varepsilon$-scatter dimension via metric sparsity
本文针对真子式封闭图类导出的度量空间，证明了其 $\varepsilon$-scatter 维度的双重指数级上界及近乎紧的下界，引入了稀疏理论的度量类似物，并据此构建了大小关于 $k$ 呈多项式的 $k$-Center 核心集。
2024-10-14 cs.DM cs.DS
Undirected $(1+\varepsilon)$-Shortest Paths via Minor-Aggregates: Near-Optimal Deterministic Parallel & Distributed Algorithms
本文提出了计算任意无向赋权图中$(1+\varepsilon)$ -近似单源最短路径的近优确定性并行和分布式算法。在一个高层次上，我们确定性地减少这个和其他最短路径的问题，以$\tilde{O}(1)$次要聚合。Minor-Aggregation计算聚合（例如，最大值或总和）的节点值为每个连通分支的一些子图。我们的减少立即意味着：最佳确定性并行（PRAM）算法与$\tilde{O}(1)$深度和近线性工作。普遍最优的确定性分布式（CONGEST）算法，只要存在确定性Minor-Aggregate算法。例如，用于排除次要网络的最优$\tilde{O}(HopDiameter(G))$轮确定性CONGEST算法。几个新的工具开发的上述结果是有趣的，在自己的权利：一个本地的迭代方法减少最短路径计算“距离$D$“计算低直径分解“距离$\frac{D}{2}$“。与[Li 20]的递归顶点约简方法相比，我们的方法更简单，适用于分布式算法，并消除了许多去随机化障碍。一个简单的基于图的$\tilde{O}(1)$ -竞争$\ell_1$ -不经意的路由基于低直径分解，可以评估在近线性的工作。以前的此类路由[ZGY+20]是$n^{o(1)}$ -竞争性的，需要$n^{o(1)}$更多的工作。一个确定性算法，四舍五入任何分数单源转运流到一个完整的树解决方案。第一个分布式算法计算欧拉方向。
2022-09-23 cs.DC cs.DS
Local Algorithms for Sparse Spanning Graphs
构造图的生成树是图论中最基本的任务之一。我们认为这个问题的一个轻松的版本中设置的本地算法。松弛是指所构造的子图是一个稀疏生成子图，它最多包含$(1+ε)n$条边（其中$n$是顶点数，$ε$是给定的近似/稀疏参数）.在局部设置中，目标是快速确定给定边$e$是否属于这样的子图，而不构造整个子图，而是通过检查（查询）$e$的局部邻域。挑战在于保持一致性。也就是说，根据相同的生成子图提供关于不同边的答案。我们首先表明，对于一般的有界度图，任何这样的算法的查询复杂度必须是$Ω(\sqrt{n})$。这个下限适用于具有高度扩展的常度图。接下来，我们设计了一个算法（有界度）图与高扩展，获得一个结果，大致匹配的下限。然后，我们转向研究排除固定子图（因此是非扩张的）的图。我们设计了一个算法，这样的图，这可能有一个无界的最大程度。该算法的查询复杂度为$poly(1/ε, h)$（独立于$n$和最大度），其中$h$为排除子图中的顶点数。虽然我们的两个算法是为非常不同类型的图设计的（并且具有非常不同的复杂性），但在高层次上有几个相似之处，我们强调了相似之处和差异。
2021-04-27 cs.DS
Eigenvalue bounds, spectral partitioning, and metrical deformations via flows
提出了一种新的求图的拉普拉斯算子第二特征值上界的方法。我们的方法使用多商品流变形的图形的几何形状，我们嵌入到欧几里得空间的度量恢复上的瑞利商的约束。利用这一点，我们证明了亏格$g$和最大度$d$的每个$n$ -顶点图都满足$λ_2(G) = O((g+1)^3 d/n)$ .这恢复了平面图的Spielman和Teng的$O(d/n)$界，并与$O((g+1) poly(d)/n)$的Kelner界进行了比较，但我们的证明没有使用共形映射或圆填充。因此，我们能够扩展这一解决积极的猜想Spielman和滕，证明$λ_2(G) = O(d h^6 \log h/n)$时$G$是$K_h$ -小自由。这表明，特别是，频谱分割可以用来恢复$O(\sqrt{n})$大小的分隔符在有界度图，排除一个固定的小。我们进一步扩展这一点，通过获得几乎最优的界限$λ_2$的图形，排除小深度未成年人的意义上的Plotkin，饶，史密斯。因此，我们表明，谱算法找到小的分离器在一般类的几何图形。此外，虽然标准的“扫描”算法应用于第二个特征向量可能无法找到良好的商切割图的无界度，我们的方法产生一个向量，适用于任意图形。这产生了Alon，Seymour和Thomas的结果的另一个证明，即每个排除子图族都有$O(\sqrt{n})$ -节点平衡分隔符。
2008-08-09 cs.CG cs.DS math.MG
Distributed domination on sparse graph classes
我们证明了在有界扩张的图类上的分布式计算模型中，支配集问题在常数轮数内允许常数因子近似。这推广了Czygrinow等人的结果。排除拓扑子图的非常一般的类的均匀稀疏图。我们演示了如何修改和微调我们的一般算法来计算（$11+ε$）-近似（对于平面图上的最小支配集的任何$ε>0)$）。这改善了以前最好的已知的近似因子52平面图，这是通过一个优雅而简单的算法Lenzen等人。
2022-07-06 cs.DC cs.DM cs.DS
