A Constant-Factor Approximation Algorithm for the Asymmetric Traveling Salesman Problem
给出了求解非对称旅行商问题的一个常数因子近似算法。我们的近似保证相对于标准LP松弛进行了分析，因此我们的结果证实了该松弛的固定常数完整性间隙。我们的方法的主要思想是减少Subtour分区覆盖，一个更容易的问题，通过显着放松到本地连接条件的一般连接要求。我们首先表明，任何算法的Subtour分区覆盖可以变成一个算法的ATSP，而只失去了一个小的常数因子的性能保证。接下来，我们提出了一个减少从一般的ATSP实例结构化的情况下，我们然后解决Subtour分区覆盖，产生我们的常数因子的近似算法的ATSP。
2020-09-15 cs.DS
Extending Exact Integrality Gap Computations for the Metric TSP
University of Waterloo（滑铁卢大学）；Research Institute for Discrete Mathematics and Hausdorff Center for Mathematics, University of Bonn（波恩大学离散数学研究所和豪斯多夫数学中心）；Research Institute for Discrete Mathematics, University of Bonn（波恩大学离散数学研究所）
本文通过扩展子游走松弛的整数规划间隙验证，发现n=11和n=12时极端点列表不完整，并将极端点枚举扩展到14个顶点，为4/3猜想提供支持。
2026-09-09 cs.DS math.CO
The Unbounded Integrality Gap of a Semidefinite Relaxation of the Traveling Salesman Problem
研究了de Klerk，Pasechnik和Sotirov [8]提出的旅行商问题的半定规划松弛，证明了其松弛具有无界的积分间隙.特别是，我们给出了一个家庭的情况下，使差距与$n$线性增加。为了得到这个结果，我们在一个高度结构化的矩阵类中寻找可行的解决方案;找到这样的解决方案的问题归结为找到一个相关的线性规划的可行的解决方案，我们分析。我们找到的解决方案意味着无界的完整性差距。此外，他们暗示了几个推论，帮助我们更好地理解半定计划和它的关系，其他TSP松弛。利用同样的技巧，我们证明了由de Klerk，de Oliveira Filho和Pasechnik [7]引入的一个更一般的半定规划对于$k$ -圈覆盖问题也有一个无界的完整性缺口.
2017-10-23 cs.DM cs.DS math.OC
The Salesman's Improved Paths: 3/2+1/34 Integrality Gap and Approximation Ratio
给出了度量$s-t$路径TSP的一个新的强多项式时间算法和改进的分析。它发现一个巡回赛的成本小于1.53倍的最佳的子巡回赛消除LP，而已知的例子表明，1.5是一个下界的完整性差距。一个关键的新想法是删除一些边的Christofides'树，这是伴随着新的论点的分析：边删除断开的树，然后部分重新连接的“奇偶校验校正”。我们表明，所产生的“连接校正”可以实现一个小的额外成本。一方面，该算法和分析扩展了以前的工具，如最佳的许多Christofides算法。另一方面，寻求强大的新工具，如分析重连成本的流问题，和越来越多的限制性的生成树，其中每一个仍然可以找到的贪心算法的建设。我们表明，这些树可以取代最好的可能Christofides算法中的凸组合的生成树。这些新方法可以将完整性比和近似保证提高到1.53以下，正如FOCS 2016上出现的本文的初步缩短版本中所述。在本文中，算法和分析已被显著简化，并添加了证明和解释的细节。
2018-08-28 cs.DM cs.DS math.CO
Semidefinite Programming Relaxations of the Traveling Salesman Problem and Their Integrality Gaps
旅行商问题是组合优化中的一个基本问题。最近已经提出了几种半定规划松弛，它们利用了各种数学结构，例如，代数连通性、置换矩阵和关联方案。本文的主要结果是双重的。首先，de Klerk和Sotirov [9]提出了一种基于置换矩阵和对称约化的SDP;他们表明，它与子环消除线性规划不可比拟，但通常在小实例上优于它。我们提供了一个家庭的\emph{simplicial TSP instances}，这表明该SDP的完整性差距是无界的。其次，我们证明了这些单纯TSP实例意味着Sotirov [24]第2节中关于TSP的SDP松弛的调查中提到的TSP的每个SDP松弛的无界积分间隙。相比之下，subtour LP在单纯实例上表现完美。因此，单纯的情况下，形成一个自然的试金石未来的SDP松弛的TSP。
2019-07-21 cs.DM cs.DS math.OC
An Improved Approximation Algorithm for TSP in the Half Integral Case
针对度量旅行商问题（TSP）的最优解为半整数的情形，设计了一个$1.49993$ -近似算法.这些情况在过去十年中受到了极大的关注，因为Schalekamp、Williamson和van Zuylen猜想半积分LP解在所有分数阶解中具有最大的积分性间隙。因此，如果Schalekamp等人的猜想成立，我们的结果表明子环多面体的完整性间隙是有界远离$3/2$。
2019-08-01 cs.DM cs.DS math.PR
TSP Tours in Cubic Graphs: Beyond 4/3
经过一系列改进，Boyd、Sitters、van der Ster和Stougie证明了任何n个顶点的度为3的2连通图，即，一个3次2-连通图，有一个长度不超过（4/3）n的Hamilton回路，特别地，建立了3次2-连通图的子回路LP的完整性间隙不超过4/3，并匹配著名的4/3猜想的证明值。在本文中，我们改进了这一结果，设计了一个算法，找到一个旅游的长度（4/3 - 1/61236）n，这意味着立方2-连通图是少数有趣的类图的子旅游LP的完整性差距是严格小于4/3。与以前的结果，并考虑一个更小的k，我们表明，TSP松弛的完整性差距是最多4/3 -k，即使该图不是2-连通的（即立方连通图），这意味着在立方图的TSP的逼近阈值严格低于4/3。最后，使用类似的技术，我们表明，作为一个额外的结果，每个巴内特图承认旅游的长度最多（4/3 - 1/18）n。
2013-10-07 cs.DM cs.DS math.CO
An Improved Integrality Gap for Asymmetric TSP Paths
非对称旅行商路径问题（ATSPP）是一个给定具有指定顶点s和t的非对称度量空间$(V,d)$，目标是找到通过V中所有顶点的最小长度的s-t路径的问题。（而不是$s-t$路径）访问所有节点：对于ATSP，$ρ$近似保证意味着ATSPP的$O(ρ)$近似。然而，对于这些问题的线性规划松弛的完整性间隙，没有这样的连接是已知的：ATSPP的当前最佳近似算法是$O(\log n/\log\log n)$，而ATSPP的自然LP松弛（子图消除LP）的完整性间隙的最佳界限是$O(\log n)$。在本文中，我们关闭这个差距，并改善目前的最佳界的完整性差距从$O(\log n)$到$O(\log n/\log\log n)$。所得到的算法使用LP解中的窄$s$ - $t$切割的结构来构造（随机）树生成树，该树生成树可以被廉价地扩充以包含欧拉$s$ - $t$行走。我们还建立在Oveis Gharan和Saberi的结果，并显示了强形式的Goddyn的猜想薄生成树意味着完整性差距的subtour消除LP松弛ATSPP是有界的一个常数。最后，我们给出了一个更简单的家庭的情况下，这个LP的完整性差距至少是2。
2015-01-06 cs.DS
Beating the integrality ratio for s-t-tours in graphs
在旅行商问题的各种变体中，s-t-路图TSP具有我们知道精确的完整性比率3/2和匹配此比率的近似算法的特殊性。在本文中，我们低于这个阈值：我们设计了一个多项式时间算法的s-t-路径图TSP的近似比1.497。我们的算法可以被视为SebIgnand Vygen [2014]的3/2-近似算法的改进，但我们引入了几种全新的技术。这些措施包括一种新的类型的耳朵分解，增强耳朵感应，揭示了一个新的连接到拟阵联盟，更强的下界，并减少一般的情况下，s和t有小的距离（适用于一般度量）的情况。
2018-09-17 cs.DM cs.DS math.CO
Improved integrality gap upper bounds for TSP with distances one and two
我们研究了旅行商问题（TSP）的线性规划公式的解决方案的结构。我们进行了详细的分析，支持的subtour消除线性规划松弛，这导致算法，找到2-匹配的几个组件在多项式时间。组件的数量直接导致的完整性差距上界的TSP的距离为1和2，无向和有向图。我们的主要结果涉及subtour消除松弛与一个额外的切割平面不等式：-对于无向的情况下，我们得到的完整性差距上限为5/4，没有任何进一步的限制，7/6，如果最佳的LP解决方案是半积分。- 对于n阶的情况下，分数LP值的成本为n，我们得到一个紧的完整性差距上限为10/9，如果有一个最优解与次立方支持图。如果解是分数2-匹配多面体中的基本解，则隐含了图是次立方的后一性质。- 对于定向的情况下，我们得到的完整性差距上限为3/2，4/3，如果给定一个最佳的1/2-积分的解决方案。在无向图的情况下，如果我们接受稍微增加的值，我们可以避免添加割平面不等式。对于紧密的结果，不需要切割平面。此外，我们表明，依赖于支持的结构不是我们算法的人工制品，但在标准复杂性理论假设下是必要的：我们表明，即使对于距离为1和2的TSP，通过局部搜索找到改进的解决方案对于k边变化邻域也是W[1]困难的，这加强了Dániel Marx的结果。
2015-03-26 cs.DS
Asymmetric Traveling Salesman Path and Directed Latency Problems
本文研究了有向图上两个密切相关的问题的完整性缺口和可逼近性。给定一个在底层非对称度量中的n个节点的集合V和两个指定的节点s和t，这两个问题都要求找到访问所有其他节点的s-t路径。在非对称旅行商路径问题（ATSPP）中，目标是最小化这条路径的总费用;在有向延迟问题中，目标是最小化这条路径上从s到每个节点的距离之和。这两个问题都是NP难问题。ATSPP的最著名的近似算法的比率为O（log n），直到最近的结果将其提高到O（log n/ log log n）。然而，它的线性规划松弛的完整性间隙只有一个O（sqrt（n））的界已经知道。对于定向延迟，对于任何常数eps > 0，先前已知的最佳近似算法具有O（n^（1/2+eps））的保证。我们提出了一个新的算法的ATSPP问题，具有O（log n）的近似比，但其分析也限制了完整性差距的标准LP松弛ATSPP由相同的因素。这解决了Chekuri和Kazakhstan [2007]提出的一个开放问题。然后，我们进行更深入的研究，这个线性程序及其变化，这导致了一个算法的k人ATSPP（其中k S-T路径的最小总长度的要求）和O（log n）-近似的定向延迟问题。
2010-06-01 cs.DS
A Proof of the Boyd-Carr Conjecture
确定旅行商问题的子回路LP松弛的精确完整性间隙是一个重要的开放问题，在对称成本服从三角不等式的一般情况下，三十年来几乎没有取得进展。Boyd和Carr [3]观察到，我们甚至不知道最佳2-匹配与子图LP之比的最坏情况上限;他们推测该比率至多为10/9。在本文中，我们证明了Boyne-Carr猜想。在分数2-匹配没有截边的情况下，我们可以进一步证明最优2-匹配的代价至多是分数2-匹配的10/9倍。
2011-07-08 cs.DS
Maximum Entropy is a 10/7-Approximation Algorithm for the TSP on Half-Integral Cycle Cut Instances
Purdue University（普渡大学）；Boston University（波士顿大学）；Cornell University（康奈尔大学）
针对TSP的半整数环割实例，证明最大熵算法达到10/7近似比，该类实例包含Subtour LP积分间隙为4/3的案例，且算法性能不低于11/8。
2026-07-03 cs.DS
The traveling salesman problem on cubic and subcubic graphs
研究了三次图和次三次图的度量完备化问题，该问题是NP-难的。这个问题是有趣的，因为它与著名的度量TSP的4/3猜想有关，该猜想说，完整性间隙，即，TSP的最优值与其线性规划松弛（subtour elimination relaxation）之间的最差情况比为4/3。我们提出了近似比为4/3的三次图的第一个算法。证明使用多面体技术在一个令人惊讶的方式，这是独立的利益。事实上，我们建设性地证明了，对于任何三次图的$n$顶点的旅游长度为4n/3 - 2存在，这也意味着4/3猜想，作为一个上界，这类图TSP。最近，Mömke和Svensson提出了一个随机算法，给出了一般图上图-TSP的1.461-近似，并作为副结果给出了次三次图上图-TSP的4/3-近似算法，解决了这类图-TSP的4/3猜想.我们将提出一种方法去随机化他们的算法，导致一个更小的运行时间比明显的去随机化。所有后者也适用于多重图。
2011-07-06 cs.CC cs.DM cs.DS
Efficient constructions of convex combinations for 2-edge-connected subgraphs on fundamental classes
求解2-边连通生成多重图问题（2 EC）的LP松弛问题的精确完整性间隙$α$与求解度量旅行商问题（TSP）的Held-Karp松弛问题密切相关.虽然前一个问题似乎比后者更容易，因为它的约束较少，目前这两个问题各自的完整性差距的上限是相同的。证明这两个问题的完整性缺口的方法是考虑极值点的基本类。对于2 EC，更好的界限上的完整性差距是已知的某些重要的特殊情况下，这些基本点。例如，对于半整数方形点，完整性间隙介于$\frac{6}{5}$和$\frac{4}{3}$之间。我们的主要结果是提高近似因子为$\frac{9}{7}$为2 EC为这些点。我们的方法是基于构造凸组合和我们的关键工具是自上而下的着色框架树增强，其灵活性，我们采用利用有益的性质，在初始生成树和输入图。我们还展示了如何这些工具可以定制的紧密相关的问题，统一覆盖的最知名的界限的证明不产生多项式时间算法。另一个关键要素是使用彩虹生成树分解，它允许我们获得具有特定属性的生成树的凸组合
2021-08-18 cs.DM cs.DS math.CO
Comb inequalities for typical Euclidean TSP instances
我们证明了即使在平均情况下，当Held-Karp线性规划松弛被所有有界大小的梳状不等式增广时，欧几里德旅行商问题对于$ε>0$也表现出$(1+ε)$的完整性缺口.这意味着大类的分支和切割算法需要指数时间的欧几里得TSP，即使在随机输入。
2023-03-30 cs.DM cs.DS math.CO
TSP integrality gap via 2-edge-connected multisubgraph problem under coincident IP optima
Whiting School of Engineering, Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学惠廷工程学院）
本文通过2-edge-connected multisubgraph问题的唯一整数最优解和半整数LP解，证明TSP的积分间隙不超过4/3。
2025-12-05 cs.DS math.OC
13/9-approximation for Graphic TSP
旅行商问题是近似算法中最基本、研究最多的问题之一。30多年来，一般度量的最佳算法是近似因子为3/2的Christofides算法，尽管该问题的所谓Held-Karp LP松弛被证明只有4/3的完整性差距。最近，对于图形度量的重要特殊情况已经取得了重大进展，首先是由Oveis Gharan等人，然后是莫克和斯文森在本文中，我们提供了一个改进的分析方法介绍了由Momke和Svensson产生的13/9的近似因子的界，以及一个19/12+的界为任何n> 0的一个更一般的旅行推销员路径问题的图形度量。
2011-10-04 cs.DS
Approximating ATSP by Relaxing Connectivity
非对称旅行商问题的标准LP松弛已被证明在度量情况下具有常数完整性间隙。我们证明了这个猜想时，限制到最短路径度量的节点加权有向图。我们的论点是建设性的，并给出了这些度量的常数因子近似算法。我们注意到，所考虑的情况下是更一般的对称旅行推销员问题的特殊情况下，有最近的改进Christofides的算法比直接模拟。我们的方法的主要思想是首先考虑一个更容易的问题，通过显着放宽一般的连接要求到本地连接条件。对于这个放松的问题，很容易给出一个保证节点加权最短路径度量为3的算法。更令人惊讶的是，我们然后表明，任何算法（无论度量）的放松问题可以变成一个算法的非对称旅行商问题，只失去一个小的常数因子的性能保证。这就留下了一个有趣的任务，即为一般度量的放松问题设计一个“好”的算法。
2015-08-13 cs.DS
A Rounding by Sampling Approach to the Minimum Size k-Arc Connected Subgraph Problem
在k-弧连通子图问题中，给定一个有向图G和一个整数k，目标是找到一个代价最小的子图，使得任意一对顶点之间至少存在k-弧不相交路。我们给出了一个简单的（1 + 1/k）-近似的未加权的变种的问题，其中所有的弧G具有相同的成本。这改进了Gabow等人[GGTW 09]的1 + 2/k近似。类似于该问题的2-近似算法[FJ 81]，我们的算法简单地采用k入树形图和k出树形图的并集。主要区别在于两种树形的选择。在这里，受最近应用抽样方法舍入的启发（参见例如[AGM+ 10，MOS 11，OSS 11，AKS 12]），我们通过从基于问题的线性规划松弛的极值点解定义的k个树形图的并集上的分布中抽样随机选择树形图。在分析中，我们利用极值点解的稀疏性来确定样本树并的大小。为了补充算法，我们还证明了最小费用强连通子图问题（即，当k = 1时）至少为3/2 - c，对于任何c > 0。我们的完整性缺口实例受到非对称旅行商问题[CGK 06]的完整性缺口实例的启发，因此提供了两个问题的近似性之间联系的进一步证据。
2012-05-08 cs.DS math.CO
GTA -- An ATSP Method: Shifting the Bottleneck from Algorithm to RAM
本文提出GTA算法，通过启发式热启动与子回路消除策略，在商用硬件上高效确定性地求解大规模非对称旅行商问题，将求解瓶颈从算法复杂度转移到RAM等硬件资源。
2025-08-28 cs.DS
A 4/3-Approximation Algorithm for Half-Integral Cycle Cut Instances of the TSP
本文针对TSP半整数实例中所有临界紧集均为环割的情形，构造了期望成本至多为LP解值4/3倍的巡回分布，从而给出紧的随机化4/3近似算法，部分证实了长期存在的4/3完整性间隙猜想。
2023-07-09 cs.DS math.OC
