Optimal Bounds for the k-Disjoint Paths Problem
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；Discrete Mathematics Group, Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究所离散数学组）；LIRMM, Univ Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学CNRS LIRMM实验室）；School of Computing, KAIST（韩国科学技术院计算机学院）
本文提出了一种通用的无关顶点定理，用于k-不相交路径问题和根小世界检查的共同推广，即(k,d)-folio问题。通过引入bidimensionality的概念，改进了算法参数依赖性，并优化了图小世界算法框架的量化表现。
2026-05-14 cs.DM cs.DS math.CO
Polynomial Bounds for the Grid-Minor Theorem
Robertson和Seymour关于图子式的开创性工作中的一个关键结果是网格子式定理（也称为排除网格定理）。该定理指出，对于每个网格$H$，每个树宽相对于$|V(H)|$足够大的图包含$H$作为子图。这个定理在图论和算法中有许多应用。令$f(k)$表示最大值，使得每个树宽$k$的图包含大小为$(f(k)\times f(k))$的网格子。由于Kawarabayashi和Kobayashi以及Leaf和Seymour最近的工作，以前的最佳定量界限表明$f(k)=Ω(\sqrt{\log k/\log \log k})$。相反，最著名的上限意味着$f(k) = O(\sqrt{k/\log k})$。本文通过证明$f(k)=Ω(k^δ)$对某个固定常数$δ> 0$，得到了树宽与网格子模型大小之间的第一多项式关系，并描述了一个随机算法，其运行时间在$|V(G)|$和$k$中是多项式，该算法以高概率在$G$中找到这样一个网格子模型.
2016-08-09 cs.DM cs.DS
Grid Induced Minor Theorem for Graphs of Small Degree
一个图$H$是图$G$的导出子图，如果$H$可以由图$G$通过顶点删除和边收缩得到.我们证明了存在一个函数$f(k, d) = O(k^{10} + 2^{d^5})$，使得如果一个图的树宽至少为$f(k, d)$，最大度至多为$d$，则它包含一个$k \times k$ -网格作为诱导子图.这证明了Aboulker，Adler，Kim，Sintiari和Trotignon的猜想[Eur。J. Comb.，98，2021]证明了任意树宽大且最大度有界的图都含有一个大墙或大墙的线图作为诱导子图.这也意味着，对于任何固定的可平面图$H$，存在一个次指数时间算法的最大重量独立集的$H$ -诱导子-自由图。
2023-01-12 cs.DM cs.DS math.CO
Grid Minors in Damaged Grids
我们证明了最大的正方形网格图，这是一个子图，未成年人，或浅未成年人的一个图形的形式，一个更大的正方形网格，指定数量的顶点已被删除的大小上界和下界。我们的边界紧到常数因子之内。我们还提供了类似的高维网格问题的不太紧的界限。
2013-11-06 cs.DM math.CO
Grid Minors and Products
本文研究图乘积中网格子式的存在性，证明任意两个连通 n 顶点图的笛卡尔积必含 Ω(√n)×Ω(√n) 网格子式，并借助星形图与树的字典序乘积证明该界是紧的。
2025-05-09 cs.DM math.CO
On Brambles, Grid-Like Minors, and Parameterized Intractability of Monadic Second-Order Logic
荆棘是作为树宽的对偶概念引入的，树宽是罗伯逊和西摩的图子式理论中最核心的概念之一。最近，Grohe和Marx证明了在|G|中存在图G，其中每一个阶大于树宽平方根的荆棘都是指数大小的.在积极的一面，他们表明存在的多项式大小的荆棘的平方根的树宽的顺序，日志因素。我们提供了第一个多项式时间算法来构建一个荆棘一般的图形，并实现这个界限，对数因子。我们用这个算法来构建网格状的未成年人，最近由里德和伍德介绍的网格未成年人的替代结构，在多项式时间。使用网格状的未成年人，我们介绍了一个完美的荆棘的概念和算法，找到一个在多项式时间。完美的荆棘是荆棘与一个特别简单的结构，他们也为我们提供了一个子图，有界的程度和仍然大的树宽，我们使用它们来获得一个元定理，决定某些参数化的子图闭问题的一般图在时间单指数的参数。我们的工作的第二部分涉及提供一个下界Courcelle的著名定理，指出，每一个图形属性，可以表示一个句子在一元二阶逻辑（MSO），可以决定由一个线性时间算法类图的有界树宽。利用我们的结果，从我们的工作的第一部分，我们建立了一个强下界的易处理的MSO类的着色图。
2009-07-17 cs.DM cs.DS cs.LO
The Local Structure Theorem for Graph Minors with finite index
LIRMM, Univ Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学国家科学研究中心）；Faculty of Mathematics, Informatics and Mechanics, University of Warsaw（华沙大学数学、信息学与机械学院）；KAIST, School of Computing（韩国科学技术院计算机学院）
本文研究图极小结构定理，证明在包含足够大墙的图中，移除少量顶点后可实现几乎嵌入，且非漩涡单元格具有大双向性。
2026-03-30 cs.DM math.CO
The Directed Grid Theorem
网格定理最初由Robertson和Seymour于1986年在Graph Minors V中证明，是图的子式研究中最核心的结果之一。它在算法图结构理论中有许多应用，例如在二维理论中，并且它是在图未成年人项目中开发的其他几个结构定理的基础。在90年代中期，Reed和Johnson，Robertson，Seymour和Thomas（参见Reed 97，Johnson，Robertson，Seymour，Thomas 01）独立地证明了一个关于有向图的类似定理，即存在函数f：N -> N使得每个有向树宽至少为f（k）的有向图包含k阶有向网格。在2001年的一份未发表的手稿中，Johnson，Robertson，Seymour和Thomas给出了平面有向图的这个猜想的证明。但在过去的十多年里，这是里德、约翰逊、罗伯逊、西摩和托马斯猜想证明的最普遍的情况。直到最近，这个结果才被推广到所有类别的有向图，不包括固定无向图作为子图（见[Kawarabayashi，Kreutzer 14]）。本文在猜想提出近20年后，终于能够全面地证实Reed，Johnson，Robertson，Seymour和Thomas猜想，并证明有向格网定理。由于我们的结果，我们能够改善结果里德等。在1996年[里德，罗伯逊，西摩，托马斯96]（另见[开放问题花园]）的不相交的周期长度至少为l和[Kawarabayashi，…
2022-05-06 cs.DM math.CO
Excluding A Grid Minor In Planar Digraphs
在[有向树宽度]中，J. Combin. Theory Ser. B 82（2001），138-154]我们引入了有向图树宽的概念，并提出了一个猜想，在与Noga Alon和Bruce Reed的讨论中提出，一个巨大树宽的有向图有一个大的“圆柱形网格”子图。在这里，我们证明了平面有向图的猜想，但许多步骤的证明工作一般。这是一份2001年10月未经编辑和打磨的手稿。由于许多人要求提供副本，我们正在提供，希望它可能有用。Kawarabayashi和Kreutzer在arXiv：1411.5681中证明了这个猜想。
2015-10-02 cs.DM math.CO
The grid-minor theorem revisited
University of Ottawa（渥太华大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；École Normale Supérieure, CNRS, PSL University（巴黎高等师范学院、法国国家科学研究中心、巴黎文理研究大学）；Carleton University（卡尔顿大学）；Monash University（蒙纳士大学）
本文证明了对每个树深为h的平面图X，存在常数c使得每个不含X作为子式的图G同构于树宽至多f(h)的图H与完全图K_c的强积的子图，从而定性强化了Robertson和Seymour的网格-次要定理，并改进了不含固定子式图的弱着色数上界。
2026-06-01 cs.DM math.CO
Finding forbidden minors in sublinear time: a $n^{1/2+o(1)}$-query one-sided tester for minor closed properties on bounded degree graphs
设$G$是一个顶点数为$n$的无向有界度图。固定一个有限图$H$，并假设必须从$G$中移除$\varepsilon n$边以使其$H$ -minor free（对于某个小常数$\varepsilon > 0$）。我们给出了一个$n^{1/2+o(1)}$时间随机过程，以高概率，发现一个$H$ -未成年人在这样的图。作为一个应用，假设必须从有界度图$G$中去除$\varepsilon n$边以使其成为平面图。该结果意味着在相同的运行时间下，生成$K_{3,3}$或$G$中的$K_5$子程序的算法。没有事先的次线性时间界限是已知的这个问题。利用图的子式定理，对任意的子闭性质，我们得到了类似的结果。直到$n^{o(1)}$因子，这解决了Benjamini-Schramm-Shapira（STOC 2008）关于存在单侧性质测试子的猜想。此外，通过Czumaj等人的$Ω(\sqrt{n})$下限（RSA 2014），我们的算法几乎是最优的。在这项工作之前，已知$H$ -次要游离度的非平凡单侧属性测试仪的唯一图形$H$如下：$H$是森林或循环（Czumaj等人，RSA 2014），$K_{2,k}$，$(k\times 2)$ -网格和$k$ -圆（Fichtenberger等人，Arxiv 2017）。
2018-08-28 cs.DM cs.DS
An improved bound on the treewidth of planar graphs excluding a grid minor
Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；CNRS, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1（法国国家科学研究中心、里昂高等师范学院、克莱贝尔·贝尔纳·里昂第一大学）
本文改进了不含网格子式的平面图的树宽上界至4t+4，优于此前9/2t-11/2的界，并证明了一个关于2-连通平面图树分解的关键引理。
2026-09-15 cs.DM math.CO
A Flat Wall Theorem for Matching Minors in Bipartite Graphs
罗伯逊和西摩的图未成年人理论的一个重要步骤是从网格定理过渡到局部平坦性的概念，网格定理在某种意义上唯一地描述了图中大树宽的区域，这些区域以H-未成年人自由图的任何巨大网格内存在大平坦壁的形式存在。本文证明了不含固定匹配子图的二部图的平壁定理的匹配理论类似定理。我们的结果建立在结构有向图理论和匹配理论之间的紧密关系，并允许我们推导出一个平壁定理的有向图，这大大不同于以前建立的有向变体这个定理。
2021-10-14 cs.DM math.CO
Colorful Minors
Faculty of Mathematics, Informatics and Mechanics, University of Warsaw（华沙大学数学、信息学与力学学院）；LIRMM, Univ Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学法国国家科学研究中心）；KAIST, School of Computing（韩国科学技术院计算机学院）
本文提出彩色极小图概念，发展其结构理论，并展示其在算法中的应用。
2026-09-07 cs.DM cs.DS math.CO
Excluding a rectangular grid
Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Inria（法国国家数字科学研究所）；I3S（信息科学与系统研究所）
该文定义k-树深度参数，证明图类有界k-树深度等价于排除特定网格类子式，由此强化网格子式定理，为子式封闭图类的树深度、树宽相关性质提供统一刻画。
2026-08-03 cs.DM math.CO
Clique Minors in Cartesian Products of Graphs
图G中的“团子图”可以被认为是G中的一组连通子图，它们是两两不相交的，两两相邻的。Hadwiger数h（G）是G中团子式的最大基数。本文研究了笛卡儿积G*H中的团子式.我们的主要结果是有界Hadwiger数的笛卡儿积的一个粗略的结构特征定理。它意味着，如果产品的两个足够大的图有界Hadwiger数，那么它是以下图形之一：-一个平面网格与有界宽度的涡流在outerface，-一个圆柱形网格与有界宽度的涡流在每两个'大'面，或-一个环形网格。研究图的Hadwiger数的动机包括Hadwiger猜想，该猜想指出色数chi（G）<= h（G）。Hadwiger猜想是否对任何笛卡儿积都成立是一个未知数。证明了：当|V（H）|-1>= chi（G）>= chi（H）则Hadwiger猜想对G*H成立。另一方面，我们证明了Hadwiger猜想对所有的笛卡儿积成立当且仅当它对所有的G * K_2成立。然后我们证明了h（G * K_2）与G的树宽有关。我们还开发了连接与伪消色差着色和连接的控制集，这意味着近紧边界上的Hadwiger数的网格图（笛卡儿积的路径）和Hamming图（笛卡儿积的派系）。
2011-09-23 cs.DM math.CO
The Erdős-Pósa Property for Colorful Minors
Faculty of Mathematics, Informatics and Mechanics, University of Warsaw（华沙大学数学、信息力学学院）；LIRMM, Univ Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学CNRS LIRMM实验室）；KAIST, School of Computing（韩国科学技术院计算机学院）
该研究确定了具有彩色子式关系的Erdős-Pósa性质的彩色图，通过结构形式、障碍集、网格形式三种等价形式完成刻画，拓展了经典的Erdős-Pósa性质理论。
2026-09-07 cs.DM math.CO
Improved Bounds for the Excluded Grid Theorem
本文研究了Robertson和Seymour的排他网格定理。这是图论中的一个基本结果，即存在某个函数$f: Z^+\rightarrow Z^+$，使得对于所有整数$g>0$，每个树宽至少为$f(g)$的图都包含$(g\times g)$ -网格作为子图。直到最近，在$g$中，关于$f$的最佳已知上界是超指数的。Chekuri和Chuzhoy最近的一项工作提供了第一个多项式界，通过证明树宽$f(g)=O(g^{98}\operatorname{poly}\log g)$足以确保任何图中存在$(g\times g)$ -网格子式。在本文中，我们改进了这个界限$f(g)=O(g^{19}\operatorname{poly}\log g)$。我们引入了一些新的技术，包括一个概念上简单，几乎完全自包含的定理证明，实现了多项式约束$f(g)$。
2016-02-08 cs.DM math.CO
On Touching Triangle Graphs
本文考虑用边相交的三角形表示图的问题。作为一个简单的必要条件，我们证明了顶点对必须有一个小的公共邻域。在积极的一面，我们提出了线性时间算法创建触摸三角形表示外平面图，正方形网格图，六边形网格图。我们注意到，这类图在未成年人下是不封闭的，这使得刻画困难。然而，我们提出了一个完整的特征的子类的双连通图，可以表示为一些多边形的三角剖分。
2010-01-17 cs.DM cs.DS
Max Independent Set Remains NP-hard when Excluding a Planar Induced Minor (and More)
CNRS, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, LIP UMR 5668（法国国家科学研究中心、里昂高等师范学院、里昂第一大学、LIP联合研究实验室）；Department of Mathematics, Hanyang University（汉阳大学数学系）
本文证明存在固定平面图（5×5网格）作为诱导子式排除后，最大独立集问题仍为NP难，反驳了相关猜想。
2026-11-04 cs.CC cs.DM cs.DS
Potatoes and Onions
Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Technical University of Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；Warsaw University of Technology（华沙理工大学）
本研究针对有向图提出有向树-割宽参数，证明其与大圆柱壁的有向浸入对偶，拓展了结构图论中网格定理的相关成果。
2026-10-14 cs.DM math.CO
Large Minors in Expanders
本文研究了扩张图及其子图。具体地说，我们试图回答以下问题：什么是最大的功能$f(n,α,d)$，使每个$n$ -顶点$α$ -扩展器与最大顶点度在最多$d$包含{ \bf每}图$H$与最多$f(n,α,d)$边和顶点作为一个小？我们的主要结果是存在某种普适常数$c$，使得$f(n,α,d)\geq \frac{n}{c\log n}\cdot \left(\fracα{d}\right )^c$ .这个界限实现了对$n$的紧密依赖：众所周知，存在有界度$n$ -顶点扩展器，其不包含任何具有$Ω(n/\log n)$顶点和边作为子的网格。最好的先前结果表明，$f(n,α,d) \geq Ω(n/\log^κn)$，其中$κ$取决于$α$和$d$。此外，我们提供了一个随机化算法，即，给定一个$n$ -顶点$α$ -扩展器，其最大顶点度至多为$d$，另一个图$H$包含至多$\frac{n}{c\log n}\cdot \left(\fracα{d}\right )^c$顶点和边，以高概率在$G$中找到一个$H$模型，在时间poly $(n)\cdot (d/α)^{O\left( \log(d/α) \right)}$中。我们注意到，类似的，但更强的结果是独立获得的Krivelevich和Nenadov：他们表明，$f(n,α,d)=Ω\left(\frac{nα^2}{d^2\log …
2019-01-29 cs.DM cs.DS
Polynomial Bounds in the Apex Minor Theorem
本文证明了 apex minor 定理中 $g(A,r)$ 的首个多项式上界 $O^\ast(r^9t^{18})$，通过限制 $A$-minor-free 图的 grid minor 大小实现，并给出了 $K_{3,t}$-minor-free 图的紧致界。
2025-03-06 cs.DM math.CO
Excluding a ladder
阶梯是一个$2 \times k$网格图。图类$\mathcal{C}$什么时候排除一些梯子作为子图？我们证明了这种情况的充分必要条件是$\mathcal{C}$中的所有图$G$都有一个有界的顶点着色，使得对于$G$的每个$2$连通子图$H$，都有一种颜色在$H$中只出现一次.这种类型的顶点着色是中心着色概念的放松，其中对于$G$的每个连通子图$H$，必须有一种颜色在$H$中只出现一次。$G$的中心着色中的最小颜色数是$G$的树深度，并且已知具有有界树深度的图的类恰好是排除作为子图的固定路径的那些，或者等价地，作为子图的那些。在这个意义上，排除固定梯子作为子图的图的结构类似于没有长路径的图的结构。另一个相似之处如下：很容易观察到，每个具有两条长度为$k$的顶点不相交路径的连通图都有一条长度为$k+1$的路径。我们发现，每一个$3$连通图，其中包含作为一个未成年人的工会足够多的顶点不相交的副本的$2 \times k$网格有一个$2 \times (k+1)$网格未成年人。我们的结构结果有应用偏序集维数。我们证明了偏序集的覆盖图排除一个固定的梯子作为一个小有界的维数。这是一个新的一步的目标，了解哪些图是不可避免的，作为小的覆盖图的偏序集具有大的维数。
2021-04-06 cs.DM math.CO
Cycles of Well-Linked Sets II: an Elementary Bound for the Directed Grid Theorem
Technical University Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；National Institute of Informatics, Tokyo（东京信息学国立研究所）；Universität Hamburg（汉堡大学）
本文提出了一种新的证明方法，改进了有向网格定理中函数f的上界，通过引入well-linked sets的循环结构，证明了大有向树宽图包含大圆柱形网格。
2026-02-12 cs.DM math.CO
Towards Tight(er) Bounds for the Excluded Grid Theorem
我们研究了排除网格定理，图论中的一个基本结构结果，这是由罗伯逊和西摩在他们的开创性工作中证明的。该定理指出存在一个函数$f: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$，使得对于每个整数$g>0$，每个树宽至少为$f(g)$的图包含$(g\times g)$ -网格作为子图。对于每个整数$g>0$，设$f(g)$是定理成立的最小值。建立$f(g)$上的紧界是一个重要的图论问题。Robertson和Seymour证明了$f(g)=Ω(g^2\log g)$必须成立。长期以来，$f(g)$的最佳已知上界在$g$中是超指数的。Chekuri和Chuzhoy证明了$f(g)=O(g^{98}\text{poly}\log g)$的第一多项式上界.后来改进为$f(g) = O(g^{36}\text{poly} \log g)$，再改进为$f(g)=O(g^{19}\text{poly}\log g)$。本文进一步将此界改进为$f(g)=O(g^{9}\text{poly} \log g)$ .我们相信，我们的证明是显着简单比以前的界限的证明。此外，虽然有天然的障碍，似乎阻止以前的方法从产生严格的界限定理，似乎可以想象，本文提出的技术可以导致更严格的界限$f(g)$。
2019-01-23 cs.DM
Structure and algorithms for graphs excluding grids with small parity breaks as odd-minors
本文提出 $\mathcal{A}$-blind-treewidth 这一树宽推广，针对 $\mathcal{B}$ 与 $\mathcal{B}\cup\mathcal{P}$ 两类注释图建立网格定理类似物及宽度判定 FPT 算法，并给出最大独立集和最大割算法。
2024-10-02 cs.DM math.CO
Odd-Cycle-Packing-treewidth: On the Maximum Independent Set problem in odd-minor-free graph classes
KAIST（韩国科学技术院）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
本文提出奇环填充树宽（OCP-tw）参数，证明其奇次要单调性与类似网格定理的结构结果，推导出近似算法，并表明最大独立集问题在OCP-tw有界图上可多项式求解，还将该概念扩展到整数规划矩阵。
2025-11-13 cs.DM math.CO
A directed flat wall theorem excluding a crossrow grid
TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；National Institute of Informatics & The University of Tokyo（信息处理研究所与东京大学）；TU Berlin（柏林工业大学）；School of Computing, KAIST（韩国科学技术院计算机学院）
本文针对现有两种有向平墙定理的缺陷，提出一种排除交叉行网格的新有向平墙定理，其证明基于已有成果并适配自身设定，填补了相关定理的中间空白。
2026-08-05 cs.DM math.CO
Minor-Universal Graph for Graphs on Surfaces
LaBRI；University of Bordeaux（波尔多大学）；LIMOS；University of Clermont-Auvergne（克莱蒙奥弗涅大学）
研究曲面上图的次通用图，通过构造顶点数至多为\(cn^2\)（\(c\)依赖于曲面欧拉亏格）的图，使其包含特定\(n\)顶点图作为子图，推广平面图相关结果，为图分解多项式界研究提供关键要素。
2026-07-27 cs.DM
Induced Minors and Coarse Tree Decompositions
Princeton University（普林斯顿大学）；University of California Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
该研究证明了关于诱导极小式的图的树分解的独立数界猜想，改进了相关理论结果。
2026-03-11 cs.DM cs.DS math.CO
Immersion in four-edge-connected graphs
固定g>1。每一个树宽足够大的图都包含一个g × g网格作为子图;但这里我们证明了每一个树宽足够大的四边连通图都包含一个g × g网格作为浸入（因此包含任何最大度至多为4的固定图作为浸入）。这一结果有许多应用。
2013-08-04 cs.DM math.CO
Cyclewidth and the Grid Theorem for Perfect Matching Width of Bipartite Graphs
一个连通图G称为匹配覆盖图，如果G的每条边都包含在一个完美匹配中。完美匹配宽度是基于分支分解的匹配覆盖图的宽度参数。它是由Norine引入的，旨在作为匹配覆盖图的结构研究的工具，特别是在Pfidian方向的背景下。Norine指出，高完美匹配宽度的图将包含一个大的网格作为匹配子图，类似于Robertson和Seymour关于树宽的结果。在本文中，我们获得了自完美匹配宽度引入以来的第一个结果。对于二部图的限制情形，我们证明了完美匹配宽度等价于有向树宽度，从而证明了Kawarabayashi和Kreutzer关于有向\treewidth的有向网格定理蕴含了Norine猜想.
2019-02-14 cs.DM math.CO
Catching Rats in $H$-minor-free Graphs
Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究所）；Université Paris Cité, CNRS, IRIF（巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，IRIF）；LIRMM, Univ Montpellier, CNRS（LIRMM，蒙彼利埃大学，法国国家科学研究中心）；KAIST（韩国科学技术院）
本文证明排除 $H$-minor 和 $k$-网格 minor 的图的树宽/分支宽度在 $O(gk + t^{2304})$ 内，并给出相应的近似算法，其中 $g$ 为欧拉亏格，$t$ 为 $H$ 的顶点数。
2025-10-23 cs.DM math.CO
The $\mathbb{Z}_2$-genus of Kuratowski minors
在曲面上画一个图是独立的，即使图中每对不相邻的边相交偶数次。图$G$的$\mathbb{Z}_2$ -亏格是最小$g$使得$G$在亏格$g$的可定向曲面上有独立偶图. Robertson和Seymour的一个未发表的结果暗示，对于每个$t$，每个足够大的亏格的图都包含一个投影$t\times t$网格或以下所谓的$t$ -Kuratowski图之一作为子图：$K_{3,t}$，或$K_5$或$K_{3,3}$的$t$副本共享最多两个公共顶点。我们证明了这些族中的图的$\mathbb{Z}_2$ -亏格在$t$中是无界的;事实上，等于它们的亏格。总之，这意味着图的亏格从上到下由其$\mathbb{Z}_2$ -亏格的函数来界定，解决了Schaefer和Štefankovič提出的问题，并给出了关于可定向曲面的Hanani-Tutte定理的近似版本。对于图的Euler亏格和Euler $\mathbb{Z}_2$ -亏格，我们也得到了类似的结果.
2022-02-03 cs.DM math.CO
Layered Separators in Minor-Closed Graph Classes with Applications
图分隔符是图论和计算机科学中普遍存在的工具。然而，在某些应用中，它们的有用性受到以下事实的限制：在具有$n$顶点的图中，分隔符可以与$Ω(\sqrt{n})$一样大。这是可平面图的情况，更一般地，对于适当的小闭类。我们研究了一种特殊类型的图分隔符，称为“分层分隔符”，它可以在$n$中具有线性大小，但相对于不同的措施，称为“宽度”有界的大小。例如，我们证明了可平面图和有界欧拉亏格的图允许有界宽度的分层分离子。更一般地说，我们将承认有界宽度的分层分隔符的未成年人封闭类，排除固定顶点图作为未成年人。我们使用分层分离器来证明$\mathcal{O}(\log n)$边界的一些问题，其中$\mathcal{O}(\sqrt{n})$是一个长期存在的以前的最佳界限。这包括有界Euler亏格图的非重复色数和非重复色数。我们推广了这些结果与$\mathcal{O}(\log n)$界的非重复色数的图不包括一个固定的拓扑子，和$\log^{ \mathcal{O}(1)}n$界的不包括一个固定的子图的重复数。只有可平面图的$\log^{ \mathcal{O}(1)}n$边界以前是已知的。我们的结果意味着，每个$n$ -顶点图不包括一个固定的子有一个三维网格绘图与$n\log^{ \mathcal{O}(1)}n$体积，而以前的最佳界是$\mathcal{O}(n^{3/2})$。
2017-05-18 cs.CG cs.DM math.CO
Large-Treewidth Graph Decompositions and Applications
树宽是一个图形参数，在一些结构和算法结果中起着重要作用。研究了将给定的图$G$分解为节点不相交的子图的问题，其中每个子图都有足够大的树宽。证明了两个关于期望子图个数$h$与期望子图树宽下界$r$之间的折衷定理。定理断言，给定一个树宽为$k$的图$G$，当$hr^2 \le k/\polylog(k)$或$h^3r \le k/\polylog(k)$成立时，以$h,r$为参数的分解是可行的.然后，我们展示了一个框架，使用这些定理绕过著名的网格小定理的罗伯逊和西摩在某些应用程序。特别是，这将导致大大改善参数在一些Erdos-Posa型的结果，一类固定参数易处理的问题和更快的算法。
2013-04-04 cs.DM cs.DS
Unavoidable induced subgraphs in graphs with complete bipartite induced minors
Princeton University（普林斯顿大学）；Discrete Mathematics Group, Institute for Basic Science（基础科学研究所离散数学组）；University of Copenhagen（哥本哈根大学）；KAIST（韩国科学技术院）
本文证明了包含特定完全二部图作为导出子式的图必然包含环或theta作为导出子图，并指出排除网格与完全二部图导出子式不足以保证树独立数或有界树宽。
2025-07-22 cs.DM math.CO
Well-quasi-orders on embedded planar graphs
Charles University（查理大学）；INRIA UniCA（法国国家信息与自动化研究所尼斯-索菲亚抗提斯校区）
本文研究了嵌入平面图中经典minor关系的变种，证明其在不同约束条件下均为良quasi-序，拓展了拓扑图论的理论基础。
2026-10-19 cs.CG cs.DM math.GT
Constant congestion brambles in directed graphs
Faculty of Mathematics, Informatics and Mechanics, University of Warsaw（华沙大学数学、信息学与力学学院）；Department of Mathematics, Simon Fraser University（西蒙菲莎大学数学系）；Faculty of Mathematics and Information Science, Warsaw University of Technology（华沙理工大学数学与信息科学学院）；TU Wien, Faculty of Informatics（维也纳科技大学信息学院）
本研究证明，通过将有向网格改为常拥堵的bramble，有向图的树宽与bramble大小之间的关系可获得多项式界。
2021-03-17 cs.DM math.CO
A Minor-Testing Approach for Coordinated Motion Planning with Sliding Robots
本文研究滑动机器人协调运动规划（CSMP）问题，提出以机器人数量或完工时间为参数的固定参数算法，关键创新在于利用标记拓扑子式简洁表示解。
2025-02-28 cs.DM
Separator-Based Graph Embedding into Multidimensional Grids with Small Edge-Congestion
研究了将一个具有最小边拥塞的客体图嵌入到一个与客体图大小相同的多维网格中的问题。基于一个众所周知的概念的图形分隔符，我们表明，嵌入具有较小的边缘拥塞可以得到，如果客人图有一个较小的分隔符，如果主机网格有一个较高的，但恒定的尺寸。具体地说，我们证明了任何图与$N$节点，最大节点度$Δ$，并与一个节点分隔符的大小$O(n^α)$（$0\leqα<1$）可以嵌入到一个网格的一个固定的维度$d\geq 2$至少$N$节点，与边拥塞$O(Δ)$如果$d>1/(1-α)$，$O(Δ\log N)$如果$d=1/(1-α)$，和$O(ΔN^{α-1+\frac{1}{d}})$如果$d< 1/(1-α)$。如果$d>1/(1-α)$，这种边缘拥塞达到恒定比率近似，并且如果$d\leq 1/(1-α)$，这种边缘拥塞在恒定因子内匹配存在的下限。我们的结果意味着，如果客人图有一个固定大小的排除子图，如平面图，那么我们可以得到一个边拥塞的$O(Δ\log N)$的$d=2$和$O(Δ)$的任何固定的$d\geq 3$。此外，如果客体图具有固定的树宽，如树、外平面图和串并行图，则对于任意固定的$d\geq 2$，我们都可以得到$O(Δ)$的边拥塞.为了设计我们的嵌入算法，我们引入了边分隔符边界扩展，使得在递归地使用边分隔符将图划分为孤立的节点时，在递归步骤中要划分的子图的传出边的数量是有界的。我们提出了…
2014-02-28 cs.DM math.CO
Low Polynomial Exclusion of Planar Graph Patterns
著名的网格排除定理指出，对于每个$h$ -顶点可平面图$H$，有一个常数$c_{h}$，使得如果图$G$不包含$H$作为子图，则$G$最多有$c_{h}$树宽。我们正在寻找模式的$H$，这个界限可以成为一个低次多项式。我们提供了这样的界限以下参数化图：车轮（$c_{h}=O(h)$），双轮（$c_{h}=O(h^2\cdot \log^{2} h)$），任何图的路径宽度至多为2（$c_{h}=O(h^{2})$），和蒙古包图（$c_{h}=O(h^{4})$）。
2015-11-09 cs.DM math.CO
