Inapproximability of counting hypergraph colourings
最近的发展，在近似计数取得了惊人的进展，在发展快速算法的方法来近似的解决方案的数量约束满足问题（CSP）与大的arities，使用连接到Lovasz局部引理。然而，这些方法的边界与非布尔域的CSP没有很好地理解。我们在本文中的目标是填补这一空白，并通过研究这类CSP，超图着色的原型问题，获得强不可逼近的结果。更准确地说，我们主要研究了度有界的$Δ$的$K$ -一致超图的$q$ -着色的近似计数问题.如果$Δ\lesssim \frac{q^{K/3-1}}{4^KK^2}$（Jain，Pham和Vuong，2021; He，Sun和Wu，2021），则存在有效算法。然而，令人惊讶的是，硬度界限甚至不知道更容易的问题，找到着色。对于计数问题，情况甚至更不清楚，没有证据表明正确的常数控制$K$的指数增长。为此，我们首先建立，对于一般的$q$计算硬度找到一个简单的着色/线性超图发生在$Δ\gtrsim Kq^K$，几乎匹配的算法从Lovasz局部引理。我们的第二个和主要的贡献是获得一个更精细的计数问题，远远超出了硬度找到一个着色，我们猜想是渐近紧（常数因子）。我们特别表明，对于所有甚至$q\geq 4$它是NP-难近似的着色数时，$Δ\gtrsim q^{K/2}$。
2022-08-20 cs.CC cs.DM cs.DS
Solution Bounds for a Hypothetical Polynomial Time Aproximation Algorithm for the TSP
一个假设的TSP算法的最佳巡回长度的界限。
2003-01-25 cs.CC
Improved Approximation Lower Bounds for Vertex Cover on Power Law Graphs and Some Generalizations
我们证明了幂律图的顶点覆盖问题的新的显式不可逼近性结果和这类图的一些功能推广。我们的结果依赖于特殊的有界度放大器的建设，这些类的图，也可能是独立的利益。
2012-10-09 cs.CC cs.DM cs.DS
A Note on Degree vs Gap of Min-Rep Label Cover and Improved Inapproximability for Connectivity Problems
本文关注约束图的度与近似标签覆盖的Min-Rep变体（又名投影博弈）的硬度差距之间的权衡。我们做了一个非常简单的观察，对于具有间隙$g$的NP-硬度，可以使度小到$O(g \log g)$，这改进了来自Laekhanukit的工作（SODA'14）的先前的$\tilde{O}(g^{1/2})$界限。请注意，我们的界限是最佳的对数因子，因为有一个平凡的$Δ$ -近似Min-Rep，其中$Δ$是约束图的最大程度。由于已知的减少，这种改进意味着更好的硬度的近似结果的根$k$ -连接，顶点连接生存网络设计和顶点连接$k$ -路由切割。
2018-07-03 cs.CC cs.DS
Scalefree hardness of average-case Euclidean TSP approximation
我们表明，如果P $\neq$ NP，那么一个广泛的类的TSP算法无法近似的TSP的长度渐近最优，即使是随机欧几里德实例。在此之前，这个结果甚至不为任何实际使用的算法（贪婪等）所知。作为一个应用程序，我们表明，当使用启发式从这个类，一个自然类的分支定界算法需要指数的时间来找到一个最优的巡回赛（再次，即使在一个随机点集），无论特定的分支策略或下界算法使用。
2019-08-01 cs.CC math.CO
Counting Locally Optimal Tours in the TSP
本文研究 TSP 中 2-最优巡游的计数复杂性，证明其为 #P-完全，并给出随机实例期望数量上界，进而猜想更紧的平方根界。
2024-10-24 cs.CC cs.DM cs.DS
A Chronology of Set Cover Inapproximability Results
众所周知，存在一种算法，其在ln（n）的因子内近似集合覆盖的NP完全问题，并且最近证明了这种近似比是最佳的，除非P = NP。这个最优性结果是NP的特征化的许多进步的产物，在交互式证明系统和概率可检验证明（PCP）方面，以及对其分析的改进。然而，这样一来，很难从更大范围的证明系统分析中提取集覆盖近似界的发展。本文试图提出一个时间顺序的结果下界集覆盖的近似比。我们分析了一系列的证明逐步更好的界限和统一的结果下类似的术语和框架，提供一个准确的比较证明技术和他们的结果。我们还将许多初步结果视为黑盒，以更好地将我们的分析集中在Set Cover实例的核心约简上。其结果是几个硬度证明的替代版本，从最初的不可近似性结果开始，最终证明ln（n）是一个紧下界。
2021-11-28 cs.CC
Affine reductions for LPs and SDPs
我们为LP和SDP公式定义了一种简化机制，以受控的方式降低逼近因子。我们的减少机制是一个小的限制，经典的减少建立在PCP定理的上下文中的不可逼近性。因此，我们建立了强大的线性规划的不可逼近性（LP与多项式数量的约束）的许多问题。特别是，我们获得了一个$3/2-\varepsilon$的顶点覆盖回答一个开放的问题[arXiv：1309.0563]，我们回答了我们的稀疏图猜想的弱版本[arXiv：1311.4001]显示了$1/2+\varepsilon$的有界度IndependentSet的不可近似因子。在SDPs的情况下，我们得到这些问题相对于MaxCUT的SDP-inapproximability的inapproximability结果。此外，使用我们的约简框架，我们能够通过Max-2-XOR的简单约简再现[arXiv：1309.0563]中CSP的各种结果。
2016-01-19 cs.CC
Tight Running Time Lower Bounds for Strong Inapproximability of Maximum $k$-Coverage, Unique Set Cover and Related Problems (via $t$-Wise Agreement Testing Theorem)
我们表明，假设（随机化）间隙指数时间假设（Gap-ETH），以下任务不能在$T(k) \cdot N^{o(k)}$中完成-任何函数$T$的时间，其中$N$表示输入大小：- $\left(1 - \frac{1}{e} + ε\right)$ -最大$k$的近似-任何$ε> 0$的覆盖率，- $\left(1 + \frac{2}{e} - ε\right)$ -$k$的近似-任何恒定$ε> 0$的中位数（一般度量）。- $\left(1 + \frac{8}{e} - ε\right)$-$k$的近似值-任何恒定$ε> 0$的平均值（一般度量）。- $k$ -唯一集合覆盖、$k$ -最近码字问题和$k$ -最近向量问题的任何常数因子近似。- $(1 + δ)$ -$k$的近似-最小距离问题和$k$ -一些$δ> 0$的最短向量问题。由于这些问题可以在$N^{O(k)}$时间内简单地解决，因此我们的运行时间下限基本上是紧的。在近似比方面，众所周知，Max $k$ -Coverage允许多项式时间$\left(1 - \frac{1}{e}\right)$ -近似算法，最近，研究表明，$k$ -Median和$k$ -Mean在FPT时间内分别可近似到$\left(1 + \frac{2}{e}\right)$和$\left(1 + \frac{8}{e}\right)$的因子内[C…
2019-10-25 cs.CC cs.DS
Complexity and Inapproximability Results for Parallel Task Scheduling and Strip Packing
研究了机器数为常数的并行任务调度问题$Pm|size_j|C_{\max}$。已知该问题对于每个$m \geq 5$是强NP完全的，而对于每个$m \leq 3$它在伪多项式时间内是可解的。我们给出了一个肯定的答案，这个问题是否是强$NP$-完全的$m=4$长期存在的问题。作为第二个结果，我们改进了$\frac{12}{11}$的下界，用于近似伪多项式带包装到$\frac{5}{4}$。由于该问题的最佳已知近似算法具有$\frac{4}{3} + \varepsilon$的比率，因此该结果将近似比率和不可近似性结果之间的差距缩小了一个显著的步骤。这两个结果都是由强$NP$-完全问题3-划分的一个简化证明的.
2017-05-12 cs.CC
Constant Inapproximability for Fisher Markets
Royal Holloway（皇家霍洛威学院）；University of Liverpool（利物浦大学）；University of Oxford（牛津大学）；University of Essex（埃塞克斯大学）
研究Fisher市场中分离可微凹(SPLC)效用函数的近似市场均衡计算问题，证明常数近似下的PPAD难性，表明除非PPAD=P，否则不存在多项式时间近似方案。
2026-05-11 cs.CC cs.GT
Improved Smoothed Analysis of 2-Opt for the Euclidean TSP
针对欧几里得TSP的2-opt启发式，填补了高斯扰动平滑分析在低维（d≤3）的空白，并改进了所有现有平滑复杂度界。
2023-10-13 cs.CC cs.DS math.CO
Definable Inapproximability: New Challenges for Duplicator
本文从可定义性的角度考虑了最优化问题逼近的困难性。对于许多NP难优化问题，众所周知，除非P = NP，否则没有多项式时间算法可以给出保证在最优值的固定常数因子内的近似解。我们表明，在几个这样的情况下，没有任何复杂性理论的假设，没有算法，是在不动点逻辑计数（FPC）可以计算出一个近似的解决方案。由于近似算法（如线性或半定规划）的重要算法技术在FPC中可表达，这就产生了通过这些方法可以实现的下限。结果是建立在一阶逻辑与计数，以分离的实例，具有高的最佳从那些具有低的最佳固定大小的实例所需的变量的数量上的下限。
2019-08-29 cs.CC cs.LO
Minimum Fill-In: Inapproximability and Almost Tight Lower Bounds
给定具有$m$非零项的$n*n$稀疏对称矩阵，执行高斯消去可能会将某些零值变为非零值。为了保持矩阵稀疏，我们希望最小化这些变化的数量$k$，因此称为最小填充问题。Agrawal等人~ [FOCS 1990]基于George [SIAM J Numer Anal 10]和Lipton等人的早期几何学，开发了第一个近似算法。[SIAM J Numer Anal 16].他们使用的目标函数是$m+k$，即消除后非零元素的数量。Natanzon等人提出了一种以$k$为目标函数的近似算法。[STOC'98]。这两个版本在近似性方面是无法比拟的。Kaplan等人首先研究了该问题的参数化算法。[FOCS'94]。Fomin和Villanger [SODA'12]最近给出了一个在时间上运行的算法$2^{O(\sqrt{k} \log k)}+n^{O(1)}$。这个问题的硬结果是令人惊讶的稀缺，和少数已知的要么是弱或必须使用非标准的复杂性矩阵。Wu等人的唯一不可逼近性结果~ [IJCAI'15]仅适用于目标函数$m+k$，并且基于小集合扩展猜想。唯一的非平凡参数化下界，由Bliznets等人~ [SODA'16]，包括一个基于ETH的很弱的算法和一个基于正则图上最小二分问题的次指数时间近似的困难度的强算法。对于这两个版本的问题，我们排除PTAS的存在，假设P $\ne$ NP，和存在的$2^{O(…
2016-06-27 cs.CC
The traveling salesman problem on cubic and subcubic graphs
研究了三次图和次三次图的度量完备化问题，该问题是NP-难的。这个问题是有趣的，因为它与著名的度量TSP的4/3猜想有关，该猜想说，完整性间隙，即，TSP的最优值与其线性规划松弛（subtour elimination relaxation）之间的最差情况比为4/3。我们提出了近似比为4/3的三次图的第一个算法。证明使用多面体技术在一个令人惊讶的方式，这是独立的利益。事实上，我们建设性地证明了，对于任何三次图的$n$顶点的旅游长度为4n/3 - 2存在，这也意味着4/3猜想，作为一个上界，这类图TSP。最近，Mömke和Svensson提出了一个随机算法，给出了一般图上图-TSP的1.461-近似，并作为副结果给出了次三次图上图-TSP的4/3-近似算法，解决了这类图-TSP的4/3猜想.我们将提出一种方法去随机化他们的算法，导致一个更小的运行时间比明显的去随机化。所有后者也适用于多重图。
2011-07-06 cs.CC cs.DM cs.DS
Treedepth Inapproximability and Exponential ETH Lower Bound
本文通过从可满足性问题到树深问题的直接归约，证明了树深的 1.0003-近似是 NP 难的，并在指数时间假设下给出精确计算和近似算法的指数级时间下界。
2025-07-18 cs.CC cs.DS
Simple Combinatorial Construction of the $k^{o(1)}$-Lower Bound for Approximating the Parameterized $k$-Clique
本文提出一种简单的组合框架，通过从(k,k-1)-Gap Clique到(q^k,q^{k-1})-Gap Clique的间隙生成自归约，在W[1]≠FPT假设下证明k-Clique的k^{o(1)}不可近似性，避免了Gap-ETH和复杂代数技术。
2024-08-09 cs.CC cs.DM cs.DS
On the Parameterized Complexity of the Connected Flow and Many Visits TSP Problem
我们研究了最小成本流的一个变种，其中的流需要连接。具体地，在连接流问题中，给出有向图$G$，以及具有需求$\mathsf{dem}: D \rightarrow \mathbb{N}$的需求顶点$D \subseteq V(G)$的集合，以及每个边的成本和容量。其目标是找到一个最小的成本流，满足需求，尊重的能力，并导致一个（强）连接的子图。这概括了以前研究的问题，如（多次访问）TSP。我们研究了由$|D|$、树宽$tw$和$G$的顶点覆盖大小$k$参数化的连通流的参数化复杂性，并提供：（i）$\mathsf{NP}$ -对于仅具有单位需求和容量并且没有边缘成本的情况$|D|=2$已经是完全的，并且如果没有容量则具有固定参数易处理性，（ii）对于一般情况的固定参数易处理$\mathcal{O}^{\star}(k^{\mathcal{O}(k)})$时间算法，和一个核的大小多项式的$k$的特殊情况下，许多访问TSP，（iii）一个$|V(G)|^{\mathcal{O}(tw)}$时间算法和匹配$|V(G)|^{o(tw)}$的时间条件下界条件下的指数时间假设。为了实现我们的一些结果，我们显着扩展了Kowalik等人的方法。[ESA'20]。
2021-07-20 cs.CC cs.DM cs.DS
Reinforced Generation of Combinatorial Structures: Hardness of Approximation
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Google DeepMind（谷歌DeepMind）；Google（谷歌）
利用AI方法在复杂性理论中取得进展，改进MAX-CUT、MAX-3-CUT和TSP的近似难度结果。
2026-03-09 cs.AI cs.CC cs.LG
Fine-Grained Complexity of k-OPT in Bounded-Degree Graphs for Solving TSP
局部搜索是求解旅行商问题的一种常用策略。我们分析的问题，确定一个给定的周期的权重是否可以减少一个流行的$k$ -opt移动。早期的工作已经表明，（i）假设指数时间假设，没有算法可以找到任何函数$f$的改进的$k$ -opt时间移动$f(k)n^{o(k/\log k)}$，而（ii）可以改进$O(n^k)$的蛮力运行时间并保存指数中的线性因子。现代TSP算法表明，非常好的全球解决方案已经可以达到只有使用顶部的$O(1)$最有前途的边缘事件到每个顶点。受此启发，我们研究的问题，找到一个改进的$k$ -移动有界度图，提出了新的算法和条件下界。我们发现，上述ETH下界也适用于最大程度为3的图，但在有界度图的最佳改善$k$ -移动可以发现在时间$O(n^{23k/135+o(k)})$。这改进了一般图的最著名的界限。由于它的实际重要性，我们特别关注的范围内的$k$，其中改进的$k$ -移动有界度图可以发现在准线性时间。对于$k\le 7$，我们给出了一般权值的拟线性时间算法。对于$k=8$，我们得到了一个拟线性时间算法的多对数权重。另一方面，基于建立细粒度的复杂性假设，我们证明了$k=9$的情况下不承认准线性时间算法。因此，我们充分刻画了$k$的值，其中准线性时间算法存在于有界度图上的多对数权重。作为副产品，我们给出了偶图路径宽度的新界限，从而改进了计算$k$ -顶点路径和循环的运行时间界…
2019-09-03 cs.CC cs.DS
A New Upper Bound for the Traveling Salesman Problem in Cubic Graphs
本文给出了三次图（最大顶点度为3的图）中旅行商问题（TSP）的一个新的上界，并证明了$n$ -顶点图的TSP问题可以在$O(1.2553^n)$时间和线性空间中求解.我们表明，确切的TSP算法的Eppstein，与一些小的修改，产生所述的结果。Iwama和Nakashima [Proc. COCOON 2007]提出了之前最知名的上限$O(1.251^n)$。不幸的是，他们的分析包含了几个错误，使得上界的证明无效。
2012-11-30 cs.CC cs.DS
The Traveling Salesman Problem: Low-Dimensionality Implies a Polynomial Time Approximation Scheme
旅行商问题（TSP）是最著名的NP-难优化问题之一。我们为这个问题设计了一个随机多项式时间算法，计算（1+eps）-近似的最佳巡回赛，任何固定的eps>0，在TSP的情况下，形成一个任意度量空间有界的内在维度。Arora（A-98）和Mitchell（M-99）的著名结果证明了上述结果在定维欧氏空间中TSP的特殊情况下成立。因此，我们的算法表明，度量TSP的算法的易处理性取决于空间的维数，而不是其特定的几何形状。这一结果解决了自Talwar（T-04）的准多项式时间算法以来一直存在的一个问题。
2015-04-09 cs.CC cs.DS
On modeling NP-Complete problems as polynomial-sized linear programs: Escaping/Side-stepping the "barriers"
该研究针对NP完全问题能否建模为多项式规模线性规划的疑问，以TSP为例，证明TSP多面体无多项式扩展表述不代表无法用多项式规模线性规划求解TSP，可通过不用传统城市间变量绕开相关壁垒。
2024-08-16 cs.CC cs.DS math.OC
Towards Tight Lower Bounds for Scheduling Problems
我们展示了$k$ -部图的结构硬度与优先约束调度问题的紧不可逼近结果之间的密切联系。假设一个自然的，但不平凡的推广的二分结构的硬度结果的Bansal和Khot，我们得到的硬度$2-ε$的问题，最小化的最大完工时间调度优先级约束的工件上相同的并行机抢占。这与该问题的最佳近似保证相匹配。假设相同的假设，我们也得到了一个超常数的不可逼近性结果的问题，调度优先级约束的工作相关的并行机，取得进展解决一个开放的问题，在两个列表中的10个开放的问题威廉姆森和Shmoys，和Schuurman和Woeginger。$k$ -部图的结构硬度的研究是独立的兴趣，因为它捕捉了一个大家庭的调度问题的内在硬度。除了已经提到的，这种推广也意味着紧不可逼近的问题，最小化加权完工时间的优先约束的工件在一台机器上，和最小化的问题的优先约束的工件在相同的并行机的完工时间，从而统一的结果Bansal和Khot，和Svensson，分别。
2015-07-07 cs.CC
Parameterized Inapproximability of Exact Cover and Nearest Codeword
$k$-ExactCover问题是ExactCover问题的参数化版本，其中我们给出了一个论域$U$，一个$U$子集的集合$S$，以及一个整数$k$，任务是确定$U$是否可以划分为$S$中的$k$集合。这是集合覆盖问题的一个自然扩展;虽然在参数化的情况下我们知道它在精确的情况下是$W[1]$ -完全的，但它的参数化的复杂性关于可近似性还没有得到很好的理解。我们证明，假设ETH，对于一些$γ> 0$有没有时间$f(k) \cdot N^{γk}$算法，可以，给定一个$k$ -ExactCover实例$I$，区分的情况下，$I$有一个确切的覆盖的大小$k$和的情况下，每个集合覆盖的$I$的大小至少$\frac14 \sqrt[k]{\frac{\log N}{\log \log N}}$。这排除了甚至多于FPT算法，并且还排除了近似比仅取决于参数$k$的任何算法。通过假设SETH，我们反而改进了对于任何$\varepsilon > 0$需要时间$f(k) \cdot N^{k - \varepsilon}$的下限。在这项工作中，我们还扩展了不可逼近的结果$k$ -最近的码字（$k$ -NCP）的问题。具体而言，给定生成矩阵$A \in \mathbb{F}_2^{m \times n}$，矢量$y \in \mathbb{F}_2^m$，和参数$k$，我们表明，它是很难区分的情况下，存…
2019-05-18 cs.CC
Inapproximability of maximal strip recovery
在比较基因组学中，序列分析的第一步通常是将两个或多个基因组分解成同源染色体的同线区段。为了可靠地恢复同线块，需要首先去除基因组图谱中的噪声和模糊性。最大条带恢复（Maximum Strip Recovery，MSR）是Zheng，Zhu和Sankoff提出的一个优化问题，用于在噪声和模糊性中从基因组图谱中可靠地恢复同线块。给定$d$基因组图谱作为基因标记的序列，\msr{d}的目标是找到$d$序列，每个基因组图谱的一个子序列，使得这些序列中同线块的总长度最大化。对于任何常数$d \ge 2$，以前已知\msr{d}的多项式时间2d近似。在本文中，我们表明，对于任何$d \ge 2$，\msr{d}是APX困难的，即使是最基本的版本的问题，其中所有的基因标记是不同的，并出现在每个基因组图谱的正方向。此外，我们提供了第一个明确的下界近似\msr{d}的所有$d \ge 2$。特别是，我们表明，\msr{d}是NP-难近似$Ω(d/\log d)$内。从另一个方向，我们表明，以前的二维近似\msr{d}可以优化成一个多项式时间算法，即使$d$是不是一个常数，但输入的一部分。然后，我们将我们的不可逼近性结果推广到几个相关的问题，包括\cmsr{d}，\gapmsr δ{d}，和\gapcmsr δ{d}。
2010-06-04 cs.CC
NP-Completeness and Inapproximability of the Virtual Network Embedding Problem and Its Variants
云中的许多资源分配问题可以被描述为基本的虚拟网络嵌入问题（VNEP）：找到请求图（描述工作负载）到底层图（描述物理基础设施）的映射的问题。应用范围从映射测试床（从问题起源的地方），到嵌入批处理工作负载（虚拟集群），再到嵌入服务功能链。不同的应用程序都有自己的特定要求和约束，包括节点映射约束、路由策略和延迟约束。虽然VNEP在过去几年中得到了深入的研究，但复杂性结果仅针对特定模型，我们对其硬度缺乏全面的了解。本文图表的复杂性景观的VNEP提供了一个系统的分析，广泛的VNEP变体的硬度，使用一个统一的和严格的证明框架。特别是，我们发现，找到一个可行的嵌入的问题是NP-完全的一般，因此，VNEP不能近似在任何目标下，除非P=NP持有。重要的是，我们推导出NP-完全性结果也用于寻找近似嵌入，这可能违反，例如，受某些因素的制约。最后，我们证明了我们的结果仍然适用时，限制平面或度有界图的请求图。
2018-03-28 cs.CC cs.NI
Parameterized Inapproximability of the Minimum Distance Problem over all Fields and the Shortest Vector Problem in all $\ell_p$ Norms
本文证明了任意有限域上参数化最小距离问题及整数格上各 $\ell_p$ 范数下最短向量问题在任意常数因子内近似的 W[1]-困难性，完整回答了 Bhattacharyya 等人提出的主要未决问题。
2024-02-27 cs.CC
On the Approximability of Parameterized Minimum Monotone Satisfying Assignment
Simons Institute for the Theory of Computing（计算理论西蒙斯研究所）；Departments of EECS & Mathematics, UC Berkeley（加州大学伯克利分校电气工程和计算机科学系及数学系）；State Key Laboratory of Novel Software Technology, Nanjing University（南京大学软件新技术国家重点实验室）
本文研究了参数化最小单调满足赋值问题的近似性，提出了一种FPT时间的近似算法，并通过归约揭示了第三层与第四层的近似性差异。
2026-07-09 cs.CC
On the Longest Flip Sequence to Untangle Segments in the Plane
平面中的一组分段可以形成欧几里德TSP巡回或匹配等。最优TSP旅行以及最小权重完美匹配没有交叉段，但一些几何学和近似算法可能产生具有交叉的解决方案。为了改进这样的解决方案，我们可以连续应用翻转操作，用非交叉段替换一对交叉段。本文考虑对n个段执行的最大翻转次数D（n）。首先，我们提出了减少有关D（n）的不同集合的部分（TSP旅游，单色匹配，红蓝匹配，和多重图）。其次，我们证明了如果除了t点之外的所有点都在凸位置，则D（n）= O（tn^2），提供了凸O（n^2）界和一般O（n^3）界之间的平滑过渡。最后，我们证明了如果我们不计算翻转的总数，而只计算不同翻转的数量，那么立方上界改进为O（n^{8/3}）。
2023-03-17 cs.CC cs.CG
