An improved upper bound on the integrality ratio for the $s$-$t$-path TSP
我们对SebIgnand van Zuylen [2016]提出的具有孤独边缘删除的多人最佳Christofides算法进行了改进分析。这意味着一个改进的上限上的完整性比的标准LP松弛的$s$ - $t$路径TSP。
2019-07-23 cs.DM cs.DS math.CO
TSP integrality gap via 2-edge-connected multisubgraph problem under coincident IP optima
Whiting School of Engineering, Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学惠廷工程学院）
本文通过2-edge-connected multisubgraph问题的唯一整数最优解和半整数LP解，证明TSP的积分间隙不超过4/3。
2025-12-05 cs.DS math.OC
Lower Bounds on the Integraliy Ratio of the Subtour LP for the Traveling Salesman Problem
在本文中，我们研究的情况下，具有高完整性比的子环LP。我们开发了一个程序来生成家庭的欧几里得TSP的实例，其完整性比收敛到$\frac{4}{3}$，并可能有一个不同的结构比目前已知的文献中的实例。此外，我们计算的实例最大化的完整性比矩形TSP与多达10个顶点。在此基础上，给出了具有相似结构的直线型、多维直线型和欧氏型TSP的完整性比收敛于$\frac{4}{3}$的实例族.我们表明，我们的多维矩形TSP的实例和度量TSP的已知实例在一定的假设下最大化的完整性比。我们还研究了局部最优性的概念与完整性比，并开发了几种算法来找到高完整性比的情况。此外，我们描述了一个家庭的情况下，在实践中很难解决。目前最快的TSP求解器Concorde需要两天多的时间来解决具有52个顶点的族中的实例。
2021-02-09 cs.DM cs.DS math.CO
Semidefinite Programming Relaxations of the Traveling Salesman Problem and Their Integrality Gaps
旅行商问题是组合优化中的一个基本问题。最近已经提出了几种半定规划松弛，它们利用了各种数学结构，例如，代数连通性、置换矩阵和关联方案。本文的主要结果是双重的。首先，de Klerk和Sotirov [9]提出了一种基于置换矩阵和对称约化的SDP;他们表明，它与子环消除线性规划不可比拟，但通常在小实例上优于它。我们提供了一个家庭的\emph{simplicial TSP instances}，这表明该SDP的完整性差距是无界的。其次，我们证明了这些单纯TSP实例意味着Sotirov [24]第2节中关于TSP的SDP松弛的调查中提到的TSP的每个SDP松弛的无界积分间隙。相比之下，subtour LP在单纯实例上表现完美。因此，单纯的情况下，形成一个自然的试金石未来的SDP松弛的TSP。
2019-07-21 cs.DM cs.DS math.OC
Maximum Entropy is a 10/7-Approximation Algorithm for the TSP on Half-Integral Cycle Cut Instances
Purdue University（普渡大学）；Boston University（波士顿大学）；Cornell University（康奈尔大学）
针对TSP的半整数环割实例，证明最大熵算法达到10/7近似比，该类实例包含Subtour LP积分间隙为4/3的案例，且算法性能不低于11/8。
2026-07-03 cs.DS
A (Slightly) Improved Bound on the Integrality Gap of the Subtour LP for TSP
本文证明了度量TSP中subtour LP的整数间隙至多为3/2-ε（ε>10^-36），并基于最大熵算法分析为2-edge-connected multi-subgraph问题提供了优于Christofides算法的随机近似。
2022-04-11 cs.DS math.CO math.PR
On Integrality Ratios for Asymmetric TSP in the Sherali-Adams Hierarchy
我们研究了ATSP（非对称旅行商问题），我们的重点是在Sherali-Adams（SA）电梯和项目方法的框架下的负面结果。我们的主要结果涉及到标准的LP（线性规划）ATSP松弛，由于Dantzig，Fulkerson和约翰逊。对于任意固定整数$t\geq 0$和小$ε$，$0<ε\ll{1}$，存在$ν=ν(t,ε)=O(t/ε)$顶点上的有向图$G$，使得从$G$上的标准LP开始的SA系统的水平$t$的完整性比为$\ge 1+\frac{1-ε}{2t+3} \approx \frac43, \frac65, \frac87, \dots$ .因此，就输入大小而言，结果适用于任何$t = 0,1,\dots,Θ(ν)$级别。我们的主要贡献是确定的有向图的结构属性，使我们能够构建分数可行的解决方案，从标准的~LP开始的SA系统的任何级别~ $t$。我们的硬实例是简单的，并满足结构性质。有一个进一步放松的标准LP称为平衡LP，和我们的方法大大简化时，SA系统的起始LP是平衡的~LP;特别是，相关的结构性质（有向图）简化，使得它是由著名的Charikar，Goemans和Karloff（CGK）的建设给出的有向图满足。因此，CGK有向图作为硬实例，我们得到了$1 +\frac{1-ε}{t+1}$对SA系统的任何水平$t$的完整性比，其中$0<ε\ll{1}$和顶点数为$ν(t,ε)=…
2014-05-05 cs.DS
Extending Exact Integrality Gap Computations for the Metric TSP
University of Waterloo（滑铁卢大学）；Research Institute for Discrete Mathematics and Hausdorff Center for Mathematics, University of Bonn（波恩大学离散数学研究所和豪斯多夫数学中心）；Research Institute for Discrete Mathematics, University of Bonn（波恩大学离散数学研究所）
本文通过扩展子游走松弛的整数规划间隙验证，发现n=11和n=12时极端点列表不完整，并将极端点枚举扩展到14个顶点，为4/3猜想提供支持。
2026-09-09 cs.DS math.CO
Improving Christofides' Algorithm for the s-t Path TSP
对于任意度量的s-t路径TSP，我们给出了一个确定性的（1+sqrt（5））/2-近似算法.给定一个对称度量成本的n个顶点，包括两个预先指定的端点，问题是要找到一个最短的汉密尔顿路径之间的两个端点; Hoogeveen表明，自然变种的Christofides'算法是一个5/3-近似算法这个问题，这个渐近紧界实际上一直是最好的近似比已知到现在。我们修改该算法，使其选择初始生成树的基础上的最佳解决方案的Held-Karp松弛，而不是一个最小的生成树，我们证明了这个简单的，但至关重要的修改导致改进的近似比，超越了20岁的障碍集的自然Christofides的算法变体。我们的算法还证明了路径变化的Held-Karp松弛的完整性间隙的上界为（1+sqrt（5））/2。本文设计的技术可以应用到其他优化问题，以及：这些应用程序包括改进的近似算法和改进的LP完整性差距上界的奖品收集s-t路径问题和单位重量的图形度量s-t路径TSP。
2011-11-02 cs.DS
An Improved Approximation Algorithm for TSP in the Half Integral Case
针对度量旅行商问题（TSP）的最优解为半整数的情形，设计了一个$1.49993$ -近似算法.这些情况在过去十年中受到了极大的关注，因为Schalekamp、Williamson和van Zuylen猜想半积分LP解在所有分数阶解中具有最大的积分性间隙。因此，如果Schalekamp等人的猜想成立，我们的结果表明子环多面体的完整性间隙是有界远离$3/2$。
2019-08-01 cs.DM cs.DS math.PR
Approximating Graphic TSP by Matchings
我们提出了一个框架，近似度量TSP的基础上使用一种新的匹配。传统上，匹配已被用来添加边缘，以使一个给定的图欧拉，而我们的方法也允许删除某些边缘，从而降低成本。对于图度量上的TSP（graph-TSP），该方法给出了关于Held-Karp下界的1.461-近似算法.对于图-TSP限制到一类图，其中包含度3有界和无爪图，我们证明了Held-Karp松弛的完整性间隙匹配的压缩比4/3。该框架允许在一个自然的方式进行概括，也导致了1.586-近似算法的旅行推销员路径问题的图形度量的开始和结束顶点预先指定。
2011-04-15 cs.DS
A Constant-Factor Approximation for Directed Latency in Quasi-Polynomial Time
本文给出了有向延迟问题在拟多项式时间内的第一个常数因子近似。这里，目标是访问非对称度量中的所有节点，其中单个车辆从仓库$r$开始，以最小化节点等待车辆访问的平均时间。近似保证是对多项式时间$O(\log n)$近似的改进[Friggstad，Salavatipour，Svitkina，2013]，并且没有更好的准多项式时间近似算法。为了实现这一点，我们必须扩展最近的一个结果，该结果表明非对称TSP路径LP松弛的完整性间隙受常数限制[Köhne，Traub和Vygen，2019]，这本身建立在突破性结果的基础上，即标准非对称TSP的完整性间隙也是常数[Svensson，Tarnawsi和Vegh，2018]。我们表明，标准的非对称TSP路径完整性间隙是有界的一个常数，即使削减要求的LP松弛放松从$x(δ^{in}(S)) \geq 1$到$x(δ^{in}(S)) \geq ρ$为一些常数$1/2 < ρ\leq 1$。我们还给出了一个更好的近似保证在特殊情况下的有向延迟在遗憾的指标，其目标是找到一个路径$P$最小化的平均时间节点$v$等待超过$c_{rv}$，即$\frac{1}{|V|} \cdot \sum_{v \in V} (c_v(P)-c_{rv})$。
2020-04-15 cs.DS
Better approximation guarantee for Asymmetric TSP
Research Institute for Discrete Mathematics and Hausdorff Center for Mathematics, University of Bonn（波恩大学离散数学研究所与哈道夫数学中心）
本文改进了不对称TSP的近似比，低于15，并在无权有向图和给定端点的最小成本巡回问题中获得更优比值，同时改进了自然线性规划松弛的积分比上界。
2026-03-15 cs.DS math.CO
Characterizing the Integrality Gap of the Subtour LP for the Circulant Traveling Salesman Problem
我们考虑的完整性差距的旅行推销员问题的子巡回LP松弛限制循环的情况下。De Klerk和Dobre指出，在这些情况下，子图LP的最优解的值等于Van der Veen，Van Dal和Sierksma的完全组合下界。我们证明了这一猜想，给出了一个明确的最优解的子行程LP。然后，我们用它来表明，完整性差距的subtour LP是2循环的实例，使这样的实例之一的少数非平凡类TSP的实例，其中完整性差距的subtour LP是完全已知的。我们还表明，程度的限制不加强循环实例的子游LP，模仿简约的度量，对称TSP的实例中所示的Goemans和Bertsimas在一个明显的非度量的实例集。
2019-07-23 cs.DM cs.DS math.CO
Approximating Asymmetric A Priori TSP beyond the Adaptivity Gap
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；University of Bonn（波恩大学）
本文研究带独立激活概率的非对称先验TSP，证明适应性差距的多项式下界，并通过Hop-ATSP、低直径分解和覆盖归约等方法给出准多项式时间O(log n)近似算法。
2025-10-20 cs.DS
Beating the integrality ratio for s-t-tours in graphs
在旅行商问题的各种变体中，s-t-路图TSP具有我们知道精确的完整性比率3/2和匹配此比率的近似算法的特殊性。在本文中，我们低于这个阈值：我们设计了一个多项式时间算法的s-t-路径图TSP的近似比1.497。我们的算法可以被视为SebIgnand Vygen [2014]的3/2-近似算法的改进，但我们引入了几种全新的技术。这些措施包括一种新的类型的耳朵分解，增强耳朵感应，揭示了一个新的连接到拟阵联盟，更强的下界，并减少一般的情况下，s和t有小的距离（适用于一般度量）的情况。
2018-09-17 cs.DM cs.DS math.CO
TSP Tours in Cubic Graphs: Beyond 4/3
经过一系列改进，Boyd、Sitters、van der Ster和Stougie证明了任何n个顶点的度为3的2连通图，即，一个3次2-连通图，有一个长度不超过（4/3）n的Hamilton回路，特别地，建立了3次2-连通图的子回路LP的完整性间隙不超过4/3，并匹配著名的4/3猜想的证明值。在本文中，我们改进了这一结果，设计了一个算法，找到一个旅游的长度（4/3 - 1/61236）n，这意味着立方2-连通图是少数有趣的类图的子旅游LP的完整性差距是严格小于4/3。与以前的结果，并考虑一个更小的k，我们表明，TSP松弛的完整性差距是最多4/3 -k，即使该图不是2-连通的（即立方连通图），这意味着在立方图的TSP的逼近阈值严格低于4/3。最后，使用类似的技术，我们表明，作为一个额外的结果，每个巴内特图承认旅游的长度最多（4/3 - 1/18）n。
2013-10-07 cs.DM cs.DS math.CO
13/9-approximation for Graphic TSP
旅行商问题是近似算法中最基本、研究最多的问题之一。30多年来，一般度量的最佳算法是近似因子为3/2的Christofides算法，尽管该问题的所谓Held-Karp LP松弛被证明只有4/3的完整性差距。最近，对于图形度量的重要特殊情况已经取得了重大进展，首先是由Oveis Gharan等人，然后是莫克和斯文森在本文中，我们提供了一个改进的分析方法介绍了由Momke和Svensson产生的13/9的近似因子的界，以及一个19/12+的界为任何n> 0的一个更一般的旅行推销员路径问题的图形度量。
2011-10-04 cs.DS
Comb inequalities for typical Euclidean TSP instances
我们证明了即使在平均情况下，当Held-Karp线性规划松弛被所有有界大小的梳状不等式增广时，欧几里德旅行商问题对于$ε>0$也表现出$(1+ε)$的完整性缺口.这意味着大类的分支和切割算法需要指数时间的欧几里得TSP，即使在随机输入。
2023-03-30 cs.DM cs.DS math.CO
From Symmetry to Asymmetry: Generalizing TSP Approximations by Parametrization
我们推广的树加倍和Christofides算法，两个最常见的近似TSP，参数化近似ATSP。我们考虑的参数为各自的参数化的上限的数量在给定的情况下，不对称的距离，从而产生算法，以有效地计算常数因子近似也适度不对称TSP的情况。作为Christofides算法的推广，我们得到了一个参数化的2.5-近似，其中参数是由非对称边诱导的子图的顶点覆盖的大小。我们的推广的树加倍算法给出了一个参数化的3-近似，其中的参数是在一个给定的最小生成树形图的非对称边的数量。这两种算法也表示在加性有损核化的形式，这允许将它们与已知的多项式时间近似ATSP。此外，我们将它们与对称松弛的概念相结合，允许交易近似保证运行时。我们补充我们的结果的实验评估，这表明，广义树加倍经常优于广义Christofides参数大小。
2020-02-26 cs.DS
On Approximating Multi-Criteria TSP
我们目前的近似算法几乎所有的变种的多标准旅行商问题（TSP）。首先，我们设计了多准则最大旅行商问题（Max-TSP）的随机近似算法。对于多准则Max-STSP，其中的边权重必须是对称的，我们设计了一个算法的近似比为2/3 - eps。对于多准则Max-ATSP，边的权重可能是不对称的，我们提出了一个算法的比率为1/2 - eps。我们的算法适用于任何固定数量k的目标。此外，我们提出了一个确定性算法的双标准Max-STSP，实现了近似比为7/27。最后，我们给出了一个求解带三角不等式的非对称多准则最小TSP问题的随机近似算法Min-ATSP。该算法实现了log n + eps的比率。
2011-07-13 cs.DS
A 4/3-Approximation Algorithm for Half-Integral Cycle Cut Instances of the TSP
本文针对TSP半整数实例中所有临界紧集均为环割的情形，构造了期望成本至多为LP解值4/3倍的巡回分布，从而给出紧的随机化4/3近似算法，部分证实了长期存在的4/3完整性间隙猜想。
2023-07-09 cs.DS math.OC
Hard to Solve Instances of the Euclidean Traveling Salesman Problem
众所周知的$4/3$猜想指出，对于度量旅行商实例，子环LP的完整性比至多为$4/3$。我们提出了一个家庭的欧几里德旅行推销员的情况下，我们证明了完整性比的子旅游LP收敛到$4/3$。这些实例（使用四舍五入的欧几里德范数）很难用Concorde精确求解，Concorde是现有最快的精确TSP求解器。对于来自我们的欧几里得旅行推销员实例家族的200个顶点的实例，Concorde需要几天的CPU时间。这是类似大小的TSPLIB实例运行时的1，000，000倍以上。因此，我们的新家庭的欧几里德旅行推销员的实例可以作为新的基准实例的TSP算法。
2020-03-17 cs.CC cs.DM cs.DS
Improving the Asymmetric TSP by Considering Graph Structure
École des Mines de Nantes（南特矿业学院）；LINA UMR CNRS 6241（法国国家科学研究中心LINA实验室（UMR 6241））
最近的工作成本为基础的放松，改进了约束规划（CP）模型的旅行推销员问题（TSP）。我们提供了一个简短的调查，解决非对称TSP的CP。然后，我们提出了新的隐含传播的基础上一般的图形属性。我们的实验表明，这种隐含的传播者带来的鲁棒性病态的情况下，突出的事实，图结构可以显着提高搜索的搜索引擎行为。最后，我们表明，我们的方法优于目前最先进的结果。
2012-06-15 cs.AI cs.DM cs.DS
Solving a Random Asymmetric TSP Exactly in Quasi-Polynomial Time w.h.p
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文提出一种在准多项式时间内几乎必然性精确求解随机非对称旅行商问题的算法。
2026-07-28 cs.DS math.CO
Effective-Resistance-Reducing Flows, Spectrally Thin Trees, and Asymmetric TSP
我们证明了非对称旅行商问题的自然LP松弛的完整性间隙是$\text{polyloglog}(n)$。换句话说，存在一种多项式时间算法，其在因子$\text{polyloglog}(n)$内近似最优行程的值，其中$\text{polyloglog}(n)$是$\log\log(n)$的有界次数多项式。我们证明了这一点，表明任何$k$ -边连接的赋权图有一个$\text{polyloglog}(n)/k$ -薄生成树。我们的主要新成分是一个程序，虽然是一个指数大小的凸计划，“变换”的图形，不承认任何频谱薄树到那些证明有频谱薄树。更确切地说，给定一个$k$ -边连通图$G=(V,E)$，其中$k\geq 7\log(n)$，我们表明，有一个矩阵$D$，“保留”的结构的所有切割的$G$，使一组$F\subseteq E$，诱导一个$Ω(k)$ -边连通图，有效电阻$F$ w.r.t. $D$至多为$\text{polylog}(k)/k$。然后，我们使用Marcus，Spielman和Srivastava [MSS 13]的开创性工作的最近扩展[AO 14]来证明关于$D$的$\text{polylog}(k)/k$ -谱瘦树的存在性。这样的树是$\text{polylog}(k)/k$ -相对于$G$组合地薄的，因为$D$保留了$G$的切割的结构。
2015-09-01 cs.DS
The Unbounded Integrality Gap of a Semidefinite Relaxation of the Traveling Salesman Problem
研究了de Klerk，Pasechnik和Sotirov [8]提出的旅行商问题的半定规划松弛，证明了其松弛具有无界的积分间隙.特别是，我们给出了一个家庭的情况下，使差距与$n$线性增加。为了得到这个结果，我们在一个高度结构化的矩阵类中寻找可行的解决方案;找到这样的解决方案的问题归结为找到一个相关的线性规划的可行的解决方案，我们分析。我们找到的解决方案意味着无界的完整性差距。此外，他们暗示了几个推论，帮助我们更好地理解半定计划和它的关系，其他TSP松弛。利用同样的技巧，我们证明了由de Klerk，de Oliveira Filho和Pasechnik [7]引入的一个更一般的半定规划对于$k$ -圈覆盖问题也有一个无界的完整性缺口.
2017-10-23 cs.DM cs.DS math.OC
Improving on Best-of-Many-Christofides for $T$-tours
$T$ -tour问题是TSP和路径TSP的自然推广。给定一个图$G=(V,E)$、边代价$c: E \to \mathbb{R}_{\ge 0}$和一个偶基数集$T\subseteq V$，我们想计算一个连接$G$的所有顶点（可能包含平行边）的最小代价$T$ -连接。本文给出了$T$ -tour问题的一个$\frac{11}{7}$ -近似，并证明了标准LP松弛的完整性比至多为$\frac{11}{7}$ .尽管在特殊情况下路径TSP取得了很大进展，但对于一般的$T$ -tours，这是SebIgn对Best-of-Many-Christofides算法的分析的第一次改进（SebIgn [2013]）。
2020-09-21 cs.DM cs.DS
Asymmetric Traveling Salesman Path and Directed Latency Problems
本文研究了有向图上两个密切相关的问题的完整性缺口和可逼近性。给定一个在底层非对称度量中的n个节点的集合V和两个指定的节点s和t，这两个问题都要求找到访问所有其他节点的s-t路径。在非对称旅行商路径问题（ATSPP）中，目标是最小化这条路径的总费用;在有向延迟问题中，目标是最小化这条路径上从s到每个节点的距离之和。这两个问题都是NP难问题。ATSPP的最著名的近似算法的比率为O（log n），直到最近的结果将其提高到O（log n/ log log n）。然而，它的线性规划松弛的完整性间隙只有一个O（sqrt（n））的界已经知道。对于定向延迟，对于任何常数eps > 0，先前已知的最佳近似算法具有O（n^（1/2+eps））的保证。我们提出了一个新的算法的ATSPP问题，具有O（log n）的近似比，但其分析也限制了完整性差距的标准LP松弛ATSPP由相同的因素。这解决了Chekuri和Kazakhstan [2007]提出的一个开放问题。然后，我们进行更深入的研究，这个线性程序及其变化，这导致了一个算法的k人ATSPP（其中k S-T路径的最小总长度的要求）和O（log n）-近似的定向延迟问题。
2010-06-01 cs.DS
A near-optimal approximation algorithm for Asymmetric TSP on embedded graphs
对于有界可定向亏格和不可定向亏格的非对称旅行商问题，我们给出了一个近似多项式时间近似算法。我们的算法在亏格为g的图上实现了O（f（g））的逼近因子，其中f（n）是在任意n-顶点图上在多项式时间内可实现的最佳逼近因子。特别地，Asadpour等人[SODA 2010]的一般图的O（log（n）/loglog（n））-近似算法直接暗示了genus-g图的O（log（g）/loglog（g））-近似算法。我们的结果改进了Oveis Gharan和Saberi [SODA 2011]的O（sqrt（g）*log（g））-近似算法，该算法仅适用于具有可定向亏格g的图;我们的结果是具有有界不可定向亏格的图的第一个近似算法。此外，利用最近的进展，近似的图的亏格，我们的O（log（g）/ loglog（g））-近似可以实现，即使没有嵌入时，输入图有界度。相比之下，Oveis Gharan和Saberi的O（sqrt（g）*log（g））-近似算法需要亏格-g嵌入作为输入的一部分。最后，我们的技术导致了一个O（1）-近似算法的ATSP图的亏格g，运行时间为2^O（g）*n^O（1）。
2013-05-10 cs.CG cs.DS
Constant-factor approximations for asymmetric TSP on nearly-embeddable graphs
非对称旅行商问题（ATSP）的目标是在一个有向图中找到一个访问每个顶点的最小费用的闭行走。我们考虑ATSP在拓扑限制图上的可逼近性。[Oveis Gharan and Saberi 2011]已经证明了平面图和更一般的常定向亏格的图上存在多项式时间常数因子近似。这一结果由[Erickson and Sidiropoulos 2014]扩展到不可定向的属。我们证明了对于任何一类\emph{nearly-embeddable}图，ATSP都有多项式时间常数因子近似。更精确地说，我们证明了，对于任何固定的$k\geq 0$，存在$α, β>0$，使得ATSP上的$n$ -顶点$k$ -近嵌入图允许一个$α$ -近似的时间$O(n^β)$。一类$k$ -几乎可嵌入图包含至多有$k$顶点、至多有$k$宽度的$k$涡、至多有$k$可定向亏格或不可定向亏格的底层曲面的图.在我们的工作之前，即使是单顶点图的情况也是开放的。我们的算法结合了工具，从四舍五入的Held-Karp LP通过薄树与动态规划。我们补充我们的上界显示，解决ATSP的路径宽度$k$图（因此在$k$ -近嵌入图）需要时间$n^{Ω(k)}$，假设指数时间假设（ETH）。这是令人惊讶的，因为无向图上的TSP和有向图上的最小成本哈密尔顿圈都是由树宽参数化的FPT。
2016-01-07 cs.CG cs.DS
The traveling salesman problem on cubic and subcubic graphs
研究了三次图和次三次图的度量完备化问题，该问题是NP-难的。这个问题是有趣的，因为它与著名的度量TSP的4/3猜想有关，该猜想说，完整性间隙，即，TSP的最优值与其线性规划松弛（subtour elimination relaxation）之间的最差情况比为4/3。我们提出了近似比为4/3的三次图的第一个算法。证明使用多面体技术在一个令人惊讶的方式，这是独立的利益。事实上，我们建设性地证明了，对于任何三次图的$n$顶点的旅游长度为4n/3 - 2存在，这也意味着4/3猜想，作为一个上界，这类图TSP。最近，Mömke和Svensson提出了一个随机算法，给出了一般图上图-TSP的1.461-近似，并作为副结果给出了次三次图上图-TSP的4/3-近似算法，解决了这类图-TSP的4/3猜想.我们将提出一种方法去随机化他们的算法，导致一个更小的运行时间比明显的去随机化。所有后者也适用于多重图。
2011-07-06 cs.CC cs.DM cs.DS
New Inapproximability Bounds for TSP
本文研究了度量旅行商问题（TSP）的可逼近性，并证明了该问题新的显式不可逼近界。到目前为止已知的最好的近似边界的硬度是185/184对称的情况下（由于Lampis）和117/116不对称的情况下（由于Papadimitriou和Vempala）。我们在这里构造了两个新的有界发生CSP约简，分别将这些界提高到123/122和75/74。后一个界限是第一次改善，在十多年的情况下，不对称TSP。我们的主要工具之一，这可能是独立的利益，是一个新的建设有界度轮放大器用于证明我们的结果。
2013-06-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Many visits TSP revisited
我们研究了多次访问TSP问题，其中给定一个数$k(v)$为每个$n$城市和成对（可能是不对称的）整数距离，一个必须找到一个最佳的旅游，访问每个城市$v$正好$k(v)$倍。目前最快的算法是由Berger、Kozma、Mnich和Zeroze [SODA 2019，TALG 2020]提出的，并在时间和空间上运行$\mathcal{O}^*(5^n)$。它们还显示了在时间上运行的多项式空间算法$\mathcal{O}^*(16^{n+o(n)})$。在这项工作中，我们展示了三个主要结果：（i）一个随机多项式空间算法的时间$\mathcal{O}^*(2^nD)$，其中$D$是两个城市之间的最大距离。通过使用标准方法，这导致在时间上的$(1+ε)$近似$\mathcal{O}^*(2^nε^{-1})$。改进这些结果中的常数$2$将是一个重大突破，因为它将导致改进有向哈密顿循环的$\mathcal{O}^*(2^n)$时间算法，这是一个50年的开放问题。(ii)Berger等人的严密分析。的指数空间算法，导致$\mathcal{O}^*(4^n)$运行时间受限。(iii)一个新的多项式空间算法，运行在时间$\mathcal{O}(7.88^n)$。
2020-05-05 cs.DS
The Salesman's Improved Paths: 3/2+1/34 Integrality Gap and Approximation Ratio
给出了度量$s-t$路径TSP的一个新的强多项式时间算法和改进的分析。它发现一个巡回赛的成本小于1.53倍的最佳的子巡回赛消除LP，而已知的例子表明，1.5是一个下界的完整性差距。一个关键的新想法是删除一些边的Christofides'树，这是伴随着新的论点的分析：边删除断开的树，然后部分重新连接的“奇偶校验校正”。我们表明，所产生的“连接校正”可以实现一个小的额外成本。一方面，该算法和分析扩展了以前的工具，如最佳的许多Christofides算法。另一方面，寻求强大的新工具，如分析重连成本的流问题，和越来越多的限制性的生成树，其中每一个仍然可以找到的贪心算法的建设。我们表明，这些树可以取代最好的可能Christofides算法中的凸组合的生成树。这些新方法可以将完整性比和近似保证提高到1.53以下，正如FOCS 2016上出现的本文的初步缩短版本中所述。在本文中，算法和分析已被显著简化，并添加了证明和解释的细节。
2018-08-28 cs.DM cs.DS math.CO
Approximability of Connected Factors
图的d-正则生成子图（或d-因子）的求法很容易通过Tutte对匹配问题的约化而得到。通过同样的约简，很容易找到一个图的最小或最大d-因子。然而，如果我们要求d-因子是连通的，这些问题就变成了NP-难的--找到一个最小连通的2-因子就是旅行商问题（TSP）。给定一个边权满足三角不等式的完全图，考虑求最小连通$d$ -因子的问题。我们给出了所有$d$的3-近似，并将其改进为偶数d的（r+1）-近似，其中r是TSP的近似比。这产生了偶数d的2.5近似。同样的算法产生一个（r+1）-近似的有向版本的问题，其中r是近似比的非对称TSP。我们还表明，没有这些最小化问题可以近似比相应的TSP。最后，对于判定给定图是否包含连通d-因子的判定问题，我们推广了已知的硬度结果。
2013-10-09 cs.DS
Efficient constructions of convex combinations for 2-edge-connected subgraphs on fundamental classes
求解2-边连通生成多重图问题（2 EC）的LP松弛问题的精确完整性间隙$α$与求解度量旅行商问题（TSP）的Held-Karp松弛问题密切相关.虽然前一个问题似乎比后者更容易，因为它的约束较少，目前这两个问题各自的完整性差距的上限是相同的。证明这两个问题的完整性缺口的方法是考虑极值点的基本类。对于2 EC，更好的界限上的完整性差距是已知的某些重要的特殊情况下，这些基本点。例如，对于半整数方形点，完整性间隙介于$\frac{6}{5}$和$\frac{4}{3}$之间。我们的主要结果是提高近似因子为$\frac{9}{7}$为2 EC为这些点。我们的方法是基于构造凸组合和我们的关键工具是自上而下的着色框架树增强，其灵活性，我们采用利用有益的性质，在初始生成树和输入图。我们还展示了如何这些工具可以定制的紧密相关的问题，统一覆盖的最知名的界限的证明不产生多项式时间算法。另一个关键要素是使用彩虹生成树分解，它允许我们获得具有特定属性的生成树的凸组合
2021-08-18 cs.DM cs.DS math.CO
A Constant-Factor Approximation Algorithm for the Asymmetric Traveling Salesman Problem
给出了求解非对称旅行商问题的一个常数因子近似算法。我们的近似保证相对于标准LP松弛进行了分析，因此我们的结果证实了该松弛的固定常数完整性间隙。我们的方法的主要思想是减少Subtour分区覆盖，一个更容易的问题，通过显着放松到本地连接条件的一般连接要求。我们首先表明，任何算法的Subtour分区覆盖可以变成一个算法的ATSP，而只失去了一个小的常数因子的性能保证。接下来，我们提出了一个减少从一般的ATSP实例结构化的情况下，我们然后解决Subtour分区覆盖，产生我们的常数因子的近似算法的ATSP。
2020-09-15 cs.DS
The Kadison-Singer Problem for Strongly Rayleigh Measures and Applications to Asymmetric TSP
Marcus、Spielman和Srivastava在他们的开创性著作\cite{MSS13}中解决了Kadison-Singer猜想，证明了对于任何一组具有“小”期望平方范数且处于各向同性位置（期望中）的随机向量$v_1,\dots, v_n$，其和$\sum v_i v_i^\intercal$具有小谱范数的概率为正。他们的证明关键是利用多项式的实稳定性，这是实根性对多元多项式的自然推广。强瑞利分布是一类生成多项式为实稳定\cite{BBL09}的概率分布族。由于独立分布只是强瑞利测度的特殊情况，因此很自然地要研究\cite{MSS13}的主要定理是否可以推广到强瑞利分布元素的向量族。本文对这一问题作了肯定的回答;我们表明，对于任何齐次强瑞利分布的边际概率的上限由$ε_1$和任何各向同性的向量集分配给基本元素，其范数是最多$\sqrt{ε_2}$，在分布的支持下有一个集合，使得分配给元素的向量的自然二次型之和的谱范数最多为$O(ε_1+ε_2)$。我们利用我们的定理提供了一个充分条件存在的谱瘦树。这，再加上最近的工作的作者\cite{AO14}，提供了一个改进的上界的完整性差距的自然LP松弛的非对称旅行商问题。
2015-07-22 cs.DS math.CO math.PR
Reassembling trees for the traveling salesman
许多最近的近似算法的旅行商问题的不同变种（不对称TSP，图TSP，s-t-路径TSP）利用众所周知的事实，自然的线性规划松弛的解决方案可以写为凸组合的生成树。主要的论点是，从这样的分布中随机抽样一棵树，然后以最小的代价完成一次旅行，比简单地取一棵最小代价生成树（如Christofides算法）产生更好的近似保证。我们认为，一个额外的步骤可以帮助：在采样之前重新组装生成树。在一定条件下，交换生成树中的两条边可以改善生成树的性质。我们证明了有用的度量S-T-路径TSP设计一个确定性的多项式时间算法，提高SebIgn以前的最佳近似比8/5。
2016-01-05 cs.DM cs.DS math.CO
The Asymmetric Travelling Salesman Problem in Sparse Digraphs
非对称旅行商问题（ATSP）及其特例有向哈密顿性是计算机科学中最基本的问题之一。在时间上运行的动态规划算法$O^*(2^n)$由Bellman、Held和Karp在近60年前开发，至今仍是解决这两个问题的最先进的方法。在这项工作中，我们专注于稀疏有向图。首先，我们回顾已知的方法，在稀疏图中的无向哈密尔顿性和TSP，我们分析其后果的有向哈密尔顿性和ATSP在稀疏有向图，无论是通过调整算法，或通过使用减少。通过这种方法，我们得到了几类稀疏有向图的运行时间上界，其中包括出度和入度均以2为界的有向图的$O^*(2^{n/3})$和出度以3为界的有向图的$O^*(3^{n/2})$。我们的主要结果集中在有界平均出度$d$的有向图上。这里ATSP的基线是一个简单的循环覆盖枚举，可以在函数$μ(d)\le(\lceil{d}\rceil!)^{1/{\lceil{d}\rceil}}$的$O^*(μ(d)^n)$的时间范围内完成。人们还可以观察到，定向哈密顿性可以在随机时间$O^*((2-2^{-d})^n)$和多项式空间中求解，通过调整Björklund [ISAAC 2018]的最新结果，最初用于稀疏二分图中的无向哈密顿性。我们提出了两个新的确定性算法的ATSP：第一个运行在时间$O(2^{0.441(d-1)n})$和多项式空间，第二个在指数空间与运行时间的$O^*(τ(d)^{n/2})…
2020-10-01 cs.DS
Correlation Clustering with Asymmetric Classification Errors
University of Chicago（芝加哥大学）；Northwestern University（西北大学）；Toyota Technological Institute at Chicago（芝加哥丰田技术研究所）
在相关聚类问题中，我们给出了一个加权图$G$，它的边被二元分类器标记为“相似”或“不相似”。我们的目标是产生一个聚类，最大限度地减少权重的“分歧”：权重的“相似”的边缘跨集群和集群内的“不相似”的边缘。我们研究的相关聚类问题，在以下假设：每个“相似”的边缘$e$有重量$\mathbf{w}_e\in[α\mathbf{w}, \mathbf{w}]$和每个“不相似”的边缘$e$有重量$\mathbf{w}_e\geq α\mathbf{w}$（其中$α\leq 1$和$\mathbf{w}>0$是一个缩放参数）。给出了该问题的一个$(3 + 2 \log_e (1/α))$近似算法。该假设很好地描述了分类错误不对称时的情况。此外，我们还证明了$Ω(\log 1/α)$的一个渐近匹配的线性规划完整性缺口。
2021-08-11 cs.DS cs.LG
Prize-Collecting Steiner Tree: A 1.79 Approximation
本文针对奖品收集斯坦纳树问题提出一种新颖的迭代方法，将近似因子从长期停滞的1.9672大幅降低至1.7994。
2024-05-06 cs.DS
A Rounding by Sampling Approach to the Minimum Size k-Arc Connected Subgraph Problem
在k-弧连通子图问题中，给定一个有向图G和一个整数k，目标是找到一个代价最小的子图，使得任意一对顶点之间至少存在k-弧不相交路。我们给出了一个简单的（1 + 1/k）-近似的未加权的变种的问题，其中所有的弧G具有相同的成本。这改进了Gabow等人[GGTW 09]的1 + 2/k近似。类似于该问题的2-近似算法[FJ 81]，我们的算法简单地采用k入树形图和k出树形图的并集。主要区别在于两种树形的选择。在这里，受最近应用抽样方法舍入的启发（参见例如[AGM+ 10，MOS 11，OSS 11，AKS 12]），我们通过从基于问题的线性规划松弛的极值点解定义的k个树形图的并集上的分布中抽样随机选择树形图。在分析中，我们利用极值点解的稀疏性来确定样本树并的大小。为了补充算法，我们还证明了最小费用强连通子图问题（即，当k = 1时）至少为3/2 - c，对于任何c > 0。我们的完整性缺口实例受到非对称旅行商问题[CGK 06]的完整性缺口实例的启发，因此提供了两个问题的近似性之间联系的进一步证据。
2012-05-08 cs.DS math.CO
Hidden Hamiltonian Cycle Recovery via Linear Programming
我们介绍的问题，隐藏的哈密尔顿圈恢复，有一个未知的哈密尔顿圈在$n$ -顶点完全图，需要推断出噪声边缘测量。测量是独立的，并且对于循环中的边缘根据$\calP_n$分布，否则根据$\calQ_n$分布。该公式是由基因组组装中的问题激发的，其中目标是使用重叠群之间的长距离连接测量根据它们在基因组上的位置对一组重叠群（基因组重叠群）进行排序。在这个模型中计算最大似然估计减少到一个旅行商问题（TSP）。尽管TSP的NP-硬度，我们表明，一个简单的线性规划（LP）松弛，即分数$2$ -因子（F2 F）LP，恢复隐藏的哈密顿循环与高概率$n \to \infty$提供$α_n - \log n \to \infty$，其中$α_n \triangleq -2 \log \int \sqrt{d P_n d Q_n}$是雷尼发散的顺序$\frac{1}{2}$。这个条件是信息理论上最优的，在这个意义上，在温和的分布假设下，$α_n \geq (1+o(1)) \log n$是任何算法成功所必需的，而不管计算成本。从通常的证明技术的基础上的双重见证建设，分析依赖于组合特征（特别是，半完整性）的极值点的F2 F多面体。这些极值点被表示为双色多重图，进一步分解为更简单的“花型”结构，用于大偏差分析和计数参数。对真实数据的算法评估表明，与现有方法相比，该算法有所改进。
2018-04-15 cs.DM cs.DS math.PR
An improved approximation algorithm for ATSP
我们重温了Svensson、Tarnawski和Végh提出的求解非对称旅行商问题的常数因子近似算法。对算法的各个部分进行了改进。我们避免了减少到不可约的情况下，从而获得一个更简单，更好地减少脊椎动物对。我们还表明，他们的脊椎动物对算法的一个轻微的变化有一个小得多的近似比。总体上，我们提高了从$506$到$22+ε$的逼近比，对于任何$ε> 0$。这还提高了从$319$到$22$的完整性比的上限。
2021-06-07 cs.DM cs.DS math.CO
Lyndon Words and Short Superstrings
在最短超字符串问题中，我们给定一组字符串S，并希望找到一个包含S中所有字符串作为子字符串且具有最小长度的字符串。这是一个经典的近似问题，最著名的近似因子是2 1/2，由Sweedyk在1999年给出。从那时起没有改进，然而Kaplan等人和最近Paluch等人提出了另外两种产生2 1/2-近似算法的方法，这两个减少最大不对称TSP路径（最大ATSP路径）和结构的结果Breslauer等人的基础上。在本文中，我们给出了一个算法，实现了近似比2 11/23，突破了长期的约束2 1/2。我们使用最短超串到最大ATSP路径的标准约简。新的，有点令人惊讶的，算法思想是采取更好的两个解决方案，通过使用：（a）目前最好的2/3-近似算法的最大ATSP路径和（b）一个天真的循环覆盖的1/2-近似算法。为了证明，这确实会导致改进，我们进一步开发了一个理论的字符串重叠，扩展的结果Breslauer等人。这一理论是基于新的使用林登的话，作为替代通用无边界旋转和临界因子分解，所使用的Breslauer等人。
2012-05-30 cs.DS
Further Approximations for Demand Matching: Matroid Constraints and Minor-Closed Graphs
我们追求的广义需求匹配问题，一个共同的推广的$b$ -匹配和背包问题的研究。在这里，我们给出了一个图的顶点容量，边利润，和不对称的要求的边缘。我们的目标是找到一个最大利润的边缘子集，使所选择的边缘的需求不违反顶点容量。这个问题是APX困难的，并且已知常数因子近似。我们的结果分为两类。首先，使用迭代松弛和各种过滤策略，我们证明了一个有效的舍入算法，如果一个额外的拟阵结构$\mathcal M$，我们进一步只允许集$F \subseteq E$是独立的$\mathcal M$，自然LP松弛有一个完整性差距最多$\frac{25}{3} \approx 8.333$。这可以在各种特殊情况下进行改进，例如，我们通过给出$7$近似来改进先前研究的耦合放置问题[Korupolu et al. 2014]的15近似。使用类似的技术，我们证明了问题的计算最小成本基地在$\mathcal M$满足顶点容量承认一个$(1,3)$双准则近似。这改进了以前的$(1,4)$ -近似在特殊情况下，$\mathcal M$是给定图上的图形拟阵[Fukanaga和Nagamochi，2009]。第二，我们表明需求匹配承认一个多项式时间的近似计划，排除一个固定的未成年人的图形。如果所有的需求都是多项式有界整数，那么在有界树宽图中使用动态规划就比较容易了。我们的主要技术贡献是一个稀疏化引理，使我们能够在一个更复杂的动…
2017-05-29 cs.DS
Approximating the Largest Root and Applications to Interlacing Families
研究了用实根$n$的顶$k$系数逼近其最大根的问题，给出了近似匹配的上、下界。我们提出的算法与运行时间多项式在$k$，使用顶部$k$系数近似的最大根内的一个因素$n^{1/k}$和$1+O(\tfrac{\log n}{k})^2$时，$k\leq \log n$和$k>\log n$分别。我们还证明了相应的信息理论下界的$n^{Ω(1/k)}$和$1+Ω\left(\frac{\log \frac{2n}{k}}{k}\right)^2$，并显示出强大的下界噪声版本的问题，其中一个是访问近似系数。该问题在交错多项式族方法的背景下有应用，该方法用于证明所有次数的拉马努金图的存在性、Kadison-Singer问题的解以及限制非对称旅行推销员问题的完整性差距。所有这些都涉及计算某些实根多项式的最大根，对于这些多项式，顶部的几个系数可以在次指数时间内访问。我们的结果产生一个算法的运行时间为$2^{\tilde O(\sqrt[3]n)}$的所有这些。
2017-04-12 cs.DS math.CO
