Simplex based Steiner tree instances yield large integrality gaps for the bidirected cut relaxation
双向割松弛是双向松弛（$\mathrm{\mathcal{BCR}}$）的特征代表，双向松弛是NP-难Steiner树问题（STP）的一类著名的等价LP-松弛.虽然没有基于$\mathrm{\mathcal{BCR}}$的通用近似算法，其近似比STP的$2$更好，但在整数规划中，它作为STP的实现是最优选的，因为存在紧凑大小的公式，其在实践中证明是非常有效的。已知$\mathrm{\mathcal{BCR}}$的完整性间隙至多为$2$，并且长期存在的未决问题是完整性间隙是否小于$2$。迄今为止，最佳下限是Byrka等人证明的$\frac{36}{31} \approx 1.161$ [BGRS 13]。基于Chakrabarty等人的工作。[CDV 11]通过考虑适当的对偶公式将STP实例嵌入到单纯形中，我们通过构造一类新的实例并证明其完整性间隙至少倾向于$\frac{6}{5} = 1.2$来改进这一结果。更确切地说，我们认为类的等价LP-松弛$\mathrm{\mathcal{BCR}}^{+}$，可以通过加强$\mathrm{\mathcal{BCR}}$已知的直接施泰纳顶点度约束，并表明，最坏情况下的比例关于$\mathrm{\mathcal{BCR}}$和$\mathrm{\mathcal{BCR}}^{+}$之间的最佳值至少是$\frac{6}{5}$。由于$\math…
2020-02-18 cs.DM cs.DS math.CO
Minimum Label s-t Cut has Large Integrality Gaps
给定图G=（V，E），其标号集L = {l_1，l_2，.，l_q}，其中每个边具有来自L的标签、V中的源s和V中的宿t，最小标签s-t切割问题要求挑选具有最小基数的标签的集合L'子集L，使得具有来自G的L'中的标签的所有边的移除断开s和t。这个问题来自于现实世界中的许多应用，例如信息安全和计算机网络。本文研究了最小标号s-t割的两个线性规划，证明了这两个线性规划都有大的积分间隙，即Omega（m）和Omega（m^{1/3-n}），其中m是图的边数，n> 0是任意小的常数.由于最小标号s-t割是NP-难问题，而线性规划技术是设计近似算法的主要途径，因此我们的结果对单纯依靠线性规划设计更好的最小标号s-t割近似算法的希望给出了否定的回答.
2019-08-30 cs.DS
Integrality gaps for strengthened LP relaxations of Capacitated and Lower-Bounded Facility Location
度量无容量约束设施选址问题（UFL）在近似算法中享有特殊地位，是各种技术的试验平台。UFL的两种推广是容量限制设施选址（CFL）和下界设施选址（LBFL）。在前者中，每个设施都有一个容量，这是可以分配给它的最大需求，而在后者中，每个开放设施都需要满足给定的最小需求量。CFL和LBFL都可以在一个常数因子内近似，但它们各自的自然LP松弛具有无界的完整性间隙。根据Shmoys和Williamson的说法，CFL的基于松弛的算法的存在是近似算法中的十大开放问题之一。在本文中，我们给出了关于这个问题的第一个结果。我们提供了大量的证据，对CFL的存在一个良好的LP松弛显示两个家庭的加强配方无界的完整性差距。我们考虑的第一个家族是从标准松弛开始重复应用提升和投影Lovász-Schrijver过程所产生的LP的层次结构。我们证明了在$Ω(n)$轮之后产生的CFL的LP松弛，其中$n$是实例中设施的数量，具有无界的完整性间隙。注意，已知Lovász-Schrijver程序在最多$n$轮中产生CFL的精确公式。我们还介绍了家庭的适当放宽推广到其逻辑极端的经典明星放松，等价形式的自然LP。我们描述了LBFL和CFL的适当松弛的完整性差距，并显示出阈值现象，它从无界下降到1。
2013-07-18 cs.DS
Integrality Gaps and Approximation Algorithms for Dispersers and Bipartite Expanders
我们研究的问题，近似的质量分散。一个$([N],[M])$上的二分图$G$是$(ρN,(1-δ)M)$ -分散器，如果对于任意一个$ρN$的子集$S\subseteq [N]$，其邻集$Γ(S)$至少包含$(1-δ)M$不同的顶点.我们的主要结果是强大的完整性差距的Lasserre层次和近似算法的分散。\begin{enumerate} \item For any $α>0$, $δ>0$, and a random bipartite graph $G$ with left degree $D=O(\log N)$, we prove that the Lasserre hierarchy cannot distinguish whether $G$ is an $(N^α,(1-δ)M)$-disperser or not an $(N^{1-α},δM)$-disperser. \item For any $ρ>0$, we prove that there exist infinitely many constants $d$ such that the Lasserre hierarchy cannot distinguish whether a random bipartite graph $G$ with right degree $d$ is a $(ρN, (1-…
2015-10-17 cs.CC cs.DM cs.DS
Integrality gap preserving reductions
Università della Svizzera italiana（瑞士意大利语大学）；Istituto Dalle Molle di studi sull’intelligenza artificiale (IDSIA USI-SUPSI)（达莱莫勒人工智能研究学院）
本文提出保持积分间隙的归约框架，通过迭代缩小问题实例计算积分间隙，应用于多个优化问题，证明三个简单子类间隙为1并改进其他情况的下界。
2026-09-18 cs.DM cs.DS
On Lifting Integrality Gaps to SSEH Hardness for Globally Constrained CSPs
本文在 Small-Set Expansion Hypothesis 下，将 μ-约束 Boolean Max-CSP 的 Lasserre 整性间隙转化为匹配的 NP 难近似下界。
2023-08-18 cs.DS
Efficient constructions of convex combinations for 2-edge-connected subgraphs on fundamental classes
求解2-边连通生成多重图问题（2 EC）的LP松弛问题的精确完整性间隙$α$与求解度量旅行商问题（TSP）的Held-Karp松弛问题密切相关.虽然前一个问题似乎比后者更容易，因为它的约束较少，目前这两个问题各自的完整性差距的上限是相同的。证明这两个问题的完整性缺口的方法是考虑极值点的基本类。对于2 EC，更好的界限上的完整性差距是已知的某些重要的特殊情况下，这些基本点。例如，对于半整数方形点，完整性间隙介于$\frac{6}{5}$和$\frac{4}{3}$之间。我们的主要结果是提高近似因子为$\frac{9}{7}$为2 EC为这些点。我们的方法是基于构造凸组合和我们的关键工具是自上而下的着色框架树增强，其灵活性，我们采用利用有益的性质，在初始生成树和输入图。我们还展示了如何这些工具可以定制的紧密相关的问题，统一覆盖的最知名的界限的证明不产生多项式时间算法。另一个关键要素是使用彩虹生成树分解，它允许我们获得具有特定属性的生成树的凸组合
2021-08-18 cs.DM cs.DS math.CO
Polynomial integrality gaps for strong SDP relaxations of Densest k-subgraph
Denk-subgraph（DkS）问题（即寻找一个最大边数为k的子图）是近似算法中著名的问题之一。在已知的DkS的上限和下限之间存在显著的差距：当前最好的算法给出~ O（n^{1/4}）近似，而即使显示小的常数因子硬度也需要比P！NP.除了对设计更好的算法感兴趣之外，最近的一些结果利用了Denmark-子图及其变体的约束硬度。因此，理解DkS的可近似性是一个重要的挑战。在这项工作中，我们给出了证据的硬度近似DkS内多项式的因素。具体地说，我们揭示了SDP层次的强半定规划在求解Denmark-子图时的局限性。我们的成果包括：* DkS的Sherali-Adams松弛的Omega（log n/log log n）轮的完整性间隙的Omega（n^{1/4}/log^3 n）的下限。这也适用于从Sherali-Adams获得的松弛与添加的SDP约束。我们的间隙实例实际上是Erdos-Renyi随机图。* 对于每个ε> 0，DkS的Lasserre SDP松弛的n^{Omega（eps）}轮的完整性间隙的下限为n^{2/53-eps}，并且n ^{1-eps}轮的完整性间隙为n^{Omega_eps（1）}。我们的建设收益通过减少从随机实例的某个Max-CSP在大域。在缺乏DkS的不可近似性结果的情况下，我们的结果表明，即使是最强大的SDP也无法击败n^{Omega（1）}的因子，事实上，…
2011-10-06 cs.CC cs.DS
The Lasserre Hierarchy in Almost Diagonal Form
Lasserre层次结构是一个系统的过程，用于构建一系列越来越紧的松弛，捕获凸配方中使用的最佳可用的近似算法的各种优化问题。尽管越来越多的兴趣，有很少的技术来分析Lasserre完整性差距。满足半正定要求是构造Lasserre间隙例子的主要障碍之一。我们提出了一种新的表征的Lasserre层次结构的矩矩阵的基础上，不同的对角矩阵的秩一（几乎对角形式）。我们提供了一个模块化的配方，以获得半正定的可行性条件，通过迭代对角化秩一矩阵。利用这一点，我们证明了两个基本的能力覆盖问题的Lasserre层次的完整性差距的强下界。对于最小背包问题，我们表明，完整性差距仍然任意大，即使在级别$n-1$的Lasserre层次。对于最小和的延迟工件调度问题，我们证明了完整性差距是无界的水平$Ω(\sqrt{n})$（即使当目标函数集成为约束）。这些界限本身就很有趣，因为这两个问题都承认FPTAS。
2014-04-02 cs.DS
Lift-and-Project Integrality Gaps for Santa Claus
本文研究了Santa Claus问题特例MMDA问题，构造了深度为3的实例证明仅1轮Sherali-Adams层级无法实现多对数近似，并展示了可将其提升至任意深度以挑战现有技术。
2024-10-17 cs.CC cs.DS
An Improved Integrality Gap for Asymmetric TSP Paths
非对称旅行商路径问题（ATSPP）是一个给定具有指定顶点s和t的非对称度量空间$(V,d)$，目标是找到通过V中所有顶点的最小长度的s-t路径的问题。（而不是$s-t$路径）访问所有节点：对于ATSP，$ρ$近似保证意味着ATSPP的$O(ρ)$近似。然而，对于这些问题的线性规划松弛的完整性间隙，没有这样的连接是已知的：ATSPP的当前最佳近似算法是$O(\log n/\log\log n)$，而ATSPP的自然LP松弛（子图消除LP）的完整性间隙的最佳界限是$O(\log n)$。在本文中，我们关闭这个差距，并改善目前的最佳界的完整性差距从$O(\log n)$到$O(\log n/\log\log n)$。所得到的算法使用LP解中的窄$s$ - $t$切割的结构来构造（随机）树生成树，该树生成树可以被廉价地扩充以包含欧拉$s$ - $t$行走。我们还建立在Oveis Gharan和Saberi的结果，并显示了强形式的Goddyn的猜想薄生成树意味着完整性差距的subtour消除LP松弛ATSPP是有界的一个常数。最后，我们给出了一个更简单的家庭的情况下，这个LP的完整性差距至少是2。
2015-01-06 cs.DS
Nash Social Welfare with Submodular Valuations: Approximation Algorithms and Integrality Gaps
针对次模估值下的加权Nash社会福利最大化问题，提出了一种基于更强分离预言机和二部多重图舍入的$(3.56+ε)$-近似算法，并证明了配置LP在多种估值下的新可积性间隙。
2025-11-05 cs.DS cs.GT
Near Optimal LP Rounding Algorithm for Correlation Clustering on Complete and Complete k-partite Graphs
我们给新的舍入方案的标准线性规划放松的相关聚类问题，实现近似因子几乎匹配的完整性差距：-对于完整的图形，我们的appoximation是$2.06 - \varepsilon$为固定常数$\varepsilon$，这几乎匹配以前已知的完整性差距$2$。- 对于完全$k$ -部图，我们的近似是$3$ .我们还显示了匹配的完整性差距。- 对于边权满足三角不等式和概率约束的完全图，我们的近似是$1.5$，并且我们证明了$1.2$的完整性缺口。我们的研究结果改进了一长串工作的近似算法的相关聚类在完全图，以前达到高潮的比率$2.5$的完整的情况下由Ailon，Charikar和纽曼（JACM'08）。在满足三角不等式和概率约束的加权完备情形中，同一作者给出了一个$2$ -近似;对于二分情形，Ailon、Avigdor-Elgrabli、Liberty和van Zuylen给出了一个$4$ -近似（SICOMP'12）。
2015-06-23 cs.DS
On Column-restricted and Priority Covering Integer Programs
在列限制覆盖整数规划（CCIP）中，约束矩阵的任何一列的所有非零元素都是相等的。这样的程序捕获覆盖问题的能力限制版本。本文研究了CCIP的可逼近性，特别是它们与0，1-CIP的完整性间隙的关系。如果0，1-CIP的完整性间隔为O（gamma），并假设0，1-CIP的优先级版本的完整性间隔为O（omega），我们给出了CCIP的一个因子为O（gamma + omega）的近似算法。0，1-CIP（PCIP）的优先级版本自然地捕获覆盖问题中的服务质量类型约束。我们调查优先版本的线（PLC）和（根）树覆盖（PTC）的问题。除了作为自然的研究对象，这些问题属于一类基本的几何覆盖问题。我们通过一个常数来约束这个PCIP的某些类的完整性。在数学上，我们给出了PLC的一个多时间精确算法，证明了PTC问题是APX困难的，并给出了它的一个因子2-近似算法。
2010-03-07 cs.DS
Breaking symmetries to rescue Sum of Squares in the case of makespan scheduling
平方和（\sos{}）的层次结构给出了一个自动化的技术来创建一个家庭越来越紧的凸松弛的二进制程序。有几个问题，这一层次的一个恒定数量的轮给出完整性差距匹配最知名的近似算法。然而，对于许多其他问题，ad-hoc技术在最坏情况下比\sos{}给出更好的近似比，如相应的下限实例所示。值得注意的是，在许多情况下，这些实例在大置换群的作用下是不变的。这就产生了这样一个问题，即在一个公式中的对称性如何降低由\sos{}层次结构获得的松弛的性能。在本文中，我们研究这一情况下的最小完工时间问题相同的机器。我们的第一个结果是表明，\sos{}的$Ω(n)$轮应用于\emph{configuration linear program}产生至少$1.0009$的完整性差距，其中$n$是作业的数量。我们的结果是基于对称群的表示理论的工具。然后，我们考虑较弱的\emph{assignment linear program}和添加一个精心挑选的对称性破缺不等式，删除了一个子集的机器置换对称。我们发现，应用$2^{\tilde{O}(1/\varepsilon^2)}$轮SA层次结构，这个更强的线性规划减少了完整性差距$1+\varepsilon$，从而产生一个基于线性规划的多项式时间近似方案。我们的研究结果表明，对于这个经典的问题，对称性是主要的障碍，防止\sos{} / SA层次给出松弛的多项式复杂度的完整…
2020-05-16 cs.DS
Understanding Set Cover: Sub-exponential Time Approximations and Lift-and-Project Methods
最近，Cygan、Kowalik和Wykurz [IPL 2009]给出了集合覆盖问题的亚指数时间逼近算法，逼近比优于ln（n）。根据这一结果，很自然地会问，是否可以使用提升和投影方法来实现这种改进。我们提出了一个更简单的组合算法，它具有几乎相同的时间近似的Cygan等人的算法权衡。并且其自然地适合于基于提升和项目的方法。在高层次上，我们的方法类似于Karlin，Mathieu和Nguyen [IPCO 2011]最近的工作，他们研究了背包的已知PTAS（类似于我们的组合集合覆盖算法）及其与背包的LP和SDP松弛层次的联系。对于集覆盖，我们表明，事实上，使用的技巧“提升目标函数“，我们可以匹配我们的组合算法使用的LP层次的Lovasz和Schrijver的性能。我们还表明，这个技巧是必不可少的：即使在更强的LP层次的Sherali和Adams，完整性差距保持至少（1-eps）ln（n）在水平欧米茄（n）（当目标函数没有解除）。正如Aleknovich，Arora和Tourlakis [STOC 2005]所示，来自SDP层次（特别是LS+）的集合覆盖松弛具有类似的大完整性间隙。这与Knapsack相反，Karlin等人表明（更强的）Lasserre SDP层次结构在O（1）层将完整性差距减少到（1+eps）。为了完整性，我们证明LS+也将背包的完整性差距减少到（1+eps）。这个结…
2012-10-25 cs.DS math.CO
Asymmetric Traveling Salesman Path and Directed Latency Problems
本文研究了有向图上两个密切相关的问题的完整性缺口和可逼近性。给定一个在底层非对称度量中的n个节点的集合V和两个指定的节点s和t，这两个问题都要求找到访问所有其他节点的s-t路径。在非对称旅行商路径问题（ATSPP）中，目标是最小化这条路径的总费用;在有向延迟问题中，目标是最小化这条路径上从s到每个节点的距离之和。这两个问题都是NP难问题。ATSPP的最著名的近似算法的比率为O（log n），直到最近的结果将其提高到O（log n/ log log n）。然而，它的线性规划松弛的完整性间隙只有一个O（sqrt（n））的界已经知道。对于定向延迟，对于任何常数eps > 0，先前已知的最佳近似算法具有O（n^（1/2+eps））的保证。我们提出了一个新的算法的ATSPP问题，具有O（log n）的近似比，但其分析也限制了完整性差距的标准LP松弛ATSPP由相同的因素。这解决了Chekuri和Kazakhstan [2007]提出的一个开放问题。然后，我们进行更深入的研究，这个线性程序及其变化，这导致了一个算法的k人ATSPP（其中k S-T路径的最小总长度的要求）和O（log n）-近似的定向延迟问题。
2010-06-01 cs.DS
A New Approximation Technique for Resource-Allocation Problems
我们开发了一个舍入方法的基础上随机游走的多面体，这导致了改进的近似算法和完整性差距的分配问题，出现在资源分配和调度。特别是，它将Shmoys和Tardos关于广义指派问题的工作推广到某些工作可以被丢弃的情况。随机二部匹配的新的浓度范围的发展。
2017-12-17 cs.DC cs.DS
On Generalizations of Network Design Problems with Degree Bounds
迭代舍入和松弛可以说是处理无约束和有约束网络设计问题的首选方法。在本文中，我们扩展的迭代松弛法的范围在两个方向：（1）通过处理更复杂的程度约束的最小生成树问题（即，层流交叉生成树），及（2）通过将“度界”在其他组合优化问题，如拟阵相交和格多面体。我们给出了新的或改进的近似算法，硬度结果，和完整性的差距，这些问题。
2010-06-04 cs.DS
Sherali-Adams gaps, flow-cover inequalities and generalized configurations for capacity-constrained Facility Location
度量设施定位是一个研究得很好的问题，线性规划方法已经在推导近似算法中得到了很大的成功。容量限制的推广，如容量限制的设施位置（CFL）和下界设施位置（LBFL），已被证明臭名昭著的LP为基础的近似而言：虽然有本地搜索为基础的常数因子近似，有没有已知的线性松弛常数完整性差距。根据Williamson和Shmoys的说法，为\cfl设计基于松弛的近似是近似算法中的十大开放问题之一。本文通过对CFL和LBFL的不可能性结果的大量研究，对容量受限的设施选址线性规划的有效性进行了研究。我们表明，从自然LP在$Ω(n)$水平的Sherali-Adams层次的松弛有一个无界的差距，部分回答了一个悬而未决的问题\cite{LiS13, AnBS13}。这里，$n$表示实例中设施的数量。基于这一结果的思想，我们证明了标准CFL松弛丰富的广义流覆盖有效不等式\cite{AardalPW95}也有一个无界的差距。这推翻了\cite{LeviSS12}的一个长期存在的猜想。最后，我们介绍了家庭的适当放宽，推广到其逻辑极端的经典明星放松，并捕捉一般配置风格的LP。我们通过一个尖锐的阈值现象来表征CFL和LBFL的适当弛豫行为。
2014-06-14 cs.DS
Robust $k$-Center with Two Types of Radii
在非一致$k$ -中心问题中，目标是用指定数目的不同半径的球覆盖度量空间中的点。Chakrabarty，Goyal和Krishnaswamy [ICALP 2016，Trans. 2020]（CGK，此后）给出了一个常数因子近似时，有两种类型的半径。本文给出了两个半径情形下存在野值时的常数因子逼近。为了实现这一点，我们需要绕过CGK方法中的不良完整性间隙的技术障碍。我们使用“椭圆体方法内部的椭圆体方法”来实现：使用椭圆体方法的外层来减少程式化的实例，并使用椭圆体方法的内层来解决这些特殊的实例。这个想法是独立的利益，可以适用于其他问题。关键词：近似，聚类，离群值和Round-or-Cut。
2021-02-23 cs.DS
Dual-Based Approximation Algorithms for Cut-Based Network Connectivity Problems
我们考虑了各种NP完全网络连通性问题。我们引入了一种新的基于对偶的方法来近似网络设计问题与切割为基础的线性规划松弛。这种方法给出了最小2-边连通生成子图的一个$3/2$ -近似，它等价于以前提出的算法。网络设计的一个研究得很好的分支是对ad hoc网络进行建模，其中每个节点可以在高功率或低功率下工作。如果我们允许单向链路，我们可以将其形式化为双功率分配（DPA）问题。我们的双为基础的方法给出了一个$3/2$近似DPA，提高了以前的最佳近似已知的$11/7\approx 1.57$。另一个标准的网络设计问题是最小强连通生成子图（MSCS）。我们提出了一个新的问题，推广MSCS和DPA称为星强连接（SSC）。然后，我们表明，我们的双重为基础的方法实现了1.6的近似比SSC。作为我们的双重基础的近似的结果，我们证明了这些问题的完整性差距的新的上界。
2017-07-20 cs.DM cs.DS math.OC
Improved LP-based Approximation Algorithms for Facility Location with Hard Capacities
容量限制设施选址（CFL），一个长期存在的经典问题，有趣的逼近和文献可以追溯到90年代，被认为是。根据[Williamson和Shmoys，2011]中提出的开放性问题和[An等人，FOCS~2014]，我们提出了一种基于LP的近似算法，保证$(10+\sqrt{67})/2 \approx 9.0927$，这是对An等人在2014年提出的基于LP的$288$比率的显著改进。我们对这一部分的贡献是一个简单而优雅的舍入算法，为最惠国松弛和CFL问题带来了清晰的见解。对于具有基数设施成本的CFL（CFL-CFC），我们提出了一种基于LP的$4$ -近似算法，该算法改进了Levi等人自2004年以来提出的数十年的比率5。在我们的工作之前，还不清楚基于LP的方法是否可以用于为CFL问题提供优于5的保证，即使是对于这个问题的受限版本，其中已经知道自然LP具有小的完整性间隙。我们的舍入算法提供了第一个肯定的答案的情况下，与cadinality设施成本。
2022-03-26 cs.DS
Improved Approximation for Node-Disjoint Paths in Planar Graphs
我们研究了经典的节点不相交路径（NDP）问题：给定一个$n$ -顶点图$G$和一个由称为需求对的$G$的顶点对组成的集合$M=\{(s_1,t_1),\ldots,(s_k,t_k)\}$，找到连接需求对的节点不相交路径的最大基数集. NDP是最基本的路由问题之一，已经得到了广泛的研究。尽管如此，在我们对它的近似性的理解上仍然存在很大的差距：$O(\sqrt n)$的近似比的最佳上限是通过一个简单的贪心算法实现的，而目前最好的否定结果表明，在标准复杂性假设下，对于任何常数$δ$，该问题都没有比$Ω(\log^{1/2-δ}n)$更好的近似。即使对于平面图，也没有更好的近似算法，据我们所知，最好的负界是APX-硬度。也许最大的障碍，以获得更好的近似算法的NDP是，目前已知的近似算法，这类问题依赖于标准的多商品流松弛，其完整性差距是$Ω(\sqrt n)$的NDP，即使在平面图。本文突破了$O(\sqrt n)$对平面图中NDP问题的可逼近性的限制，得到了一个$\tilde O(n^{9/19})$ -逼近。我们引入了一个新的线性规划松弛的问题，和一些新的技术，我们希望这将有助于设计更强大的算法和相关问题。
2016-03-17 cs.DS
An $n^{0.3+\varepsilon}$-Approximation for Steiner $k$-Forest
Ben-Gurion University（本-古里安大学）
本文给出 Steiner $k$-Forest 问题的 $n^{0.3+\varepsilon}$ 近似算法，改进已有结果，并基于 Densest $k$-Subgraph 下界证明 $O(\sqrt{k})$ 近似难以改进。
2026-10-08 cs.DS
Weak Decoupling, Polynomial Folds, and Approximate Optimization over the Sphere
我们考虑下面的基本问题：给定一个实系数的$n$ -变量次数- $d$齐次多项式$f$，计算一个使$|f(x)|$最大化的单位向量$x \in \mathbb{R}^n$.除了它的基本性质，这个问题出现在不同的背景下，从张量和算子范数到图扩展到量子信息理论。齐次度$2$的情况是有效的可解的，因为它对应于计算相关联矩阵的谱范数，但更高的度的情况是NP难的。我们给出了这个问题的近似算法，提供了一个折衷的近似比和运行时间：在$n^{O(q)}$时间，我们得到一个近似因子$O_d((n/q)^{d/2-1})$内的任意多项式，$O_d((n/q)^{d/4-1/2})$多项式与非负系数，和$O_d(\sqrt{m/q})$稀疏多项式与$m$单项式。近似保证是相对于最佳的水平$q$平方和（SoS）SDP放松的问题。这个问题的已知多项式时间算法依赖于“解耦引理”。“这些工具不能提供像我们的结果一样的权衡，因为它们将变量的数量放大了一个等于度的因子。我们开发了新的解耦工具，更有效的变量的数量在输出多项式的结构较少的代价。这使我们能够利用更高级别的SoS放松的好处。我们补充我们的算法结果与一些多项式大的完整性差距，虽然稍微弱（但仍然非常自然）放松。为此，我们给出了一种方法，在一个温和的技术条件下，$M$的水平$4$的解决方案矩阵$M$提升到更高的水平。
2017-04-22 cs.DS
Approximation Algorithms for Correlated Knapsacks and Non-Martingale Bandits
在随机背包问题中，我们给定一个大小为B的背包，以及一组工作，其大小和报酬来自已知的概率分布。然而，我们只有在工作完成时才知道实际的大小和奖励。我们应该如何安排工作以最大化预期的总回报？当我们假设（i）奖励和规模是独立的随机变量，并且（ii）我们不能过早地取消作业时，我们知道O（1）近似。当这两个假设中的一个或两个都改变时，我们能说什么呢？随机背包问题是在其本身的权利感兴趣，但它的技术开发适用于其他随机包装问题。实际上，这个问题的想法对于预算学习问题是有用的，在预算学习问题中，一个人被给予几个手臂，这些手臂在每次拉动时以指定的随机方式进化，目标是拉动手臂总共B次，以最大化获得的奖励。最近关于这个问题的许多工作都集中在武器的演变遵循鞅的情况下，即，当来自未来的期望奖励与当前状态的奖励相同时。当报酬不构成鞅时，我们能说什么？本文对具有相关性和/或可消性的随机背包问题以及不满足鞅条件的预算学习问题给出了常因子近似算法。事实上，我们可以证明，以前提出的LP松弛有很大的完整性差距。我们提出了新的时间索引的LP松弛，并将分数的解决方案转换为分布的战略，然后使用LP值和时间排序信息，从这些战略，设计一个随机自适应调度算法。我们希望我们的LP制定和分解方法可以提供一种新的方式来解决其他相关的强盗问题更一般的情况下。
2011-02-18 cs.DS
Lasserre Hierarchy, Higher Eigenvalues, and Approximation Schemes for Quadratic Integer Programming with PSD Objectives
本文提出了一种求解具有半正定目标函数和全局线性约束的二次规划问题的近似算法。这个框架包括著名的图问题，如最小图二等分，边扩展，均匀稀疏割，小集扩展，以及唯一游戏问题。这些问题是臭名昭著的存在巨大的差距之间的已知算法的结果和NP-难的结果。我们的算法是基于四舍五入半定程序从拉塞尔层次，和分析使用的边界低秩近似的矩阵Frobenius范数使用列的矩阵。对于上述所有图问题，我们给出了一个具有逼近比$\frac{1+ε}{\min\{1,λ_r\}}$的在时间上运行的算法$n^{O(r/ε^2)}$，其中$λ_r$是规范化图Laplacian $\mathcal{L}$的第$r$个最小特征值.在图的二分和小集扩张的情况下，割中的顶点数在规定界限的低阶项内。我们的结果意味着$(1+O(ε))$因子在时间上的近似$n^{O(r^\ast/ε^2)}$其中$r^\ast$是小于$1-ε$的$\mathcal{L}$的特征值的数目。对于唯一对策，我们给出了一个因子$(1+\frac{2+ε}{λ_r})$近似，用于最小化$n^{O(r/ε)}$时间内未满足约束的数量。这改进了在扩展器上求解唯一博弈的早期边界，也表明Lasserre SDP足够强大，可以解决基本SDP的著名完整性缺口实例。我们也给出了一个算法的独立集的图，表现良好的拉普拉斯算子没有太多的特征值大于$1+o(1)$。
2011-05-18 cs.CC cs.DS
iBGP and Constrained Connectivity
我们发起的理论研究的问题，最大限度地减少在互联网上的自治系统（AS）的iBGP覆盖的大小受到来自标准的“热土豆”路由规则的正确性的自然概念。对于这两个自然版本的问题（我们测量的覆盖的大小，无论是边缘的数量或最大程度），我们证明了它是NP-难近似的一个因素比$Ω(\log n)$和提供近似算法的比率$\tilde{O}(\sqrt{n})$。此外，我们给出了一个稍差的$\tilde{O}(n^{2/3})$ -近似的原始对偶技术的基础上，具有快速和良好的实践中，我们通过模拟的实际拓扑结构的五个大型自治系统的优点。我们使用的主要技术是减少到一个新的基于连通性的网络设计问题，我们称之为约束连接。在这个问题中，我们给出一个图$G=(V,E)$，对于每对顶点$u,v \in V$，我们给出一个集合$S(u,v) \subseteq V$，称为该对的安全集。目标是找到$G$的最小子图$H$，其中每对顶点$u,v$都由$S(u,v)$中包含的路径连接。我们表明，iBGP问题可以减少到特殊情况下的约束连接$G = K_n$和安全集的几何定义的基础上的IGP距离在AS。我们还认为，约束连通性本身就是一个有趣的问题，因此在一般情况下提供更强的硬度结果（$2^{\log^{1-ε} n}$ -近似硬度）和完整性间隙（$n^{1/3 - ε}$）。在积极的一面，我们表明，约束连接原来是更简单的一些有趣的特…
2011-07-12 cs.DS cs.NI
Approximating the Little Grothendieck Problem over the Orthogonal and Unitary Groups
小Grothendieck问题包括最大化二进制变量$x_i\in\{\pm1\}$上的$\sum_{ij}C_{ij}x_ix_j$，其中C是一个半正定矩阵。在本文中，我们专注于这个问题的自然推广，小Grothendieck问题的正交群。给定C是dn × dn半正定矩阵，目标是最大化限制$O_i$在正交矩阵组中取值的$\sum_{ij}Tr (C_{ij}^TO_iO_j^T)$，其中$C_{ij}$表示C的第（ij）个d × d块。我们提出了一个近似算法，我们称之为切，来解决这个问题，并显示一个恒定的近似比。我们的方法是基于半定规划。对于一个给定的$d\geq 1$，我们证明了$α_{R}(d)^2$，其中$α_{R}(d)$是期望的平均奇异值的d × d矩阵与随机高斯$N(0,1/d)$ i.i.d.条目对于d=1，我们恢复已知的$α_{R}(1)^2=2/π$近似保证经典的小Grothendieck问题。我们的算法和分析自然延伸到复值的情况下，也提供了一个恒定的近似比类似的问题在酉群。该算法还可以作为几个应用程序的近似算法，包括Procrustes问题，其中它改进了以前已知的最佳近似比~ $\frac1{2\sqrt{2}}$。小Grothendieck问题属于类的问题近似最近提出的算法的背景下，非交换Grothendieck不等式。尽管如此，我们的方法更简单，它提供了一个更…
2015-10-06 cs.DS math.OC
Easier, but Not Easy: Nash Welfare under Lexicographic Valuations
Quantbox Research；IIT Delhi（印度理工学院德里分校）
本文针对字典序估值下的纳什福利最大化问题，提出了更优的近似算法与精确多项式框架，同时证明该问题仍存在显著计算难度，并非易事。
2026-08-26 cs.DS cs.GT
