An \(O(\log n)\)-Approximation for Three-Terminal Reachability-Preserving Minimum Edge Cut
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
针对三终端可达性保持最小边割问题，提出利用割主导分解树概率分布的多项式时间 \(O(\log n)\) 近似算法，通过扩展根树簇成辅助图并利用其结构特性及分解树割失真证明近似保证。
2026-07-23 cs.DS
Minimizing Branching Vertices in Distance-preserving Subgraphs
确定无向图的单源保持距离子图所需的最小分支顶点数是$\mathsf{NP}$ -困难的。我们证明了这个问题可以在多项式时间内得到解决，如果输入图是一个区间图。在早期的工作中，我们证明了每一个具有$k$终端顶点的区间图都存在一个具有$O(k\log k)$分支顶点的全对距离保持子图。我们考虑可以表示为两个区间图的强积的图，并提出了一个多项式时间算法，以这样的图与$k$终端作为输入，并输出它的所有对距离保持子图与$O(k^2)$分支顶点。这个界限很紧.
2018-10-27 cs.DS
A Graph Reduction Step Preserving Element-Connectivity and Applications
给定无向图G=（V，E）和终端T的子集\subseteq V，两个终端u，v的元素连通性\in T是在两个边和非终端V \setminus T中成对不相交的u-v路径的最大数量（路径不需要在终端中不相交）。元素连通性比边连通性更一般，但比顶点连通性更不一般。Hind和Oellermann给出了一个保持图的全局元素连通性的图约简步骤。我们表明，这一步也保持了当地的连通性，也就是说，所有的成对元素连接的终端。我们给出了两个应用程序的连接性和网络设计问题的减少步骤：1。给定图G和不相交的终端集T_1，T_2，.，T_m，我们寻求元素不相交的Steiner森林的最大数量，其中每个森林连接每个T_i。证明了若T_i是k元连通的，则存在Ω（\frac{k}{\log h \log m}）个元素不相交的Steiner森林，其中h =| \bigcup_i T_i|.如果G是平面的（或更一般地，有固定亏格），我们证明了存在Ω（k）Steiner森林.我们的证明是建设性的，多时间算法找到这些森林，这些是第一个非平凡的算法包装元素不相交的施泰纳森林。2.我们给出了一个非常简短和直观的证明蜘蛛分解定理的Chuzhoy和Khanna的上下文中的单汇k-顶点连通性问题，这产生了一个简单的和替代的分析O（k \log n）近似。我们的研究结果突出了元素连接减少步骤的有效性，我们相信它会在未来找到更多的应用。
2009-02-16 cs.DS
Dynamic Sketching for Graph Optimization Problems with Applications to Cut-Preserving Sketches
在本文中，我们介绍了一个新的模型称为\emph{dynamic sketching}的次线性算法。在该模型中，底层数据被划分为大的\emph{static}部分和小的\emph{dynamic}部分，目标是计算静态部分的汇总（即，\emph{sketch}），使得给定动态部分的任何\emph{update}，可以将其与草图组合以计算给定函数。如果草图的大小由动态数据长度的多项式函数限制，（基本上）与静态零件的大小无关，则我们称草图为\emph{compact}。该模型中的图优化问题$P$定义如下。输入是一个图形$G(V,E)$和一组$k$终端$T \subseteq V$;终端之间的边是动态部分，$G$中的其他边是静态部分。目标是将图$G$总结为紧凑的草图（尺寸为polyPDMATHABMX），使得给定端子之间的任何边的集合$Q$，可以仅使用草图来回答通过将$Q$中的所有边插入$G$而获得的图的问题$P$。我们研究了计算最大匹配的基本问题，并证明了紧边界上的草图大小。特别是，我们表明，存在一个（紧凑）的动态草图的大小$O(k^2)$的匹配问题，任何这样的草图的大小$Ω(k^2)$。我们的草图匹配可以进一步用于推导出紧凑的动态草图，其他基本的图形问题，涉及削减和连通性。有趣的是，我们的草图匹配也可以用来给一个基本的建设\emph{cut-preserving vertex spars…
2015-10-12 cs.DS
Dimension-Accuracy Tradeoffs in Contrastive Embeddings for Triplets, Terminals & Top-k Nearest Neighbors
本文研究三元组、终端及Top-k最近邻场景下对比嵌入的维度-精度权衡，提出三元组维度概念并证明最坏情况下维度需增长至n/2，同时给出维度与序数松弛的几乎紧下界及新嵌入界。
2023-12-29 cs.DS
Improved Guarantees for Vertex Sparsification in Planar Graphs
图稀疏化的目的是将大型图压缩成较小的图，同时保留输入图的重要特征。在这项工作中，我们研究顶点稀疏，即，稀疏器，其目标是减少顶点的数量。（1）给定有向图$G=(V,E)$和具有$|K| = k$的终端顶点$K \subset V$，$G$的（顶点）可达性稀疏因子是有向图$H=(V_H,E_H)$，$K \subset V_H$，它保持终端对之间的所有可达性信息。在这项工作中，我们介绍了可达性保留未成年人（RPM）的概念，即，我们要求$H$是$G$的副修课程。我们证明了任何有向图$G$都允许一个大小为$O(k^3)$的RPM $H$，并且如果$G$是平面的，则$H$的大小提高到$O(k^{2} \log k)$。我们补充我们的上限显示，存在一个无限的家庭的网格，使任何RPM必须有$Ω(k^{2})$顶点。(2)给定一个带权无向图$G=(V,E)$和一个带$|K|=k$的端点$K$，$G$的一个精确（点）割稀疏子是一个带$K \subset V_H$的图$H$，它保持了分离$K$的任何二分划的最小割的值.我们表明，平面图与所有的$k$终端躺在同一个脸上承认确切削减稀疏的大小$O(k^{2})$，也是平面的。我们的结果扩展到流和距离稀疏。它提高了以前最著名的界的$O(k^22^{2k})$切割和流稀疏的指数因子，并匹配这一类图的$Ω(k^2)$下界。
2017-12-27 cs.DS
Distance-preserving Subgraphs of Interval Graphs
研究了具有$k$终端顶点的无向无权区间图的保距离小图的求法问题。首先，我们发现，找到一个最佳的距离保持子图是$\mathsf{NP}$ -一般图困难。然后，我们证明了每一个区间图允许一个子图的$O(k)$分支顶点，近似两两终端距离到一个添加剂项的$+1$。我们还提出了一个区间图$G_{\mathrm{int}}$的$+1$近似是必要的，以获得$O(k)$上界的分支顶点的数量。特别地，$G_{\mathrm{int}}$的任何保持距离的子图具有$Ω(k\log k)$分支顶点。进一步证明了每个区间图都有一个具有$O(k\log k)$分支点的保距子图，这意味着区间图的$Ω(k\log k)$下界是紧的.最后，我们证明了存在一个区间图，使得它的每一个最优的距离保持子图有$O(k)$分支顶点和$Ω(k\log k)$分支边，从而提供了分支顶点和分支边之间的分离。距离近似子图的$O(k)$界来自区间图中最短路径的简单分析。$G_{\mathrm{int}}$使用位反转置换矩阵构造。距离保持子图的$O(k\log k)$界使用分治方法。最后，分支顶点和分支边之间的分离采用图覆盖的Hansel引理。
2018-09-26 cs.DS
Refined Vertex Sparsifiers of Planar Graphs
我们研究以下版本的切割稀疏化。给定一个具有$k$终端顶点的大边加权网络$G$，将其压缩为具有相同终端的较小网络$H$，使得$H$中的每个最小终端割近似于$G$中的对应最小终端割，直到称为质量的因子$q\geq 1$。(The情况$q=1$也被称为模仿网络）。我们提供了新的见解最小终端切割的结构，导致新的结果切割稀疏平面图。我们的第一个贡献确定了一个子集的最小终端削减，我们称之为小学，产生所有其他的。因此，$H$是割稀疏化子当且仅当它保留所有的基本终端割（直到这个因子$q$）。这种结构表征导致$H$的大小的改进的界限。例如，它将平面图的模仿网络大小的界提高到一个近似最优的界。我们的第二个和主要的贡献是完善已知的界限方面的$γ=γ(G)$，这是定义为最小数量的面是入射到所有终端的平面图$G$。我们证明了初等终端割的数目是$O((2k/γ)^{2γ})$（与$O(2^k)$终端割相比），并进一步得到了一个大小为$O(γ2^{2γ} k^4)$的模仿网络，它是$γ$的函数。在分析中，我们将基本的终端切割分成碎片，并仔细计数。我们的第三个贡献是切割稀疏化和距离稀疏化的某些平面图之间的对偶，当稀疏$H$要求是一个小的$G$。这种对偶性连接了以前分别研究的问题，这意味着新的结果，已知结果的新证明，以及开放间隙之间的等价性。
2019-10-04 cs.DS
Vertex Sparsifiers: New Results from Old Techniques
给定一个容量限制图$G = (V,E)$和一组终端$K \subseteq V$，我们应该如何产生一个图$H$只在终端$K$，使每个（多商品）在$G$中的终端之间的流可以支持在$H$低拥塞，反之亦然？(Such图$H$被称为$G$的流稀疏因子。）如果我们想让$H$成为一个“简单”的图呢？如果我们允许$H$是简单图的凸组合会怎样？改进Moitra [FOCS 2009]和Leighton和Moitra [STOC 2010]的结果，我们给出了有效的算法来构建：（a）流稀疏器$H$，其将拥塞维持到因子$O(\log k/\log \log k)$，其中$k = |K|$，（b）终端$K$上的树的凸组合，其将拥塞维持到因子$O(\log k)$，以及（c）对于平面图$G$，平面图的凸组合，其保持拥塞直到常数因子。这就要求我们给出一个新的算法来解决0-扩张问题，第一个算法是在$G$中每个终端的原像是连接的。此外，这一结果扩展到小闭图族。我们的改进的界限立即意味着改进的近似保证几个终端为基础的切割和排序问题。
2014-04-23 cs.DS
Connectivity-Preserving Important Separators: A Framework for Cut-Uncut Problems
本文提出了一种新的框架，用于解决具有连通性约束的切-未切问题，通过保持连通性的分离器，改进了节点多方式切-未切问题的固定参数算法。
2026-10-08 cs.CC cs.DS
On Strong Graph Partitions and Universal Steiner Trees
研究了无向图的泛Steiner树的构造问题。给定图$G$和根节点$r$，我们寻找最小{ \em stretch}的单个生成树$T$，其中$T$的stretch被定义为在所有终端集$X$上，连接$X$到$r$的$T$的最小子树$T_X$的成本与连接$X$到$r$的最优Steiner树在$G$中的成本的最大比率。通用Steiner树（UST）对于数据聚合问题是重要的，其中对于终端的每个输入实例从头开始计算Steiner树是昂贵的，例如在低能量传感器网络应用中。本文给出了一般图的多项式时间\ust构造方法，该方法构造了具有$2^{O(\sqrt{\log n})}$ -拉伸的图.我们还给出了一个多项式时间的$\polylog(n)$ -拉伸图的构造。我们的算法的一个基本组成部分是一个层次的图形分区，其中每个保证小强直径为每个集群和有界邻域交叉点为每个节点。我们表现出密切的联系之间的问题，构建USTS和建设这样的图分区。我们的一般图的分区层次结构的建设是基于一个迭代的集群合并过程，而一个未成年人的自由图是基于分离器定理，这样的图和解决方案的集群聚合问题，可能是独立的利益，即使是一般的图形。据我们所知，这是第一个一般图的子多项式拉伸（$o(n^ε)$ for any $ε> 0$）UST构造，也是第一个无子图的多项式拉伸UST构造。
2015-03-01 cs.DS
NC Algorithms for Computing a Perfect Matching and a Maximum Flow in One-Crossing-Minor-Free Graphs
1988年，Vazirani在Kasteleyn的平面图方案的基础上给出了一个计算$K_{3,3}$ -minor-free图中完美匹配数的NC算法，并指出这“打开了获得一个在$K_{3,3}$ -free图中找到完美匹配的NC算法的可能性。“在本文中，我们终于解决了这个30年的开放问题。最近的NC算法的平面和有界属的完美匹配的Anari和Vazirani和后来的Sankowski的基础上，我们得到NC算法完美匹配的任何小封闭图族，禁止一个交叉图。这个族包括几个研究得很好的图族，包括$K_{3,3}$ -minor-free graphs和$K_5$ -minor-free graphs。这类图不仅具有无界亏格，而且亏格可以高达$O(n)$。我们的方法也适用于与完美匹配相关的其他几个问题。特别是，我们获得NC算法的以下问题，在任何家庭的图（或网络）与一个交叉禁止未成年人：$\bullet$确定是否一个给定的图有一个完美的匹配，如果是这样，找到一个。$\bullet$在图中寻找最小权完美匹配，假设边权是多项式有界的。$\bullet$寻找网络中具有任意容量的最大$st$流。主要的新思想，使我们的结果是匹配模仿网络的定义和使用，小的替代网络的行为相同，相对于匹配问题，涉及一组固定的终端，作为更大的网络，他们取代。
2020-05-05 cs.DS
$O(1)$ Steiner Point Removal in Series-Parallel Graphs
我们研究了如何在保持图的度量和结构的同时对图进行顶点稀疏化。具体来说，我们研究了Steiner点去除（SPR）问题，我们被赋予一个加权图$G=(V,E,w)$和终端集$V' \subseteq V$，必须计算一个加权子$G'=(V',E', w')$的$G$的近似$G$的度量$V'$。度量嵌入领域的一个主要的开放问题是，对于每个（非平凡的）次闭图族，是否存在$O(1)$乘性失真SPR解。为此，以前的工作研究了SPR的树木，仙人掌和outerplanar图，并表明，在这些图中存在这样一个未成年人与$O(1)$失真。我们给$O(1)$失真SPR解决方案的串并联图，扩展了这条线的工作前沿。我们的方法的主要引擎是一个新的度量分解的串并行图，我们称之为吊床分解。大致上，吊床分解是一种森林状的结构，它保留了由串并行图导出的度量的某些关键部分。
2021-04-01 cs.DS
Subexponential Parameterized Algorithms for Cut and Cycle Hitting Problems on H-Minor-Free Graphs
我们设计了第一个次指数时间（参数化）算法的几个切割和循环击中问题的$H$ -小自由图。特别是，我们得到了以下结果（其中$k$是解决方案的大小参数）。1.边二分化和奇循环变换的$2^{O(\sqrt{k}\log k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法; 2.用于边缘多路切割的$2^{O(\sqrt{k}\log^4 k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法和用于顶点多路切割的$2^{O(r \sqrt{k} \log k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法，其中$r$是要分离的端子的数量; 3.用于边缘多切的$2^{O((r+\sqrt{k})\log^4 (rk))} \cdot n^{O(1)}$时间算法和用于顶点多切的$2^{O((\sqrt{rk}+r) \log (rk))} \cdot n^{O(1)}$时间算法，其中$r$是要分离的端子对的数量; 4.用于组反馈边集的$2^{O(\sqrt{k} \log g \log^4 k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法和用于组反馈顶点集的$2^{O(g \sqrt{k}\log(gk))} \cdot n^{O(1)}$时间算法，其中$g$是组的大小。5.此外，我们的方法也给出了$n^{O(\sqrt{k})}$时间算法的所有上述问题，除了$n^{O(r+\sqrt{k})}$时间的边缘/顶点多…
2022-07-04 cs.DM cs.DS
Optimal Bounds for the k-Disjoint Paths Problem
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；Discrete Mathematics Group, Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究所离散数学组）；LIRMM, Univ Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学CNRS LIRMM实验室）；School of Computing, KAIST（韩国科学技术院计算机学院）
本文提出了一种通用的无关顶点定理，用于k-不相交路径问题和根小世界检查的共同推广，即(k,d)-folio问题。通过引入bidimensionality的概念，改进了算法参数依赖性，并优化了图小世界算法框架的量化表现。
2026-05-14 cs.DM cs.DS math.CO
Vertex Sparsification for Edge Connectivity in Polynomial Time
在顶点稀疏化领域中的一个重要的开放问题是是否存在大小接近终端数的$(1+ε)$ -近似割保持顶点稀疏化器。Chalermsook等人的工作（SODA 2021）介绍了一种称为连通性- $c$模仿网络的松弛，它要求构建一个顶点稀疏器，该稀疏器将$k$终端之间的连通性精确地保持到$c$的值，并显示了动态连通性数据结构和可生存网络设计的应用。我们证明了具有$\widetilde{O}(kc^3)$边的连通性- $c$模仿网络存在，并且可以在$n$和$c$中在多项式时间内构造，改进了Chalermsook等人（SODA 2021）对任何$c \ge \log n$的结果，其运行时间以指数方式依赖于$c$。
2021-01-14 cs.DS
Directed Reachability-Preserving Minimum Edge Cut: Approximation and Planar Hardness
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究有向三终端保持可达性的最小边割问题，提出基于根线性近似的O(√r)近似算法，并证明有向平面版本是NP难的。
2026-06-17 cs.CC cs.DS
Terminal Dimension Reduction for Time Series with Applications
TU Dortmund（图宾根大学）；EPFL（苏黎世联邦理工学院）；CNRS & Université Paris Cité, IRIF（国家科学研究中心及巴黎cité大学，IRIF）；Aarhus University（奥胡斯大学）
研究针对时间序列聚类等复杂结构降维问题，将终端嵌入推广到仿射线段，利用保线终端嵌入结合约翰逊 - 林登施特劳斯嵌入获得无维核心集，实验表明其在时间序列降维上表现良好且有独特优势。
2026-07-13 cs.CG cs.DS cs.LG
The Even-Path Problem in Directed Single-Crossing-Minor-Free Graphs
本文首次将 EvenPath 问题从有向平面图扩展到 H-minor-free 有向图类，通过构造小型平面奇偶模拟网络并提出带总奇偶性约束的 3 条不相交路径多项式时间算法，解决了有向单交叉子式无关图中的偶路径问题。
2024-06-28 cs.DS
Single-Criteria Metric $r$-Dominating Set Problem via Minor-Preserving Support
Dartmouth College（达特茅斯学院）
本文提出了一种平面图中顶点加权度量r-支配集问题的单标准多项式时间O(1)近似算法，通过构造支撑图和几何论证，解决了r任意大的情况。
2026-03-31 cs.CG cs.DS
Parameterized Complexity of Directed Steiner Tree on Sparse Graphs
我们研究了经典{ \sc Steiner Tree}问题在各类有向稀疏图上的有向变体的参数化复杂性。虽然{ \sc Steiner树}的参数化复杂性由终端的数量参数化是很好的理解，不知道很多关于在解决方案树中的非终端的数量的参数化。对于这种参数化，已知的是有向和无向版本在一般图上都是W[2]-困难的，因此不太可能是固定参数的易处理FPT。无向{ \sc Steiner Tree}问题在限制于稀疏图类（如平面图）时变为FPT，但用于显示此结果的技术在有向平面图上失败。在这篇文章中，我们精确地绘制了{ \sc Directed Steiner Tree}（DST）在稀疏图上的易处理边界，该图由解树中的非终端数参数化。具体来说，我们证明了这个问题是固定参数的图不包括拓扑子听话，但成为W[2]-硬退化2的图。另一方面，我们表明，如果子图诱导的终端被要求是非循环的，那么这个问题成为FPT的有界退化图。我们进一步表明，我们的算法实现了最佳的运行时间依赖于解决方案的大小和退化的输入图，在标准的复杂性理论假设。利用DST的思想，我们还得到了稀疏无向图上{ \sc支配集}的改进算法。这些算法是渐进最优的。
2012-10-01 cs.DM cs.DS
An $\tildeΩ\big(\sqrt{\log |T|}\big)$ Lower Bound for Steiner Point Removal
针对 Steiner 点移除问题，本文证明了拉伸下界从常数 8 提升至 $\tilde\Omega(\sqrt{\log |T|})$，改进了已知结果。
2023-10-11 cs.DS
Resolving the Steiner Point Removal Problem in Planar Graphs via Shortcut Partitions
本文应用平面图的捷径划分概念解决了Steiner点移除（SPR）问题，通过构造保留终端间最短路径距离至常数因子的minor，肯定地解决了一个长期存在的开放问题。
2023-09-13 cs.CG cs.DS
A Constant-factor Approximation for Weighted Bond Cover
本文研究无 $\theta_c$ 子式图上的加权顶点删除问题，等价于 Weighted $c$-Bond Cover，并借助结构定理与原始-对偶方法给出首个常数因子近似算法。
2025-01-08 cs.DS
Paths and Intersections: Exact Emulators for Planar Graphs
研究平面图距离保持的顶点稀疏化问题，提出基于路径与交叉点分析方法构建大小为 $O(f^2k^2)$ 的精确平面模拟器，推广并插值了先前单一面和一般情况下的边界结果。
2025-07-13 cs.DS math.CO
Minor Containment and Disjoint Paths in almost-linear time
本文提出近线性时间的图 minor 包含判定算法，并推广到带根情形与 Disjoint Paths，核心是动态 treewidth 数据结构、无关顶点技术和近线性 flow/cut 驱动的递归理解。
2024-04-05 cs.DS math.CO
Network Sparsification for Steiner Problems on Planar and Bounded-Genus Graphs
我们提出了多项式时间算法，稀疏平面和有界属图，同时保持最佳或接近最佳的解决方案，施泰纳问题。我们的主要贡献是一个多项式时间的算法，给定一个未加权图$G$嵌入表面的属$g$和指定的面$f$有界的一个简单的周期长度$k$，发现一组$F \subseteq E(G)$的大小多项式在$g$和$k$包含一个最佳的Steiner树的任何一组终端是一个子集的$f$的顶点。我们应用这个一般定理证明了：* 给定嵌入在亏格$g$的曲面上的一个未赋权图$G$和一个终端集$S \subseteq V(G)$，我们可以在多项式时间内找到一个集合$F \subseteq E(G)$，它包含$S$的一个最优Steiner树$T$，并且在$g$和$|E(T)|$中具有大小多项式; * 一个类似的结果对于终端对集合$S$的一个最优Steiner森林也成立;* 给定一个未加权平面图$G$和一个终端集$S \subseteq V(G)$，可以在多项式时间内找到一个集$F \subseteq E(G)$，它包含一个分离$S$的最优（边）多路割$C$，并且在$|C|$中具有大小多项式。在参数化复杂性的语言中，这些结果意味着平面和有界亏格图（分别由树和森林的大小参数化）上的Steiner树和Steiner森林以及平面图（由割集的大小参数化）上的（边）多路割的第一多项式核。此外，我们得到了我们的主要贡献的加权变体。
2017-07-11 cs.DS
A Polynomial Kernel for Face Cover on Non-Embedded Planar Graphs
TU Eindhoven（埃因霍温理工大学）；RWTH Aachen（亚琛工业大学）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克技术大学）
本文提出了一种针对非嵌入平面图的面覆盖数问题的多项式核，通过构建SPR树并保留面覆盖属性来解决无预定义面边界的问题。
2026-01-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Lossy Planarization: A Constant-Factor Approximate Kernelization for Planar Vertex Deletion
在无F-minor-free删除问题中，我们希望在给定的图中找到一个最小顶点集，该顶点集与族F中所有图的minor模型相交。顶点平坦化问题是族F ={K_5，K_{3,3}}的无F-子式删除的一种特殊情况。只要族F包含至少一个平面图，则已知F-minor-free删除允许常数因子近似算法和多项式核化[Fomin，Lokshtanov，Misra和Saurabh，FOCS '12]。顶点平面化问题可以说是F不包含平面图的最简单的设置，并且常数因子近似或多项式核化的存在仍然是一个主要的开放问题。在这项工作中，我们表明，顶点平面化承认一个算法，这是一个组合的两种方法。也就是说，我们提出了一个多项式A-近似核化，对于某个常数A> 1，基于有损核化的框架[Lokshtanov，Panolan，Ramanujan和Saurabh，STOC '17]。简单地说，当给定图G和整数k时，我们展示了如何计算poly（k）顶点上的图G '，使得G'的任何B-近似解都可以提升为G的（A * B）-近似解，只要A * B * OPT（G）<= k。为了实现这一点，我们开发了一个框架，稀疏的平面图，近似保留所有的隔离符和近隔离符之间的子集给定的终端集。我们的结果产生了一个国家的最先进的顶点平面化的近似算法的改进。这个问题允许一个多项式时间O（n ^eps）-近似算法，对于任何eps> 0，和一个准多项式时间（…
2022-02-04 cs.CC cs.DS
Friendly Cut Sparsifiers and Faster Gomory-Hu Trees
我们设计了新的切割稀疏因子，与Nagamochi和Ibaraki的经典稀疏化相关[Jummica，1992]，这是一种算法，给定$n$节点上的未加权图$G$和参数$k$，计算具有$O(nk)$边的子图，该子图保留$k$的所有切割值。我们提出了友好切割稀疏因子的概念，它是$G$的一个未成年人，它保留了$k$的所有友好切割值，其中$G$中的切割被称为友好的，如果每个节点有更多的边将其连接到切割的自己一侧而不是另一侧。我们提出了一个算法，给定一个简单的图$G$，计算在几乎线性时间的友好切割稀疏与$\tilde{O}(n \sqrt{k})$边缘。使用类似的技术，我们还展示了如何，另外一个终端集$T$，人们可以计算在几乎线性时间的终端稀疏，它保留了最小的$st$ -削减之间的每对终端，与$\tilde{O}(n \sqrt{k} + |T| k)$边缘。将这些稀疏器插入到最近的用于构造简单图的Gomory-Hu树的$n^{2+o(1)}$时间算法中，以及用于处理不友好的最小割的相对简单的过程，我们改进了中等密集图的运行时间（例如，具有$m=n^{1.75}$边缘）。特别地，假设线性时间最大流算法，新的Gomory-Hu树的最新技术是我们的$(m+n^{1.75})^{1+o(1)}$和已知的$m n^{1/2+o(1)}$之间的最小值。我们进一步研究这种方法的局限性和更好的稀疏化的可能性。…
2021-10-29 cs.DS
Vertex Sparsification for Edge Connectivity
图的压缩或稀疏化是一个基本的信息论和计算问题。在这个研究领域的一个主要的开放问题是是否存在$(1+ε)$近似切割保持顶点稀疏的大小接近终端的数量。作为实现这一目标的一步，我们研究了一个阈值版本的问题：对于一个给定的参数$c$，找到一个更小的图，我们称之为连接- $c$模仿网络，它保留$k$终端之间的连接正好达到$c$的值。我们发现，连接$c$模仿网络与$O(kc^4)$边缘存在，并可以在时间$m(c\log n)^{O(c)}$。我们还给出了一个单独的算法，构造这样的图与$k \cdot O(c)^{2c}$边的时间$mc^{O(c)}\log^{O(1)}n$。这些结果导致第一个数据结构，用于回答全动态离线$c$ -边连接查询$c \ge 4$在多对数时间每个查询，以及更有效的算法生存网络设计有界树宽图。
2020-07-15 cs.DS
Cutting corners cheaply, or how to remove Steiner points
我们的主要结果是，斯坦纳点删除（SPR）问题总是可以解决与多对数失真，这回答了肯定的问题提出的陈，夏，Konjevod，和Richa（2006）。具体地说，我们证明了，对于每一个边加权图$G = (V,E,w)$和终端$T \subseteq V$的子集，有一个图$G'=(T,E',w')$是同构的$G$的一个小的，使得每两个终端$u,v\in T$，它们之间的最短路径距离在$G$和$G'$满足$d_{G,w}(u,v) \le d_{G',w'}(u,v) \le O(\log^5|T|) \cdot d_{G,w}(u,v)$。我们的存在性证明实际上给出了一个随机多项式时间算法。我们的证明功能的度量分解的一个新的变种。众所周知，每个$n$ -点度量空间$(X,d)$允许$β=O(\log n)$的$β$ -分离分解，这大致意味着对于每个期望的直径界$Δ>0$，存在$X$的随机划分，它满足以下分离要求：对于每个$x,y \in X$，它们位于划分的不同簇中的概率至多为$β\,d(x,y)/Δ$ .我们引入了一个额外的要求，这是以下的尾界：对于每个长度为$d(P) \leq Δ/β$的最短路径$P$，满足路径$P$的分区的集群的数量，表示为$Z_P$，满足所有$t>0$的$\Pr[Z_P > t] \le 2e^{-Ω(t)}$。
2015-08-20 cs.DS
Inapproximability of Additive Weak Contraction under SSEH and Strong UGC
几十年来，图的简洁表示一直是计算机科学的中心研究对象。在本文中，我们研究了Bernstein等人（ITCS，2018）引入的称为\emph{Distance Preserving Graph Contractions}的操作。这个操作给出了一个minor作为图的简洁表示，它保留了原始图的所有距离（直到某个因子）。由收缩给出的图子式可以被看作是空间的对偶，因为距离只能收缩（而在空间的情况下距离是拉伸的）。Bernstein等人证明了寻找最大边子集的问题的不可逼近性结果，这些边子集产生除了加性弱收缩之外的几乎主要类别的图的距离保持图收缩。本文的主要结果是填补了Bernstein等人的空白，证明了具有$n$个顶点的图的最大可加弱收缩问题对每个常数$ε>0$都不可逼近到因子$n^{1-ε}$.我们的硬度结果遵循最大边Biclique（\textsc{MEB}）问题的结果，最近Manurangsi（ICALP，2017）在\textsc{Small Set Expansion Hypothesis (SSEH)}下和Bhangale等人（APPROX，2016）在\textsc{Strong Unique Games Conjecture (SUGC)}下证明了$n^{1-ε}$的不可逼近性（两个结果都假设了$\mathrm{NP}\not\subseteq\mathrm{BPP}$）。
2019-11-30 cs.CC cs.DS
Improved Lower Bound for Steiner Point Removal
Grainger College of Engineering, University of Illinois（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校格拉英工程学院）；University of California, Santa Cruz（加州大学圣克鲁兹分校）
针对Steiner点移除问题，利用低度高围长扩展图构造，通过更精细的扩展性分析，将可实现拉伸的下界从$\Omega(\sqrt{\log|T|/\log\log|T|})$改进至$\Omega(\sqrt{\log|T|})$。
2026-10-02 cs.DS
Determinant-Preserving Sparsification of SDDM Matrices with Applications to Counting and Sampling Spanning Trees
我们表明，频谱稀疏化例程的变体可以保持图的总生成树计数，这是基尔霍夫的矩阵树定理，相当于一个图的拉普拉斯小调，或等价的，任何SDDM矩阵的行列式。我们的分析利用这种组合连接来桥接统计杠杆分数/有效阻力和随机图分析[Janson，Combinatorics，Probability and Computing '94]。这导致了一个例程，在二次时间内，以保持行列式和生成树分布的方式将图稀疏化到大约$n^{1.5}$边（假设稀疏化的图被视为随机对象）。扩展该算法的工作与舒尔补充和近似Choleksy因子分解导致算法的计数和采样生成树，这是近最佳的稠密图。我们给出了一个算法，计算一个$(1 \pm δ)$近似的行列式的任何SDDM矩阵具有恒定的概率在约$n^2 δ^{-2}$时间。这是图的第一个例程，它在计算任意矩阵的行列式时优于通用例程。我们还给出了一个算法，在大约$n^2 δ^{-2}$的时间生成的一个加权无向图的生成树从分布的总变化距离为$δ$从$w$ -均匀分布。
2017-05-02 cs.DS
