Improved integrality gap upper bounds for TSP with distances one and two
我们研究了旅行商问题（TSP）的线性规划公式的解决方案的结构。我们进行了详细的分析，支持的subtour消除线性规划松弛，这导致算法，找到2-匹配的几个组件在多项式时间。组件的数量直接导致的完整性差距上界的TSP的距离为1和2，无向和有向图。我们的主要结果涉及subtour消除松弛与一个额外的切割平面不等式：-对于无向的情况下，我们得到的完整性差距上限为5/4，没有任何进一步的限制，7/6，如果最佳的LP解决方案是半积分。- 对于n阶的情况下，分数LP值的成本为n，我们得到一个紧的完整性差距上限为10/9，如果有一个最优解与次立方支持图。如果解是分数2-匹配多面体中的基本解，则隐含了图是次立方的后一性质。- 对于定向的情况下，我们得到的完整性差距上限为3/2，4/3，如果给定一个最佳的1/2-积分的解决方案。在无向图的情况下，如果我们接受稍微增加的值，我们可以避免添加割平面不等式。对于紧密的结果，不需要切割平面。此外，我们表明，依赖于支持的结构不是我们算法的人工制品，但在标准复杂性理论假设下是必要的：我们表明，即使对于距离为1和2的TSP，通过局部搜索找到改进的解决方案对于k边变化邻域也是W[1]困难的，这加强了Dániel Marx的结果。
2015-03-26 cs.DS
Lift-and-Project Integrality Gaps for the Traveling Salesperson Problem
研究了Lov{á}sz-Schrijver和Sherali-Adams的提升投影方法在带三角不等式的旅行商问题的标准线性规划松弛中的应用.对于非对称TSP巡回问题，Charikar，Goemans和Karloff（FOCS 2004）证明了标准松弛的完整性间隙至少为2。我们证明了在一轮的Lov{á}sz-Schrijver或Sherali-Adams程序后，非对称TSP巡回问题的完整性差距至少为3/2，并对使用哪个版本的标准松弛进行了一个小的警告。对于对称TSP巡回问题，已知标准松弛的完整性间隙至少为4/3，并且Cheung（SIOPT 2005）证明了在Lov{á}sz-Schrijver过程的$o(n)$轮之后，它仍然至少为4/3，其中$n$是节点数。对于对称TSP路径问题，标准松弛的完整性间隙至少为3/2，我们证明了在Lov{á}sz-Schrijver过程的$o(n)$轮之后，它仍然至少为3/2，通过一个简单的约化到Cheung的结果.
2011-07-06 cs.DS
An Improved Integrality Gap for Asymmetric TSP Paths
非对称旅行商路径问题（ATSPP）是一个给定具有指定顶点s和t的非对称度量空间$(V,d)$，目标是找到通过V中所有顶点的最小长度的s-t路径的问题。（而不是$s-t$路径）访问所有节点：对于ATSP，$ρ$近似保证意味着ATSPP的$O(ρ)$近似。然而，对于这些问题的线性规划松弛的完整性间隙，没有这样的连接是已知的：ATSPP的当前最佳近似算法是$O(\log n/\log\log n)$，而ATSPP的自然LP松弛（子图消除LP）的完整性间隙的最佳界限是$O(\log n)$。在本文中，我们关闭这个差距，并改善目前的最佳界的完整性差距从$O(\log n)$到$O(\log n/\log\log n)$。所得到的算法使用LP解中的窄$s$ - $t$切割的结构来构造（随机）树生成树，该树生成树可以被廉价地扩充以包含欧拉$s$ - $t$行走。我们还建立在Oveis Gharan和Saberi的结果，并显示了强形式的Goddyn的猜想薄生成树意味着完整性差距的subtour消除LP松弛ATSPP是有界的一个常数。最后，我们给出了一个更简单的家庭的情况下，这个LP的完整性差距至少是2。
2015-01-06 cs.DS
Slightly Improved Upper Bound on the Integrality Ratio for the $s-t$ Path TSP
本文研究了度量$s-t$路径TSP的标准LP松弛的完整性比。我们做了一个接近最佳的选择，用于分析的Traub和Vygen，从而导致改进的上界的完整性比为1.5273的辅助功能。
2020-07-23 cs.DM cs.DS math.CO
An Improved Approximation Algorithm for TSP in the Half Integral Case
针对度量旅行商问题（TSP）的最优解为半整数的情形，设计了一个$1.49993$ -近似算法.这些情况在过去十年中受到了极大的关注，因为Schalekamp、Williamson和van Zuylen猜想半积分LP解在所有分数阶解中具有最大的积分性间隙。因此，如果Schalekamp等人的猜想成立，我们的结果表明子环多面体的完整性间隙是有界远离$3/2$。
2019-08-01 cs.DM cs.DS math.PR
Extending Exact Integrality Gap Computations for the Metric TSP
University of Waterloo（滑铁卢大学）；Research Institute for Discrete Mathematics and Hausdorff Center for Mathematics, University of Bonn（波恩大学离散数学研究所和豪斯多夫数学中心）；Research Institute for Discrete Mathematics, University of Bonn（波恩大学离散数学研究所）
本文通过扩展子游走松弛的整数规划间隙验证，发现n=11和n=12时极端点列表不完整，并将极端点枚举扩展到14个顶点，为4/3猜想提供支持。
2026-09-09 cs.DS math.CO
An improved upper bound on the integrality ratio for the $s$-$t$-path TSP
我们对SebIgnand van Zuylen [2016]提出的具有孤独边缘删除的多人最佳Christofides算法进行了改进分析。这意味着一个改进的上限上的完整性比的标准LP松弛的$s$ - $t$路径TSP。
2019-07-23 cs.DM cs.DS math.CO
A (Slightly) Improved Deterministic Approximation Algorithm for Metric TSP
我们表明，最大熵算法可以去随机化（相对于一个特定的目标函数）给出一个确定性的$3/2-ε$近似算法度量TSP的一些$ε> 10^{-36}$。为了得到我们的结果，我们应用条件期望的方法，在以前的工作中被用来证明，该算法的期望成本是最多$3/2-ε$倍的最优解的成本，以子环消除LP构造的目标函数。在这项工作中的证明涉及表明，该目标函数的期望值可以在多项式时间内计算（在算法执行的所有阶段）。
2022-12-13 cs.DS
TSP integrality gap via 2-edge-connected multisubgraph problem under coincident IP optima
Whiting School of Engineering, Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学惠廷工程学院）
本文通过2-edge-connected multisubgraph问题的唯一整数最优解和半整数LP解，证明TSP的积分间隙不超过4/3。
2025-12-05 cs.DS math.OC
Maximum Entropy is a 10/7-Approximation Algorithm for the TSP on Half-Integral Cycle Cut Instances
Purdue University（普渡大学）；Boston University（波士顿大学）；Cornell University（康奈尔大学）
针对TSP的半整数环割实例，证明最大熵算法达到10/7近似比，该类实例包含Subtour LP积分间隙为4/3的案例，且算法性能不低于11/8。
2026-07-03 cs.DS
Semidefinite Programming Relaxations of the Traveling Salesman Problem and Their Integrality Gaps
旅行商问题是组合优化中的一个基本问题。最近已经提出了几种半定规划松弛，它们利用了各种数学结构，例如，代数连通性、置换矩阵和关联方案。本文的主要结果是双重的。首先，de Klerk和Sotirov [9]提出了一种基于置换矩阵和对称约化的SDP;他们表明，它与子环消除线性规划不可比拟，但通常在小实例上优于它。我们提供了一个家庭的\emph{simplicial TSP instances}，这表明该SDP的完整性差距是无界的。其次，我们证明了这些单纯TSP实例意味着Sotirov [24]第2节中关于TSP的SDP松弛的调查中提到的TSP的每个SDP松弛的无界积分间隙。相比之下，subtour LP在单纯实例上表现完美。因此，单纯的情况下，形成一个自然的试金石未来的SDP松弛的TSP。
2019-07-21 cs.DM cs.DS math.OC
On Integrality Ratios for Asymmetric TSP in the Sherali-Adams Hierarchy
我们研究了ATSP（非对称旅行商问题），我们的重点是在Sherali-Adams（SA）电梯和项目方法的框架下的负面结果。我们的主要结果涉及到标准的LP（线性规划）ATSP松弛，由于Dantzig，Fulkerson和约翰逊。对于任意固定整数$t\geq 0$和小$ε$，$0<ε\ll{1}$，存在$ν=ν(t,ε)=O(t/ε)$顶点上的有向图$G$，使得从$G$上的标准LP开始的SA系统的水平$t$的完整性比为$\ge 1+\frac{1-ε}{2t+3} \approx \frac43, \frac65, \frac87, \dots$ .因此，就输入大小而言，结果适用于任何$t = 0,1,\dots,Θ(ν)$级别。我们的主要贡献是确定的有向图的结构属性，使我们能够构建分数可行的解决方案，从标准的~LP开始的SA系统的任何级别~ $t$。我们的硬实例是简单的，并满足结构性质。有一个进一步放松的标准LP称为平衡LP，和我们的方法大大简化时，SA系统的起始LP是平衡的~LP;特别是，相关的结构性质（有向图）简化，使得它是由著名的Charikar，Goemans和Karloff（CGK）的建设给出的有向图满足。因此，CGK有向图作为硬实例，我们得到了$1 +\frac{1-ε}{t+1}$对SA系统的任何水平$t$的完整性比，其中$0<ε\ll{1}$和顶点数为$ν(t,ε)=…
2014-05-05 cs.DS
A Proof of the Boyd-Carr Conjecture
确定旅行商问题的子回路LP松弛的精确完整性间隙是一个重要的开放问题，在对称成本服从三角不等式的一般情况下，三十年来几乎没有取得进展。Boyd和Carr [3]观察到，我们甚至不知道最佳2-匹配与子图LP之比的最坏情况上限;他们推测该比率至多为10/9。在本文中，我们证明了Boyne-Carr猜想。在分数2-匹配没有截边的情况下，我们可以进一步证明最优2-匹配的代价至多是分数2-匹配的10/9倍。
2011-07-08 cs.DS
Hard to Solve Instances of the Euclidean Traveling Salesman Problem
众所周知的$4/3$猜想指出，对于度量旅行商实例，子环LP的完整性比至多为$4/3$。我们提出了一个家庭的欧几里德旅行推销员的情况下，我们证明了完整性比的子旅游LP收敛到$4/3$。这些实例（使用四舍五入的欧几里德范数）很难用Concorde精确求解，Concorde是现有最快的精确TSP求解器。对于来自我们的欧几里得旅行推销员实例家族的200个顶点的实例，Concorde需要几天的CPU时间。这是类似大小的TSPLIB实例运行时的1，000，000倍以上。因此，我们的新家庭的欧几里德旅行推销员的实例可以作为新的基准实例的TSP算法。
2020-03-17 cs.CC cs.DM cs.DS
TSP Tours in Cubic Graphs: Beyond 4/3
经过一系列改进，Boyd、Sitters、van der Ster和Stougie证明了任何n个顶点的度为3的2连通图，即，一个3次2-连通图，有一个长度不超过（4/3）n的Hamilton回路，特别地，建立了3次2-连通图的子回路LP的完整性间隙不超过4/3，并匹配著名的4/3猜想的证明值。在本文中，我们改进了这一结果，设计了一个算法，找到一个旅游的长度（4/3 - 1/61236）n，这意味着立方2-连通图是少数有趣的类图的子旅游LP的完整性差距是严格小于4/3。与以前的结果，并考虑一个更小的k，我们表明，TSP松弛的完整性差距是最多4/3 -k，即使该图不是2-连通的（即立方连通图），这意味着在立方图的TSP的逼近阈值严格低于4/3。最后，使用类似的技术，我们表明，作为一个额外的结果，每个巴内特图承认旅游的长度最多（4/3 - 1/18）n。
2013-10-07 cs.DM cs.DS math.CO
A Constant-Factor Approximation for Directed Latency in Quasi-Polynomial Time
本文给出了有向延迟问题在拟多项式时间内的第一个常数因子近似。这里，目标是访问非对称度量中的所有节点，其中单个车辆从仓库$r$开始，以最小化节点等待车辆访问的平均时间。近似保证是对多项式时间$O(\log n)$近似的改进[Friggstad，Salavatipour，Svitkina，2013]，并且没有更好的准多项式时间近似算法。为了实现这一点，我们必须扩展最近的一个结果，该结果表明非对称TSP路径LP松弛的完整性间隙受常数限制[Köhne，Traub和Vygen，2019]，这本身建立在突破性结果的基础上，即标准非对称TSP的完整性间隙也是常数[Svensson，Tarnawsi和Vegh，2018]。我们表明，标准的非对称TSP路径完整性间隙是有界的一个常数，即使削减要求的LP松弛放松从$x(δ^{in}(S)) \geq 1$到$x(δ^{in}(S)) \geq ρ$为一些常数$1/2 < ρ\leq 1$。我们还给出了一个更好的近似保证在特殊情况下的有向延迟在遗憾的指标，其目标是找到一个路径$P$最小化的平均时间节点$v$等待超过$c_{rv}$，即$\frac{1}{|V|} \cdot \sum_{v \in V} (c_v(P)-c_{rv})$。
2020-04-15 cs.DS
A Lower Bound for the Max Entropy Algorithm for TSP
本文针对TSP最大熵算法展开研究，证明其近似比至少为1.375，表明该算法大概率无法正面证明TSP子回路LP松弛的四分之三猜想。
2025-10-01 cs.DS math.CO
Beating the integrality ratio for s-t-tours in graphs
在旅行商问题的各种变体中，s-t-路图TSP具有我们知道精确的完整性比率3/2和匹配此比率的近似算法的特殊性。在本文中，我们低于这个阈值：我们设计了一个多项式时间算法的s-t-路径图TSP的近似比1.497。我们的算法可以被视为SebIgnand Vygen [2014]的3/2-近似算法的改进，但我们引入了几种全新的技术。这些措施包括一种新的类型的耳朵分解，增强耳朵感应，揭示了一个新的连接到拟阵联盟，更强的下界，并减少一般的情况下，s和t有小的距离（适用于一般度量）的情况。
2018-09-17 cs.DM cs.DS math.CO
13/9-approximation for Graphic TSP
旅行商问题是近似算法中最基本、研究最多的问题之一。30多年来，一般度量的最佳算法是近似因子为3/2的Christofides算法，尽管该问题的所谓Held-Karp LP松弛被证明只有4/3的完整性差距。最近，对于图形度量的重要特殊情况已经取得了重大进展，首先是由Oveis Gharan等人，然后是莫克和斯文森在本文中，我们提供了一个改进的分析方法介绍了由Momke和Svensson产生的13/9的近似因子的界，以及一个19/12+的界为任何n> 0的一个更一般的旅行推销员路径问题的图形度量。
2011-10-04 cs.DS
Comb inequalities for typical Euclidean TSP instances
我们证明了即使在平均情况下，当Held-Karp线性规划松弛被所有有界大小的梳状不等式增广时，欧几里德旅行商问题对于$ε>0$也表现出$(1+ε)$的完整性缺口.这意味着大类的分支和切割算法需要指数时间的欧几里得TSP，即使在随机输入。
2023-03-30 cs.DM cs.DS math.CO
A 4/3-Approximation Algorithm for Half-Integral Cycle Cut Instances of the TSP
本文针对TSP半整数实例中所有临界紧集均为环割的情形，构造了期望成本至多为LP解值4/3倍的巡回分布，从而给出紧的随机化4/3近似算法，部分证实了长期存在的4/3完整性间隙猜想。
2023-07-09 cs.DS math.OC
The Unbounded Integrality Gap of a Semidefinite Relaxation of the Traveling Salesman Problem
研究了de Klerk，Pasechnik和Sotirov [8]提出的旅行商问题的半定规划松弛，证明了其松弛具有无界的积分间隙.特别是，我们给出了一个家庭的情况下，使差距与$n$线性增加。为了得到这个结果，我们在一个高度结构化的矩阵类中寻找可行的解决方案;找到这样的解决方案的问题归结为找到一个相关的线性规划的可行的解决方案，我们分析。我们找到的解决方案意味着无界的完整性差距。此外，他们暗示了几个推论，帮助我们更好地理解半定计划和它的关系，其他TSP松弛。利用同样的技巧，我们证明了由de Klerk，de Oliveira Filho和Pasechnik [7]引入的一个更一般的半定规划对于$k$ -圈覆盖问题也有一个无界的完整性缺口.
2017-10-23 cs.DM cs.DS math.OC
The traveling salesman problem on cubic and subcubic graphs
研究了三次图和次三次图的度量完备化问题，该问题是NP-难的。这个问题是有趣的，因为它与著名的度量TSP的4/3猜想有关，该猜想说，完整性间隙，即，TSP的最优值与其线性规划松弛（subtour elimination relaxation）之间的最差情况比为4/3。我们提出了近似比为4/3的三次图的第一个算法。证明使用多面体技术在一个令人惊讶的方式，这是独立的利益。事实上，我们建设性地证明了，对于任何三次图的$n$顶点的旅游长度为4n/3 - 2存在，这也意味着4/3猜想，作为一个上界，这类图TSP。最近，Mömke和Svensson提出了一个随机算法，给出了一般图上图-TSP的1.461-近似，并作为副结果给出了次三次图上图-TSP的4/3-近似算法，解决了这类图-TSP的4/3猜想.我们将提出一种方法去随机化他们的算法，导致一个更小的运行时间比明显的去随机化。所有后者也适用于多重图。
2011-07-06 cs.CC cs.DM cs.DS
Improving on Best-of-Many-Christofides for $T$-tours
$T$ -tour问题是TSP和路径TSP的自然推广。给定一个图$G=(V,E)$、边代价$c: E \to \mathbb{R}_{\ge 0}$和一个偶基数集$T\subseteq V$，我们想计算一个连接$G$的所有顶点（可能包含平行边）的最小代价$T$ -连接。本文给出了$T$ -tour问题的一个$\frac{11}{7}$ -近似，并证明了标准LP松弛的完整性比至多为$\frac{11}{7}$ .尽管在特殊情况下路径TSP取得了很大进展，但对于一般的$T$ -tours，这是SebIgn对Best-of-Many-Christofides算法的分析的第一次改进（SebIgn [2013]）。
2020-09-21 cs.DM cs.DS
The Salesman's Improved Paths: 3/2+1/34 Integrality Gap and Approximation Ratio
给出了度量$s-t$路径TSP的一个新的强多项式时间算法和改进的分析。它发现一个巡回赛的成本小于1.53倍的最佳的子巡回赛消除LP，而已知的例子表明，1.5是一个下界的完整性差距。一个关键的新想法是删除一些边的Christofides'树，这是伴随着新的论点的分析：边删除断开的树，然后部分重新连接的“奇偶校验校正”。我们表明，所产生的“连接校正”可以实现一个小的额外成本。一方面，该算法和分析扩展了以前的工具，如最佳的许多Christofides算法。另一方面，寻求强大的新工具，如分析重连成本的流问题，和越来越多的限制性的生成树，其中每一个仍然可以找到的贪心算法的建设。我们表明，这些树可以取代最好的可能Christofides算法中的凸组合的生成树。这些新方法可以将完整性比和近似保证提高到1.53以下，正如FOCS 2016上出现的本文的初步缩短版本中所述。在本文中，算法和分析已被显著简化，并添加了证明和解释的细节。
2018-08-28 cs.DM cs.DS math.CO
Efficient constructions of convex combinations for 2-edge-connected subgraphs on fundamental classes
求解2-边连通生成多重图问题（2 EC）的LP松弛问题的精确完整性间隙$α$与求解度量旅行商问题（TSP）的Held-Karp松弛问题密切相关.虽然前一个问题似乎比后者更容易，因为它的约束较少，目前这两个问题各自的完整性差距的上限是相同的。证明这两个问题的完整性缺口的方法是考虑极值点的基本类。对于2 EC，更好的界限上的完整性差距是已知的某些重要的特殊情况下，这些基本点。例如，对于半整数方形点，完整性间隙介于$\frac{6}{5}$和$\frac{4}{3}$之间。我们的主要结果是提高近似因子为$\frac{9}{7}$为2 EC为这些点。我们的方法是基于构造凸组合和我们的关键工具是自上而下的着色框架树增强，其灵活性，我们采用利用有益的性质，在初始生成树和输入图。我们还展示了如何这些工具可以定制的紧密相关的问题，统一覆盖的最知名的界限的证明不产生多项式时间算法。另一个关键要素是使用彩虹生成树分解，它允许我们获得具有特定属性的生成树的凸组合
2021-08-18 cs.DM cs.DS math.CO
A $4/3$-Approximation Algorithm for the Minimum $2$-Edge Connected Multisubgraph Problem in the Half-Integral Case
给定$n$上的一个连通无向图$\bar{G}$，且非负边费用为$c$，2 ECM问题是求$\bar{G}$的一个$2$ -边~连通生成多子图的最小费用问题. 2 ECM的自然线性规划（LP）与旅行商问题在$\bar{G}$的度量闭包上的子图LP一致，给出了最优费用的下界.对于这个LP被半积分解$x$优化的例子，Carr和Ravi（1998）证明了完整性间隙至多是$\frac43$：他们证明了向量$\frac43 x$支配$2$的关联向量的凸组合-边连通生成$\bar{G}$的多子图。我们通过应用Lovász分裂定理的一个扩展给出了Carr和Ravi的结果的一个简单证明。我们的证明自然会导致一个$\frac43$ -近似算法的半积分的情况。给定2 ECM的LP的半整数解$x$，给出了一个$O(n^2)$ -时间算法，得到$\bar{G}$的$2$ -边连通生成多子图，其代价至多为$\frac43 c^T x$ .
2020-08-07 cs.DS math.CO
