改进的TSP的不可近似性

彩虹着色的改进的不可近似性

Improved Inapproximability of Rainbow Coloring

$k$-均匀超图的彩虹$q$-染色是顶点集的$q$-染色，使得每个超边包含所有的$q$颜色.证明了给定一个彩虹$(k - 2\lfloor \sqrt{k}\rfloor)$-可着色的$k$-均匀超图，要找到一个正常的$2$-着色是NP-困难的.在此之前，这只为彩虹$\lfloor k/2 \rfloor$-可着色超图所知（Guruswami and Lee，SODA 2015）。我们还研究了一个推广，我们称之为彩虹$(q, p)$着色，定义为使用$q$颜色的着色，使得每个超边至少包含$p$颜色。证明了给定一个彩虹$(k - \lfloor \sqrt{kc} \rfloor, k- \lfloor3\sqrt{kc} \rfloor)$-可着色的$k$一致超图，对于任何$c = o(k)$，要找到一个正规的$c$-着色是NP-困难的.我们的第二个结果的证明依赖于两个组合定理。其中一个定理由Sarkaria（J. Comb. Theory. 1990年）使用拓扑方法和其他定理，我们证明了使用广义Borsuk-Ulam定理。

2018-11-02cs.CCcs.DMmath.CO

从中国邮递员到推销员及其超越II：不可近似性与参数化复杂性

From Chinese Postman to Salesman and Beyond II: Inapproximability and Parameterized Complexity

本文研究连续图模型中的$δ$-Tour问题，证明了对于$δ<3/2$的APX难性和FPT性，对于$δ\geq3/2$的强不可近似性和W[2]难性，并给出了$δ$作为输入时的精确算法及其基于ETH的下界。

2025-02-25cs.CCcs.DS

Hard-Core模型中独立集计数的不可近似性结果的改进

Improved Inapproximability Results for Counting Independent Sets in the Hard-Core Model

研究了最大度Delta图的独立集个数的近似计数的计算复杂性。更一般地，对于输入图G=（V，E）和活动lambda>0，我们感兴趣的是量Z_G（lambda），其被定义为独立集I的和，加权为w（I）= lambda^ |I|。在统计物理学中，Z_G（lambda）是硬核模型的配分函数，硬核模型是一种理想化的气体模型，其中粒子具有不可忽略的尺寸。最近，一个有趣的相变被证明是发生的复杂性近似的配分函数。Weitz证明了当Delta为常数且lambda< lambda_c（Tree_Delta）：=（Delta-1）^（Delta-1）/（Delta-2）^Delta时，任何最大度Delta的图的配分函数的FPAS。数量lambda_c（Tree_Delta）是在度为Delta的无限正则树上的所谓唯一性阈值的临界点。在另一方面，Sly证明了对于lambda_c（Tree_Delta）< lambda < lambda_c（Tree_Delta）+lambda（Delta）不存在有效的（随机的）近似算法，除非NP=RP，对于某个函数lambda（Delta）>0。我们删除了Sly的结果为Delta不等于4和5的假设中的上界，也就是说，我们表明，不存在有效的随机近似算法的所有lambda>lambda_c（Tree_Delta）的Delta=3和Delta>= 6。Sly的不可逼近性结果使用了…

2012-12-11cs.CCcs.DMmath.CO

度量TSP的快速最小权双树捷径：最好的一个足够好吗？

Fast minimum-weight double-tree shortcutting for Metric TSP: Is the best one good enough?

度量旅行商问题（TSP）是一个经典的NP-难优化问题。度量TSP的双树捷径方法产生了一个指数大小的TSP旅游空间，每个旅游都近似于最多2倍的最优解。我们考虑的问题是在这些旅行中找到一个最接近的近似，即。\emph{minimum-weight double-tree shortcutting}。Burkard等人给出了一个解决这个问题的算法，在时间上运行$O(n^3+2^d n^2)$，在内存上运行$O(2^d n^2)$，其中$d$是有根最小生成树中的最大节点度。针对小规模的$d$（包括平面欧氏TSP，其中$d \leq 4$）问题，给出了一种在时间上运行的改进算法$O(4^d n^2)$和内存上运行的改进算法$O(4^d n)$ .这种改进允许人们在比以前尝试的大得多的实例上解决问题。我们的计算实验表明，在时间-质量权衡方面，最小权重双树捷径方法提供了一个最著名的旅游建设的算法。

2009-07-16cs.CCcs.DS

欧几里得TSP中2-Opt的改进平滑分析

Improved Smoothed Analysis of 2-Opt for the Euclidean TSP

针对欧几里得TSP的2-opt启发式，填补了高斯扰动平滑分析在低维（d≤3）的空白，并改进了所有现有平滑复杂度界。

2023-10-13cs.CCcs.DSmath.CO

幂律图顶点覆盖的改进逼近下界及其推广

Improved Approximation Lower Bounds for Vertex Cover on Power Law Graphs and Some Generalizations

我们证明了幂律图的顶点覆盖问题的新的显式不可逼近性结果和这类图的一些功能推广。我们的结果依赖于特殊的有界度放大器的建设，这些类的图，也可能是独立的利益。

2012-10-09cs.CCcs.DMcs.DS

几何装箱问题的近似难度改进

Improved Hardness of Approximation for Geometric Bin Packing

本文针对几何装箱问题，证明除非NP=P，否则该问题无法在d^{1-ε}因子内近似，并引入集合族的几何装箱维度概念，证明其关键性质以揭示几何装箱与向量装箱的根本差异。

2025-02-10cs.CCcs.CGcs.DS

带耦合约束的极小极大优化的改进难度结果

Improved Hardness Results for Min-Max Optimization with Coupled Constraints

Bocconi university（博科尼大学）；Politecnico di Milano（米兰理工大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）

通过利用耦合约束而非目标函数结构，简化并加强了非凸非凹极小极大问题的PPAD难度证明，并证明在一般约束下凸凹（双线性）问题也是PPAD难的。

2026-05-27cs.CCcs.GT

从中国邮递员问题到旅行商问题及延伸 I：近似求解δ覆盖所有边上所有点的最短回路（Shortest Tours $\delta$-Covering All Points on All Edges）。本文研究由Dearing和Francis于1974年在《Transportation Science》上提出的经典连续图模型，该模型将每条边视为由点组成的连续单位长度区间。针对$\delta\geq 0$的情况，我们提出了$\delta$-Tour问题，目标是找到能与每条边上的每个点的距离都不超过$\delta$的最短回路。经分析可知，0-Tour问题本质上等价于中国邮递员问题，可在多项式时间内求解；与之相对，1/2-Tour问题本质上等价于图旅行商问题（Graphic Traveling Salesman Problem, TSP），属于NP难问题，但存在多项式时间的常数因子近似算法。我们探究了$\delta$取其他值时的$\delta$-Tour问题，发现该问题的特性及分析所需的思路在不同$\delta$取值区间内存在显著差异。我们设计了多项式时间近似算法，具体结果如下：(1) 对任意固定的$0 < \delta< 3/2$，$\delta$-Tour问题存在常数因子近似算法；(2) 对任意固定的$\delta\geq 3/2$，该问题存在$O(\log{n})$近似算法；(3) 若$\delta$作为输入的一部分，则该问题存在$O(\n^3)$近似算法。本文是关于$\delta$-Tour问题的两篇论文中的第一篇，第二篇将补充本文提出的近似算法的不可近似性结果及参数化复杂度相关研究。

From Chinese Postman to Salesman and Beyond I: Approximating Shortest Tours $δ$-Covering All Points on All Edges

本文提出δ覆盖所有边上点的最短回路δ-Tour问题，针对不同δ取值区间设计了多项式时间近似算法，是该问题系列研究的第一篇。

2025-02-24cs.CCcs.DS