The Bidirected Cut Relaxation for Steiner Tree: Better Integrality Gap Bounds and the Limits of Moat Growing
Department of Computer Science, ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院计算机系）
该研究改进了Steiner树问题中双向割松弛的整数规划间隙上界，证明其至多为1.898，并探讨了moat生长算法的极限。
2026-02-23 cs.DS
Dual Half-integrality for Uncrossable Cut Cover and its Application to Maximum Half-Integral Flow
给定一个边权图和一个森林$F$，$\textit{2-edge connectivity augmentation problem}$的任务是选取一个最小权边集$E'$，使得$E'\cup F$的每个连通分支都是2-边连通的. Williamson等人利用原始-对偶模式给出了该问题的2-近似算法（WGMV）。我们表明，当边缘权重是积分，WGMV程序可以修改，以获得一个半积分对偶。2-边连通性扩充问题与图中的路由流有一个有趣的联系，其中供应和需求的联合是平面的。对偶的半整性导致一个紧的2-近似最大半积分流最小多割定理。
2020-07-28 cs.DS
On the integrality gap of the maximum-cut semidefinite programming relaxation in fixed dimension
我们描述了一个最大割半定规划松弛的完整性间隙的因子揭示凸优化问题：对于每个$n \geq 2$，我们提出了一个凸优化问题，其最优值是最大可能的最佳秩- $n$解决方案的松弛和最佳割的值之间的比率。这个问题，然后用来计算完整性差距的下界。
2020-08-05 cs.DS math.OC
A $(\log n)^{Ω(1)}$ integrality gap for the Sparsest Cut SDP
我们证明了具有一般要求的稀疏割问题的Goemans-Linial半定松弛存在积分间隙$(\log n)^{Ω(1)}$ .这是通过展示$n$ -点度量空间的负型，其$L_1$失真是$(\log n)^{Ω(1)}$。我们的结果是基于从海森堡群到$L_1$的Lipschitz映射的退化率的定量界限制时，陪集的中心。
2009-11-18 cs.DS math.FA
Matroids and Integrality Gaps for Hypergraphic Steiner Tree Relaxations
直到最近，LP松弛在Steiner树问题的近似算法的设计中发挥了有限的作用。在2010年，Byrka等人提出了一个基于超图LP松弛的ln（4）+ ε近似，但令人惊讶的是，他们的分析没有提供完整性间隙的匹配边界。我们重新审视超图LP松弛的施泰纳树问题-一个严重利用的方法和结果，从理论的拟阵和次模函数-这导致更强的完整性差距，更快的算法，和各种结构的见解独立的利益。更准确地说，我们提出了一个确定性的ln（4）+numb近似，与LP值进行比较，因此证明了完整性差距的匹配ln（4）上界。与Byrka等人类似，我们迭代地固定一个分量并更新LP解。然而，虽然他们解决了LP在每一次迭代后，合同的一个组成部分，我们展示了如何可行性可以保持一个贪婪的程序上精心挑选的拟阵。除了避免在每次迭代时求解超图LP的昂贵步骤之外，我们的算法可以使用简单的势函数进行分析。这给出了一个简单的方法来确定更强的近似保证和完整性差距时，考虑限制图拓扑。特别是，这很容易导致一个73/60的准二部图的完整性差距的界限。对于拟二部图的情况下，我们提出了一个简单的算法转换的最佳解决方案的双向切割松弛的超图松弛的最佳解决方案，导致一个快速的73/60近似的拟二部图。此外，我们展示了如何通过计算最大流来解决超图松弛的分离问题，为我们的拟阵提供了一个快速的独立预言。
2011-12-13 cs.DM cs.DS
The Unique Games Conjecture, Integrality Gap for Cut Problems and Embeddability of Negative Type Metrics into $\ell_1$
本文证明了Goemans和Linial的一个猜想，即每一个负型度量嵌入到$\ell_1$中，且具有常数的畸变.我们发现，对于一个任意小的常数$δ> 0$，对于所有足够大的$n$，有一个$n$点负型度量，需要失真至少$(\log\log n)^{1/6-δ}$嵌入到$\ell_1.$令人惊讶的是，我们的建设是受独特的游戏猜想（UGC）的霍特，建立一个以前未被怀疑的连接之间的概率检验证明系统（PCP）和度量嵌入的理论。我们首先证明，UGC意味着一个超常数硬度的结果（非均匀）Sparcident切割问题。虽然这个硬度的结果依赖于UGC，我们证明，然而，相应的PCP减少可以用来构建一个“完整性差距实例”的Sparcadium切。为此，我们首先构建了一个完整性差距的唯一游戏的自然SDP放松的例子。然后，我们“模拟”的PCP减少和“翻译”的完整性差距的独特的游戏实例的完整性差距的Spartament切割的实例。这使我们能够证明一个$(\log \log n)^{1/6-δ}$完整性间隙的Sparling-Cut，这是已知的是等价的度量嵌入下界。
2013-05-20 cs.CC cs.DS math.MG
A Logarithmic Integrality Gap Bound for Directed Steiner Tree in Quasi-bipartite Graphs
我们证明了在具有$k$终端的准二部图中，基于自然割的LP松弛的有向Steiner树问题的完整性间隙是$O(\log k)$。这样的例子可以被看作是广义的集合覆盖，所以完整性缺口分析是紧到一个常数因子。我们的方法的一个新的方面是，我们使用的原始-对偶方法，很少使用的技术，在有向图的网络设计问题的近似算法的设计。
2016-04-27 cs.DS
On Lifting Integrality Gaps to SSEH Hardness for Globally Constrained CSPs
本文在 Small-Set Expansion Hypothesis 下，将 μ-约束 Boolean Max-CSP 的 Lasserre 整性间隙转化为匹配的 NP 难近似下界。
2023-08-18 cs.DS
Semidefinite Programming Relaxations of the Traveling Salesman Problem and Their Integrality Gaps
旅行商问题是组合优化中的一个基本问题。最近已经提出了几种半定规划松弛，它们利用了各种数学结构，例如，代数连通性、置换矩阵和关联方案。本文的主要结果是双重的。首先，de Klerk和Sotirov [9]提出了一种基于置换矩阵和对称约化的SDP;他们表明，它与子环消除线性规划不可比拟，但通常在小实例上优于它。我们提供了一个家庭的\emph{simplicial TSP instances}，这表明该SDP的完整性差距是无界的。其次，我们证明了这些单纯TSP实例意味着Sotirov [24]第2节中关于TSP的SDP松弛的调查中提到的TSP的每个SDP松弛的无界积分间隙。相比之下，subtour LP在单纯实例上表现完美。因此，单纯的情况下，形成一个自然的试金石未来的SDP松弛的TSP。
2019-07-21 cs.DM cs.DS math.OC
Integrality gaps of semidefinite programs for Vertex Cover and relations to $\ell_1$ embeddability of Negative Type metrics
我们研究了不同的SDP配方{\sc顶点覆盖}，通过添加不同的限制，标准制定。我们表明，{\sc顶点覆盖}不能近似优于$2-o(1)$，即使我们添加了所谓的五边形不等式约束的标准SDP制定，途中回答一个公开的问题Karakostas~\cite{Karakostas}。我们进一步表明了一个令人惊讶的事实，即通过加强SDP与（棘手的）要求，解决方案的度量解释是一个$\ell_1$度量，我们得到了一个精确的放松（完整性差距为1），另一方面，如果解决方案是任意接近$\ell_1$嵌入，完整性差距可能是一样大的$2-o(1)$。最后，受上述研究结果的启发，我们使用Charikar \cite{Char02}的完整性缺口构建的想法，为不能嵌入$\ell_1$的负型度量提供一系列简单的例子，其失真优于$8/7-\eps$。为此，我们证明了一个新的超立方体等周不等式。
2006-04-13 cs.DM cs.DS math.MG
Improved integrality gap upper bounds for TSP with distances one and two
我们研究了旅行商问题（TSP）的线性规划公式的解决方案的结构。我们进行了详细的分析，支持的subtour消除线性规划松弛，这导致算法，找到2-匹配的几个组件在多项式时间。组件的数量直接导致的完整性差距上界的TSP的距离为1和2，无向和有向图。我们的主要结果涉及subtour消除松弛与一个额外的切割平面不等式：-对于无向的情况下，我们得到的完整性差距上限为5/4，没有任何进一步的限制，7/6，如果最佳的LP解决方案是半积分。- 对于n阶的情况下，分数LP值的成本为n，我们得到一个紧的完整性差距上限为10/9，如果有一个最优解与次立方支持图。如果解是分数2-匹配多面体中的基本解，则隐含了图是次立方的后一性质。- 对于定向的情况下，我们得到的完整性差距上限为3/2，4/3，如果给定一个最佳的1/2-积分的解决方案。在无向图的情况下，如果我们接受稍微增加的值，我们可以避免添加割平面不等式。对于紧密的结果，不需要切割平面。此外，我们表明，依赖于支持的结构不是我们算法的人工制品，但在标准复杂性理论假设下是必要的：我们表明，即使对于距离为1和2的TSP，通过局部搜索找到改进的解决方案对于k边变化邻域也是W[1]困难的，这加强了Dániel Marx的结果。
2015-03-26 cs.DS
The Bidirected Cut Relaxation for Steiner Tree has Integrality Gap Smaller than 2
针对Steiner树问题，本文证明双向切割松弛（BCR）的整性间隙上界为1.9988，首次严格表明其优于恰好为2的自然无向松弛。
2024-08-08 cs.DM cs.DS
The Lasserre Hierarchy in Almost Diagonal Form
Lasserre层次结构是一个系统的过程，用于构建一系列越来越紧的松弛，捕获凸配方中使用的最佳可用的近似算法的各种优化问题。尽管越来越多的兴趣，有很少的技术来分析Lasserre完整性差距。满足半正定要求是构造Lasserre间隙例子的主要障碍之一。我们提出了一种新的表征的Lasserre层次结构的矩矩阵的基础上，不同的对角矩阵的秩一（几乎对角形式）。我们提供了一个模块化的配方，以获得半正定的可行性条件，通过迭代对角化秩一矩阵。利用这一点，我们证明了两个基本的能力覆盖问题的Lasserre层次的完整性差距的强下界。对于最小背包问题，我们表明，完整性差距仍然任意大，即使在级别$n-1$的Lasserre层次。对于最小和的延迟工件调度问题，我们证明了完整性差距是无界的水平$Ω(\sqrt{n})$（即使当目标函数集成为约束）。这些界限本身就很有趣，因为这两个问题都承认FPTAS。
2014-04-02 cs.DS
Improving the Integrality Gap for Multiway Cut
在多路切割问题中，我们给出了一个无向图，它的边权值为非负，且图中有一组$k$终端节点，目标是将图中的节点集划分为$k$非空部分，每个非空部分只包含一个终端，使得穿过划分的边的总权值最小. $k\ge 3$的多路切割问题是APX困难的。对于任意$k$，最知名的近似因子是$1.2965$，源于[Sharma and Vondrák，2014]，而最知名的不可近似因子是$1.2$，源于[Angelidakis，Makarychev and Manurangsi，2017]。在这项工作中，我们通过构造CKR松弛的完整性间隙实例来改进$1.20016$的下限。在改善差距的技术挑战是缺乏几何工具来理解高维单纯形。我们的实例是一个非平凡的$3$维实例，它克服了这个技术挑战。我们分析的差距的情况下，将其视为一个凸组合的$2$维的实例和一个统一的3维实例。我们相信，这种技术可以进一步利用，以构建更大的完整性差距的实例。我们的证明技术的一个组成部分是对[Mirzakhani and Vondrák，2015]中关于\emph{Sperner admissible labelings}的结果的推广，该结果可能具有独立的组合兴趣。
2018-11-21 cs.DS math.OC
Firefighting on Trees Beyond Integrality Gaps
消防员问题和它的一个变体，称为火灾遏制资源最小化（RMFC），是最佳抑制有害传播过程的自然模型。尽管在几个方面取得了相当大的进展，这些问题的近似性仍然很难理解。即使底层图是树，也是如此，树是本文中研究最多的图结构之一，也是本文的重点。在他们最简单的版本中，火从一个固定的顶点逐步从燃烧到相邻的非燃烧顶点，并且在每个时间步，$B$许多非燃烧顶点可以被保护免于着火。对于给定的$B$，消防员问题要求最大化不会着火的顶点的数量，而RMFC（在树上）要求找到最小的$B$，允许保存树的所有叶子。在这项工作之前，最著名的近似比是$O(1)$ -近似的消防员问题和$O(\log^* n)$ -近似的RMFC，都是LP为基础的，基本上匹配的两个自然LP松弛的完整性差距。我们提出了一个PTAS的消防员问题和一个$O(1)$ -近似RMFC，都定性匹配已知的硬度结果，这两个近似改进。我们的研究结果是通过结合已知的LP与几种新的技术，它允许有效地枚举子集的超常数大小的一个好的解决方案，以获得更强的LP。
2016-03-14 cs.DM cs.DS
Simplex based Steiner tree instances yield large integrality gaps for the bidirected cut relaxation
双向割松弛是双向松弛（$\mathrm{\mathcal{BCR}}$）的特征代表，双向松弛是NP-难Steiner树问题（STP）的一类著名的等价LP-松弛.虽然没有基于$\mathrm{\mathcal{BCR}}$的通用近似算法，其近似比STP的$2$更好，但在整数规划中，它作为STP的实现是最优选的，因为存在紧凑大小的公式，其在实践中证明是非常有效的。已知$\mathrm{\mathcal{BCR}}$的完整性间隙至多为$2$，并且长期存在的未决问题是完整性间隙是否小于$2$。迄今为止，最佳下限是Byrka等人证明的$\frac{36}{31} \approx 1.161$ [BGRS 13]。基于Chakrabarty等人的工作。[CDV 11]通过考虑适当的对偶公式将STP实例嵌入到单纯形中，我们通过构造一类新的实例并证明其完整性间隙至少倾向于$\frac{6}{5} = 1.2$来改进这一结果。更确切地说，我们认为类的等价LP-松弛$\mathrm{\mathcal{BCR}}^{+}$，可以通过加强$\mathrm{\mathcal{BCR}}$已知的直接施泰纳顶点度约束，并表明，最坏情况下的比例关于$\mathrm{\mathcal{BCR}}$和$\mathrm{\mathcal{BCR}}^{+}$之间的最佳值至少是$\frac{6}{5}$。由于$\math…
2020-02-18 cs.DM cs.DS math.CO
Integrality Gaps and Approximation Algorithms for Dispersers and Bipartite Expanders
我们研究的问题，近似的质量分散。一个$([N],[M])$上的二分图$G$是$(ρN,(1-δ)M)$ -分散器，如果对于任意一个$ρN$的子集$S\subseteq [N]$，其邻集$Γ(S)$至少包含$(1-δ)M$不同的顶点.我们的主要结果是强大的完整性差距的Lasserre层次和近似算法的分散。\begin{enumerate} \item For any $α>0$, $δ>0$, and a random bipartite graph $G$ with left degree $D=O(\log N)$, we prove that the Lasserre hierarchy cannot distinguish whether $G$ is an $(N^α,(1-δ)M)$-disperser or not an $(N^{1-α},δM)$-disperser. \item For any $ρ>0$, we prove that there exist infinitely many constants $d$ such that the Lasserre hierarchy cannot distinguish whether a random bipartite graph $G$ with right degree $d$ is a $(ρN, (1-…
2015-10-17 cs.CC cs.DM cs.DS
Maximum Entropy is a 10/7-Approximation Algorithm for the TSP on Half-Integral Cycle Cut Instances
Purdue University（普渡大学）；Boston University（波士顿大学）；Cornell University（康奈尔大学）
针对TSP的半整数环割实例，证明最大熵算法达到10/7近似比，该类实例包含Subtour LP积分间隙为4/3的案例，且算法性能不低于11/8。
2026-07-03 cs.DS
An Improved Integrality Gap for Asymmetric TSP Paths
非对称旅行商路径问题（ATSPP）是一个给定具有指定顶点s和t的非对称度量空间$(V,d)$，目标是找到通过V中所有顶点的最小长度的s-t路径的问题。（而不是$s-t$路径）访问所有节点：对于ATSP，$ρ$近似保证意味着ATSPP的$O(ρ)$近似。然而，对于这些问题的线性规划松弛的完整性间隙，没有这样的连接是已知的：ATSPP的当前最佳近似算法是$O(\log n/\log\log n)$，而ATSPP的自然LP松弛（子图消除LP）的完整性间隙的最佳界限是$O(\log n)$。在本文中，我们关闭这个差距，并改善目前的最佳界的完整性差距从$O(\log n)$到$O(\log n/\log\log n)$。所得到的算法使用LP解中的窄$s$ - $t$切割的结构来构造（随机）树生成树，该树生成树可以被廉价地扩充以包含欧拉$s$ - $t$行走。我们还建立在Oveis Gharan和Saberi的结果，并显示了强形式的Goddyn的猜想薄生成树意味着完整性差距的subtour消除LP松弛ATSPP是有界的一个常数。最后，我们给出了一个更简单的家庭的情况下，这个LP的完整性差距至少是2。
2015-01-06 cs.DS
Polynomial integrality gaps for strong SDP relaxations of Densest k-subgraph
Denk-subgraph（DkS）问题（即寻找一个最大边数为k的子图）是近似算法中著名的问题之一。在已知的DkS的上限和下限之间存在显著的差距：当前最好的算法给出~ O（n^{1/4}）近似，而即使显示小的常数因子硬度也需要比P！NP.除了对设计更好的算法感兴趣之外，最近的一些结果利用了Denmark-子图及其变体的约束硬度。因此，理解DkS的可近似性是一个重要的挑战。在这项工作中，我们给出了证据的硬度近似DkS内多项式的因素。具体地说，我们揭示了SDP层次的强半定规划在求解Denmark-子图时的局限性。我们的成果包括：* DkS的Sherali-Adams松弛的Omega（log n/log log n）轮的完整性间隙的Omega（n^{1/4}/log^3 n）的下限。这也适用于从Sherali-Adams获得的松弛与添加的SDP约束。我们的间隙实例实际上是Erdos-Renyi随机图。* 对于每个ε> 0，DkS的Lasserre SDP松弛的n^{Omega（eps）}轮的完整性间隙的下限为n^{2/53-eps}，并且n ^{1-eps}轮的完整性间隙为n^{Omega_eps（1）}。我们的建设收益通过减少从随机实例的某个Max-CSP在大域。在缺乏DkS的不可近似性结果的情况下，我们的结果表明，即使是最强大的SDP也无法击败n^{Omega（1）}的因子，事实上，…
2011-10-06 cs.CC cs.DS
Near Optimal LP Rounding Algorithm for Correlation Clustering on Complete and Complete k-partite Graphs
我们给新的舍入方案的标准线性规划放松的相关聚类问题，实现近似因子几乎匹配的完整性差距：-对于完整的图形，我们的appoximation是$2.06 - \varepsilon$为固定常数$\varepsilon$，这几乎匹配以前已知的完整性差距$2$。- 对于完全$k$ -部图，我们的近似是$3$ .我们还显示了匹配的完整性差距。- 对于边权满足三角不等式和概率约束的完全图，我们的近似是$1.5$，并且我们证明了$1.2$的完整性缺口。我们的研究结果改进了一长串工作的近似算法的相关聚类在完全图，以前达到高潮的比率$2.5$的完整的情况下由Ailon，Charikar和纽曼（JACM'08）。在满足三角不等式和概率约束的加权完备情形中，同一作者给出了一个$2$ -近似;对于二分情形，Ailon、Avigdor-Elgrabli、Liberty和van Zuylen给出了一个$4$ -近似（SICOMP'12）。
2015-06-23 cs.DS
Lift-and-Project Integrality Gaps for Santa Claus
本文研究了Santa Claus问题特例MMDA问题，构造了深度为3的实例证明仅1轮Sherali-Adams层级无法实现多对数近似，并展示了可将其提升至任意深度以挑战现有技术。
2024-10-17 cs.CC cs.DS
Integrality gap preserving reductions
Università della Svizzera italiana（瑞士意大利语大学）；Istituto Dalle Molle di studi sull’intelligenza artificiale (IDSIA USI-SUPSI)（达莱莫勒人工智能研究学院）
本文提出保持积分间隙的归约框架，通过迭代缩小问题实例计算积分间隙，应用于多个优化问题，证明三个简单子类间隙为1并改进其他情况的下界。
2026-09-18 cs.DM cs.DS
On Column-restricted and Priority Covering Integer Programs
在列限制覆盖整数规划（CCIP）中，约束矩阵的任何一列的所有非零元素都是相等的。这样的程序捕获覆盖问题的能力限制版本。本文研究了CCIP的可逼近性，特别是它们与0，1-CIP的完整性间隙的关系。如果0，1-CIP的完整性间隔为O（gamma），并假设0，1-CIP的优先级版本的完整性间隔为O（omega），我们给出了CCIP的一个因子为O（gamma + omega）的近似算法。0，1-CIP（PCIP）的优先级版本自然地捕获覆盖问题中的服务质量类型约束。我们调查优先版本的线（PLC）和（根）树覆盖（PTC）的问题。除了作为自然的研究对象，这些问题属于一类基本的几何覆盖问题。我们通过一个常数来约束这个PCIP的某些类的完整性。在数学上，我们给出了PLC的一个多时间精确算法，证明了PTC问题是APX困难的，并给出了它的一个因子2-近似算法。
2010-03-07 cs.DS
LP Relaxation and Tree Packing for Minimum $k$-cuts
Karger使用生成树填充来推导出全局最小割问题的近线性时间随机算法以及近似最小割数的界。这是一种不同于他著名的随机收缩算法的方法。Thorup通过贪婪递归树填充为最小$k$-割问题提出了一种快速确定性算法。在本文中，我们重新讨论的性质的LP松弛$k$-削减提出的Naor和Rabani，并分析了Chekuri，Guha和Naor。我们发现，双LP产生一个树包装，当结合上界的完整性差距的LP，容易和透明的扩展Karger的分析mincut的$k$切割问题。除了简单的算法及其分析，这使我们能够提高运行时间的Thorup的算法的一个因素的$n$。我们还改进了$α$-近似$k$-割的个数的界.其次，给出了线性规划的完整性缺口为$2(1-1/n)$的简单证明。第三，我们表明，LP松弛的最佳解决方案，对于所有值的$k$，是完全由主序列的输入图的分区。这使我们能够与LP松弛的拉格朗日松弛的方法Barahona和拉维和辛哈，它也表明，理想化的递归树包装考虑Thorup给出了一个最佳的对偶解决方案的LP。这项工作产生于努力理解和简化的结果Thorup。
2018-08-17 cs.DS
Nash Social Welfare with Submodular Valuations: Approximation Algorithms and Integrality Gaps
针对次模估值下的加权Nash社会福利最大化问题，提出了一种基于更强分离预言机和二部多重图舍入的$(3.56+ε)$-近似算法，并证明了配置LP在多种估值下的新可积性间隙。
2025-11-05 cs.DS cs.GT
On the Tree Augmentation Problem
在树扩充问题中，我们给出一棵树$T=(V,F)$和一组具有正整数代价$\{c_e:e \in E\}$的边$E \subseteq V \times V$。目标是通过最小成本边集$J \subseteq E$来扩充$T$，使得$T \cup J$是$2$ -边连接的。我们得到以下结果。最近，Adjiashvili [SODA 17]为该问题引入了一种新的LP，并使用它来打破$2$ -近似障碍，例如当$E$中边缘的最大成本$M$由常数限制时;他的算法计算时间上的$1.96418+ε$近似解$n^{{(M/ε^2)}^{O(1)}}$。使用一个更简单的LP，我们实现了$\frac{12}{7}+ε$在时间上的比率$2^{O(M/ε^2)} poly(n)$。这给出了比$2$更好的对数成本的比率，而不仅仅是常数成本。对于这个问题，最古老的开放问题之一是对于单位成本（当$M=1$时），标准LP松弛（所谓的Cut-LP）是否具有小于$2$的完整性间隙。我们解决了这个悬而未决的问题，证明了单位成本的完整性缺口的切割LP是最多$28/15=2-2/15$。此外，我们将证明另一个自然LP松弛，这是比以前的工作简单得多，有完整性差距最多$7/4$。
2018-12-22 cs.DS
Approximating Sparsest Cut in Low Rank Graphs via Embeddings from Approximately Low-Dimensional Spaces
研究了满足$\ell_2^2$三角不等式的有限点集$\{x_1, \ldots, x_n\} \in \mathbb{R}^d$在近似低维的情况下嵌入到$\ell_1$中的问题. Goemans（未发表，出现在[Magen和Moharammi，2008]的工作中）表明，驻留在\emph{exactly} $d$维中的这些点可以嵌入到$\ell_1$中，最多失真$\sqrt{d}$。我们证明了下面的强大的类似的这一说法：如果存在一个$r$维子空间$Π$，使到这个子空间上的投影满足$\sum_{i,j \in [n]}\Vert Πx_i - Πx_j \Vert _2^2 \geq Ω(1) \sum_{i,j \in [n]}\Vert x_i - x_j \Vert _2^2$，然后有一个嵌入的点到$\ell_1$与$O(\sqrt{r})$平均失真。这个结果的一个后果是，著名的Goemans-Linial SDP松弛的均匀稀疏割问题的完整性差距是$O(\sqrt{r})$上的图$G$，其$r$的拉普拉斯算子的最小归一化本征值满足$λ_r(G)/n \geq Ω(1)Φ_{SDP} (G)$。我们的结果改进了先前已知的$O(r)$对平均失真的界，以及在相同前提下Goemans-Linial SDP的完整性间隙，在[Deshpande和Venkat，2014]和[Deshpande…
2017-06-21 cs.DS
On bounded pitch inequalities for the min-knapsack polytope
在最小背包问题中，目标是选择一组总成本最小且总利润高于给定阈值的对象。本文研究了最小背包的一类有效不等式--有界节距不等式，它推广了著名的无权覆盖不等式。虽然对音高1不等式的分离是NP困难的，但我们证明了对音高1和音高2不等式集合的近似分离可以在多项式时间内完成。当这些不等式相加时，我们还研究了最小背包的线性松弛的完整性缺口。在其他的结果中，我们证明了，对于任何固定的$t$，自然线性松弛的$t$ -th CG闭包具有无界的完整性间隙。
2018-01-26 cs.DS
Efficient constructions of convex combinations for 2-edge-connected subgraphs on fundamental classes
求解2-边连通生成多重图问题（2 EC）的LP松弛问题的精确完整性间隙$α$与求解度量旅行商问题（TSP）的Held-Karp松弛问题密切相关.虽然前一个问题似乎比后者更容易，因为它的约束较少，目前这两个问题各自的完整性差距的上限是相同的。证明这两个问题的完整性缺口的方法是考虑极值点的基本类。对于2 EC，更好的界限上的完整性差距是已知的某些重要的特殊情况下，这些基本点。例如，对于半整数方形点，完整性间隙介于$\frac{6}{5}$和$\frac{4}{3}$之间。我们的主要结果是提高近似因子为$\frac{9}{7}$为2 EC为这些点。我们的方法是基于构造凸组合和我们的关键工具是自上而下的着色框架树增强，其灵活性，我们采用利用有益的性质，在初始生成树和输入图。我们还展示了如何这些工具可以定制的紧密相关的问题，统一覆盖的最知名的界限的证明不产生多项式时间算法。另一个关键要素是使用彩虹生成树分解，它允许我们获得具有特定属性的生成树的凸组合
2021-08-18 cs.DM cs.DS math.CO
Half-integrality, LP-branching and FPT Algorithms
参数化算法的最近趋势是将多面体工具（具体地，LP分支）应用于FPT算法（例如，Cygan等人，2011; Narayanaswamy等人，2012年）。然而，尽管已经实现了有趣的结果，但是这些方法要求底层多面体具有非常严格的性质（半完整性和持久性），这些性质仅对于少数问题是已知的（基本上是顶点覆盖（Nemhauser和Trotter，1975）和节点多路切割（Garg等人，1994年））。采用稍微不同的方法，我们将半完整性视为问题的\emph{discrete}松弛，例如，从$\{0,1\}^V$到$\{0,1/2,1\}^V$的搜索空间的松弛，使得新问题允许多项式时间精确解。使用CSP的工具（特别是Thapper和Jumeivnovich，2012）来研究这种松弛的存在性，我们提供了一个更广泛的具有所需性质的半整数多面体，统一和扩展了以前已知的情况。除了深入了解问题的半积分松弛，我们的研究结果产生了一系列新的和改进的FPT算法，包括$O^*(|Σ|^{2k})$时间算法节点删除唯一标签覆盖标签集$Σ$和$O^*(4^k)$时间算法组反馈顶点集，包括设置组仅由Oracle访问。所有这些都大大改善了以前的结果。后一个结果也意味着子集反馈顶点集的第一个单指数时间FPT算法，回答了Cygan等人（2012）的一个公开问题。此外，我们提出了一个基于网络流的方法来解决某些情况下的松弛问题。这…
2014-06-11 cs.DS
A 4/3-Approximation Algorithm for Half-Integral Cycle Cut Instances of the TSP
本文针对TSP半整数实例中所有临界紧集均为环割的情形，构造了期望成本至多为LP解值4/3倍的巡回分布，从而给出紧的随机化4/3近似算法，部分证实了长期存在的4/3完整性间隙猜想。
2023-07-09 cs.DS math.OC
TSP integrality gap via 2-edge-connected multisubgraph problem under coincident IP optima
本文通过2-edge-connected multisubgraph问题的唯一整数最优解和半整数LP解，证明TSP的积分间隙不超过4/3。
2025-12-05 cs.DS math.OC
$\ell_p$-norm Multiway Cut
我们介绍和研究$\ell_p$ -norm-multiway-cut：这里的输入是一个无向图，非负边权重以及$k$终端，目标是找到一个分区的顶点集$k$部分，每个部分包含恰好一个终端，以最小化的$\ell_p$ -范数的切割值的部分。这是最小和多路割（当$p=1$）和最小最大多路割（当$p=\infty$）的统一推广，这两个问题都是图划分文献中研究得很好的经典问题。我们证明了$\ell_p$ -norm-multiway-cut在终端数为常数时是NP-难的，在平面图中也是NP-难的。在算法方面，我们设计了一个$O(\log^2 n)$ -近似的所有$p\ge 1$。我们还证明了自然凸规划的$Ω(k^{1-1/p})$的完整性缺口和对任意常数$ε>0$的$O(k^{1-1/p-ε})$ -不可逼近性假设的小集合扩张假设。
2021-06-28 cs.DS
Vertex Sparsifiers and Abstract Rounding Algorithms
在\cite{M}中引入了顶点稀疏化的概念，其中示出了对于任何图$G = (V, E)$和$k$终端$K \subset V$的子集，存在多项式时间算法来仅在终端集上构造图$H = (K, E_H)$，使得同时对于所有切割$(A, K-A)$，将$A$与$K -A$分开的$G$中的最小切割值与$H$中的相应切割值大致相同。我们给出了第一个超常数下界如何以及切割稀疏$H$可以同时近似所有最小切割$G$。我们证明了一个下界的$Ω(\log^{1/4} k)$ -这是多项式相关的$O(\log k/\log \log k)$已知的上界。这是对\cite{LM}中给出的$Ω(\log \log k)$界的指数级改进，该界实际上是为了更强的顶点稀疏化保证，并且不适用于切割稀疏器。尽管有这个负面的结果，我们表明，对于许多自然问题，我们不需要招致我们的减少乘法处罚。得到了最优的$O(\log k)$竞争Steiner不经意路由方案，推广了\cite{R}中的结果.我们还表明，对于广泛的图包装问题（其中包括最大并发流，最大多流和组播路由，除其他外，作为一个特殊情况），线性规划的完整性差距总是在最多$O(\log k)$倍的完整性差距限制树。这一结果有助于解释$O(\log k)$对此类问题的保证的普遍性。最后，我们使用我们的想法，给出一个有效的顶点稀疏匹配当前最好的存在结果的构造-这是以前开放的。…
2010-06-23 cs.DS
Breaking symmetries to rescue Sum of Squares in the case of makespan scheduling
平方和（\sos{}）的层次结构给出了一个自动化的技术来创建一个家庭越来越紧的凸松弛的二进制程序。有几个问题，这一层次的一个恒定数量的轮给出完整性差距匹配最知名的近似算法。然而，对于许多其他问题，ad-hoc技术在最坏情况下比\sos{}给出更好的近似比，如相应的下限实例所示。值得注意的是，在许多情况下，这些实例在大置换群的作用下是不变的。这就产生了这样一个问题，即在一个公式中的对称性如何降低由\sos{}层次结构获得的松弛的性能。在本文中，我们研究这一情况下的最小完工时间问题相同的机器。我们的第一个结果是表明，\sos{}的$Ω(n)$轮应用于\emph{configuration linear program}产生至少$1.0009$的完整性差距，其中$n$是作业的数量。我们的结果是基于对称群的表示理论的工具。然后，我们考虑较弱的\emph{assignment linear program}和添加一个精心挑选的对称性破缺不等式，删除了一个子集的机器置换对称。我们发现，应用$2^{\tilde{O}(1/\varepsilon^2)}$轮SA层次结构，这个更强的线性规划减少了完整性差距$1+\varepsilon$，从而产生一个基于线性规划的多项式时间近似方案。我们的研究结果表明，对于这个经典的问题，对称性是主要的障碍，防止\sos{} / SA层次给出松弛的多项式复杂度的完整…
2020-05-16 cs.DS
Lower Bounds on $0$-Extension with Steiner Nodes
本文研究允许 Steiner 节点的 $0$-Extension 变体，证明同一半度量 LP 松弛即便使用超线性数量 Steiner 节点，整性隙仍有 $\Omega(\log\log |T|)$ 下界。
2024-01-17 cs.DS
On constant multi-commodity flow-cut gaps for directed minor-free graphs
多商品流割间隙是影响分治算法性能的一个基本参数，在各种无向图中得到了广泛的研究. Linial、London和Rabinovich \cite{linial1994geometry}以及Aumann和Rabani \cite{aumann1998log}证明了对于一般的$n$ -顶点图，它是由$O(\log n)$有界的，而Gupta-Newman-Rabinovich-Sinclair猜想\cite{gupta2004cuts}断言，对于任何排除某个固定子图的图族，它都是$O(1)$。对于有向图的情况，流切间隙的理解很少。我们表明，对于统一的要求，它是$O(1)$有向串并行图，有向图的有界路径宽度。这些是第一个常数的上界，这种类型的一些非平凡家庭的有向图。我们还得到了一般多商品流割间隙在有向树和圈上的$O(1)$上界。这些界是通过拟度量空间的新嵌入和Lipschitz拟划分得到的，它们推广了度量空间的类似结果，并且可能是独立的。最后，我们讨论了无向图的方法，如随机分区和随机嵌入的局限性。
2017-11-04 cs.DS
Sparsest Cut on Bounded Treewidth Graphs: Algorithms and Hardness Results
本文给出了非均匀稀疏割的一个2-近似算法，该算法在时间上运行$n^{O(k)}$，其中$k$是图的树宽.这改善了以前的$2^{2^k}$ -近似的时间$\poly(n) 2^{O(k)}$由于Chlamtá等人。为了补充这个算法，我们显示了以下硬度的结果：如果非均匀稀疏割问题有一个$ρ$ -近似串并行图（其中$ρ\geq 1$），那么最大割问题有一个算法的近似因子任意接近$1/ρ$。因此，即使对于这样的受限图（树宽为2），稀疏割问题也是NP-难的，比$ε> 0$的$17/16 - ε$更好地近似;假设唯一博弈猜想，硬度变成$1/α_{GW} - ε$。对于图与大（但恒定）树宽，我们显示了硬度结果$2 - ε$假设唯一的游戏猜想。我们的算法轮的线性规划的基础上（的一个子集）的Sherali-Adams升降机的标准Sparling-Cut LP。我们证明，即使对于树宽为2的图，即使经过多项式多轮Sherali-Adams，LP也具有接近2的完整性差距。因此，我们的方法不能得到改善，即使在这样的限制图，而不使用更强的放松。
2013-05-06 cs.DS
Approximate Constraint Satisfaction Requires Large LP Relaxations
证明了约束满足问题的近似形式的线性规划松弛的大小的超多项式下界。我们表明，对于这些问题，多项式大小的线性规划是完全一样强大的方案所产生的一个恒定数量的轮的Sherali-Adams层次。特别地，用于Max Cut的任何多项式大小的线性规划具有1/2的完整性间隙，并且用于Max 3-Sat的任何此类线性规划具有7/8的完整性间隙。
2016-02-08 cs.CC cs.DS math.CO
Integrality Gap Bounds for the Goemans-Linial SDP on Finite Abelian Cayley Graphs
Maastricht University（马斯特里赫特大学）
本文研究有限阿贝尔凯莱图上Goemans-Linial半定规划的整性间隙，证明指数不超过4时该松弛精确，给出生成元阶不超过R时的R/2近似，还构造了整性间隙为16/15的无限族图。
2026-09-07 cs.DM cs.DS math.CO
Understanding Set Cover: Sub-exponential Time Approximations and Lift-and-Project Methods
最近，Cygan、Kowalik和Wykurz [IPL 2009]给出了集合覆盖问题的亚指数时间逼近算法，逼近比优于ln（n）。根据这一结果，很自然地会问，是否可以使用提升和投影方法来实现这种改进。我们提出了一个更简单的组合算法，它具有几乎相同的时间近似的Cygan等人的算法权衡。并且其自然地适合于基于提升和项目的方法。在高层次上，我们的方法类似于Karlin，Mathieu和Nguyen [IPCO 2011]最近的工作，他们研究了背包的已知PTAS（类似于我们的组合集合覆盖算法）及其与背包的LP和SDP松弛层次的联系。对于集覆盖，我们表明，事实上，使用的技巧“提升目标函数“，我们可以匹配我们的组合算法使用的LP层次的Lovasz和Schrijver的性能。我们还表明，这个技巧是必不可少的：即使在更强的LP层次的Sherali和Adams，完整性差距保持至少（1-eps）ln（n）在水平欧米茄（n）（当目标函数没有解除）。正如Aleknovich，Arora和Tourlakis [STOC 2005]所示，来自SDP层次（特别是LS+）的集合覆盖松弛具有类似的大完整性间隙。这与Knapsack相反，Karlin等人表明（更强的）Lasserre SDP层次结构在O（1）层将完整性差距减少到（1+eps）。为了完整性，我们证明LS+也将背包的完整性差距减少到（1+eps）。这个结…
2012-10-25 cs.DS math.CO
Near-optimal approximation algorithm for simultaneous Max-Cut
在同时最大割问题中，我们给出了在同一组$k$顶点上的$k$加权图，目标是找到顶点集的一个割，使得在$k$图上，割值的最小值尽可能大。以前的工作[BKS 15]给出了一个多项式时间算法，该算法实现了该问题的$1/2 - o(1)$近似因子（以及在未加权情况下的$1/2 + ε_k$近似因子，其中$ε_k \rightarrow 0$为$k \rightarrow \infty$）。在这项工作中，我们给出了一个多项式时间的近似算法的同时最大切割的近似因子为$0.8780$（所有常数$k$）。在[BKS 15]中，同时最大切割的天然SDP制剂显示具有$1/2+ε_k$的完整性间隙。为了实现更好的近似保证，我们使用了更强的平方和层次SDP松弛和基于Raghavendra-Tan的舍入算法[RT 12]，以及[BKS 15]中的技术。
2018-01-14 cs.CC cs.DS
An Approximation Algorithm for Fully Planar Edge-Disjoint Paths
对于边不相交路径问题的最大化问题，如果供给图和需求边构成一个平面图，我们设计了一个常数因子的近似算法。通过平面对偶，这等价于平面图中的包装切割，使得每个切割仅包含一个需求边。我们还表明，自然的线性规划松弛有恒定的完整性差距，产生一个近似的最大多流最小多割定理。
2020-01-06 cs.DM cs.DS math.CO
Sherali-Adams gaps, flow-cover inequalities and generalized configurations for capacity-constrained Facility Location
度量设施定位是一个研究得很好的问题，线性规划方法已经在推导近似算法中得到了很大的成功。容量限制的推广，如容量限制的设施位置（CFL）和下界设施位置（LBFL），已被证明臭名昭著的LP为基础的近似而言：虽然有本地搜索为基础的常数因子近似，有没有已知的线性松弛常数完整性差距。根据Williamson和Shmoys的说法，为\cfl设计基于松弛的近似是近似算法中的十大开放问题之一。本文通过对CFL和LBFL的不可能性结果的大量研究，对容量受限的设施选址线性规划的有效性进行了研究。我们表明，从自然LP在$Ω(n)$水平的Sherali-Adams层次的松弛有一个无界的差距，部分回答了一个悬而未决的问题\cite{LiS13, AnBS13}。这里，$n$表示实例中设施的数量。基于这一结果的思想，我们证明了标准CFL松弛丰富的广义流覆盖有效不等式\cite{AardalPW95}也有一个无界的差距。这推翻了\cite{LeviSS12}的一个长期存在的猜想。最后，我们介绍了家庭的适当放宽，推广到其逻辑极端的经典明星放松，并捕捉一般配置风格的LP。我们通过一个尖锐的阈值现象来表征CFL和LBFL的适当弛豫行为。
2014-06-14 cs.DS
Flow-Cut Gaps and Face Covers in Planar Graphs
稀疏割与图的最大并发多流之间的关系已被广泛研究。对于具有$k$终端对的一般图，流切间隙为$O(\log k)$，这是紧的。但是，当对流动网络施加拓扑限制时，情况就不那么清楚了。特别地，已经证实平面网络中的流切间隙是$O(1)$，而已知的边界将间隙置于$2$（Lee和Raghavendra，2003）和$O(\sqrt{\log k})$（Rao，1999）之间的某处。Okamura和Seymour（1981）的一个开创性结果表明，当平面网络的所有终端都位于一个面上时，流切间隙正好是$1$。通过考虑端子位于某些固定平面图形中的$γ>1$面上的平面网络，可以概括此设置。Lee和Sidiropoulos（2009）证明了流切间隙由$γ$的函数限定，Chekuri、Shepherd和Weibel（2013）表明间隙至多为$3γ$。我们证明了流切间隙是$O(\logγ)$，通过显示的边缘加权最短路径度量上的终端诱导承认随机嵌入到树失真$O(\logγ)$，这是紧的。前面的结果涉及边容量限制网络的设置。对于顶点容量受限的网络，控制流切间隙可能更具挑战性。虽然Okamura-Seymour定理没有精确的顶点容量版本，但近似版本成立; Lee，Mendel和Moharrami（2015）表明，顶点容量限制的流切间隙是终端位于单个面上的平面网络上的$O(1)$。我们证明了流切间隙是$O(γ)$的顶点…
2018-11-06 cs.DS math.MG
Flow-Cut Gaps for Integer and Fractional Multiflows
考虑由需求图H和供应图G组成的路由问题。如果该对服从割条件，则该实例的流割间隙是最小值C，使得如果G的每条边被给定容量C，则存在H的可行多流。即使当G是（串-并联）图K_{2,3}时，流切间隙也可以大于1。在本文中，我们主要感兴趣的是“整数”流切间隙。如果G的每条边都给定容量C，那么使得H存在一个可行的整数值多流的最小值C是多少？我们推测，整数流切间隙是定量相关的分数流切间隙。这加强了著名的猜想，即平面图和无子图中的流割间隙是O（1），以表明整数流割间隙是O（1）。我们给出了几个支持这一猜想的非平凡特殊类图的结果，并进一步探索了理解流切间隙的“原始”方法。我们的成果包括：- 令G通过从边st开始的串-并行操作获得，并且考虑将G中的所有边定向在从s到t的方向上。如果一个需求的端点是通过结果导向图中的有向路径连接的，则该需求是兼容的。如果切割条件对于兼容实例成立并且G+H是欧拉的，则存在H的积分路由。- 串并联图的整数流割间隙为5。我们还给出了一类明确的实例，通过初等计算表明，串并联图中的流切间隙至少为2-o（1）;这简化了Lee和Raghavendra的证明。- k-外平面图的整数流割间隙是c^{O（k）}，其中c是固定常数。- 一个简单的证明，流切间隙是O（\log k^*），其中k^* 是H中节点覆盖的大小;这是以前由Günlük通过一个更复杂的证明证明。
2010-08-12 cs.DM cs.DS
Rounding Algorithms for a Geometric Embedding of Minimum Multiway Cut
多路切割问题是，给定一个加权图和k >= 2个终端节点，找到一个最小权的边集，去除这些边可以分离所有终端。这个问题是NP难的，甚至对于一些小的delta > 0，在1+delta内近似也是NP难的。Calinescu，Karloff，and Rabani（1998）给出了一个性能保证为3/2-1/k的算法，该算法基于问题的几何松弛。本文给出了一种改进的随机化舍入方案，并给出了一个k=3的12/11-近似算法和一个一般的1.3438-近似算法.我们的方法取决于观察，设计一个随机舍入方案的几何松弛的问题本身是一个线性规划问题。本文探讨了这个问题的计算解决方案，并给出了一个证明，对于一般类的几何松弛，总是有随机舍入方案，匹配的完整性差距。
2003-09-15 cs.DM cs.DS
Global and fixed-terminal cuts in digraphs
多路切换类问题的计算复杂性可能会根据终端是否固定而显著变化。在这项工作中，我们提出了一个全面的研究这一现象在两种类型的切割问题的有向图：双割和bicut。1.已知固定终端边加权双重割是有效可解的。我们证明了一个紧的逼近因子$2$的固定终端节点加权双重切割。我们表明，全球节点加权双割不能近似为一个因子小于$3/2$下的唯一游戏猜想（UGC）。2.已知固定终端边加权双割具有紧逼近因子$2$。我们表明，全球边缘加权bicut是近似的一个因素严格优于$2$，全球节点加权bicut不能近似的一个因素小于$3/2$下UGC。3.在这些调查中，我们还证明了两个结果的无向图是独立的利益。首先，我们证明了节点加权$3$ -割问题的NP-完全性和$4/3$的一个紧不可逼近界。其次，我们证明了对于常数$k$，存在一个有效的算法来解决最小$\{s,t\}$分离$k$ -割问题。我们的算法的技术是组合的，基于LP和基于枚举的近似最小割。我们的硬度结果是基于组合减少和完整性差距的情况下。
2017-07-06 cs.DS math.OC
Local Distribution and the Symmetry Gap: Approximability of Multiway Partitioning Problems
我们研究了多路划分问题的可逼近性，其中的例子包括多路割，节点加权多路割和超图多路割。我们调查这些问题的角度来看，两种可能的概括：作为最小的CSP，和子模块化多路划分问题。这两个推广导致两个自然松弛，基本LP和Lovasz松弛。我们证明了Lovasz松弛给出了具有$k$终端的次模多路划分的（2-2/k）-近似，改进了最近的一个2-近似.我们证明了这个因子在两个意义上是最优的：（1）k个终端的次模多路划分的（2-2/k-ε）-近似需要指数级的多个值查询。(2)对于超图多路割和有k个终端的结点加权多路割，这两种子模多路划分的特殊情况，我们证明了（2-2/k-ε）-近似是NP-难的，假设唯一对策猜想.我们的硬度结果是更一般的：（1）我们表明，对称间隙的概念，以前用于次模最大化问题，也意味着硬度结果的次模最小化问题。(2)假设唯一的游戏猜想，我们表明，基本的LP给出了一个最佳的近似为每一个最小的CSP，包括不相等的谓词。最后，我们通过证明基本LP的完整性间隙与多线性松弛的对称间隙（对于相关实例）来连接这两种硬度技术。这表明Min-CSP和相关的子模最小化问题出现相同的硬度阈值不是巧合。
2015-03-12 cs.DS
Improved Hardness for Cut, Interdiction, and Firefighter Problems
我们研究了经典的$s$ - $t$切割问题的变体，并证明了以下改进的硬度结果假设唯一游戏猜想（UGC）。- 对于任何常数$k \geq 2$和$ε> 0$，我们表明，定向多切与$k$源-汇对是很难近似的一个因素$k - ε$。这与普通的$k$近似算法相匹配。通过简单的简化，我们对$k = 2$的结果意味着具有两个终端的定向多路切割（也称为$s$ - $t$ Bicut）难以在因子$2 - ε$内近似，从而匹配平凡的$2$ -近似算法。以前，这些问题的最佳硬度因子（对于恒定的$k$）是UGC下的$1.5 - ε$。- 对于长度有界切割和最短路径阻断，我们表明，这两个问题是很难近似在任何恒定的因素，即使我们允许双准则近似。如果我们想切割顶点或图是有向的，我们的长度有界切割的硬度因子匹配最佳近似比直到一个常数。以前，最佳硬度因子是长度限制切割的$1.1377$和最短路径阻断的$2$。- 假设一个变种的UGC（暗示的另一个变种的Bansal和Khot），我们证明，这是很难近似资源最小化火灾遏制在任何恒定的因素。以前，最好的硬度因子是$2$。我们的研究结果是基于一个通用的方法转换的完整性差距的实例，长度控制独裁测试的变种的$s$ - $t$切问题，这可能是有用的其他问题。
2016-07-18 cs.CC cs.DS
Simple and Fast Rounding Algorithms for Directed and Node-weighted Multiway Cut
在有向多路割（Dir-MC）中，输入是一个边加权有向图$G=(V,E)$和一组$k$终端节点$\{s_1,s_2,\ldots,s_k\} \subseteq V$ ;目标是找到一个边的最小权重子集，删除它可以确保任何$i \neq j$都没有从$s_i$到$s_j$的路径。在节点加权多路割（Node-weighted Multiway Cut，Node-MC）中，输入是一个节点加权无向图$G$和一组$k$终端节点$\{s_1,s_2,\ldots,s_k\} \subseteq V$ ;目标是删除最小权重的节点子集，以断开每对终端。Dir-MC承认$2$ -近似[Naor，Zosin '97]，Node-MC承认$2(1-\frac{1}{k})$ -近似[Garg，Vazirani，Yannakakis '94]，两者都通过LP松弛的舍入。以前的舍入算法，这些问题，从近二十年前，是基于仔细舍入的“最佳”解决方案的LP松弛。这对于Dir-MC尤其如此，其中舍入依赖于定制LP公式而不是基于自然距离的LP松弛[Naor，Zosin '97]。在本文中，我们描述了非常简单的和近线性时间舍入算法的Dir-MC和Node-MC通过自然的距离为基础的LP松弛。这种松弛的对偶是最大多商品流问题的一个特例。我们的算法实现了与以前相同的界限，但具有显着的优势，因为它们可以与“任何可行的”解决方案的…
2015-07-16 cs.DS
A $59/33$ Cut-LP Guarantee for Matching Augmentation
Institute of Computer Science, University of Augsburg（奥格斯堡大学计算机科学研究所）
本文通过新的结构分析，证明匹配增强问题的LP引导DFS算法达到59/33的积分间隙，无需新算法步骤，并推广到森林增强问题。
2026-09-23 cs.DS
A Simple LP-Based Approximation Algorithm for the Matching Augmentation Problem
匹配增广问题（MAP）作为寻找廉价$2$ -边连通子图的近似算法的重要一步，最近受到了广泛的关注。这最终导致了$\frac{5}{3}$ -近似算法。然而，该算法及其分析相当复杂，不能与该问题的著名LP松弛（称为切割LP）进行比较。在本文中，我们提出了一个简单的算法，引导下的最佳解决方案，以削减LP，首先选择一个DFS树，然后找到一个解决方案，MAP通过计算最佳增强这棵树。使用极值点解的性质，我们表明，我们的算法总是返回（在多项式时间）比$2$ -近似相比，削减LP。因此，我们也得到一个改进的上界的完整性差距，这种自然松弛。
2022-08-24 cs.DS math.CO math.OC
